高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系同步测试(解析版)

一、单选题（共15题；共30分）1、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A 、1个B 、1个或无数个C 、0个或无数个D 、0个、1个或无数个 2、下列命题中正确的是（ ）A 、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B 、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C 、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D 、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个 3、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能4、（2015浙江）设，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ，m（）A 、若l，则B 、若，则lm C 、若l//，则// D 、若//，则l//m5、在空间，下列命题正确的是（ ）A 、平行直线的平行投影重合B 、平行于同一直线的两个平面平行C 、垂直于同一平面的两个平面平行D 、垂直于同一平面的两条直线平行6、已知两条互不重合的直线m ，n ，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（ ） A 、若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β B 、若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β C 、若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β D 、若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β7、l 1 ， l 2 ， l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A 、l 1⊥l 2 ， l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B 、l 1⊥l 2 ， l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C 、l 1∥l 2∥l 3⇒l 1 ， l 2 ， l 3共面D 、l 1 ， l 2 ， l 3共点⇒l 1 ， l 2 ， l 3共面 8、已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β； ②若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α；③若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β． ④若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β． 其中真命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）A 、B 、C 、D 、10、如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 与A 1D 所在直线所成的角等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°11、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m∥α，m∥β，则α∥βC、若m∥n，n⊥α，则m⊥αD、若m∥α，α⊥β，则m⊥β12、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A、30°B、45°C、60°D、90°13、设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．其中，正确的个数为（）A、0B、1C、2D、314、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A、若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB、若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC、若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD、若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β15、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A、30° B、45° C、60° D、90°二、填空题（共5题；共5分）16、给出下列四个命题：①三点确定一个平面；②三条两两相交的直线确定一个平面；③在空间上，与不共面四点A，B，C，D距离相等的平面恰有7个；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中真命题的序号是________ （写出所有真命题的序号）．17、如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是________18、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有________ 条．19、如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有________①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线．20、如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为________三、解答题（共5题；共25分）21、如图，写出与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线22、若α∩β=l，A、B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α、β的交线．23、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC、DE、AF、BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明．24、如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．该三棱锥中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只写结果，不要求证明）．25、如图空间四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点且AC=BD，AC⊥BD，试判断四边形EFGH的形状，并证明．答案解析部分一、单选题1、【答案】 D【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】当两点所在的直线与直线平行时，可以作无数个平面与平行；当两点所确定直线与直线异面时，可以仅作一个平面与直线平行；当两点所在的直线与直线相交时，则不能作与直线平行的平面．故可以作无数个平面或0个或1个平面与与直线平行；故选．2、【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【分析】A错误；如图长方体中，是平面ABCD外一点，平面B错误；是直线AB外一点，C错误；是直线AB外一点，D正确；是平面ABCD的一条斜线，平面假设过做一个平面则这与是平面ABCD的一条斜线矛盾。

所以过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个。

故选D3、【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．4、【答案】A【考点】直线的截距式方程，空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故A正确；选项B中，当时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l//时，，可以相交；选项D中，//时，l，m也可以异面，故选A。

【分析】本题主要考察空间直线、平面的位置关系，解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假，本题属于容易题，重点考察学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力。

5、【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选D．【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．6、【答案】D【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确故选D【分析】根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．7、【答案】 B【考点】平面的基本性质及推论，空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1， l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1， l3所成的角是90°∴l1⊥l3， B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【分析】通过两条直线垂直的充要条件，即两条线所成的角为90°，判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．8、【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在①中：若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定理定理得α⊥β，故①正确；在②中：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．④若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故选：C．【分析】在①中，由面面垂直的判定理定理得α⊥β；在②中，n ∥α或n ⊂α；在③中，由线面平行判定定理得n ∥α且n ∥β；在④中，m 与β相交、平行或m ⊂β。

9、【答案】 D【考点】余弦定理的应用，异面直线及其所成的角 【解析】【解答】如图过点M 作.所以.又因为....在三角形中. .故选D.10、【答案】 C【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：设正方体的边长为1连结：A 1C 1、C 1D ， 在△A 1DC 1中，利用边长求得：△A 1DC 1为等边三角形 AC 与A 1D 所在直线所成的角60° 故选：C【分析】首先通过做平行线把异面直线知识转化为平面知识，进一步解三角形求出结果． 11、【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，或m ，n 相交、异面，故不正确； 对于B ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；对于C ，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确； 对于D ，若m ∥α，α⊥β，则m 、β相交或平行，或m ⊂β，故不正确． 故选：C ．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 12、【答案】 C【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】延长CA 到D ，使得AD=AC ，则ADA 1C 1为平行四边形， ∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角， 又A 1D=A 1B=DB=AB ，则三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B=60°故选C ．【分析】延长CA 到D ，根据异面直线所成角的定义可知∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，而三角形A 1DB 为等边三角形，可求得此角． 13、【答案】 B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】由a ，b ，l 均为不同直线，α，β均为不同平面，得： 在①中，若α⊥β，α⊂β，则a 与α平行、相交或a ⊂α，故①错误； 在②中，若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 有可能异面垂直，故a ⊥b 可能成立，故②正确； 在③中，若a ⊥l ，b ⊥l ，则a ⊥b 有可能成立， 例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误． 故选：B ．【分析】在①中，a 与α平行、相交或a ⊂α；在②中，a ，b 有可能异面垂直；在③中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到a ⊥b 有可能成立． 14、【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误； 选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确． 故选D ．【分析】由α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，可推得m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面；由α∥β，m ⊂α，n ⊂β，可得m ∥n ，或m ，n 异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β． 15、【答案】 C【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：延长CA 到D ，使得AD=AC ，则ADA 1C 1为平行四边形， ∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角， 又A 1D=A 1B=DB=AB ，则三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B=60°故选C ．【分析】延长CA 到D ，根据异面直线所成角的定义可知∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，而三角形A 1DB 为等边三角形，可求得此角． 二、填空题16、【答案】③④ 【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误； 对于②，不共点的三条两两相交的直线确定一个平面，∴②错误； 对于③，空间四点A 、B 、C 、D 不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个，当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线公垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是3个，所以满足条件的平面恰有7个，③正确；对于④，两个相交平面把空间分成四个区域是真命题，∴④正确．综上，正确的命题序号是③④．故答案为：③④．【分析】①根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误；②根据三条两两相交的直线可能不共面，即可判断命题错误；③根据空间四点不共面时，四点构成一个三棱锥，讨论平面一侧有一点，另一侧有三点时，和平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面数是多少即可；④根据实际情况即可得出结论正确．17、【答案】异面【考点】异面直线的判定【解析】【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1∴AB∥平面A1B1C1D1，而A1C1与A1B1是相交直线，∴AB与A1C1的位置关系是异面．故答案为：异面．【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A1C1的位置关系是异面．18、【答案】6【考点】异面直线的判定【解析】【解答】解：由图象知6条棱：BA、AD、AA1、C1C、C1B1、D1C1所在的直线与A1C所在的直线既不相交也不平行，即异面．故答案为：6．【分析】根据异面直线的定义，在12棱中，分别找到与A1C既不相交也不平行的棱即可19、【答案】①③④【考点】异面直线的判定【解析】【解答】解：对于①，GH和MN是平行直线，但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误；综上，错误的命题序号是①③④．故答案为：①③④．【分析】根据空间中两条直线的位置关系，对题目中的命题进行分析、判断即可．20、【答案】 45°【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接EM、FM．∵E为BC的中点，∴EM∥AB且EM=AB；同理：FM∥CD且FM=CD，∴∠FEM为异面直线AB、EF所成的角，又∵AB⊥CD，AB=CD，∴FM=EM，FM⊥EM，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM=45°故答案是45°．【分析】先作出异面直线所成的角，再在三角形中求解．三、解答题21、【答案】解：在正方体中没有与体的对角线平行的棱，∴要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有：BB1、A1D1、A1B1、BC、CD、DD1【考点】异面直线的判定【解析】【分析】根据异面直线的意义，需要找与体的对角线既不平行又不相交的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，写出结果．22、【答案】解：∵若α∩β=l，A、B∈α，∴AB是平面ABC与α的交线，延长AB交l于D，则D∈平面ABC，∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，则对应的图象如图．【考点】平面的概念、画法及表示【解析】【分析】根据点，线，面之间的位置关系进行求解即可．23、【答案】解：如图所示：，把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得，NC、DE、AF、BM这四条线段所在直线是异面直线的有：AF和BM，AF和NC，AF和DE，BM和NC，BM和DE，NC和DE，共6对，比如：BM和AF是异面直线，证明如下：∵F 点在平面BCM中，A点在平面BCM外，直线BM不经过F点，由异面直线的定义，得到AF和BM是异面直线【考点】异面直线的判定【解析】【分析】先把正方体的展开图再还原成正方体，利用异面直线的判定定理找出NC、DE、AF、BM中的异面直线．24、【答案】解：因为PA⊥面ABC，所以三角形PAC，三角形PAB为直角三角形．因为∠ABC=90°，所以三角形ABC为直径三角形．三角形PBC为直角三角形．平面PAB⊥底面ABC，面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB．【考点】平面与平面之间的位置关系【解析】【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理分别判断．25、【答案】证明：四边形EFGH为正方形．下面给出证明：∵E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，∴，，∴．∴四边形EFGH是平行四边形．同理可证：．∵AC=BD，BD⊥AC，∴EF=EG，EF⊥EG．∴平行四边形EFGH是正方形．【考点】平行公理【解析】【分析】由于E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，利用三角形的中位线定理可证明：四边形EFGH是平行四边形．由AC=BD，BD⊥AC，可证明：EF=EG，EF⊥EG．因此四边形EFGH是正方形．。