上课用(第二课时) 高二数学 3.3平面与圆锥面的截线(选修4-1)
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P
离心率为
图 3 12
, 面和圆锥的轴的交角 轴所成角的余弦之比 .
即椭圆的离心率等于截 的余弦与圆锥的母线和
最后, 我们延用讨论椭圆 结构特点的思路 讨论一 , 下双曲线的结构特点 .
如图 3 13,当 时, 平面
Q1
S1
F1
O
S2
与圆锥的两部分相交.在圆
锥的两部分分别嵌入Dand
离心率： e
cos
如图：当 与 满足 什么关系 ?
A
1 l与AB 或AB的延长线、AC都相交; 2 l与AB不相交 ; 3 l与BA的延长线、AC都相交 .
如图 3 9 2 , 可以有如下结论 :
B
P
l
D
C
1
G
A
1 当 l与 A B 或 A B的 延 长 线 、
球面与圆锥面相切(切点圆)
含切点圆的平面 (切点面)
內切球面 对称轴 球的切点 (焦点) 圆锥面
截面
由截面截出的拋物线
l
椭圆焦点的产生
球面与锥面相切 內切小球面
大球的切点 (焦点)
由截面截出的椭圆
小球的切点 (焦点) 截面 球面与锥面相切 圆锥面
內切大球面
下面给出交线为椭圆时
的证明
.
如图 3 11 , 与定理 1 的证明相 同 , 在圆锥内部嵌入 双球 , 一个位于平面 一个位于平面 Dandelin
S1 Q1 F1 F2
E
F
P D
l
AC都 相 交 时 ,必 然 有 ; 反 之 , 当 时 , l与 A B ( 或 A B 的 延 长 线 )、 A C 都 相 交 .
B
C
2
图 39
2 当 l与 A B 不 相 交 时 , 则 l
/ / AB,
A
G
这 时 有 ;反 之 ,当 时 , l / / A B , 那 么 l与 A B 不 相 交 .
在 Rt ABP 中 , APB , 所以 PB PA cos .
1
A
m
S Q1 B
F1
`
设过 P 的母线与圆
S 交于
点 Q 1 , 则在 Rt PQ 1 B 中 , Q 1 PB , 所以 PB PQ 1 cos .
由 1 2 得 PF 1 PA 0
F
P D
l
3 当 l 与 B A的 延 长 线 、 A C 都 相 交 时 ,
设 l 与 B A的 延 长 线 交 于 G , 因 为 是 A P G的 外 角 , 所 以 ; 如 果 , 那 么 l 与 B A的 延 长 线 、 A C 都 相 交 .
E B
同理 , PF PQ
1 2
S1
Q1 F1 F2
P
S2 Q2
PQ
2
2.
所以 PF 1 PF
2
PQ
Q1Q 2 .
由正圆锥的对称性 等于两圆
, Q 1 Q 2 长度
图 3 11
S 1 、 S 2 所在平行平面间的母线
段的
长度 , 与点 P 的位置无关 是以 F 1 、 F 2 为焦点的椭圆
图 3 12
线为 m .在椭圆上任取一点
P , 连接 PF 1 .在 中过 P 作 m
的垂线 , 垂足为 A .过 P 作 `的垂线 , 垂足为 B , 连接 AB , 则 AB 是 PA 在平面 `上的射影
PAB 是平面
. 容易证明
, m AB .故 .
与平面 `交成的二面角的平面角
的上方 ,
S2
的下方 , 并且
.
P
Q2
与平面 及圆锥均相切
当 时 , 由上面的讨论可知 平面 与圆锥的交线是一个封 闭曲线 .设两个球与平面 点分别为
,
图 3 11
的切
S 1、 S 2 .
F 1 、 F 2 , 与圆锥相切于圆
在截口的曲线上任取一
点 P,
连接 PF 1 、 PF 2 .过 P 作母线交 S 1 于 Q 1 , 交 S 2 于 Q 2 , 于是 PF 1 和 PQ 1 是从 P 到上方球的两条切 线 , 因此 PF 1 PQ 1 .
Q
2
F2
P
elin 球, 与平面 的两个切点 分别是F1、F2 , 与圆锥两部分 截得的圆分别为S1、S 2 .
图 3 13
在截口上任取一点 , 连接PF1、PF2 .过P和圆锥 P 的顶点O作母线, 分别与两个球切于Q1、Q2 , 则
PF1 PQ1 , PF2 PQ2 . 所以 | PF1 PF2 | | PQ1 PQ2 | Q1Q2 .
由于Q1Q2为两圆S1、S 2 所在平行平面之间的 母线段长,因此Q1Q2的 长为定值 .
S1 S2
Q1
F1
O
Q
2
F2
P
由上所述可知 的结构特点是
, 双曲线 : 双曲上
图 3 13
任意一点到两个定点 的距离之差的绝对值为
即双曲线的两个焦点
常数 .
拋物线焦点的产生 截面与切点面交线 (准线)
P
2
cos cos . 因为
图 3 12
2
, 故 cos cos , 则
PF 1 PA
cos cos
wenku.baidu.com 1.
由上所述可知
, 椭圆的
准线为 m , 椭圆上任一 点到焦点的距离与到
A
m
S Q1 B
F1
`
准线的距离之比为常 数 cos cos ,因此椭圆的 e cos cos
.由此可知截口的曲线 .
探究
如图 3 12 ,
m
1 找出椭圆的准线; 2 探讨P到焦点 F1 的距离与 A
到两平面交线m的距离之比.
如图 3 12 , 上面一个 球与圆锥的交线为圆 所在的平面为 Dandelin S , 记圆 S
S Q1 B
F1
`
P
`. 设 与 `的交
复习回顾——平行射影的概念：
直线 l 与平面α相交------ l的方向称投影方向。
点的平行射影：过点A作平行于 l 的直线（称
投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 l 的方向 在平面 α上的平行射影。
l
A
A
图形的平行射影： 一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。 正射影是平行射影的特例。
探究
如图
1 G2 F1 G2 F2与AD有什么关系 ? 2 AD的长与G1G2的长有什么关系 ? 3 G2 F1与G2 E有什么关系 ?
E A
G1 F1 F2 O1
B
(1 ) G 2 F1 G 2 F 2 AD
( 2 ) AD G 1 G
Φ
2
G2
D
3
G 2 F1 G2E
O2
Θ C
F
c o s s in .
拓展到空间
E A
G1 F1 F2 O1
B
A
G1
F1
O1
B
K1
Φ
G2
P F D
O2
F2
G2
D
O2
Θ C
C
K2
Dandlin(丹迪林)双球
定理1.圆柱形物体的斜截口是椭圆.
l1
A
G1
F1
O1
B
K1
P
F2
G2
O2 K2
C
l2
椭圆的准线： l 1 ，l 2
C
2
将图3 9中的等腰三角形拓广为 圆锥, 直线拓广 为平面 则得到图 10 . , 3
G
A
E B
F
P D
l
C
图 3 9 2
图 3 10
定理2 在空中，取直线 l 为轴，直线 l 与 l 相交 于O点,夹角为 ，l 围绕 l 旋转得到以O为顶点， l 为母线的圆锥面。任取平面π,若它与轴 l的交角 为 （当 π与 l平行时，记 =0），则 (1)β>α,平面π与 圆锥的交线为椭圆; (2) β=α,平面π与 圆锥的交线为抛物 线; (3)β<α,平面π与 圆锥的交线为双曲 线。 l
离心率为
图 3 12
, 面和圆锥的轴的交角 轴所成角的余弦之比 .
即椭圆的离心率等于截 的余弦与圆锥的母线和
最后, 我们延用讨论椭圆 结构特点的思路 讨论一 , 下双曲线的结构特点 .
如图 3 13,当 时, 平面
Q1
S1
F1
O
S2
与圆锥的两部分相交.在圆
锥的两部分分别嵌入Dand
离心率： e
cos
如图：当 与 满足 什么关系 ?
A
1 l与AB 或AB的延长线、AC都相交; 2 l与AB不相交 ; 3 l与BA的延长线、AC都相交 .
如图 3 9 2 , 可以有如下结论 :
B
P
l
D
C
1
G
A
1 当 l与 A B 或 A B的 延 长 线 、
球面与圆锥面相切(切点圆)
含切点圆的平面 (切点面)
內切球面 对称轴 球的切点 (焦点) 圆锥面
截面
由截面截出的拋物线
l
椭圆焦点的产生
球面与锥面相切 內切小球面
大球的切点 (焦点)
由截面截出的椭圆
小球的切点 (焦点) 截面 球面与锥面相切 圆锥面
內切大球面
下面给出交线为椭圆时
的证明
.
如图 3 11 , 与定理 1 的证明相 同 , 在圆锥内部嵌入 双球 , 一个位于平面 一个位于平面 Dandelin
S1 Q1 F1 F2
E
F
P D
l
AC都 相 交 时 ,必 然 有 ; 反 之 , 当 时 , l与 A B ( 或 A B 的 延 长 线 )、 A C 都 相 交 .
B
C
2
图 39
2 当 l与 A B 不 相 交 时 , 则 l
/ / AB,
A
G
这 时 有 ;反 之 ,当 时 , l / / A B , 那 么 l与 A B 不 相 交 .
在 Rt ABP 中 , APB , 所以 PB PA cos .
1
A
m
S Q1 B
F1
`
设过 P 的母线与圆
S 交于
点 Q 1 , 则在 Rt PQ 1 B 中 , Q 1 PB , 所以 PB PQ 1 cos .
由 1 2 得 PF 1 PA 0
F
P D
l
3 当 l 与 B A的 延 长 线 、 A C 都 相 交 时 ,
设 l 与 B A的 延 长 线 交 于 G , 因 为 是 A P G的 外 角 , 所 以 ; 如 果 , 那 么 l 与 B A的 延 长 线 、 A C 都 相 交 .
E B
同理 , PF PQ
1 2
S1
Q1 F1 F2
P
S2 Q2
PQ
2
2.
所以 PF 1 PF
2
PQ
Q1Q 2 .
由正圆锥的对称性 等于两圆
, Q 1 Q 2 长度
图 3 11
S 1 、 S 2 所在平行平面间的母线
段的
长度 , 与点 P 的位置无关 是以 F 1 、 F 2 为焦点的椭圆
图 3 12
线为 m .在椭圆上任取一点
P , 连接 PF 1 .在 中过 P 作 m
的垂线 , 垂足为 A .过 P 作 `的垂线 , 垂足为 B , 连接 AB , 则 AB 是 PA 在平面 `上的射影
PAB 是平面
. 容易证明
, m AB .故 .
与平面 `交成的二面角的平面角
的上方 ,
S2
的下方 , 并且
.
P
Q2
与平面 及圆锥均相切
当 时 , 由上面的讨论可知 平面 与圆锥的交线是一个封 闭曲线 .设两个球与平面 点分别为
,
图 3 11
的切
S 1、 S 2 .
F 1 、 F 2 , 与圆锥相切于圆
在截口的曲线上任取一
点 P,
连接 PF 1 、 PF 2 .过 P 作母线交 S 1 于 Q 1 , 交 S 2 于 Q 2 , 于是 PF 1 和 PQ 1 是从 P 到上方球的两条切 线 , 因此 PF 1 PQ 1 .
Q
2
F2
P
elin 球, 与平面 的两个切点 分别是F1、F2 , 与圆锥两部分 截得的圆分别为S1、S 2 .
图 3 13
在截口上任取一点 , 连接PF1、PF2 .过P和圆锥 P 的顶点O作母线, 分别与两个球切于Q1、Q2 , 则
PF1 PQ1 , PF2 PQ2 . 所以 | PF1 PF2 | | PQ1 PQ2 | Q1Q2 .
由于Q1Q2为两圆S1、S 2 所在平行平面之间的 母线段长,因此Q1Q2的 长为定值 .
S1 S2
Q1
F1
O
Q
2
F2
P
由上所述可知 的结构特点是
, 双曲线 : 双曲上
图 3 13
任意一点到两个定点 的距离之差的绝对值为
即双曲线的两个焦点
常数 .
拋物线焦点的产生 截面与切点面交线 (准线)
P
2
cos cos . 因为
图 3 12
2
, 故 cos cos , 则
PF 1 PA
cos cos
wenku.baidu.com 1.
由上所述可知
, 椭圆的
准线为 m , 椭圆上任一 点到焦点的距离与到
A
m
S Q1 B
F1
`
准线的距离之比为常 数 cos cos ,因此椭圆的 e cos cos
.由此可知截口的曲线 .
探究
如图 3 12 ,
m
1 找出椭圆的准线; 2 探讨P到焦点 F1 的距离与 A
到两平面交线m的距离之比.
如图 3 12 , 上面一个 球与圆锥的交线为圆 所在的平面为 Dandelin S , 记圆 S
S Q1 B
F1
`
P
`. 设 与 `的交
复习回顾——平行射影的概念：
直线 l 与平面α相交------ l的方向称投影方向。
点的平行射影：过点A作平行于 l 的直线（称
投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 l 的方向 在平面 α上的平行射影。
l
A
A
图形的平行射影： 一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。 正射影是平行射影的特例。
探究
如图
1 G2 F1 G2 F2与AD有什么关系 ? 2 AD的长与G1G2的长有什么关系 ? 3 G2 F1与G2 E有什么关系 ?
E A
G1 F1 F2 O1
B
(1 ) G 2 F1 G 2 F 2 AD
( 2 ) AD G 1 G
Φ
2
G2
D
3
G 2 F1 G2E
O2
Θ C
F
c o s s in .
拓展到空间
E A
G1 F1 F2 O1
B
A
G1
F1
O1
B
K1
Φ
G2
P F D
O2
F2
G2
D
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Θ C
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Dandlin(丹迪林)双球
定理1.圆柱形物体的斜截口是椭圆.
l1
A
G1
F1
O1
B
K1
P
F2
G2
O2 K2
C
l2
椭圆的准线： l 1 ，l 2
C
2
将图3 9中的等腰三角形拓广为 圆锥, 直线拓广 为平面 则得到图 10 . , 3
G
A
E B
F
P D
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C
图 3 9 2
图 3 10
定理2 在空中，取直线 l 为轴，直线 l 与 l 相交 于O点,夹角为 ，l 围绕 l 旋转得到以O为顶点， l 为母线的圆锥面。任取平面π,若它与轴 l的交角 为 （当 π与 l平行时，记 =0），则 (1)β>α,平面π与 圆锥的交线为椭圆; (2) β=α,平面π与 圆锥的交线为抛物 线; (3)β<α,平面π与 圆锥的交线为双曲 线。 l