2006年全国高中数学联赛试题及解答

x＞0，x≠1 1 解：因为 2 ，解得 x＞ 且 x≠1．由 logx(2x2＋x－1)＞logx2－1， 2 2x ＋x－1＞0 0＜x＜1， x＞1， logx(2x3＋x2－x)＞logx2 3 2 或 3 2 ．解得 0＜x＜1 或 x＞1． 2x ＋x －x＜2 2x ＋x －x＞2
1 10．底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层 2 两球与容器底面相切. 现往容器里注水， 使水面恰好浸没所有铁球， 则需要注水 1 2 填( ＋ )π． 3 2 解：设四个实心铁球的球心为 O1，O2，O3，O4，其中 O1，O2 为下层两球的球心，A，B，C，D 分别为四个球心在底面的射影．则 ABCD 是一个边长为 水 π(1＋ 2 4 1 1 2 )－4× π( )3＝( ＋ )π． 2 3 2 3 2 ． 2 2 的正方形。所以注水高为 1＋ ．故应注 2 2 cm3．
x2 y2 9． 已知椭圆 ＋ ＝1 的左右焦点分别为 F1 与 F2， 点 P 在直线 l： x－ 3y＋8＋2 3＝0 上. 当∠F1PF2 16 4 |PF1| 取最大值时，比 的值为 |PF2| ．
填 3－1．. 解：由平面几何知，要使∠F1PF2 最大，则过 F1，F2，P 三点的圆必定和直线 l 相切于点 P．直 线 l 交 x 轴于 A(－8－2 3，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即 |PF1| |AP| ＝ |PF2| |AF2| 又由圆幂定理， |AP|2＝|AF1|·|AF2| |PF1| 代入⑴，⑵得， ＝ |PF2| |AF1| ＝ |AF2| 8 ＝ 4－2 3＝ 3－1． 8＋4 3 ⑵ 而 F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，A(－8－2 3，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋4 3． ⑴
·2·
．
1 1 9 1 1 1 9 f(x)＝g(t)＝1－ t－ t2＝ － (t＋ )2．因此－min g(t)＝g(1)＝0，－max g(t)＝g(－ )＝ ． 1≤t≤1 1≤t≤1 2 2 8 2 2 2 8 9 故，f(x)∈[0， ]． 8 8. 若对一切 θ∈R， 复数 z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i 的模不超过 2， 则实数 a 的取值范围为 填[－ 5 5 ， ]． 5 5 ．
2006 k＝0
－k
从而得 1 2006 1 3 A＝C2006 92005＋C2006 92003＋…＋C2005 －82006)． 20069＝2(10
二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分)
7. 设 f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则 f(x)的值域是 9 填[0， ]． 8 1 1 解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－ sin2x－ sin22x．令 t＝sin2x，则 2 2
解：依题意，得|z|≤2(a＋cosθ)2＋(2a－sinθ)2≤42a(cosθ－2sinθ)≤3－5a2． －2 5asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin 2 5|a|≤3－5a2|a|≤ 5 )对任意实数 θ 成立． 5
5 5 5 ，故 a 的取值范围为[－ ， ]． 5 5 5
答 B． 2005 2003 解：出现奇数个 9 的十进制数个数有 A＝C1 ＋C3 ＋…＋C2005 2006 9 2006 9 2006 9．又由于
2006 k k 2006 (9＋1)2006＝ Σ Ck 以及(9－1)2006＝ Σ Ck 2006 9 2006 (－1) 9
－
2006 k＝ 0
11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005 的实数解的个数为 填 1． 解：(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005(x＋ x
1 2 4 2004 )＝2006 2005)(1＋x ＋x ＋…＋x
·3·
x＋x3＋x5＋…＋x2005＋
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1 B．x＞ 且 x≠1 2
C． x＞1
D． 0＜x＜1
1 所以 x 的取值范围为 x＞ 且 x≠1． 2 3．已知集合 A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且 A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a， b)的个数为 A．20 B．25 C．30 D．42 答 C． a b 解：5x－a≤0x≤ ；6x－b＞0x＞ ．要使 A∩B∩N＝{2，3，4}，则 5 6
1≤i＜j≤5
|xi－xj|≤1
Σ
xixj＝x1x2＋(x1＋x2)(x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5
同时有 S＝x1x2＋(x1＋x2)((x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5．于是有 S－S＝x1x2－x1x2＞0．这与 S 在 x1，x2，x3，x4，x5 时取到最大值矛盾．所以必有|xi－xj|≤1，(1≤i，j≤5)． 因此当 x1＝402，x2＝x3＝x4＝x5＝401 时 S 取到最大值． ……………………(10 分) ⑵ 当 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且|xi－xj|≤2 时，只有 （I） 402， 402， 402， 400， 400； （II） 402， 402， 401， 401， 400； （III） 402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求． ……………………(15 分) 而后两种情形是由第一组作 xi＝xi－1，xj＝xj＋1 调整下得到的．根据上一小题的证明可知道，
1 所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数 m，km＝xm 0 ＋xm是正整数，且 km≥2 0 1 2 m 现在对于任意正整数 m，取 k＝xm ym 0 ＋xm，满足 k≥2，且使得 y ＝kx－1 与 y＝x 的交点为(x 0 ， 0 )．…… 0 (20 分) 14．将 2006 表示成 5 个正整数 x1，x2，x3，x4，x5 之和．记 S＝
一、选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分)
→ → → 1．已知△ABC，若对任意 t∈R， BA －t BC ≥ AC ，则△ABC 一定为 A．锐角三角形 答 C． B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定
|
| | | |
→ → → 解：令∠ABC＝α，过 A 作 AD⊥BC 于 D，由 BA －t BC ≥ AC ，推出 BA · BC → → → → |→ BA | －2t BA · BC ＋t | BC | ≥| AC | ,令 t＝ ，代入上式，得 |→ BC |
2006 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说 明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档； 其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加Βιβλιοθήκη Baidu他中间档次. 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标 准适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次.
1≤i＜j≤5
Σ
xixj．问：
⑴ 当 x1，x2，x3，x4，x5 取何值时，S 取到最大值； ⑵ 进一步地，对任意 1≤i，j≤5 有|xi－xj|≤2，当 x1，x2，x3，x4，x5 取何值时，S 取到最小值. 说明理由． 解：(1) 首先这样的 S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006， 且使 S＝
1≤i＜j≤5
Σ
xixj 取到最大值，则必有
(1≤i，j≤5) ………(5 分) (*) 事实上， 假设(*)不成立， 不妨假设 x1－x2≥2， 则令 x1＝x1－1， x2＝x2＋1， xi＝xi (i＝3， 4， 5)． 有 x1＋x2＝x1＋x2，x1·x2＝x1x2＋x1－x2－1＞x1x2．将 S 改写成 S＝
|→ DF |＝
2 2 t2 1 ＋t2 ＝ 5t2 －4t2＋1＝
22 1 1 → 5(t2－ ) ＋ ，从而有 ≤ DF ＜1． 5 5 5
| |
5．设 f(x)＝x3＋log2(x＋ x2＋1)，则对任意实数 a，b，a＋b≥0 是 f(a)＋f(b)≥0 的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答 A． 解：显然 f(x)＝x3＋log2(x＋ x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是 若 a＋b≥0，则 a≥－b，有 f(a)≥f(－b)，即 f(a)≥－f(b)，从而有 f(a)＋f(b)≥0． 反之，若 f(a)＋f(b)≥0，则 f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出 a≥－b，即 a＋b≥0． － 6．数码 a1，a2，a3，…，a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2…a2006 的个数为 1 A． (102006＋82006) 2 1 B． (102006－82006) 2 C．102006＋82006 D．102006－82006
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三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）
13. 给定整数 n≥2，设 M0(x0，y0)是抛物线 y2＝nx－1 与直线 y＝x 的一个交点. 试证明对于任意正整 2 m 数 m，必存在整数 k≥2，使(xm 0 ，y 0 )为抛物线 y ＝kx－1 与直线 y＝x 的一个交点． n± n2－4 1 证明：因为 y2＝nx－1 与 y＝x 的交点为 x0＝y0＝ ．显然有 x0＋ =n≥2．…(5 分) 2 x0 1 2 m m 若(xm 0 ，y 0 )为抛物线 y ＝kx－1 与直线 y＝x 的一个交点，则 k＝x 0 ＋xm．………(10 分) 0 1 记 km＝xm 0 ＋xm， 0 1 1 2 2 由于 k1＝n 是整数，k2＝x2 0＋x2＝(x0＋x ) －2＝n －2 也是整数， 0 0 且 1 km＋1＝km(x0＋ )－km－1＝nkm－km－1，(m≥2) x0 (13.1)
2
| | |
→
2
2
2
2
→
→ → → → → |→ BA | －2| BA | cos α＋| BA | cos α≥| AC | ，即 | BA | sin α≥| AC | ,
2 2
2
2
2
2
2
2
2
π → → → → 也即 BA sinα≥ AC ．从而有 AD ≥ AC ．由此可得∠ACB＝ ． 2 2．设 logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则 x 的取值范围为 1 A． ＜x＜1 2 答 B．
1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2006，故 x＞0，否则左边＜0． x2005 x2003 x2001 x
1 1 1 2006＝x＋ ＋x3＋ 3＋…＋x2005＋ 2005≥2×1003＝2006． x x x 等号当且仅当 x＝1 时成立． 所以 x＝1 是原方程的全部解．因此原方程的实数解个数为 1． 12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回 1 个白球，则第 4 次恰好取完 所有红球的概率为 ． 填 0.0434． 解：第 4 次恰好取完所有红球的概率为 2 9 1 8 2 9 1 8 2 1 ×( )2× ＋ × × × ＋( )2× × ＝0.0434． 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
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1≤6＜2， 6≤b＜12， 所以数对(a，b)共有 C1C1＝30 个． a ，即 20≤a＜25． 4≤5＜5
6 5
b
π 4．在直三棱柱 A1B1C1－ABC 中，∠BAC＝ ，AB＝AC＝AA1＝1．已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的 2 中点，D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点)．若 GD⊥EF，则线段 DF 的长度的取 值范围为 1 1 1 A．[ ，1) B．[ ，2) C．[1， 2) D．[ ， 2) 5 5 5 答 A． 解：建立直角坐标系，以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为 z 轴，则 F(t1，0，0)(0 1 1 1 → 1 → ＜t1＜1)，E(0，1， )，G( ，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以 EF ＝(t1，－1，－ )，GD ＝(－ ， 2 2 2 2 1 → t2，－1)．因为 GD⊥EF，所以 t1＋2t2＝1，由此推出 0＜t2＜ ．又 DF ＝(t1，－t2，0)， 2