高中数学人教a版高二选修4-1章末综合测评1 含解析

高中数学人教a 版高二选修4-1章末综合测评1 含解析章末综合测评(一) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图1，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：图1①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ；③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF. 其中正确式子的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【解析】 由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B. 【答案】 B2．如图2，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )图2A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5【解析】 由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC .∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝19，∴AD AB ＝13， ∴AD ∶DB ＝1∶2. 【答案】 C3．如图3所示，将△ABC 的高AD 三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3等于( )图3A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．1∶3∶5D ．3∶5∶7【解析】 如图所示，E ，F 分别为△ABC 高AD 的三等分点，过点E 作BC 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，过点F 作BC 的平行线交AB ，AC 于点G ，H .△AMN ∽△ABC ，S △AMN S △ABC ＝19，∴S 1＝19S △ABC .又△AGH ∽△ABC ，S △AGH S △ABC ＝49，S △AGH ＝S 1＋S 2，∴S 1＋S 2＝49S △ABC ，∴S 2＝39S △ABC ，∴S 3＝59S △ABC ，∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶3∶5，故选C. 【答案】 C4．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD ＝3CE ，DE 交BC 于F ，则DF ∶FE 等于( )图4A ．5∶2B ．2∶1C ．3∶1D ．4∶1【解析】 过D 作DG ∥AC ，交BC 于G ，则DG ＝DB ＝3CE ， 即CE ∶DG ＝1∶3. 易知△DFG ∽△EFC ， ∴DF ∶FE ＝DG ∶CE ， 所以DF ∶FE ＝3∶1. 【答案】 C5．如图5所示，梯形ABCD 的对角线交于点O ，则下列四个结论：图5①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△ACB ； ③S △DOC ∶S △AOD ＝CD ∶AB ； ④S △AOD ＝S △BOC . 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，①正确．由①知，DC AB ＝OCOA.S △DOC ∶S△AOD＝OC ∶OA ＝CD ∶AB ，③正确．∵S△ADC ＝S△BCD，∴S△ADC －S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD ＝S△BOC，④正确．故①③④正确．【答案】 C6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高()图6A．11.25 m B．6.6 mC．8 m D．10.5 m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝8 m.【答案】 C7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为()图7A．4 cm B．5 cmC．6 cm D．7 cm【解析】∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA.∴S△ABE ∶S△DBA＝AB2∶DB2.∵S△ABE ∶S△DBA＝1∶5，∴AB2∶DB2＝1∶5，∴AB ∶DB ＝1∶ 5.设AB ＝k ，DB ＝5k ，则AD ＝2k . ∵S 矩形＝40 cm 2，∴k ·2k ＝40， ∴k ＝25，∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45，S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，即12×10·AE ＝20，∴AE ＝4 cm. 【答案】 A8．如图8，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 △ABC 的面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′是( )图8A.2－1B.22C ．1D.12【解析】 由题意可知，阴影部分与△ABC 相似，且等于△ABC 面积的12，∴A ′B ∶AB ＝12＝1∶ 2. 又∵AB ＝2，∴A ′B ＝1， ∴AA ′＝2－1. 【答案】 A9．如图9所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD ＝( )图9A.13 B.14 C.23D.25【解析】 设CD ＝3，则AD ＝3，BD ＝1，∴BD AD ＝13.【答案】 A10．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，则AD 的长为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】 如图，连接AC ，CB.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， 由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0， 解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9. 【答案】 B11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，还需资金( )图10A ．500元B ．1 500元C ．1 800元D ．2 000元【解析】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△AMD ∽△BMC ， AD ＝10 m ，BC ＝20 m ， S △AMD S △BMC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10202＝14， ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)，∴S △BMC ＝200 m 2， 则还需要资金200×10＝2 000(元)． 【答案】 D12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为( )图11A ．1∶ 2B ．1∶ 3 C.2∶1D.3∶1【解析】 ∵矩形AEFB ∽矩形ABCD ，∴BF ∶AB ＝AB ∶AD . ∵BF ＝12AD ，∴AB 2＝12AD 2，∴AD ∶AB ＝2∶1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13．如图12，已知DE ∥BC ，且BF ∶EF ＝4∶3，则AC ∶AE ＝________.图12【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴BC DE ＝BFEF ， 同理AC AE ＝BC DE，∴AC AE ＝BC DE ＝BF EF ＝43. 【答案】 4∶314．如图13，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于________米.图13【解析】 如图，GC ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴GC ∥AB.∴△GCD ∽△ABD ，∴DC DB ＝GC AB. 设BC ＝x ，则1x ＋1＝1.5AB ，同理，得2x ＋5＝1.5AB. ∴1x ＋1＝2x ＋5，∴x ＝3，∴13＋1＝1.5AB ， ∴AB ＝6(米)． 【答案】 615．如图14所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE 是AC 边上的中线，且AD ，BE 交于点G ，那么S △BDGS △ABC＝________.图14【解析】 ∵AD ，BE 是△ABC 的中线，且AD 交BE 于G ，∴G 是△ABC 的重心，∴DG AD ＝13， ∴S △BDG S △ABD ＝13， 又∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，∴S △BDG S △ABC ＝16. 【答案】1616．如图15，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝________.图15【解析】 法一：因为AB ＝3，BC ＝3，所以AC ＝32＋(3)2＝23，tan ∠BAC ＝33＝3，所以∠BAC ＝π3.在Rt △BAE 中，AE ＝AB cos π3＝32，则CE ＝23－32＝332.在△ECD 中，DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD cos ∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝214，故DE ＝212.法二：如图，作EM ⊥AB 交AB 于点M ，作EN ⊥AD 交AD 于点N .因为AB ＝3，BC ＝3，所以tan ∠BAC ＝33＝3，则∠BAC ＝π3，AE ＝AB cos π3＝32，NE ＝AM ＝AE cosπ3＝32×12＝34，AN ＝ME ＝AE sin π3＝32×32＝34，ND ＝3－34＝94.在Rt △DNE 中，DE ＝NE 2＋ND 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝212.【答案】212三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC ＝∠BDC＝∠DAE.图16(1)求证：BE·AD＝CD·AE；(2)根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．【解】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC.∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴BECD＝AEAD，即BE·AD＝CD·AE.(2)猜想：BCDE＝ABAE⎝⎛⎭⎪⎫ACAD.证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AEAD，又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，∴BCDE＝ABAE⎝⎛⎭⎪⎫ACAD.18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP，∴Rt△APQ∽Rt△BCP.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴APBC＝AQBP，即AQ＝AP·BPBC＝1×34＝34，∴PQ＝AQ2＋AP2＝916＋1＝54.19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．【解】(1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.∴∠BCA＝∠BAD＝65°；(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，∴∠B＝∠CAD＝25°，∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.故∠BCA等于65°或115°.20．(本小题满分12分)如图18所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝103，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.【证明】(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5. ∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝12AB＝2.5，∴CDCE＝2.5103＝34＝BCAC，∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB.(1)若点P在梯形内部，如图19(1)．求证：BP2＝PE·PF.(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(1)(2)图19【解】(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，所以∠ABP＝∠DCP.又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.所以PEPC＝PCPF，即PC2＝PE·PF，又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.(2)结论成立．证明如下：连接PC，由对称性知PB＝PC，所以∠PBC＝∠PCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，即∠ABP＝∠DCP.因为CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PCF＝180°，所以∠PEC＝∠PCF.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF.所以PEPC＝PCPF，即PC2＝PE·PF，所以BP2＝PE·PF.22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上的一点，BF AF＝mn(m，n>0)．取CF的中点D，连接AD并延长交BC于E.图20(1)求BEEC的值；(2)如果BE ＝2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论； (3)E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的mn的值；如果不能，证明你的结论．【解】 (1)如图所示，作CG ∥AB 交AE 的延长线于G .在△GCD 与△AFD 中，∠G ＝∠FAD ，∠CDG ＝∠FDA ，DC ＝DF ， ∴△GCD ≌△AFD ，∴GC ＝AF . 在△ABE 和△GCE 中，∠BAE ＝∠G ，∠AEB ＝∠GEC ， ∴△ABE ∽△GCE .∵BF AF ＝mn (m ，n >0)，∴BE EC ＝AB GC ＝BF ＋AF AF ＝BF AF ＋1＝m n＋1. (2)∵BE ＝2EC ，∴BEEC＝2. 由(1)知BE EC ＝m n ＋1，∴mn ＝1.∴BF ＝AF ，F 为AB 的中点．∵AC ＝BC ，∴CF ⊥AB ，∴CF 所在的直线垂直平分边AB. (3)不能．∵BE EC ＝m n ＋1，而m n >0，∴BEEC>1， ∴BE >EC .∴E 不能为BC 的中点．。