2016-2017学年河北省衡水中学高三(下)三调数学试卷(文科)
河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(文)试题(精品解析)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知虚数单位，等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有，故选B．考点：复数的运算．2.已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.3.已知是上的奇函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质利用f（0）＝0求出a的值，然后代入计算求解即可．【详解】因为是上的奇函数，所以，得,.所以.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用f（0）＝0是解决本题的关键，属于基础题．4.在面积为的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知正方形的边长，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为的小正方形，其概率为,故选C.5.已知，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以.，故选A.6.已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.7.在中，“ ”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.8.已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.10.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.11.已知函数的导数为，若对任意的都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.得：,化简得,不等式两边同除以得：.有，令，,在上单调递增，,所以只需，解得，故选A.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.12.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】把放入平面直角坐标系，使起点与坐标原点重合，方向与轴正方向一致，则，设，因为，所以，所以，.设，所以,化简得：，即.点可表示圆心在，半径为的圆上的点.，所以最大值，最小值为.因为，所以，解得.所以.故选C.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14.将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15.在中，，点在边上，且满足，若，则__________．【答案】【解析】设，得.在中，由正弦定理可得，代入解得，.在中，，所以.由勾股定理可得，化简整理得,.所以,.16.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列前项和为，等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用，求通项；（2）分别求出和，作差比较大小即可.试题解析：（1）因为，所以当时，，所以，即，所以从第二项开始是公比为4的等比数列，即，因为，所以，解得，当时，，解得，则，所以是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为；（2）由（1）知，所以，设数列的公差为，所以，解得，所以，所以，所以．所以．18.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.【答案】（1）71.875；（2）.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可.（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为，所以40名学生中成绩在区间的学生人数为，易知成绩在区间内的人数分别为18，8，4，2，所以成绩在区间内的平均成绩为；（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为．成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：，基本事件数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间之间”的可能结果为，基本事件为数16，所以．19.如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且.（1）求的中点到平面的距离；（2）求证：平面平面．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三棱锥等体积法计算距离即可；（2）要证平面平面，只需证平面即可.试题解析：证明：（1）连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，由，得，又易知．∴的中点到平面的距离为．（2）由已知得，，则，由长方体的特征可知平面，而平面，面积，∴平面，又平面，∴平面平面．20.如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导得，讨论单调性即可；（2）若对任意及，恒有成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得.试题解析：（1），当时，，令，得或，令，得；当时，得，令，得或，令，得；当时，，综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为．（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值．．∵，整理得．∵，∴恒成立，∵，∴，∴．点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23.选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．。
河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试卷(解析版)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.2. ，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【答案】A【解析】因为，所以，选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.5. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A学|科|网...【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B 点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为（）A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.11. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以学|科|网...的最大值与最小值之和为，选C.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为，所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为，所以，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以学|科|网...点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以．学|科|网...18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则．所以，设平面的法向理为，所以，令，则．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）学|科|网...【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：所以的数学期望为：．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据：）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，学|科|网...所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以，即．令，则有，即．设方程的根为，则，所以是方程的根．由（1）知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），学|科|网...代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．。
衡水中学高2017届16-17学年(下)第三次摸底——数学理
河北衡水中学2016～2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）考生注意：1．本试卷分必考部分和选考部分两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x --⎧⎫⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，则集合M N 等于（▲）A ．2(,)3+∞B ．(1,)+∞C ．12(,)23D ．2(,1)32．z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（▲） A ．7144i + B ．7144i -C ．1144i --D ．1144i -+3．数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （▲）A ．1213B ．41C ．1193D ．24194．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（▲）A ．B ．C.D ．25．在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （▲）A ．(12,20)B ．(12,18)C. (18,20)D ．(8,18)7．如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2，则其底面周长为（▲）A ．)21 B ．)21C. )22D 38．20世纪30年代，德国数学家洛萨—科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（▲）A ．3B ．4C ．6D ．无法确定 9．632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（▲）A ．1172B ．632C ．57D ．3310．数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a a a a a na a +++++= 对任何的正整数n都成立，则1250111a a a ++ 的值为（▲）A ．1475B ．1425C ．1325D ．127511．已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥- ，若β= ，γ 的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（▲）A ．32B ．2C ．52D12．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（▲）A ．1(ln6,ln 2]3-B ．1(ln 2,ln6)3--C ．1(ln 2,ln6]3--D ．1(ln 6,ln 2)3-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。
2016-2017学年河北省衡水中学高三(上)第三次调研数学试卷(文科)
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A∪B=（）A．{﹣2，1，2}B．{1，2}C．{﹣2，2}D．{2}2．（5分）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．365．（5分）若正实数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y取得最小值时y的值为（）A．1 B．3 C．4 D．56．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．77．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和8．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．210．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）12．（5分）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y （x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）＞，则∈（，）+）2cos cos2α，若关于bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求的最大值．18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．20．（12分）已知函数f（x）=x+aeπ（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＜0，a≤1时，证明：x2+（a+1）x＞f'（x）．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC 与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•江门模拟）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A ∪B=（）A．{﹣2，1，2}B．{1，2}C．{﹣2，2}D．{2}【分析】先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}B={x|log x4=2}={2}∴A∪B={1，2}故选B．2．（5分）（2015秋•嘉峪关校级期末）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：满足，∴﹣i•（﹣i），∴z=，∴=i．则z的共轭复数的虚部是．故选：C．3．（5分）（2015•安徽一模）下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．4．（5分）（2016秋•桐城市期末）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选：B．5．（5分）（2016•玉溪三模）若正实数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y取得最小值时y的值为（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】根据条件即可得到，从而，整理之后便可用上基本不等式求出4x+3y的最小值，同时得出取最小值时y的值．【解答】解：∵x，y为正数，且3x+y=5xy；∴；∴==5，当且仅当，即y2=4x2，y=2x=1时取“=”；即4x+3y取得最小值时y的值为1．故选：A．6．（5分）（2016•山东校级一模）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B．7．（5分）（2017•淮南一模）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故选：C．8．（5分）（2015•衡阳二模）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）（2012秋•武昌区期末）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【分析】由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为．化简为，令=t＞2，则=（t﹣2）+4+，利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值．【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选D．10．（5分）（2017•淮南一模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列的通项公式性质可得：=，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=．∴==∴+=+=+======故选：A．11．（5分）（2017•惠州模拟）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．12．（5分）（2015•益阳一模）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】若P在线段AB上，设=λ，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，P落在线段MN上，则x+y=2．即可得到取值范围．【解答】解：若P在线段AB上，设=λ，则有==，∴=，由于=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=1，若P在线段MN上，设=λ，则有=，故x=1，y=0时，最小值为，当x=0，y=1时，最大值为故范围为[]由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则=x+y=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=2，当x=2，y=0时有最小值，当x=0，y=2时，有最大值故范围为[]若P在阴影部分内（含边界），则∈．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•桃城区校级月考）若实数a，b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，则a，b的大小关系是a＜b．【分析】可根据条件，利用不等式的性质即可得到答案．【解答】解：∵a、b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，∴＞，又≥，∴＞，∴a＜b．故答案为：a＜b．14．（5分）（2016秋•桃城区校级月考）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为0．【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得结果．【解答】解：∵tanα+=，α∈（，），∴tanα=3，或tanα=（舍去），则sin（2α+）+2cos cos2α=sin2αcos+cos2αsin+•=sin2α+cos2α+=•+•+=•+•+=•+•+=0，故答案为：0．15．（5分）（2016秋•桃城区校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是2．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱切去一个四棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱切去一个四棱锥所得的组合体，棱柱的体积为：×2×2×2=4，棱锥的体积为：××（1+2）×2×2=2，故组合体的体积V=4﹣2=2，故答案为：216．（5分）（2016•静宁县一模）已知函数f（x）=，若关于x 的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•高安市校级模拟）设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n 项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求的最大值．【分析】（1）通过设{a n}的公差为d，利用a3a5=3a7与S3=9联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论（2）通过（1）裂项、并项相加可知T n=，利用基本不等式即得结论．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵a3a5=3a7，S3=9，∴，解得（舍去）或，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1；（2）∵，∴===，∴，当且仅当，即n=2时“=”成立，即当n=2时，取得最大值．18．（12分）（2015•济宁一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，然后求值；（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A的范围，然后求三角函数值的范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（）+，因为f（x）=1，所以sin（）=，所以cos（x+）=1﹣2sin2（）=，（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC 所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，所以cosB=，又0＜B＜，所以B=，则A+C=，即A=﹣C，又0＜C＜，则＜A＜，得＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+），所以f（2A）的取值范围（]．19．（12分）（2015•东营二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有EM：FM=1：2【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120∴∠ACB=90，∴AC⊥BC又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）当EM=时，AM∥平面BDF．在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．∵EM=而EF=AC=，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知函数f（x）=x+aeπ（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＜0，a≤1时，证明：x2+（a+1）x＞f'（x）．【分析】（1）求出函数的导数，通过a与0的大小讨论，导函数的符号，得到函数的单调性．（2）令F（x）=x2+（a+1）x﹣xf'（x），化简F（x）的表达式，令H（x）=x+a﹣ae x，求出H'（x）=1﹣ae x，判断H（x）在（﹣∞，0）上为增函数，得到H（x）＜H（0）=0，然后证明结果．【解答】解：（1）由f（x）=x+ae x可得f'（x）=1+ae x．当a≥0时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，当a＜0时，f'（x）＞0可得，由f'（x）＜0可得；则函数f（x）在上为增函数，在上为减函数…（4分）（2）证明：令F（x）=x2+（a+1）x﹣xf'（x），则F（x）=x2+（a+1）x﹣xf'（x）=x2+ax﹣axe x=x（x+a﹣ae x），令H（x）=x+a﹣ae x，则H'（x）=1﹣ae x，∵x＜0，∴0＜e x＜1，又a≤1，∴1﹣ae x≥1﹣e x＞0，∴H（x）在（﹣∞，0）上为增函数，则H（x）＜H（0）=0，即x+a﹣ae x＜0，由x＜0可得F（x）=x（x+a﹣ae x）＞0，所以x2+（a+1）x＞xf'（x）…（12分）21．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx （a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x ∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•商丘三模）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•沈阳二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y ＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•宁城县模拟）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．参与本试卷答题和审题的老师有：zwx097；沂蒙松；刘长柏；海燕；wkl197822；刘老师；w3239003；maths；caoqz；changq；szjzl；whgcn；豫汝王世崇；cst；qiss；lcb001；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年2月26日。
衡水中学高2017届16-17学年(下)七调试题——数学文
河北衡水中学2016～2017学年度第二学期高三七调考试数学（文科）试卷注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘在答题纸的指定位置上；2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体要工整、笔记要清楚； 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4．保持答题卡面清洁，不折叠，不破损；5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．满足{1,2}{1,2,3,4}P ⊆⊄的集合P 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知11xyi i =-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -3．在如下图所示的程序框图中，若124231,log 2,log 3log 216a b c ⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭，则输出的x =（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．2 4．数列{}n a 满足*11110,1(2,)11n n a n n N a a -=-=≥∈--，则2017a =（ ） A ．12017B ．12016C ．20162017 D ．201520165．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C -ABD 的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）A ．12 BCD ．146．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤；②标准差2s ≤；③平均数3x ≤且标准差2s ≤ ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤7．将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos B Cb c=-，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 9．函数2()sin ||f x x x =-在[2,2]-上的图象大致为（ ）10．已知椭圆22221(0)x ya b a b +=>>，点(,)Acb ，右焦点(,0)F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA ⋅=⋅ 且()OM OF tOA t R +=∈，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D ．2311．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内在一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241357a a a a k ====，则12342357Sh h h h k+++=。
2016-2017学年河北省衡水中学高三下学期期中数学试卷试卷(文科)【解析版】
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2} 2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．648．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为．14．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，可知集合B＝{x|x≤1}．故选：C．2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．【考点】A8：复数的模．【解答】解：因为z＝z＝+（1﹣i）2＝﹣2i＝1﹣i﹣2i＝1﹣3i，所以|z|＝＝，故选：A．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵tanα＝2，α∈（0，π），∴cos（+2α）＝﹣sin2α＝﹣2sinαcosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，共有10种情况，甲、乙、丙中有2个被选中，有3种，故所求事件的概率P＝．故选：A．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝log2＝﹣3＜1，0＜b＝0.33.2＜0.30＝1，c＝3.20.3＞3.20＝1，∴实数a，b，c的大小关系为a＜b＜c．故选：B．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．64【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝11，i＝1i＝2，n＝13不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝4，n＝17，满足条件“n＝2（mod 3）“，不满足条件“n＝1（mod 5）“，i＝8，n＝25，不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝16，n＝41，满足条件“n＝2（mod3）“，满足条件“n＝1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：B．8．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为：y＝，则另一条渐近线方程为：y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），因为F（c，0），A为BF的中点，所以m＝，，解得m＝c，A（，），由F A⊥OA，可得：k F A•k OA＝﹣1，即：•＝﹣1，即b2＝3a2，解得e＝＝＝2．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+π﹣）＝﹣2sin（2x﹣）的图象，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，可得：，解得a＝﹣1，b＝2，所以当x＞0时，f（x）＝（lnx）2﹣lnx+2＝（lnx﹣）2+，当x≤0时，可得＝，则函数f（x）的值域为（，]∪[，+∞）．故选：D．11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于点A，解方程组，得A（），将直线4x+3y＝0平移经过A点时，m取最大值，∴，得a＝2．于是，点A的坐标为（），∵n＝表示点B（﹣3，0）与P（x，y）连线的斜率，由图可知，当P与点A重合时，n取最大值，∴n的最大值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵f（x）＝1g（x+），∴f（﹣x）＝1g（﹣x+）＝﹣f（x），∴函数为奇函数，由表达式显然知函数为增函数，∵f（）+f[]＞0恒成立，∴＞﹣，∴（x+1）（x﹣1）（x﹣6）＜﹣m恒成立，令h（x）＝（x+1）（x﹣1）（x﹣6），可知函数h（x）在x∈（1，2]时，单调递减，∴h（x）的最大值大于h（1）＝0，∴0≤﹣m，∴m≤0，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为﹣1．【考点】91：向量的概念与向量的模．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|＝≥||﹣1＝﹣1＝﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣114．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为44．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：设点O到矩形ABCD所在平面的距离为h，则h＝＝．∴棱锥O﹣ABCD的侧面积＝2×＝44．故答案为：44．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：在△ABD中由余弦定理可知：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A，在△CDB中与余弦定理可知：BD2＝DC2+BC2﹣2AB•AD•cos C，将AB＝CD＝1，AD＝BC＝2代入，整理得：2cos A﹣cos C＝1，∠A+∠C ＝，2cos A﹣cos（﹣A）＝1，整理得：3cos A+sin A＝1，两边平方（3cos A+sin A）2＝9cos2A+6cos A sin A+sin2A＝cos2A+sin2A，整理得：sin A＝﹣，cos A＝，BD＝，BD＝，故答案为：．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：x＝my+，将直线l的方程代入抛物线方程y2＝2px，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，∵•＝﹣3，即x1x2+y1y2＝﹣3，x1x2＝•＝，∴有﹣p2＝﹣3，解得，p＝2；（舍去负值），∴x1x2＝＝1，由抛物线的定义，可得，|AM|＝x1+1，|BM|＝x2+1，则|AM|+4|BM|＝x 1+4x2+5≥2+5＝9，当且仅当x1＝4x2时取得等号．由于x1x2＝1，可以解得，x2＝2（舍去负值），∴x1＝，代入抛物线方程y2＝4x，解得，y1＝，y2＝±2，即有A（，±）B （2，±2），∴|AB|＝＝＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）由a n＝a n+1+，则a n+1＝a n﹣，即（a n+1+1）＝（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1＝1为首项，以为公比的等比数列，∴a n+1＝（）n﹣1，即a n＝（）n﹣1﹣1，∴数列{a n}的通项公式a n＝（）n﹣1﹣1；（2）由（1）b n＝na n+n＝n（）n﹣1，则S n＝1×（）0+2×（）1+3×（）3+…+（n﹣1）×（）n﹣2+n（）n﹣1，①∴S n＝1×（）1+2×（）2+3×（）4+…+（n﹣1）×（）n﹣1+n（）n，②①﹣②得：S n＝（）0+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n（）n，＝2﹣，S n＝4﹣，∴＝＝，由n+3＜2n+4，则2n+2﹣（n+3）＞2n+2﹣（2n+4），由2n+2﹣（n+3）＞0，2n+2﹣（2n+4）＞0，则＞1，数列{S n}单调递增，故当n＝1时，数列{S n}取得最小值，即S n≥S1＝1．S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（1）∵抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，∴＝0.08，解得x＝120．∴持“无所谓”态度的人数共有4000﹣2200﹣680﹣200﹣120＝800．∴应在“无所谓”态度抽取800×＝80人．（2）∵y+z＝800，y≥710，z≥78，故满足条件的（y，z）有：（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81），（720，80），（721，79），（722，78），共13种．记本次调查“失效”为事件A，若调查失效，则2200+200+y＜4000×0.78，解得y＜720．∴事件A包含（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81）共10种．∴P（A）＝19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则⇒EF∥平面ABC1D1．（2）⇒⇒⇒EF⊥B1C（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，∵，，∴EF2+B1F2＝B1E2即∠EFB1＝90°，∴＝＝20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，解得a＝2，∵离心率为e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的标准方程为；（2）由题意知A（﹣2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线MN斜率不存在，则N（x1，﹣y1），由AM⊥AN，•＝0，得•＝﹣1，又M和N在椭圆上，代入解得x＝﹣，则直线MN方程为x＝﹣．若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx+m，椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．由AM⊥AN，得×＝﹣1，整理得（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4＝0∴（k2+1）×+（km+2）×（）+m2+4＝0．解得m＝2k或m＝k．若m＝2k，此时直线过定点（﹣2，0）不合题意舍去．故m＝k，即直线MN过定点（﹣，0）．综上可知：直线l过定点（﹣，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）＝2ax+＝，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，令f'（x）＝0得x＝，∴f（x）在（，+∞）上递减，在（0，）上递增；（2）g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，∴|f（x）|＝+b有实数根，当a＝﹣时，f（x）＝﹣x2﹣1+lnx，f'（x）＝﹣m当0＜x＜时，f'（x）＞0，当x＞时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（0，）上递增，在（，+∞）上递减，函数的最大值为f（）＝﹣1，∴|f（x）|≥1，令h（x）＝+b，h'（x）＝，当0＜x＜时，h'（x）＞0，当x＞时，h'（x）＜0，∴h（x）的最大值为h（）＝+b，要使|f（x）|＝+b有实数根，∴h（）＝+b，≥1，∴b≥1﹣＝1﹣．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程＝2，展开化为（ρsinθ+ρcosθ）＝2（m+1），即x+y﹣4（m+1）＝0．而曲线C的参数方程为（其中φ为参数），消去参数可得：x2+y2＝2．∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴＝．∴m+1＝，解得m＝，或．（2）m＝﹣时，圆心到直线l的距离d＝＝．∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）当a＝1，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．不等式f（x）＞2化为|x﹣1|+|x﹣2|≤2．x＜1时，不等式可化为3﹣2x≤2，∴x≥，∴≤x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为1≤2，成立；x＞2时，不等式可化为2x﹣3≤2，∴x≤，∴2＜x≤；综上所述，不等式的解集为[，]；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥|x﹣a﹣x+2|＝|a﹣2|，即f（x）的最小值为|a﹣2|．∵t＞0，＝t+≥4，当且仅当t＝2时，取得最小值4，由题意，|a﹣2|≤4，∴﹣2≤a≤6．。
【河北省衡水中学】2017届高三下学期第三次摸底考试数学(文科)试卷-答案
则 ， ，
所以 ，
同理 ，
所以 为定值．
23．解：(1)因为 ，所以 ．
①当 时， ，解得 ，即 ；
②当 时， ，解得 ，即 ，
所以 ，则 ，
而 ，
所以 ，即 ；
(2)由(1)知 ，
因为
．
当且仅当 时取等号，
所以 ．
22．解：(1)因为直线 的倾斜角为 ，且经过点 ，
当 时，直线 垂直于 轴，所以其一般方程为 ，
当 时，直线 的斜率为 ，所以其方程为 ，
即一般方程为 ．
因为 的极坐标方程为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
所以曲线 的标准方程为 ．
(2)设直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入曲线 的标准方程为 ，
由长方体的特征可知 平面 ，
而 平面 ，面积 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴平面 平面 ．
20．解：(1)依题知 ， ， ，
解得 ， ，所以椭圆 的离心率 ；
(2)依题知圆 的圆心为原点，半径为 ， ，
所以原点到直线 的距离为 ，
因为点 坐标为 ，所以直线 的斜率存在，设为 ．
所以直线 的方程为 ，即 ，
当 时， ，解得 ，则 ，
所以 是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为 ；
(2)由(1)知 ，所以 ，
设数列 的公差为 ，所以 ， ，
解得 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
所以 ．
18．解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间 的频率为
，
所以40名学生中成绩在区间 的学生人数为 ，
易知成绩在区间 ， ， ， 内的人数分别为18，8，4，2，
所以成绩在区间 内的平均成绩为 ；
衡水中学高2017届16-17学年(下)第三次调研——数学文
河北衡水中学2016～2017学年度 高三下学期数学第三次调研（文科）考生注意：1．本试卷分必考部分和选考部分两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容必考部分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合2{|40}M x x x =-<，{|5}N x m x =<<，若{|3}M N x x n =<< ，则m n +等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．已知i 是虚数单位，121zi z-=+，则||z 等于（ ）A ．1BCD 3．已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（ ）A ．1432B ．1434C ．1438D ．143164．已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +等于（ ）A ．B ．24C ．D ．485．已知(),()212x x xf xg x ==-，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数 C ．()()()h x f x g x =是奇函数 D ．()()()h x f x g x =是偶函数6．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2，直线AC 的斜率为k ，则||k 等于（ ） A ．2B ．32 C ．52D ．37．执行右边的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．79 B ．1722 C ．1013 D ．23308．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．92C ．154D ．1739．函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ>≤≤）的部分图象如图所示，其中,A B 两点之间的距离为5，则()f x 的递增区间是（ ）A ．[61,62]()k k k Z -+∈B ．[64,61]()k k k Z --∈ C. [31,32]()k k k Z -+∈ D ．[34,31]()k k k Z --∈10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验。
河北省衡水中学2017届高三下学期六调数学(文)试题-Word版含答案
衡水中学2016—2017 学年度下学期六调考试高三年级(文科)数学试卷 第Ⅰ卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={1 , 0, 1 , 2 , 3}，B = {}(1)2log 2x x +<则 A B 等于（ ） A ． {1 , 0 , 1 , 2}B ．{0 , 1 , 2 }C ．{1 , 0 , 1 , 2 , 3}D ．{0 , 1 , 2 , 3}2．设 i 为虚数单位，则复数12iz i+=的虚部为（ ）A. 2-B. i -C. iD. 1-3．在直三棱柱 ABC-A 1B l C 1 中，平面 α 与棱 AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1 分别交于点 E ，F ，G ， H ，且直线 AA 1∥平面 α．有下列三个命题：①四边形 EFGH 是平行四边形；②平面 α∥平面 BCC 1B 1③平面 α⊥平面 BCFE ．其中正确的命题有A ①②B ②③C ①③D ①②③4．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差2s 甲，2s 乙 ，2s 丙的大小关系是. ( )A. 2s 丙< 2s 乙<2s 甲B. 2s 丙< 2s 甲<2s 乙 C 2s 乙<2s 丙<2s 甲 D. 2s 乙<2s 甲<2s 丙5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，且双曲线与抛物线2x =- 的准线交于 A, B ，OAB S ∆ ，则双曲线的实轴长（ ）A ．B ．C ． 2D ． 46．已知 A,B 是圆 O:x 2+y 2=4 上的两个动点，522,33AB OC OA OB ==-,若 M是线段 AB 的中点, 则OC OM的值为A ．3B ．C ． 2D ． -37． 执行如图所示的程序框图，若输入 a , b , i 的值分别为 8,6,1 则 输出a 和i 的值分别为( )A. 2， 4B.2，5 C3，4 D.3，58．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的周期为π，若()1f α=，则3()2f πα+=（ ） A. 2- B. 1- C. 1D. 29．已知定点1(2,1)F - 2F (2, 0) ，N 是圆 O : 221x y +=上任意一点，点1F 关于点 N 的对称点为 M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是 （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ． 双曲线10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1 ）， 则这个几何体的体积是（ ）A. 323B. 643C. 16D. 3211．设函数()y f x =图像与()lg x a y -=的图像关于直线y x =对称且(1)(1)2f f +-=，则实数 a （ ）A. 1-B.1C. 4-D. 412．已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b R ∈, e 为自然对数底数.,若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在 (0,1) 内有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）A. 22(3,1)e e -+ B 2(,)e +∞ C. 2(,22)e -∞+ D 22(26,22)e e -+第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1,2,3,……,9 填入 3×3 的方格内，使 3行、3 列、两条对角线的三个数之和都等于 15.如图所示。
衡水中学2016届高三下学期第一次调考(文数)
衡水中学2016届高三下学期第一次调考数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合A={}42<<x x ,B=}0)3(1<--x x x ）（｛，则B A =A ．（1,3）B ．（1,4）C ．（2,3）D ．（2,4）2．若复数z 满足i iz =-1，其中i 为虚数单位，则z= A ．1-i B ． 1+i C ．-1-i D ． -1+i3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．82cmB ．122cmC ．3322cmD ．3402cm 4．设a ，b 是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α、β是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，，且βα⊂⊂m l ,A ．若β⊥l ，则 α⊥βB ．若α⊥β，则m l ⊥C ．若β//l ，则α//βD ．若α//β，则l ∥m6．若135sin -=α，且α为第四象限角，则αtan 的值等于 A ．512 B ．-512 C ． 125 D ． -125 7．设)2,1(=a ，)1,1(=b ，b k a c +=，若c b ⊥，则实数k 等于A ．-23B ． -35C ． 35D ．23 8．在等差数列{}n a 中，())(231310753a a a a a ++++=48，则等差数列{}n a 的前13项的和为A ．24B ． 39C ．52D ．1049．已知前n 项和为n S 的正项数列{}n a 满足)lg (lg 21lg 21+++=n n n a a a ，且43=a ，32=S ，则 A ．12+=n n a S B ．12+=n n a S C ．12-=n n a S D ．12-=n n a S10．设函数())1ln()1ln(x x x f --+= ，则()x f 是 A ．奇函数，且在（0，1）是增函数 B ．奇函数，且在（0，1）是减函数C ．偶函数，且在（0，1）是增函数D ．偶函数，且在（0，1）是减函数11．函数()x f =d cx bx ax +++23的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．a>0,b<0,c>0,d>0B ．a>0,b<0,c<0,d>0C ．a<0,b<0,c>0,d>0D ．a>0,b>0,c>0,d<012．设抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线l 过点M(2,0)且与C 交于A,B 两点，|BF|=23，若|AM|=λ|BM|，则λ=A ．23 B ．2 C ．4 D ．6 第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2016-2017学年河北省衡水中学高三(下)七调数学试卷(文科)
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02A x x =<<，{}21B x x =<，则A B =（ ）A.()0,1B.()1,2-C.()1,1-D.(][),12,-∞-+∞2.已知i 为虚数单位，()11z i i -=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A.i -B.iC.2iD.2i -3.某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ） A.10B.12C.16D.184.若变量,x y 满足约束条件1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A.4B.1-C.2-D.3-5.执行下图程序框图，若输出2y =，则输入的x 为（ ）A.1-或B.1±C.1D.1-6.已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则369a a a ++=（ ） A.18B.24C.30D.328.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足（ ）A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B.图象关于直线6x π=对称C.3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D.当512x π=时有最小值1- 9.函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）ABCD10.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.43D.8311.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为()2y k x =+，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是（ ）A.⎡⎢⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若1022x x x +=，函数()()()0g x f x f x =-，则()g x （ ）A.仅有一个零点B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至少两个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．已知向量，则=．14．若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=．16．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知正项等比数列{b n}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，a n=log2b n+2．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．18．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．19．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：FD∥平面AHC；（2）求多面体ABCDEF的体积．20．已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21．已知椭圆C1： +=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程．（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：A卷：ABBDC DCADD CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．已知向量，则=2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：﹣2=（﹣1，3），∴=﹣1+3=2．故答案为：2．14．若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可．【解答】解：变量x，y满足表示的可行域如图：则点P（x，y）表示的区域的面积为：．故答案为：4．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=3．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB，结合a2﹣b2=c，即可求c．【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得•=2••，所以a2+c2﹣b2=2（b2+c2﹣a2），即a2﹣b2=，又a2﹣b2=c，解得c=3．故答案为：3．16．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是丁．【考点】进行简单的合情推理．【分析】通过推理判断出年龄以及学历情况，然后推出结果．【解答】解：由题意可得，2人为硕士，3人为博士；有3人小于30岁，2人大于30岁；又甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，可推得甲丙小于30岁，故甲丙不能应聘成功；又乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，以及2人为硕士，3人为博士，可得乙戊为博士，故乙戊也不能应聘成功．所以只有丁能应聘成功．故答案为：丁．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知正项等比数列{b n}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，a n=log2b n+2．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论；（2）通过对c n=分离分母，并项相加即可．【解答】（1）证明：由题可知设数列首项b1＞0，∵b3+b5=40，b3b5=256，∴，解得q=2或q=（舍），又∵b3+b5=40，即=40，∴b1===2，∴b n=2×2（n﹣1）=2n，∴a n=log2b n+2=n+2，∴数列{a n}是以3为首项、1为公差的等差数列；（2）解：∵c n==﹣，∴S n=﹣+﹣…+﹣=﹣=．18．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法．【分析】（1）通过频率分布表得推出m+n=0.45．利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m．（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．【解答】解：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1，即m+n=0.45．…由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得．…所以m=0.45﹣0.1=0.35．…（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种．…记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…故所求概率为．…19．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：FD∥平面AHC；（2）求多面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD．结合H是EF的中点，AB=2CD，得CD=FH，可得四边形CDFH为平行四边形，从而得到DF∥CH．再由线面平行的判定可得FD∥平面AHC；（2）由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，结合已知可得四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，三棱锥F﹣ADC的高AH=．然后由V ABCDEF=V C﹣ABEF+V F 求得多面体ABCDEF的体积．﹣ADC【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，∵四边形ABEF为菱形，∴AB∥EF，则EF∥CD．∵H是EF的中点，AB=2CD，∴CD=FH，∴四边形CDFH为平行四边形，则DF∥CH．∵DF⊄平面AHC，HC⊂平面AHC，∴FD∥平面AHC；（2）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABEF，∵DC∥AB，∴四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，∵∠ABE=60°，四边形ABEF为边长是4的菱形，∴可求三棱锥F﹣ADC的高AH=2．∴V ABCDEF=V C﹣ABEF+V F﹣ADC==．20．已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先对函数求导，f′（x）=2x+a﹣，可得切线的斜率k=2x0+a﹣= =，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证（2）由F（x）==，求出函数F（x）的导数，通过研究2﹣a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．21．已知椭圆C1： +=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，得到a2=4b2，再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得a2，4b2，则椭圆的方程可求；（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k＜0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值；（3）求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件⊥，∥可得D，E，C的坐标的关系，把AC，DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点．【解答】（1）解：由e=，可得：，即，∴，a2=4b2①又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1 ②联立①②解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，∴直线l的斜率必存在且为负，设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），联立，消去y整理可得：③根据题意可得方程③只有一实根，∴△=，整理可得：m2=4k2+1 ④∵直线l与两坐标轴的交点分别为且k＜0，∴l与坐标轴围成的三角形的面积⑤④代入⑤可得：（当且仅当k=﹣时取等号）；（3）证明：由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），设D（x0，y0），∴E（x0，0），∵，∴可设C（2，y1），∴，由可得：（x0+2）y1=2y0，即，∴直线AC的方程为：，整理得：，点P在DE上，令x=x0代入直线AC的方程可得：，即点P的坐标为，∴P为DE的中点∴PD=DE．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程．（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P∴有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1∴动点P的轨迹方程为（x﹣）2+y2=．…[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．。
(优辅资源)河北省衡水中学高三下学期三调考试数学(文)试题 Word版含答案
河北省衡水中学2016—2017学年度 高三下学期三调考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|40},{|5}M x x x N x m x =-<=<<，若{|3}MN x x n =<<，则m n +等于A ．6B ．7C ．8D ．9 2、已知i 是虚数单位，121zi z-=+，则z 等于A ．1BC 3、已知甲乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图 所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学的平均数小2，则乙同学成绩的方差为 A ．1432 B ．1434 C ．1438 D ．143164、已知{}n a 是等比数列，且366103,12a a a a +=+=，则812a a +等于A ．．24 C ．．48 5、已知()(),212xx xf xg x ==-，则下列结论正确的是 A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数 C ．()()()h x f x g x =是奇函数 D ．()()()h x f x g x =是偶函数6、已知双曲线E:22221(0,0)x y a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB 、CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率为2，则直线AC 的斜率为k ，则k 等于 A ．2 B ．32 C ．52D ．3 7、执行右边的程序框图，则输出的S 的值为A ．79 B ．1722C ．1013D ．23308、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．6B ．92C ．154D ．1739、函数()2sin()(0,0)f x wx w ϕϕπ=+>≤≤的部分图象如图 所示，其中,A B 两点之间的距离为5，则()f x 的递增区间是 A ．[61,62],k k k Z -+∈ B ．[64,61],k k k Z --∈ C ．[31,32],k k k Z -+∈ D ．[34,31],k k k Z --∈10、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是34m =，那么可以估计π的值为 A ．227 B ．4715 C ．5116 D ．531711、已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点(,0)(0)a a <倾斜角6π为的直线l 交抛物线于C 、D 两点，若F 在以线段CD 为直径的圆的外部，则a 的取值范围为A ．(3,3)--B ．(,3)-∞-C ．1(,42- D ．(,4-∞ 12、设是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-时，当[2,0]x ∈-时，()()12xf x =-，若(2,6)-在区间内关于x 的方程()log (2)0(0a xf x x a -+=>且1)a ≠有且只有4个不同的根，则实数a 的范围是A ．1(,1)4B ．(1,4)C ．(1,8)D ．(8,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、已知非零向量,a b 的夹角为060，且,22b a ==，若向量a b λ-与2a b +互相垂直， 则实数λ=14、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理222c a b =+，设想正方形换成正方体， 把截线换成截面，这时从正方体截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥O ABC -，如果用123,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是15、设,x y 均为正实数，且111223x y +=++，则xy 的最小值是 16、已知数列{}n a 中，122,3a a =-=且112333n n n na a a a ++--=-，则数列{}n a 的前n 项和n S =三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，3,,,,62BC AC B BAC AE AF ππ===∠>是BAC ∠的三等分角平分线，分别交BC 于点,E F . （1）求角C 的大小； （2）求线段EF 的长.18、（本小题满分12分）在党的群众交流路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展公国进行打分评价，现获得如下数据：70,82,81,76,84,77,77,65,85,69,83,71,76,89,74, 73,83,78,82,72,86,79,76（1）根据上述数据完成样本的频率分布表；（2）根据（1）的频率分布表，完成样本频率分布直方图（3）从区间[]65,70和(85,90]中任意抽取两个评分，求两个评分来自不同区间的概率.19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上.（1）求证：1BC A B ⊥ ；（2）若P 是线段AC 上一点，2AD AB BC === ，三棱锥1A PBC -APPC的值.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，右顶点为B ，离心率e O =为坐标原点，圆222:3O x y +=与直线AB 相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(2)(0)l y k x k =-≠与椭圆C 相交于两不同点，若椭圆C 上一点P 满足//OP l ， 求EPF ∆面积的最大值及此时的2k .21、（本小题满分12分）已知函数()2(2)ln f x x a x a x =-++.（1）当1a =时，求函数()f x 的极小值；（2）设定义在D 上的函数()y g x =再点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y h x =，当0x x ≠时， 若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x = 的“转点”，当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点”，若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在平面直线坐标系xOy 中，斜率为1的直线l 过定点(2,4)--，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；（2）两曲线相交于M 、N 两点，若(2,4)P --，求PM PN +的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知函数()2132fx x x =++-，且不等式()5f x ≤的解集为43{|},,55a ax x a b R -≤≤∈. （1）求,a b 的值；（2）对任意实数x ，都有23x a x b m m -++≥-成立，求实数m 的最大值.。
河北省衡水中学高三数学下学期七调试题文(扫描版)
所以 , ，依题意， ，解得 。……………4分
(2）有(2）知 ，所以 ，又因为 ，
所以数列 是以2为首项,2为公比的等比数列，所以 ，
所以 .……………8分
(3）由（2）知，
则 .……………12分
18。解析：（1）由题意知A类学生有 （人）则B类学生有500－200=300(人）.
………4分
(2）①图二
………6分
表一
组号
分组
频数
频率
1
5
0。05
2
20
0.203Fra bibliotek250。25
4
35
0。35
5
10
0。10
6
5
0.05
合计
100
1。00
………8分
②79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是 ，79分的学生为 .
从中抽取2人，有（12）、(13）、(1a）、（23)、（2a）、（3a）共6种抽法；
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河北省衡水中学2017届高三下学期十调考试数学文试题
2016～2017学年度下学期高三年级十调考试高三年级数学试卷 （文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}2,20,1,0,1,2U Z A x Z x x B ==∈--≥=-，则()U C A B ⋂=（ ） A ．{}1,2- B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,22. .设复数z 满足()113i z i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.“()2log 231x -<”是“48x>”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4.函数2ln y x x =+的图象大致为5.已知变量,x y 满足：()220,230,20,x yx y x y z x +-≤⎧⎪-+≥=⎨⎪≥⎩则的最大值为(A)2 (B) 22 (C) 2 (D) 46、若函数()()2sin 0f x x ωω=>的图象在()0,2π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 （A ）24,33⎛⎤⎥⎝⎦ （B ）35,44⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）44,53⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）23,34⎛⎤⎥⎝⎦7. 已知函数，若f （x 1）＜f （x 2），则一定有（ ）A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．D ．8. 若输入m=8251,n=6105,则输出的m=（ ）A 73 B. 37 C 21 D 09下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 32πB. 48πC. 50πD. 64π10.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( )A ．{}1x x ≠± B ．(1,1)- C ．(,1)(1,)-∞-+∞U D ．(1,0)(0,1)-U11．.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，12,A A 是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12i P A A ∆构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．51(1,)+B ．51(2,)+C ．61(1,)+D ．61(2,)+ 12．函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，22['()]['()]0,()()0f f f f αβαβ+=+= （其中,R αβ∈且αβ≠），则下列选项中一定是方程()0f x =的根的是（ ）A ．3ba-B ．2b a-C ．3c aD ．2c a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13、已知数列{a n }中，a 1=2，且，则其前9项的和S 9= ．14．已知平面向量(0,1),(2,2),2a b a b λ=-=+=r r r r，则λ的值为15. .抛物线C ：2y =2px (p>0)的焦点为F ，A 为C 上的点，以F 为圆心，2P为半径的圆与线段AF 的交点为B ，∠AFx=60°,A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB =16、已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为 ．17、（12分）已知数列{a n }满足： ++…+=（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n a n+1，S n 为数列{b n }的前n 项和，对于任意的正整数n ，S n ＞2λ﹣恒成立，求S n 及实数λ的取值范围．18．（12分）某班级数学兴趣小组为了研究人脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据： 序号12 3 4 5 6 7 8 9 10 身高x （厘米） 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166 脚长y （码）48384043443740394639序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高x(厘米) 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170 脚长y （码） 43414043404438423941（Ⅰ）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y 关于x 的线性回归方程（Ⅱ）若“身高大于175厘米”为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”为“大码”,“脚长小于等于42码”的为“非大码”。
河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(文)试题(解析版)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知虚数单位，等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有，故选B．考点：复数的运算．2.已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.3.已知是上的奇函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质利用f（0）＝0求出a的值，然后代入计算求解即可．【详解】因为是上的奇函数，所以，得,.所以.故选：A.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用f（0）＝0是解决本题的关键，属于基础题．4.在面积为的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知正方形的边长，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为的小正方形，其概率为,故选C.5.已知，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以.，故选A.6.已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.7.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.8.已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.10.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.11.已知函数的导数为，若对任意的都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.得：,化简得,不等式两边同除以得：.有，令，,在上单调递增，,所以只需，解得，故选A.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.12.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】把放入平面直角坐标系，使起点与坐标原点重合，方向与轴正方向一致，则，设，因为，所以，所以，.设，所以,化简得：，即.点可表示圆心在，半径为的圆上的点.，所以最大值，最小值为.因为，所以，解得.所以.故选C.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格销售量由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14.将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15.在中，，点在边上，且满足，若，则__________．【答案】【解析】设，得.在中，由正弦定理可得，代入解得，.在中，，所以.由勾股定理可得，化简整理得,.所以,.16.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列前项和为，等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用，求通项；（2）分别求出和，作差比较大小即可.试题解析：（1）因为，所以当时，，所以，即，所以从第二项开始是公比为4的等比数列，即，因为，所以，解得，当时，，解得，则，所以是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为；（2）由（1）知，所以，设数列的公差为，所以，解得，所以，所以，所以．所以．18.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.【答案】（1）71.875；（2）.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可.（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为，所以40名学生中成绩在区间的学生人数为，易知成绩在区间内的人数分别为18，8，4，2，所以成绩在区间内的平均成绩为；（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为．成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：，基本事件数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间之间”的可能结果为，基本事件为数16，所以．19.如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且.（1）求的中点到平面的距离；（2）求证：平面平面．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三棱锥等体积法计算距离即可；（2）要证平面平面，只需证平面即可.试题解析：证明：（1）连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，由，得，又易知．∴的中点到平面的距离为．（2）由已知得，，则，由长方体的特征可知平面，而平面，面积，∴平面，又平面，∴平面平面．20.如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导得，讨论单调性即可；（2）若对任意及，恒有成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得.试题解析：（1），当时，，令，得或，令，得；当时，得，令，得或，令，得；当时，，综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为．（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值．．∵，整理得．∵，∴恒成立，∵，∴，∴．点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23.选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．。
【河北省衡水中学】2017届高三下学期六调数学(文科)试卷-答案
又 ，由 得 ，即 ．
因为 ，得 ．
此时， ．
因为直线 与线段 ，椭圆短轴分别交于不同点．
所以 ．即 ．
因为 ，所以 ．
两边平方得
，所以 ．
又因为 在 上单调递增．
所以 ，且 ．
即 ，且 ．
21．解：（1）当 时，有 ，
则 ．
又因为 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ，令 ，
有 且函数 在 上单调递增．
当 时，有 ，此时函数 在 上单调递增，则 ．
（ⅰ）若 即 时，有函数 在 上单调递增，
则 恒成立；------- 9分
（ⅱ）若 即 时，则在 存在 ，
此时函数 在 上单调递减， 上单调递增且 ，
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
当 时，有 ，则在 存在 ，此时 上单调递减， 上单调递增所以函数 在 上先减后增．
又 ，则函数 在 上先减后增且 ．
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
综上所述，实数 的取值范围为 ．
22．解：（1）曲线 参数方程为 ，∴其普通方程 ，
由曲线 的极坐标方程为 ，∴
∴ ，即曲线 的直角坐标方程 ．
（Ⅱ）设 两点所对应参数分别为 ，联解 得
要有两个不同的交点，则 ,即 ，由韦达定理有
衡水中学2016—2017 学年度下学期六调考试高三数学(文科)
答 案
一、选择题：
1~5．BDCAA6~10．ADBDA11~12．CA
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由 可得： ，即 ，
所以 ，解得 ．
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2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．62．（5分）已知i是虚数单位，=2i，则|z|等于（）A．1 B．C．D．3．（5分）已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（）A． B． C． D．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12B．24 C．24D．485．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数6．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．37．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8 B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）10．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m=34，那么可以估计π的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣2+3）B．（﹣∞，﹣2+3）C．（﹣，4﹣）D．（﹣∞，4﹣）12．（5分）设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x）时，当x∈[﹣2，0]时，，若（﹣2，6）在区间内关于x的方程xf（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知非零向量的夹角为60°，且，若向量与互相垂直，则实数λ=．14．（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．15．（5分）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣2，a2=3且=3，则数列{a n}的前n 项和S n=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在△ABC中，BC=3．AC=，B=，∠BAC，AE，AF 是∠BAC的三等分角平分线，分别交BC于点E，F．（1）求角C的大小；（2）求线段EF的长．18．（12分）在党的群众交流路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展公国进行打分评价，现获得如下数据：70，82，81，76，84，77，77，65，85，69，83，71，76，89，74，73，83，78，82，72，86，79，76（1）根据上述数据完成样本的频率分布表；（2）根据（1）的频率分布表，完成样本频率分布直方图（3）从区间[65，70]和（85，90]中任意抽取两个评分，求两个评分来自不同区间的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m成立，求实数m的最大值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C2．（5分）已知i是虚数单位，=2i，则|z|等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵=2i，∴z==﹣﹣i，∴|z|=1，故选：A．3．（5分）已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（）A． B． C． D．【解答】解：甲的平均数是：（71+80+81+84+85+85+87+99）=84，∴乙的平均数是（74+82+80+m+86+87+88+92+95）=86，解得：m=4，∴=[（74﹣86）2+（82﹣86）2+（84﹣86）2+（86﹣86）2+（87﹣86）2+（88﹣86）2+（92﹣86）2+（95﹣86）2]=，故选：B．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12B．24 C．24D．48【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q≠0，∵a2+a6=3，a6+a10=12，∴q4=4，∴q2=2，∴a8+a12=q6（a2+a6）=24故选：B．5．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h（x），∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，故选：A．6．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．7．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，n=2，满足进行循环的条件，第二次执行循环体后，S=，n=3，满足进行循环的条件，第三次执行循环体后，S=，n=4，满足进行循环的条件，第四次执行循环体后，S=，n=5，满足进行循环的条件，第五次执行循环体后，S=，n=6，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：B8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8 B．C．D．【解答】解：分析已知中的三视图得：几何体是正方体截去一个三棱台，∴．故选C9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）【解答】解：|AB|=5，|y A﹣y B|=4，所以|x A﹣x B|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．故选B10．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m=34，那么可以估计π的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=34，所以=﹣，所以π=．故选B．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣2+3）B．（﹣∞，﹣2+3）C．（﹣，4﹣）D．（﹣∞，4﹣）【解答】解：设C（x1，y1），D（x2，y2），∵F在以线段CD为直径的圆的外部，∴＞0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，于是（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=4x1x2﹣（a+3）（x1+x2）+3+a2＞0设l的方程为：y=（x﹣a），代入抛物线方程，得x2﹣（2a+12）x+a2=0，∴x1+x2=2a+12，x1x2=a2，∴4x1x2﹣（a+3）（x1+x2）+3+a2=3a2﹣18a﹣33＞0，故a＞2+3或a＜﹣2+3，又△=（2a+12）2﹣4a2＞0，得到a＞﹣3．∴﹣3＜a＜﹣2+3．故选：A．12．（5分）设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x）时，当x∈[﹣2，0]时，，若（﹣2，6）在区间内关于x的方程xf（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此解得：a＞8，∴a的范围是（8，+∞）故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知非零向量的夹角为60°，且，若向量与互相垂直，则实数λ=3．【解答】解：∵向量与互相垂直，∴（）（）=0，即λ+（2λ﹣1）•﹣2=λ﹣8+（2λ﹣1）×1×2×=0，解得λ=3．故答案是：3．14．（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．故答案为：．15．（5分）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为16．【解答】解：∵x、y均为正实数，且，进一步化简得xy﹣x﹣y﹣8=0．x+y=xy﹣8≥2，令t=，t2﹣2t﹣8≥0，∴t≤﹣2（舍去），或t≥4，即≥4，化简可得xy≥16，∴xy的最小值为16．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣2，a2=3且=3，则数列{a n}的前n项和S n=．【解答】解：∵a1=﹣2，a2=3且=3，∴=3，=3，=3，…，=3，累乘可得=3n，∵a2﹣3a1=3﹣3×（﹣2）=9，∴a n+2﹣3a n+1=3n+2，∴﹣=1，即数列{}为等差数列，∴=+n﹣1=n﹣，=（n﹣）•3n+1，∴a n+1∵a1=﹣2也满足上式，∴a n=（n﹣）•3n=（3n﹣5）•3n﹣1，∴S n=﹣2•30+1•31+4•32+…+（3n﹣5）•3n﹣1，∴3S n=﹣2•31+1•32+4•33+…+（3n﹣5）•3n，∴﹣2S n=﹣2+3（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（3n﹣5）•3n=﹣2+﹣（3n﹣5）•3n，∴S n=，故答案为：S n=三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在△ABC中，BC=3．AC=，B=，∠BAC，AE，AF 是∠BAC的三等分角平分线，分别交BC于点E，F．（1）求角C的大小；（2）求线段EF的长．【解答】解：（1）设∠BAE=α，则∠C=150°﹣3α，∴由正弦定理可得==，∴sin3α=，∵∠BAC，∴3α=135°，∴C=150°﹣3α=15°；（2）在△ABC中，=，∴AB=，△ABE中，=，∴BE=6﹣3．△AFC中，，∴CF=，∴EF=3﹣6+3﹣=2﹣3．18．（12分）在党的群众交流路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展公国进行打分评价，现获得如下数据：70，82，81，76，84，77，77，65，85，69，83，71，76，89，74，73，83，78，82，72，86，79，76（1）根据上述数据完成样本的频率分布表；（2）根据（1）的频率分布表，完成样本频率分布直方图（3）从区间[65，70]和（85，90]中任意抽取两个评分，求两个评分来自不同区间的概率．【解答】解：（1）根据已知数据完成样本的频率分布表；（2）根据样本的频率分布表，作出样本频率分布直方图，得：（3）设在[65，70）内的3个评分为a，b，c，在[85，90]内的2个评分为A，B，则所有的抽法有：ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cB，AB，共计10种，而两个评分来自不同区间的有6种，∴两个评分来自不同区间的概率为P=．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．【解答】解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ay﹣ab=0因为圆O与直线AB相切，所以，…①…（2分）设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，，所以…②…（3分）由①②得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：…（5分）（Ⅱ）由可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，…（7分）所以又点O到直线EF的距离，∵OP∥l，∴=…（10分）又因为，又k≠0，∴令t=1+2k2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF的面积的最大值为…（13分）21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；=﹣+ln，∴x=时，f（x）极大值x=1时，f（x）极小值=﹣2；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，x0=2时，F′（x）=（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，即点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）若x，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣，即﹣；若﹣，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即﹣；若x≥，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得x≤，即综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为[﹣，]，所以a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m2﹣3m≤3，m2﹣3m﹣3≤0，所以≤m≤，即实数m的最大值为．。