树的定义和基本术语 二叉树
数据结构(C语言版)严蔚敏第6章 树和二叉树
⑷ 孩子结点、双亲结点、兄弟结点
一个结点的子树的根称为该结点的孩子结点(child) 或子结点；相应地，该结点是其孩子结点的双亲结点 (parent)或父结点。
4
如图6-1(b)中结点B 、C、D是结点A的子结点，而结 点A是结点B 、C、D的父结点；类似地结点E 、F是结 点B的子结点，结点B是结点E 、F的父结点。
这是树的递归定义，即用树来定义树，而只有 一个结点的树必定仅由根组成，如图6-1(a)所示。
2
2 树的基本术语
⑴ 结点(node)：一个数据元素及其若干指向其子树的分支。 ⑵ 结点的度(degree) 、树的度：结点所拥有的子树
的棵数称为结点的度。树中结点度的最大值称为树的度。
A
B
C
D
A
E
F G HI J
同一双亲结点的所有子结点互称为兄弟结点。
如图6-1(b)中结点B 、C、D是兄弟结点；结点E 、 F是兄弟结点。
⑸ 层次、堂兄弟结点
规定树中根结点的层次为1，其余结点的层次等于 其双亲结点的层次加1。
若某结点在第l(l≧1)层，则其子结点在第l+1层。
双亲结点在同一层上的所有结点互称为堂兄弟结点。 如图6-1(b)中结点E、F、G、H、I、J。
(a) 只有根结点
K
LM N
图6-1 树的示例形式
(b) 一般的树
3
如图6-1(b)中结点A的度是3 ，结点B的度是2 ，结点 M的度是0，树的度是3 。
⑶ 叶子(left)结点、非叶子结点：树中度为0的
结点称为叶子结点(或终端结点)。相对应地，度不为 0的结点称为非叶子结点(或非终端结点或分支结点)。 除根结点外，分支结点又称为内部结点。
第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。
树和二叉树 PPT课件
C
E
D
F
C
D
C
D
F
E F 二叉链表
E
二叉树
三叉链表
三叉链表的静态结构
root data parent lchild rchild 0 1 2 3 4 5 A B C D E F -1 0 1 1 3 3 1 2 -1 4 -1 -1 -1 3 -1 5 -1 -1
A
B C E D F
0
1 3 7 8 9 4 5
2 6
4. 二叉树的存储结构
顺序表示
1
2 4 5 6 3 7 7 4 8 2 5 9 1 3 6 10 9
8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 910
完全二叉树 的顺序表示
1 2 3 4 0 5 6 7 8 0 0 0 0 910
一般二叉树 的顺序表示
链表表示
第六章 树和二叉树
1. 2. 3. 4. 5. 6.
树的定义和基本术语 二叉树 遍历二叉树与线索二叉树 树与森林 赫夫曼树 及其应用 二叉树的计数
6.1 树的定义和基本术语
树的定义
树是由 n (n 0) 个结点组成的有限集合。如果 n = 0， 称为空树；如果 n > 0，则 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直 接后继，但没有直接前驱； 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不 相交的有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合Ti本身又是一 棵树，并且称为根的子树(SubTree)。
特点
每个结点至多只有两棵非空子树（二叉树中 不存在度大于2的结点）
2.五种形态
说明树与二叉树的主要区别
说明树与二叉树的主要区别摘要：一、引言二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点2.二叉树的定义及特点三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定2.节点连接方式的差异3.遍历方式的差异四、实例分析1.满二叉树与满树的对比2.完全二叉树与完全树的对比五、总结与展望正文：一、引言在计算机科学中，树和二叉树是广泛应用于数据结构和组织的重要概念。
尽管它们在某些方面具有相似之处，但它们之间仍存在显著差异。
本文将详细介绍树与二叉树的主要区别，以帮助读者更好地理解这两种数据结构。
二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由若干个节点组成，这些节点通过边连接在一起。
树中最顶层的节点称为根节点，最底层的节点称为叶节点，中间层节点称为内部节点。
树具有以下特点：（1）只有一个根节点。
（2）每个节点最多有若干个子节点，最少有一个子节点（除了根节点）。
（3）节点之间的连接顺序呈层次结构。
2.二叉树的定义及特点二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
根据这个定义，二叉树可以进一步细分为满二叉树、完全二叉树和不完全二叉树等。
二叉树具有以下特点：（1）每个节点最多有两个子节点。
（2）节点之间的连接呈二叉树结构。
三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定树中每个节点可以有任意数量的子节点，而二叉树中每个节点最多有两个子节点。
这是树与二叉树最明显的区别。
2.节点连接方式的差异树中节点之间的连接顺序呈层次结构，呈放射状分布。
而二叉树中节点之间的连接呈二叉树结构，呈线性分布。
3.遍历方式的差异树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
不过，二叉树的遍历方式通常与树的遍历方式有所不同。
四、实例分析1.满二叉树与满树的对比满二叉树是一种特殊的二叉树，其每个节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在同一层。
树与二叉树h
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
数据结构之二叉树（BinaryTree）
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
树和二叉树的知识点总结
树和二叉树的知识点总结一、树的基本概念1. 树的定义：树是一种非线性数据结构，由 n（n>=1）个结点组成的有限集合。
对于每个非终端节点，都有一个被称为根的结点，且除根节点外，其他结点可以分为 m（m>=0）个互不相交的子集合，而每个子集合本身又是一个树。
2. 树的基本特点：树是一种分层数据的抽象模型，具有层级关系的数据结构。
树的结点包括根结点、子节点、叶子结点、父节点等。
3. 树的术语解释：树的根节点是树的顶端结点，没有父节点；子节点是一个结点向下连接的结点；叶子结点是没有子节点的结点；父节点是有一个或多个子节点的结点。
二、树的分类1. 二叉树：一种特殊的树，每个结点最多有两个子结点，分别为左子结点和右子结点。
二叉树的子树有左子树和右子树，必须遵循左子树 < 根节点 < 右子树的顺序。
2. 平衡树：每个结点的左子树和右子树的高度之差不能超过1的二叉树。
3. 满二叉树：每个结点要么没有子节点，要么有两个子节点的二叉树。
4. 完全二叉树：除了最底层，所有层的结点数都达到最大，并且最底层的结点都依次从左到右排列。
三、二叉树的基本概念1. 二叉树的特点：每个结点最多有两个子结点，分别为左子结点和右子结点。
二叉树的子树都遵循左子树 < 根节点 < 右子树的顺序。
2. 二叉树的遍历：分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历先访问根节点，再递归左右子树；中序遍历先递归左子树，再访问根节点，最后递归右子树；后序遍历先递归左右子树，最后访问根节点。
3. 二叉树的存储：二叉树的存储方式可以采用链式存储和顺序存储。
链式存储是通过结点间的指针链接，顺序存储是通过数组或列表进行存储。
四、二叉树的应用1. 二叉搜索树：是一种特殊的二叉树结构，对于任意节点，其左子树上的结点值都小于该节点的值，右子树上的结点值都大于该节点的值。
2. 堆：是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆。
最大堆的每个结点的值都大于或等于其子节点的值，最小堆的每个结点的值都小于或等于其子节点的值。
树和二叉树的基本知识
树和二叉树的基本知识Jsoi2006春季函授 B层次讲义（3）常州市第一中学林厚从 1/53树和二叉树的基本知识树是一种非线性的数据结构，用它能很好地描述有分支和层次特性的数据集合。
树型结构在现实世界中广泛存在，如把一个家族看作为一棵树，树中的结点为家族成员的姓名及相关信息，树中的关系为父子关系，即父亲是儿子的前驱，儿子是父亲的后继；把一个国家或一个地区的各级行政区划分看作为一棵树，树中的结点为行政区的名称及相关信息，树中的关系为上下级关系，如一个城市包含有若干个区，每个区又包含有若干个街道，每个街道又包含有若干个居委会；把一本书的结构看作是一棵树，树中的结点为书、章、节的名称及相关信息，树中的关系为包含关系。
树在计算机领域中也有广泛应用，如在编译系统中，用树表示源程序的语法结构；在数据库系统中，树型结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。
在许多算法中，常用树型结构描述问题的求解过程、所有解的状态和求解的对策等。
在树型结构中，二叉树是最常用的结构，它的分支个数确定，又可以为空，具有良好的递归特性，特别适宜于程序设计，因此我们常常将一般树型结构转换成二叉树进行处理。
第一节树一、树的定义一棵树（tree）是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中：1．每个元素称为结点(node)；2．有一个特定的结点，称为根结点或树根（root）；3．除根结点外，其余结点被分成m（m>=0）个互不相交的有限集合T0,T1,T2,……Tm-1，而每一个子集Ti又都是一棵树（称为原树的子树subtree）。
图1图1就是一棵典型的树结构。
从树的定义可以看出：1．树是递归定义的，这就决定了树的操作和应用大都是采用递归思想来解决；2．一棵树中至少有1个结点，这个结点就是根结点，如上图中的结点1；3．只有根结点没有前趋结点，其余每个结点都有唯一的一个前趋结点；4．所有结点都可以有0或多个后继结点；二、树的基本概念下面以图1为例给出树结构中的一些基本概念：1．一个结点的子树个数，称为这个结点的度（degree），如结点1的度为3，结点3的度为0。
云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
2021/8/16
3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
树和二叉树知识考点整理
树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。
●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。
二叉树
6-2-2 二叉树的基本操作与存储实现
1、二叉树的基本操作 Initiate(bt)
Create(x, lbt, rbt)
InsertL(bt, x, parent) InsertR(bt, x, parent) DeleteL(bt,parent) DeleteR(bt,parent)
Search(bt,x)
BiTree DeleteL(BiTree bt, BiTree parent){ BiTree p; if(parent==NULL||parent->lchild==NULL){ cout<<“删除出错”<<endl; return NULL; } p=parent->lchild; parent->lchild =NULL; delete p; return bt ; }
a b c e 0 1 2 3 4 5 a b c d e ^ 6 7 8 9 10 ^ ^ ^ f g
d
f
g
特点：结点间关系蕴含在其存储位置中。浪费空间， 适于存满二叉树和完全二叉树。
二、链式存储结构 1、二叉链表存储法
A
B C E G D B A ^
lchild data rchild
F
^ C ^ typedef struct BiTNode { DataType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; }BiTNode, *BiTree; ^ E
二叉树的五种基本形态
A
A
A B
A
B 空二叉树
B
C 左、右子树 均非空
只有根结点 的二叉树
右子树为空
左子树为空
数据结构PPT(树和二叉树)
徽 理
第6章 树和二叉树
工
大 本章学习导读
学
树型结构是一类重要的非线性结构。它的特点是结点之
间有分支，并具有明显的层次关系的结构。树在计算机领
域中有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源
程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；
在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。
本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算，并研究
假设对所有j， 1≤j﹤i，命题成立，即第j层上至多有2 j-1 个
结点。
由归纳假设第i-1 层上至多有 2i -2个结点。
由于二叉树的每个结点的度至多为2，故在第i层上的最大结
点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2×2i -2= 2 i-1。
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质2 深度为 k 的二叉树至多有 2 k-1个结点(k ≥1)。
一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实
例。
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直
接后继，但没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不
相交的有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵 树，并且称为根的子树(SubTree)。
安
徽 理
树的示例
A
工
B
C
D
大
学
E
第5章 树和二叉树
B A
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
T1
T2
M
2015年10月20日
T3
树的其它表示方式
A D K L F C G E B H M J I
A
A B E K L F C G
B C D
嵌套集合
E
D H M
F
G
H
I
J
I J
K
L
M
凹入表示
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
广义表
2015年10月20日
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉树的链式存储
PARENT
lchild
data
rchild
DATA
lchild
data
parent rchild
LCHILD
RCHILD
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉链表
A A ^ B D lchild data rchild
B
C
E
G
F
二叉树的五种不同形态
2015年10月20日
练习
具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 5种/2种
2015年10月20日
二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 ④ …… //关于左子树和右子树的说明 //至少有20个 基本操作 P： }ADT BinaryTree
树的基本术语
树的基本术语一、树的定义树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由n（n>=1）个节点组成的有限集合。
其中，有且只有一个节点被称为根节点，其余节点被分为若干互不相交的、且看作一个整体（子树）来处理的、有限集合。
二、树的基本术语为了更好地理解树的概念，我们需要了解一些树的基本术语：1. 节点（Node）节点是树的基本构成单元，每个节点包含数据和指向其他节点的指针或引用。
节点可以有零个或多个子节点。
2. 根节点（Root）根节点是树的顶端节点，它是树中唯一一个没有父节点的节点。
根节点用于标识树的起点。
3. 父节点（Parent）一个节点的直接上层节点称为其父节点。
一个节点可以有零个或一个父节点。
4. 子节点（Child）一个节点的直接下层节点称为其子节点。
一个节点可以有零个或多个子节点。
5. 兄弟节点（Sibling）拥有共同父节点的节点称为兄弟节点。
兄弟节点之间的关系是平等的。
6. 叶节点（Leaf）没有子节点的节点称为叶节点，也可以叫做终端节点。
7. 子树（Subtree）子树是由一个节点及其所有子孙节点组成的树。
每个子节点可以看作是该子树的根节点。
8. 深度（Depth）节点的深度是指从根节点到该节点的唯一路径上的边的数量。
根节点的深度为0。
9. 高度（Height）节点的高度是指从该节点到最深叶节点的路径上的边的数量。
叶节点的高度为0。
整棵树的高度是指根节点的高度。
10. 祖先节点（Ancestor）一个节点的祖先节点是从根节点到该节点的路径上的所有节点。
11. 后代节点（Descendant）一个节点的后代节点是从该节点到叶节点的所有节点。
三、树的分类树可以分为多种不同的类型，常见的树包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
1. 二叉树（Binary Tree）二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以是空树，也可以是非空树。
2. 二叉搜索树（Binary Search Tree）二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中任意节点的左子树中的值都小于该节点的值，任意节点的右子树中的值都大于该节点的值。
树,二叉树,森林
二叉树
二叉树性质（续） ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明：
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时，整个二叉树的结点数 才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时（性质 2），对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组， 对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子 结点序号都可由公式计算得到，具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
A B E K L F C G H M D I J
back
树的基本概念
3、树的表示方法 （4种）
树形表示 文氏图表示 凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型，许多实际问题抽象 出来的数据结构都是二叉树的形式，此外一般的树也可以 简单的转换为二叉树，因此二叉树是特别重要的一种树结 构。 1、二叉树的定义： 二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个有限结点构成、 每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点 和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树 构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法（二叉链表表示法）： 链表中每个结点设有两个链域，分别指向该结点的第一个孩 子结点和下一个兄弟（右兄弟）结点。
树、森林和二叉树的关系
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
第五章二叉树-.ppt
1
2
3
4
5
6
7
图5.9 满二叉树
则称这样的二叉树为完全二叉树，图5.10（b）、 (c）是2棵非完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的 特例。
1
2
3
45
6
(a)完全二叉树
1
2
3
4
5
7
(b)非完全二叉树
图5.10 完全二叉树
1
2
3
6
7
( c)非完全二叉树
完全二叉树的特点是：
（1)所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。
n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。
设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数 为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以
有：N＝n0＋n1＋n2
(5-1)
再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都
有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，
则有：N＝B＋1。
由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所有有： B＝n1+2*n2 N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 （5－2)
5.1 树的定义和基本术语
定义：树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，T为 空时称为空树，否则它满足如下两个条件：
（1）有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
(2)其余的结点可分为m(m>=0)个互
不相交的子集T1,T2,T3…Tm，其中每 个子集又是一棵树，并称其为子树
(Subtree)。
第五章 二叉树
树型结构是一类重要的非线性结构。树型结 构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构， 它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界 国是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可 用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛 的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序 的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信 息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行 过程。等等。
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6.1 6.2 树的定义和基本术语二叉树
一、选择题
1. 设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶子
数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
2. 在下述结论中，正确的是（）
①只有一个结点的二叉树的度为0; ②二叉树的度为2；③二叉树的左右子树可任意
交换;
④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①④
3．若一棵二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数是（）A．9 B．11 C．15 D．不确定
4．在一棵三元树中度为3的结点数为2个，度为2的结点数为1个，度为1的结点数为2
个，则度为0的结点数为（）个
A．4 B．5 C．6 D．7
5．具有10个叶结点的二叉树中有（）个度为2的结点，
A．8 B．9 C．10 D．ll
6．一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（）
A． 250 B． 500 C．254 D．505 E．以上答案都不对
7、现有一“遗传”关系：设x是y的父亲，则x可以把它的属性遗传给y。
表示遗传关系
最适合的数据结构为（）
A.向量
B.树
C.图
D.二叉树
8、在下列存储形式中，（）不是树的存储形式。
A.双亲表示法
B.孩子链表表示法
C.孩子兄弟表示法
D.顺序存储表示法
9. 有关二叉树下列说法正确的是（）
A．二叉树的度为2 B．一棵二叉树的度可以小于2 C．二叉树中至少有一个结点的度为2 D．二叉树中任何一个结点的度都为2
10．二叉树的第I层上最多含有结点数为（）
A．2I B． 2I-1-1 C． 2I-1 D．2I -1
11. 一个具有1025个结点的二叉树的高h为（）
A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间
12．一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有( )结点A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+1
13．深度为h的满m叉树的第k层有（）个结点。
(1=<k=<h)
A．m k-1 B．m k-1 C．m h-1 D．m h-1
14．在一棵高度为k的满二叉树中，结点总数为（）
A．2k-1 B．2k C．2k-1 D．⎣log2k⎦+1
15．高度为 K的二叉树最大的结点数为（）。
A．2k B．2k-1 C．2k -1 D．2k-1-1
16. 一棵高为K的完全二叉树至少有（）个结点
A．2k–1 B. 2k-1–1 C. 2k-1 D. 2k
17. 将有关二叉树的概念推广到三叉树，则一棵有244个结点的完全三叉树的高度（）
A．4 B．5 C．6 D．7
18．在完全二叉树中，若一个结点是叶结点，则它没（）。
A．左子结点 B．右子结点 C．左子结点和右子结点 D．左子结点，右子结点和兄弟结点
二、填空题
1、一棵度为3的树中，有3度节点100个，有2度节点200个，有叶子节点（ 401）个。
2、一棵树中有1个度为1的节点，2个度为2的节点，3个度为3的节点，4个度为4的节
点，试推导该树叶子节点的个数。
（ 21 ）
3、若一棵度为7的树有8个度为1的节点，有7个度为2的节点，有6个度为3的节点，
有5个度为4的节点，有4个度为5的节点，有3个度为6的节点，有2个度为7的节点，该树一共有（ 78 ）个叶子节点。
4、n（n>1）个节点的各棵树中，其深度最小的那棵树的深度为（ 2 ），它共有（ n-1 ）
个叶节点和（ 1 ）个非叶子节点，其中深度最大的那棵树的深度是（ n ），它共有（ 1 ）个叶子节点和（ n-1 ）个非叶子节点。
5．二叉树由_(1)__，__(2)_，_(3)__三个基本单元组成。
6．在二叉树中，指针p所指结点为叶子结点的条件是______。
7具有256个结点的完全二叉树的深度为______。
8．已知一棵度为3的树有2个度为1的结点，3个度为2的结点，4个度为3的结点，则该树有______个叶子结点。
9．深度为k的完全二叉树至少有___(1)____个结点，至多有___(2)____个结点。
10．一棵有n个结点的满二叉树有__(1)_个度为1的结点、有__(2)_个分支（非终端）结点和__(3)_个叶子，该满二叉树的深度为_(4)__。
11．假设根结点的层数为１，具有ｎ个结点的二叉树的最大高度是______。
12．在一棵二叉树中，度为零的结点的个数为N0,度为2的结点的个数为N2,则有N0 =______ 13．设只含根结点的二叉树的高度为0，则高度为k的二叉树的最大结点数为______,最小结点数为______。
14．高度为K的完全二叉树至少有______个叶子结点。
15．高度为8的完全二叉树至少有______个叶子结点。
16．已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少是______。
17．一个有2001个结点的完全二叉树的高度为______。
18．如某二叉树有20个叶子结点，有30个结点仅有一个孩子，则该二叉树的总结点数为______。
19．如果结点A有 3个兄弟，而且B是A的双亲，则B的度是______。
20．完全二叉树中，结点个数为n，则编号最大的分支结点的编号为______。
21．设一棵完全二叉树叶子结点数为k,最后一层结点数>2，则该二叉树的高度为______。
22．对于一个具有n个结点的二叉树，当它为一棵_(1)_二叉树时具有最小高度，当它为一棵_(2)_时，具有最大高度。
23．具有N个结点的二叉树，采用二叉链表存储，共有______个空链域。
24．8层完全二叉树至少有______个结点，拥有100个结点的完全二叉树的最大层数为______。
25、已知一棵度为m的树中，有n
1个度为1的节点，有n
2
个度为2的节点，……有n
m
个为
度m的节点，问该树共有多少个叶子节点？
26、一棵共有n个节点的树，其中所有分支节点的度均为k，则该树中叶子节点有多少？。