高中数学人教a版高二选修4-1章末综合测评1 含解析

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人教A版高中数学选修4-1同步检测第1讲1.1平行线等分线段定理

第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1 平行线等分线段定理A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的个数为()①一组平行线截两条直线，所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线，所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确，它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错，因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如图所示，已知l1∥l2∥l3，且AE＝ED，AB，CD相交于l2上一点O，则OC＝()A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB，由AB∥l∥CD∥EF，AO＝OD＝DF，知BO＝OC＝CE.又BC＝6，所以CE＝3，故BE＝9.答案：A4．如图所示，在△ABC中，DE是中位线，△ABC的周长是16 cm，其中DC＝2 cm，DE＝3 cm，则△ADE的周长是()A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．10 cm解析：因为DC＝2 cm，DE＝3 cm，DE为中位线，所以AB＝16－4－6＝6(cm)，所以AE＝3 cm.所以△ADE周长为8 cm.答案：C5．如图，AD是△ABC的高，DC＝13BD，M，N在AB上，且AM＝MN＝NB，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则FC＝()A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC ，ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，所以NF ∥ME ∥AD ，因为AM ＝MN ＝NB ，所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ，所以BF ＝FE ＝ED ＝DC ，所以FC ＝34BC .答案：C 二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD＝20 cm ，则EF ＝________．解析：E 为AB 中点，EF ∥BD ，则AF ＝FD ＝12AD ，即AF ＝FD ＝CD .又EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以四边形EFDG 为平行四边形， FD ＝5 cm.所以AC ＝AF ＋FD ＋CD ＝15 cm.因为EF ＝12BD ，所以EF ＝10 cm.答案：15 cm 10 cm7．如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别是线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________．解析：连接DE ，由于点E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，所以四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，点F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案：a2三、解答题8．如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点．求证：AG ＝GH ＝HC .证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD 綊BC ，又因为ED ＝12AD ，BF ＝12BC ，所以ED綊BF，所以四边形EBFD是平行四边形，所以BE∥FD.在△AHD中，因为EG∥DH，E是AD的中点，所以AG＝GH，同理在△GBC中，GH＝HC，所以AG＝GH＝HC.9.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC 交梯形中位线EG于点F.若EF＝4 cm，FG＝10 cm，求梯形ABCD 的面积．解：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．因为EG是梯形ABCD的中位线，所以EG∥DC∥AB.所以点F是AC的中点．所以DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD ＝∠BNC ，所以△ADM ≌△BCN .所以AM ＝BN ＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝63(cm)．所以S 梯形＝EG ·DM ＝(4＋10)×63＝843(cm 2)．B 级能力提升1.如图所示，在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，DE ∥AB 交BC 于E ，则阴影部分面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点，DE ∥AB ，所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC ，即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝22cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ，所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线．所以EF＝12(AD＋BC)，且△EGF的高是梯形ABCD高的一半．所以S梯形ABCD＝4S△GEF＝4×22＝82(cm2)．答案：8 2 cm23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点，求证△ECD为等边三角形．证明：如图所示，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点，所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC，所以EF⊥DC，所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是AB边的中点，所以CE平分∠ACB，所以∠FEC＝∠ECB＝30°，所以∠DEF＝30°，所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC，所以△ECD为等边三角形．。

2021-2022高二数学人教A版选修4-1综合测评 Word版含解析

综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,已知AB∥A'B',BC∥B'C',那么下列比例式成立的是()A.OA'OA =OCOC'B.A'B'AB =B'C'BCC.A'C'AC =OCOC'D.ABA'B'=OCCC'解析:∵AB∥A'B',∴OA'OA =OB'OB,同理OC'OC =OB'OB,∴OA' OA =OC'OC,∴选项A不成立;A'B'AB =OB'OB=B'C'BC,∴A'B' AB =B'C'BC,∴选项B成立;由于OA'OA =OC'OC,∴AC∥A'C',∴A'C'AC=OC'OC,∴选项C不成立;ABA'B'=OBOB'=OCOC',∴选项D也不成立. 答案:B 2.在Rt△ABC中,CD,CE分别是斜边AB上的高和中线,设该图中共有x个三角形与△ABC相像,则x为()A.0B.1C.2D.3解析:共两个,△ACD和△CBD.答案:C3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF是梯形的中位线,连接AC交EF于G,BD交EF于H,若AD∶BC=2∶3,则HG∶AD等于()A.1∶2B.1∶4C.2∶3D.1∶3解析:由EF是梯形的中位线,得EF=12(AD+BC),EH=12AD,GF=12AD,∴HG=12BC-12AD.又∵AD∶BC=2∶3,故HG=14AD.答案:B4.在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE∥BC,△ADE的面积是2 cm2,梯形DBCE的面积为6 cm2,则DE∶BC的值为()A.1∶√3B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析:由题意知△ADE∽△ABC,利用面积比等于相像比的平方可得答案B.答案:B5.如图,用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为()A.12B.√33C.√32D.13解析:用平面截圆柱,椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径,且椭圆所在的平面与底面成30°角,则截面与圆柱母线的夹角α=60°,则离心率e=cos 60°=12.答案:A6.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12 cm和18 cm两段,另一弦被分为3∶8的两部分,则另一弦的长为()A.11 cmB.33 cmC.66 cmD.99 cm解析:设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k>0),由相交弦定理得3k·8k=12×18,解得k=3,故所求弦长为3k+8k=11k=33(cm).答案:B7.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=135°,以A为圆心,AB为半径,作☉A分别交AD,BC于E,F 两点,并交BA的延长线于G,连接AF,则BF⏜的度数是()A.45°B.60°C.90°D.135°解析:BF⏜的度数等于圆心角∠BAF的度数.由AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°.∴∠B=45°,∴∠BAF=180°-2∠B=180°-90°=90°. 答案:C8.P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点,过P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相像,满足这样条件的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:如图所示,过点P分别作AB,AC,BC的垂线l,m,n,这三条垂线分别截△ABC,且截得的三角形与△ABC相像,则符合条件的直线有3条.答案:C9.如图,△ABC的底边BC=a,高AD=h,矩形EFGH内接于△ABC,其中E,F分别在边AC,AB上,G,H 都在BC上,且EF=2FG,则矩形EFGH的周长是()A.ah2h+aB.6ah2h+aC.ah2h-aD.6h2h+a解析:由题目条件中的EF=2FG,要想求出矩形的周长,必需求出FG与高AD=h的关系.由EF∥BC得△AFE∽△ABC,则EF与高h即可联系上.设FG=x,由于EF=2FG,所以EF=2x.由于EF∥BC,所以△AFE∽△ABC.又AD⊥BC,设AD交EF于M,则AM⊥EF.所以AMAD=EFBC,即AD-DMAD=2xa.所以h-xh=2xa.解之,得x=ah2h+a.。

高中数学人教A版选修4-1 章末综合测评1 Word版含答案

章末综合测评(一)
(时间分钟，满分分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
．如图，已知∥，∥，现得到下列式子：
图
①＝；②＝；③＝；④＝.
其中正确式子的个数有( )
．个．个
．个．个
【解析】由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选.
【答案】
．如图，∥，
△
∶四边形＝∶，则∶的值为( )
【导学号：】
图
．∶．∶
．∶．∶
【解析】由
△∶
四边形
＝∶，得
△
∶
△
＝∶，
∵∥，
∴△∽△. ∵＝＝，∴＝，∴∶＝∶.
【答案】
．如图所示，将△的高三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为，，，则∶∶等于( )
图
．∶∶ ．∶∶
．∶∶ ．∶∶
【解析】如图所示，，分别为△高的三等分点，过点作
的平
行线交，于点，，过点作的平行线交，于点，.△∽△，＝，
∴＝△.
又△∽△，＝，△＝＋，
∴＋＝△，
∴＝△，∴＝△，
∴∶∶＝∶∶，故选.
【答案】
．如图，在△中，＝，在上，在的延长线上，＝，交于，则∶等于( )
图
．∶ ．∶
．∶ ．∶
【解析】过作∥，交
于，。

高中数学人教A版选修4-1学案第1讲 4 直角三角形的射影定理 Word版含解析

四直角三角形的射影定理
．了解射影定理的推导过程．
．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理射影的相关概念
阅读教材“探究”以上部分，完成下列问题．
．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
．线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
．射影：点和线段的正射影简称为射影．
教材整理射影定理
阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．
．文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
．图形语言
如图--，在△中，为斜边上的高，
图--
则有＝·.
＝·.
＝·.
如图--，在△中，⊥，⊥于且＝，则·＝( )
图--
．．
．．不确定
【解析】由射影定理·＝＝＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
. ()求∶的值；
()若＝，求的长．。

人教A版高中数学选修1章末检测1第一章空间向量与立体几何

第一章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点P (－2，1，4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－2，－1，－4) B ．(－2，1，－4) C ．(2，－1，4) D ．(2，1，－4)【答案】A【解析】关于x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标相反．故选A ． 2．已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1 【答案】B【解析】由题意可得，a ＋2b ＝(1＋2x ，4，4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴∃λ∈R ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.故选B ． 3．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2，2，0)B ．(2，－2，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0【答案】C【解析】由OA →＝(－1，1，0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1)．又因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0． 4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 1→，AD 1→，BD →是( )A ．有相同起点的向量B ．等长的向量C ．不共面向量D ．共面向量【答案】D【解析】因为AD 1→－AB 1→＝B 1D 1→＝BD →，所以AB 1→，AD 1→，BD →共面．5．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )A ．23B ．23C ．53D ．233【答案】C【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1(0，0，1)，所以AD 1→＝(－1，0，1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0．设平面AEFD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x 2＋y ＝0，所以x ＝2y ＝z ．取y ＝1，则n ＝(2，1，2)．而平面ABCD 的一个法向量u ＝(0，0，1)，因为cos 〈n ，u 〉＝23，所以sin 〈n ，u 〉＝53．6．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．－1B ．0C ．13D ．1【答案】C【解析】因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13．7．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a|－|b|＝|a ＋b|是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c|＝|a|·|b|·|c|． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知，正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A ．15B ．25C ．55D ．255【答案】C【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，所以PA →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1．设n ＝(x ，y ，z )是平面DEF 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12y ＝0，－12x ＋12y ＋8＝0，取x ＝2，则z ＝1，y ＝0，所以n ＝(2，0，1)是平面DEF 的一个法向量．设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝22×5＝55．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各选项中，不正确的是( )A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等C ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】BCD【解析】显然A 正确；若a ，b 为非零向量，则〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉互补，故B 错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故C 错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故D 错误．10．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC → C ．AB →＋CA →＋BD → D ．AB →－CB →＋CD →－AD →【答案】BD【解析】A 中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；B 中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；C 中，原式＝CD →，不符合题意；D 中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0．11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的有( )A ．OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量 D ．OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量【答案】ACD【解析】如图，A 中，OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→，所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；B 中，OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量；C 中，同A 也是正确的；D 中，OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量．12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，CD ＝23，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B －ACQ 的体积为6 2D ．四棱锥Q －ABCD 外接球的内接正四面体的表面积为24 3 【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接OE ，OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ．因为AD ⊥OE ，所以OD ，OE ，OP 两两垂直，如图，以O 为坐标原点，OD ，OE ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，D (6，0，0)，A (－6，0，0)，P (0，0，32)，C (6，23，0)，B (－6，23，0)．因为点Q 是PD 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫62，0，322，平面PAD 的一个法向量m ＝(0，1，0)，QC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，23，－322，显然m 与QC →不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；PC →＝(6，23，－32)，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫362，0，322，AC →＝(26，23，0)，设平面AQC 的法向量n＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AQ →＝362x ＋322z ＝0，n ·AC →＝26x ＋23y ＝0，令x ＝1，则y ＝－2，z ＝－3，所以n ＝(1，－2，－3)，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PC→|n ||PC →|＝2666＝13，所以cos θ＝223，所以B 正确；三棱锥B －ACQ 的体积为V B －ACQ ＝V Q －ABC ＝13S △ABC ·12OP ＝13×12×23×26×12×32＝6，所以C 不正确；设四棱锥Q －ABCD 外接球的球心为M (0，3，a )，则MQ＝MD ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3222＝()62＋()32＋a 2，解得a ＝0，即M (0，3，0)为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q －ABCD 外接球的半径为3，设四棱锥Q －ABCD 外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 2＝62，得x 2＝24，所以正四面体的表面积为4×34x 2＝243，所以D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2021年潮州模拟)由空间向量a ＝(1，2，3)，b ＝(1，－1，1)构成向量集合A ＝{x |x ＝a ＋k b ，k ∈Z }，则向量x 的模|x |的最小值为________．【答案】13【解析】因为a ＝(1，2，3)，b ＝(1，－1，1)，所以x ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2－k ，3＋k )，所以|x |＝（1＋k ）2＋（2－k ）2＋（3＋k ）2＝14＋4k ＋3k 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋232＋383．因为k ∈Z ，所以k ＝－1时，|x |的值最小，最小值为13．14．下列命题：①已知λ∈R ，则|λa |＝λ|a |；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC →＝B 1C 1→；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题的序号是________．【答案】②③【解析】①|λa |＝|λ||a |，故①错误；②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确．15．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，则x ＋y ＝________．【答案】－1【解析】AE →＝OE →－OA →＝12OC →－OA →＝12(OB →＋BC →)－OA →＝12(OB →＋AD →)－OA →＝12(OB →＋OD →－OA →)－OA→＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，所以x ＝12，y ＝－32．所以x ＋y ＝－1．16．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动，则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________；若D 1E ⊥EC ，则AE ＝________．【答案】90° 1【解析】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，又因为AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，D 1(0，0，1), A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，2，0)，设E (1，m ，0)，0≤m ≤2，则D 1E →＝(1，m ，－1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，所以D 1E →·A 1D →＝－1＋0＋1＝0，所以直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°．因为D 1E →＝(1，m ，－1)，EC →＝(－1，2－m ，0)，D 1E ⊥EC, 所以D 1E →·EC→＝－1＋m (2－m )＋0＝0，解得m ＝1，所以AE ＝1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b|；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)? 解：(1)因为a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，所以2a ＋b ＝(0，－5，5)．所以|2a ＋b |＝02＋（－5）2＋52＝52． (2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ－3，y ＝－λ－1，z ＝－2λ＋4，所以E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，所以OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又因为b ＝(－2，1，1)，OE →⊥b ，所以OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝95，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25．所以在直线AB 上存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25，使OE →⊥b ．18．(12分)已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|AB →|＝14，|AC →|＝217，cos 〈AB →，AC →〉＝－1414×217＝－734，sin 〈AB →，AC →〉＝2734， S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝1214×217×2734＝321． (2)|AB →|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321，所以h ＝36． 19．(12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAC 与底面ABC 垂直，E ，O 分别是SC ，AC 的中点，且SA ＝SC ＝2，BC ＝12AC ，∠ASC ＝∠ACB ＝90°．(1)求证：OE ∥平面SAB ；(2)若点F 在线段BC 上，问：无论点F 在BC 的何处，是否都有OE ⊥SF ？请证明你的结论．(1)证明：因为E ，O 分别是SC ，AC 的中点，所以OE ∥SA ．又因为OE ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以OE ∥平面SAB ．(2)解：方法一，在△SAC 中，因为OE ∥AS ，∠ASC ＝90°，所以OE ⊥SC ．又因为平面SAC ⊥平面ABC ，∠BCA ＝90°，BC ⊂平面SAC ，所以BC ⊥平面SAC ．又因为OE ⊂平面SAC ，所以BC ⊥OE ．因为SC ∩BC ＝C ，所以OE ⊥平面BSC ．又因为SF ⊂平面BSC ，所以OE ⊥SF ．所以无论点F 在BC 的何处，都有OE ⊥SF ．方法二，连接SO ．因为O 是AC 的中点，SA ＝SC ，所以SO ⊥AC ．又因为平面SAC ⊥平面ABC ，所以SO ⊥平面ABC ．同理可得BC ⊥平面SAC ．如图，在平面ABC 内，过点O 作OM ⊥AC ，以O 为原点，OM ，OC ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则点O (0，0，0)，A (0，－1，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，S (0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12．由于点F ∈BC ，故可设点F (x ，1，0)，则SF →＝(x ，1，－1)，SF →·OE →＝0恒成立，所以无论点F 在BC 的何处，都有OE ⊥SF ．20．(12分)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图1把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD (如图2)．(1)求证：CD ⊥AB ．(2)若点M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．(3)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．(1)证明：由已知条件可得BD ＝2，CD ＝2，CD ⊥BD ．因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ．又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD ⊥AB ．(2)解：如图，以点D 为原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A (1，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，1，0)，所以CD →＝(0，－2，0)，AD →＝(－1，0，－1)，MC →＝(－1，1，0)．设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则CD →⊥n ，AD →⊥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝0，－x －z ＝0，令x ＝1，得平面ACD 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，所以点M 到平面ACD 的距离d ＝|n ·MC →||n |＝22．(3)解：假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°，设BN →＝λBC →，0≤λ≤1，则N (2－2λ，2λ，0)，所以AN →＝(1－2λ，2λ，－1)．又因为平面ACD 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，且直线AN 与平面ACD 所成角为60°，所以sin60°＝|AN →·n ||AN →||n |＝32，可得8λ2＋2λ－1＝0，所以λ＝14或λ＝－12(舍去)．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60°，此时BN BC ＝14． 21．(12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝2．(1)求线段BC 1的长度；(2)求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，所以DC →＝(0，2，0)，BC 1→＝(－2，－2，2)，|DC →|＝2，|BC 1→|＝4＋4＋4＝23．(2)由(1)可知，DC →＝(0，2，0)，BC 1→＝(－2，－2，2)，所以cos 〈DC →，BC 1→〉＝DC →·BC 1→|DC →||BC 1→|＝－42×23＝－13＝－33．所以异面直线BC 1与DC 所成的角的余弦值为33．22．(12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D为AC 的中点．(1)求证：平面POD ⊥平面PAC ；(2)求二面角B －PA －C 的余弦值．解：如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－1，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0． (1)证明：设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量，则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.所以z 1＝0，x 1＝y 1，取y 1＝1，得n 1＝(1，1，0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAC 的一个法向量，则由n 2·PA →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎨⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2，取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)．因为n 1·n 2＝(1，1，0)·(－2，2，1)＝0，所以n 1⊥n 2，从而平面POD ⊥平面PAC ．(2)因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量n 3＝(0，1，0)．由(1)知，平面PAC 的一个法向量n 2＝(－2，2，1)．设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝25＝105．由图可知，二面角B －PA －C 的平面角为锐角，所以二面角B －PA －C 的余弦值为105．。

高中数学 2.2圆内接四边形的性质与判断练习新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题

2．2 圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做____________，这个圆叫做多边形的________．2．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的________．3．圆内接四边形的判定定理．如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形四个顶点共圆．5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆．预习导学1．圆内接多边形外接圆2．互补对角3．互补4．对角5．证明：四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝DB，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵点A、B、C、D到O点的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．►一层练习1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有( )①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个 B．2个C．3个 D．4个1．B2．圆内接平行四边形一定是( )A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形2.D3．下列命题中，真命题的个数为( )①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；②矩形有唯一的外接圆；③菱形有外接圆；④正多边形有外接圆．A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．解析：①错误，任意三角形有唯一的外接圆；②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．答案：B4．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝______，∠BCD＝________.4．30°150°►二层练习5．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对5.B6．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，过C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ，那么与∠BCE 互补的角是( )A ．∠BADB ．∠ADC C ．∠CDED ．∠DEC 6.C7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 为AB 延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC 等于( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100° 7.C8．如图所示，PA 为⊙O 直径，PC 为⊙O 的弦，过AC ︵的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B .若HB ＝6，BC ＝4，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．13C ．15D ．208．解析：连PH 及CH ，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH ＝∠A ，则△PAH ∽△HCB ，PA CH ＝HA BC，又CH ＝HA ，则PA ＝13. 答案：B9．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．9．120° 60°10．如图，⊙O 的内接四边形BCED ，延长ED 、CB 交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________，CE ＝________．10．解析：由圆内接四边形的性质定理有∠ADB ＝∠C ，∠ABD ＝∠E . 则△ABD ∽△AEC ，则AD AC ＝AB AE ＝BDCE代入数据即得DE ＝5，CE ＝27.答案：5 27 ►三层练习11．如下图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD的值为________．11.1312．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，DF ⊥AB 交AC 于点F ，AE ＝EC ，EG ⊥AC 交AB 于点G .(1)求证：点D 、E 、F 、G 四点共圆； (2)求证：点G 、B 、C 、F 四点共圆．12．证明：(1)连接GF ，由DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，知∠GDF ＝∠GEF ＝90°，∴GF 中点到点D 、E 、F 、G 四点距离相等． ∴点D 、E 、F 、G 四点共圆． (2)连接DE .由AD ＝DB ，AE ＝EC ，知DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .又由(1)中点D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴∠B＋∠GFC＝180°.∴点G、B、C、F四点共圆．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．13．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．14．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径．14解析：(1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.1．当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．3．圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题． 4．判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证明．【习题2.2】1．证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴△ABD 和△ABE 均为直角三角形．设O 是AB 的中点，连接OE ，OD ，如图所示，则OE ＝12AB ，OD ＝12AB ，∴OE ＝OD ＝OA ＝OB ，∴A ，B ，D ，E 四点共圆，∴∠CED ＝∠ABC .2．已知：如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相垂直，E ，F ，G ，H 为各边的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共圆．证明：如图所示，连接EF ，FG ，GH ，HE ，∵点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴FG ∥BD ，GH ∥AC ，又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥GH .同理可证HE ⊥EF .∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°，∴F ，G ，H ，E 四点共圆．3．证明：如图所示，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠FCE ＝∠A .∵∠CFG ＝∠FCE ＋∠CEF ，∠DGF ＝∠A ＋∠AEG ，而∠AEG ＝∠CEF ，∴∠CFG ＝∠DGF .。

高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题答案 C解析对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1，所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0，即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ，最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上．设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

高中数学人教A版选修4-1 章末综合测评1 Word版含答案

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图1，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：图1①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ；③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF . 其中正确式子的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【解析】由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B. 【答案】 B2．如图2，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )【导学号：07370024】图2A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5【解析】由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC .∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝19， ∴AD AB ＝13， ∴AD ∶DB ＝1∶2. 【答案】 C3．如图3所示，将△ABC 的高AD 三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3等于( )图3A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．1∶3∶5D ．3∶5∶7【解析】如图所示，E ，F 分别为△ABC 高AD 的三等分点，过点E 作BC 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，过点F 作BC 的平行线交AB ，AC 于点G ，H .△AMN ∽△ABC ，S △AMNS △ABC ＝19，∴S 1＝19S △ABC .又△AGH ∽△ABC ，S △AGH S △ABC ＝49，S △AGH ＝S 1＋S 2，∴S 1＋S 2＝49S △ABC ，∴S 2＝39S △ABC ，∴S 3＝59S △ABC ， ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶3∶5，故选C. 【答案】 C4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于()图4A．5∶2 B．2∶1C．3∶1 D．4∶1【解析】过D作DG∥AC，交BC于G，则DG＝DB＝3CE，即CE∶DG＝1∶3.易知△DFG∽△EFC，∴DF∶FE＝DG∶CE，所以DF∶FE＝3∶1.【答案】 C5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：图5①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC ∶S△AOD＝CD∶AB；④S △AOD ＝S △BOC . 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，①正确．由①知，DC AB ＝OCOA .S △DOC ∶S △AOD ＝OC ∶OA ＝CD ∶AB ，③正确．∵S △ADC ＝S △BCD ，∴S △ADC －S △COD ＝S △BCD －S △COD ， ∴S △AOD ＝S △BOC ，④正确．故①③④正确．【答案】 C6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m ，长臂长16 m ，当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高( )图6A ．11.25 mB ．6.6 mC ．8 mD ．10.5 m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC ∽等腰△BOD ，OA ＝1 m ，OB ＝16 m ，高CE ＝0.5 m ，求高DF .由相似三角形的性质可得OA ∶OB ＝CE ∶DF ，即1∶16＝0.5∶DF ，解得DF ＝ 8 m.【答案】 C7．如图7所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40 cm 2，S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为( )图7 A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 【解析】∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA.∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴AB2∶DB2＝1∶5，∴AB∶DB＝1∶ 5.设AB＝k，DB＝5k，则AD＝2k.∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，∴BD＝5k＝10，AD＝45，S△ABD＝12BD·AE＝20，即12×10·AE＝20，∴AE＝4 cm.【答案】 A8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA′是() 【导学号：07370025】图8A.2－1B.22 C ．1D.12【解析】由题意可知，阴影部分与△ABC 相似，且等于△ABC 面积的12，∴A ′B ∶AB ＝12＝1∶ 2.又∵AB ＝2，∴A ′B ＝1， ∴AA ′＝2－1. 【答案】 A9．如图9所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD ＝( )图9A.13 B.14 C.23D.25【解析】设CD ＝3，则AD ＝3，BD ＝1，∴BD AD ＝13. 【答案】 A10．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，则AD 的长为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】如图，连接AC ，CB.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ，由射影定理得CD 2＝AD ·DB ，即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9. 【答案】 B11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，还需资金( )图10A ．500元B ．1 500元C ．1 800元D ．2 000元【解析】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△AMD ∽△BMC ， AD ＝10 m ，BC ＝20 m ， S △AMD S △BMC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10202＝14， ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)，∴S △BMC ＝200 m 2，则还需要资金200×10＝2 000(元)．【答案】 D12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为( )图11A ．1∶ 2B ．1∶ 3 C.2∶1D.3∶1【解析】 ∵矩形AEFB ∽矩形ABCD ，∴BF ∶AB ＝AB ∶AD . ∵BF ＝12AD ，∴AB 2＝12AD 2，∴AD ∶AB ＝2∶1. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12，已知DE ∥BC ，且BF ∶EF ＝4∶3，则AC ∶AE ＝________.图12【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴BC DE ＝BF EF ，同理AC AE ＝BC DE ，∴AC AE ＝BC DE ＝BF EF ＝43. 【答案】 4∶314．如图13，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于________米. 【导学号：07370026】图13【解析】如图，GC ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴GC ∥AB.∴△GCD ∽△ABD ，∴DC DB ＝GCAB . 设BC ＝x ，则1x ＋1＝1.5AB ，同理，得2x ＋5＝1.5AB . ∴1x ＋1＝2x ＋5，∴x ＝3，∴13＋1＝1.5AB ， ∴AB ＝6(米)．【答案】 615．如图14所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE 是AC 边上的中线，且AD ，BE 交于点G ，那么S △BDGS △ABC＝________.图14【解析】 ∵AD ，BE 是△ABC 的中线，且AD 交BE 于G ， ∴G 是△ABC 的重心，∴DG AD ＝13，∴S △BDG S △ABD＝13，又∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，∴S △BDG S △ABC ＝16.【答案】 1616．如图15，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝________.图15【解析】法一：因为AB ＝3，BC ＝3，所以AC ＝32＋(3)2＝23，tan ∠BAC ＝33＝3，所以∠BAC ＝π3.在Rt △BAE 中，AE ＝AB cos π3＝32，则CE ＝23－32＝332.在△ECD 中，DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD cos ∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝214，故DE ＝212.法二：如图，作EM ⊥AB 交AB 于点M ，作EN ⊥AD 交AD 于点N .因为AB ＝3，BC ＝3，所以tan ∠BAC ＝33＝3，则∠BAC ＝π3，AE ＝AB cos π3＝32，NE ＝AM ＝AE cos π3＝32×12＝34，AN ＝ME ＝AE sin π3＝32×32＝34，ND ＝3－34＝94.在Rt △DNE 中，DE ＝NE 2＋ND 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝212.【答案】212三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，点E 是四边形ABCD 的对角线上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE .图16(1)求证：BE ·AD ＝CD ·AE ；(2)根据图形的特点，猜想BCDE 可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．【解】 (1)证明：∵∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAE ＝∠DAC .∵∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ， ∴△ABE ∽△ACD ，∴BE CD ＝AEAD ，即BE ·AD ＝CD ·AE . (2)猜想：BC DE ＝AB AE ⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AD .证明：∵由(1)△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD ，又∵∠BAC ＝∠EAD ，∴△BAC ∽△EAD ， ∴BC DE ＝AB AE ⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AD .18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，试求PQ 的长．图17 【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP，∴Rt△APQ∽Rt△BCP.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴APBC＝AQBP，即AQ＝AP·BPBC＝1×34＝34，∴PQ＝AQ2＋AP2＝916＋1＝54.19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．【解】(1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD ∽△CAD.∴∠BCA＝∠BAD＝65°；(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，∴∠B＝∠CAD＝25°，∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.故∠BCA 等于65°或115°.20．(本小题满分12分)如图18所示，CD 为Rt △ABC 斜边AB 边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC ＝4，BC ＝3.求证：图18(1)△ABC ∽△EDC ； (2)DF ＝EF .【证明】 (1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5. ∵D 为斜边AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5， ∴CD CE ＝2.5103＝34＝BCAC ，∴△ABC ∽△EDC .(2)由(1)知，∠B ＝∠CDF ， ∵BD ＝CD ，∴∠B ＝∠DCF ， ∴∠CDF ＝∠DCF . ∴DF ＝CF .①由(1)知，∠A ＝∠CEF ，∠ACD ＋∠DCF ＝90°，∠ECF ＋∠DCF ＝90°， ∴∠ACD ＝∠ECF .由AD ＝CD ，得∠A ＝∠ACD . ∴∠ECF ＝∠CEF ， ∴CF ＝EF .② 由①②，知DF ＝EF .21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，直线MN 是梯形的对称轴，P 是MN 上的一点，直线BP 交直线DC 于F ，交CE 于E ，且CE ∥AB.(1)若点P在梯形内部，如图19(1)．求证：BP2＝PE·PF.(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(1)(2)图19【解】(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，所以∠ABP＝∠DCP.又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.所以PEPC＝PCPF，即PC2＝PE·PF，又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.(2)结论成立．证明如下：连接PC，由对称性知PB＝PC，所以∠PBC ＝∠PCB.因为梯形ABCD 是等腰梯形，所以∠ABC ＝∠DCB ，所以∠ABC ＋∠PBC ＝∠DCB ＋∠PCB ，即∠ABP ＝∠DCP .因为CE ∥AB ，所以∠ABP ＋∠PEC ＝180°，而∠DCP ＋∠PCF ＝180°，所以∠PEC ＝∠PCF .又因为∠EPC ＝∠CPF ，所以△EPC ∽△CPF . 所以PE PC ＝PCPF ，即PC 2＝PE ·PF ，所以BP 2＝PE ·PF .22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)．取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于E .图20(1)求BEEC 的值；(2)如果BE ＝2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论；(3)E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的mn 的值；如果不能，证明你的结论．【导学号：07370027】【解】 (1)如图所示，作CG ∥AB 交AE 的延长线于G .在△GCD与△AFD中，∠G＝∠F AD，∠CDG＝∠FDA，DC＝DF，∴△GCD≌△AFD，∴GC＝AF.在△ABE和△GCE中，∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE∽△GCE.∵BFAF＝mn(m，n>0)，∴BEEC＝ABGC＝BF＋AFAF＝BFAF＋1＝mn＋1.(2)∵BE＝2EC，∴BEEC＝2.由(1)知BEEC＝mn＋1，∴mn＝1.∴BF＝AF，F为AB的中点．∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直线垂直平分边AB.(3)不能．∵BEEC＝mn＋1，而mn>0，∴BEEC>1，∴BE>EC.∴E不能为BC的中点．。

高中数学综合测试新人教A版选修4-1(2021年最新整理)

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本册综合测试一、选择题（本大题共12小题，每题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．在梯形ABCD中，AD∥BC(其中BC〉AD),E、F分别是AB、DC的中点，连结EF,且EF交BD于G，交AC于H,则GH等于( )A．AD B．错误!(AD＋BC）C．BC D．错误!(BC－AD）解析：结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此题．答案：D2．如图所示,已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶2，E为BD的中点,AE延长线交BC于F，则BF∶FC 等于( )A．1∶5 B．1∶4C．1∶3 D．1∶2解析：过D作DG平行于BC，与AF交于点G，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．答案：C3．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图形中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为（）A．1 B．2C．3 D．4解析：题中所给图形为射影定理的基本图形，△ACD、△BCD均与△ABC相似．答案：B4．若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根是一直角三角形的两锐角的正弦值，且a＋5b＝1，则a、b的值分别为（)A．－35，错误!B．－错误!,错误!C．－错误!,错误!D．1,0解析：在直角三角形中两锐角互余，若∠A、∠B分别为此直角三角形的两锐角，则∠A ＋∠B＝90°，sin B＝cos（90°－B)＝cos A，可得方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为sin A，cos A，即sin A＋cos A＝－a①，sin A·cos A＝b②，①式两端分别平方得sin2A＋cos2A＋2sin A·cos A＝a2，也就是1＋2sin A cos A＝a2③，再把②式两端乘2得2sin A·cos A＝2b ④,③－④得a2－2b＝1，又由已知a＋5b＝1,解得错误!或错误!①式中有－a＝sin A＋cos A＞0,∴a＜0，故选B．答案: B5．等腰梯形ABCD的周长为104 cm，BC∥AD，AD∶AB∶BC＝2∶3∶5,这个梯形中位线长是( ）A．72.8 cm B．51 cmC．36。

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末检测新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1

第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末检测一、选择题1.在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( ) A.2 cmB.6 cmC.4 cmD.8 cm解析如图，∵DE ∥BC ，∴AE EC ＝AD DB ＝12.又∵AD ＝4 cm ，∴DB ＝8 cm. 答案 D2.两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( ) A.13和22 B.14和21 C.15和20D.16和19解析由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比C 1C 2＝34.又∵C 1＋C 2＝35，∴C 1＝15，C 2＝20，即两个三角形周长分别为15，20. 答案 C3.如图所示，在△ABC 中，P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则AR ∶RP 等于( )A.3∶14B.14∶3C.17∶3D.17∶14解析如图，过点Q 作QM ∥AP 交PC 于M ，则CM MP ＝CQ QA ＝34.又∵BP PC ＝25，∴BPPM＝710.又RP QM ＝BP BM ＝717，QM AP ＝CQ AC ＝37，∴RP AP ＝317，∴AR RP ＝143. 答案 B4.如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于N ，若AB ＝14，AC ＝19，则MN 的长为( )C.3D.3.5解析延长BN 交AC 于D ，则△ABD 为等腰三角形，∴AD ＝AB ＝14，∴CD ＝5.又M ，N 分别是BC ，BD 的中点，故MN ＝12CD ＝2.5.答案 B5.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边的长度之和为( )A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm解析设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217＝x 5＝y3，解得x ＝15，y ＝9，故x ＋y ＝24. 答案 A6.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC 与BD 交于点O ，有下列结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽△ACB ；③S △DOC ∶S △AOB ＝DC ∶AB ；④S △AOD ＝S △BOC ，其中始终正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 ①④正确，②③错误. 答案 B7.如图所示，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若S △AEF ＝6 cm 2，则S △CDF等于( ) A.54 cm 2B.24 cm 2C.18 cm 2D.12 cm 2解析由题意知△AEF ∽△CDF ，∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，∴S △CDF ＝9S △AEF ＝54 cm 2.答案 A8.如图所示，身高为1.6 m 的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC ＝2 m ，BC ＝8 m ，则旗杆的高度是( ) A.6.4 m B.7 m C.8 mD.9 m解析 ∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴CD BE ＝AC AB，∵AC ＝2 m ，BC ＝8 m ， ∴AB ＝10 m ，又∵CD ＝1.6 m ，∴1.6BE ＝210，∴BE ＝8(m).答案 C9.如图所示，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 交AD 于F ，则图中相似三角形的对数是( ) A.3对 B.4对 C.5对D.6对解析 △ABD ∽△CBE ∽△AFE ∽△CFD ，共有6对. 答案 D10.如图，△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为( ) A.12 B.1 C.32D.2解析如图，过D 作DG ∥CE 交AB 于G ，则BG GE ＝BD DC ＝21.又AE EB ＝13，∴AE ＝EG ， ∴AF FD ＝AE EG ＝1.又DG CE ＝BD BC ＝23，EF ＝12DG ， ∴EF CE ＝13，∴EF FC ＝12，∴EF FC ＋AF FD ＝32. 答案 C 二、填空题11.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 解析如图，连接DE ，DB .∵点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点， ∴EF ＝12BD ，AE ＝EB ＝a 2.又∵CD ＝a2＝BE ，CB ⊥AB ，DC ∥AB ，∴DE 垂直平分线段AB . ∴BD ＝AD ＝a ，∴EF ＝a2.答案 a212.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝________；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，则AC ＝3EG ＝6(cm).由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm).答案 6 cm 5 cm13.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________. 解析在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .设AD ＝x ，则AB ＝5＋x ，又AC ＝6，∴62＝x (x ＋5)，解得x ＝4或x ＝－9(舍). ∴AD ＝4. 答案 414.在△ABC 中，直线DE 与直线AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ∥BC .若AD ＝1，DB ＝2，则DE ＋BCDE＝________. 解析 (1)若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则由DE ∥BC 知AD AB ＝DE BC ＝13，故DE ＋BCDE＝1＋3＝4.(2)若点D ，E 分别在BA ，CA 的延长线上，则由DE ∥BC 知AD AB ＝DEBC ＝1，故DE ＋BCDE＝2. 综上，DE ＋BCDE＝4或2. 答案 4或2 三、解答题15.如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE.求证：△ABD ∽△ACE .证明因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠BAC ＝∠DAE ，∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE，所以△ABD ∽△ACE .16.如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE.证明如图，过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线，DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN 有AB AM ＝BD DN，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DC DN. 对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝AC AF .所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE. 17.如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF . 证明 ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB ，∴AP PQ ＝AB BC ，∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .18.如图所示，CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC＝4，BC ＝3，求证：(1)△ABC ∽△EDC ； (2)DF ＝EF .证明 (1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5.∵D 为斜边AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5，∴CD CE ＝2.5103＝34＝BC AC，∵△ABC与△EDC都是直角三角形，∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知∠B＝∠CDF.∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF.①由(1)知∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF，由AD＝CD得∠A＝∠ACD，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②可知DF＝EF.。

[精品]新人教A版选修4-1高中数学章末综合测评2和答案

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是( )【导学号：07370050】A．42°B．138°C．84°D．42°或138°【解析】弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.【答案】 D2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )图1A．50 B．52C．54 D．56【解析】由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.【答案】 B3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是( )图2A ．β＝αB ．β＝180°－2αC ．β＝12(90°－α)D ．β＝12(180°－α)【解析】如图所示，分别连接AO1，BO 1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得 ∠AO 1B ＋∠ADB ＝180°，∴∠AO 1B ＝180°－∠ADB ＝180°－α. ∵∠ACB ＝12∠AO 1B ，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】 D4.如图3所示，∠A ＝50°，∠ABC ＝60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于( )图3A ．70°B ．110°C ．90°D ．120°【解析】由题意知，∠D ＝∠A ＝50°， ∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝90°－50°＝40°，又∠ACB ＝180°－50°－60°＝70°， ∴∠AEB ＝∠CBD ＋∠ACB ＝40°＋70°＝110°. 【答案】 B5．如图4，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图4A.103B.23 C ．1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM ＝∠A . ∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝∠EBC ， ∴∠A ＝∠EBC . 又∠ACB ＝∠BCE ， ∴△ABC ∽△BEC ，∴AB BE ＝BC EC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC ，∴64＝4EC .∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103.【答案】 A6．如图5，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )图5A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°【解析】 ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°. 【答案】 D7．如图6，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径为( )图6A.53 3 B.56 3 C ．10D ．5【解析】连接OC ，则有∠COP ＝60°，OC ⊥PC ，∴PO ＝2CO ，∴3CO ＝5，即CO ＝533.【答案】 A8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于P ，EF 是过点P 的弦，已知AB ＝10，PA ＝2，PE ＝5，则CD 和EF 分别为( )图7A ．8和7B ．7和415C ．7和8D ．8和415【解析】 ∵PA ·PB ＝PC 2， ∴PC 2＝16，PC ＝4，∴CD ＝8. ∵PE ·PF ＝PC 2，∴PF ＝165，∴EF ＝165＋5＝415.【答案】 D9．如图8，已知AT 切⊙O 于T .若AT ＝6，AE ＝3，AD ＝4，DE ＝2，则BC ＝( )图8A．3 B．4 C．6 D．8 【解析】∵AT为⊙O的切线，∴AT2＝AD·AC.∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即DEBC＝AEAC，∴BC＝DE·ACAE＝2×93＝6.【答案】 C10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是( )图9A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解析】显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.【答案】 D11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B 是的中点，点P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP＋BP 的最小值为( )图10A ．1 B.22 C.3－1D. 2【解析】如图，过点B 作BB ′⊥MN ，交⊙O于点B ′，连接AB ′交MN 于点P ′，即点P 在点P ′处时，AP ＋BP 最小．易知B 与B ′点关于MN 对称，依题意∠AON ＝60°，则∠B ′ON ＝∠BON ＝30°，所以∠AOB ′＝90°，AB ′＝OA 2＋OB ′2＝ 2.故PA ＋PB 的最小值为2，故选D. 【答案】 D12．如图11所示，PT 与⊙O 切于T ，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A ，B ，与直线CT 的交点D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝( )图11A．10 B．20C．5 D．8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图12【解析】由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.【答案】 514．如图13，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA ＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图13【解析】由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD . 又PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】 3215.如图14，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．【导学号：07370051】图14【解析】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C .因为AE 与圆相切，所以∠EAB ＝∠C .所以∠ABC ＝∠EAB ，所以AE ∥BC .又因为AC ∥DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形．由切割线定理可得AE 2＝EB ·ED ，于是62＝EB ·(EB ＋5)，所以EB ＝4(负值舍去)，因此AC ＝4，BC ＝6.又因为△AFC ∽△DFB ，所以45＝CF 6－CF ，解得CF ＝83.【答案】8 316．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，则tan∠COP＝________，△OBC的面积是________．图15【解析】因为PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2＝PA·PB，所以42＝8PA，解得PA＝2.设圆的半径为R，则2＋2R＝8，解得R＝3.在直角△OCP中，tan∠COP＝43，sin∠COP＝45.所以sin∠BOC＝sin∠COP＝45.所以△OBC的面积是12×R2sin∠BOC＝12×32×45＝18 5.【答案】43185三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，AB是⊙O的直径，弦BD，CA 的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：(1)BE·DE＋AC·CE＝CE2；(2)E，F，C，B四点共圆．图16【证明】(1)连接CD，由圆周角性质可知∠ECD＝∠EBA. 故△ABE∽△CDE，∴BE∶CE＝AE∶DE，∴BE·DE＋AC·CE＝CE2.(2)∵AB是⊙O的直径，所以∠ECB＝90°，∴CD＝12BE.∵EF⊥BF，∴FD＝12BE，∴E，F，C，B四点与点D等距，∴E，F，C，B四点共圆．18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．图17(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG ⊥CD.【解】(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上．又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .19．(本小题满分12分)如图18，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D .求证：图18(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB.【证明】 (1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .∵∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝DE .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∠PDB ＝∠PCE ， ∴∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD. 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE. ∴PE PB ＝CA DE .∵DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 20．(本小题满分12分)如图19，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：图19(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CD B.又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，12OA为半径作圆．图20(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.【证明】 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心．设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB.同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .22．(本小题满分12分)如图21，已知CP 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 切⊙O 于点D ，并与CP 的延长线相交于点B ，又BD ＝2BP .图21求证：(1)PC ＝3BP ；(2)AC ＝PC .【证明】 (1)∵BD 是⊙O 的切线，BPC是⊙O的割线，∴BD2＝BP·BC.∵BD＝2BP，∴4BP2＝BP·BC，∴4BP＝BC.∵BC＝BP＋PC.∴4BP＝BP＋PC，∴PC＝3BP.(2)连接DO.∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，∴DOAC＝BDBC＝2BP4BP＝12，∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.。

数学人教A版选修4-1模块综合测评含解析

综合测试（时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分)1。

如图,梯形ABCD 中，AB∥CD，S △DEC ∶S △CEB =1∶2,则S △DEC ∶S △EAB 等于（ )A.1∶6B.1∶5C.1∶4D.1∶3图1解析:∵BE DE S S ECB DEC =∆∆, ∴BE DE=21.∵DC∥AB，∴△DEC∽△EAB。

∴41)(2==∆∆BE DE S S ECB DEC。

答案:C2。

在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上一点，下面有四个条件：①AC AEAB AD =;②AC ECAB DB =;③BC AEDB AD =；④BC DEDB AD =。

其中一定能判定DE∥BC 的有( ）图2A 。

1个 B.2个 C.3个D 。

4个解析:①②③正确,④错误。

答案:C3.如图,BD=CD,AE∶DE=1∶2，延长BE 交AC 于F ，且AF=5cm ，则AC 的长为（ )图3A.30cmB.25cmC.15cm D 。

10cm解析:过点D 作DG∥BF 交AC 于G.∵D 是BC 的中点,∴G 是FC 的中点,即CG=FG 。

∵EF∥DG,AE∶ED=1∶2, ∴ED AE FG AF ==21。

∴41=FC AF 。

∴51=AC AF 。

∵AF=5，∴AC=25cm。

答案:B4.如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点,在下列条件中①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB; ③AC 2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.能满足△APC 和△ACB 相似的条件是( ）图4A.①②④B.①③④ C 。

②③④D.①②③解析:①②③正确,④错误.答案：D5。

如图，△ABC 中边BC=12cm,高AD=6cm ，边长为x 的正方形PQMN 的一边在BC 上其余两个顶点分别在AB 、AC 上,则x 等于( )图5A.3cm B 。

高中数学人教a版高二选修4-5章末综合测评1有答案

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知ac2>bc2，则下列不等式一定成立的是() A．a2>b2B．lg a>lg bC.1b>1a D.⎝⎛⎭⎪⎫13b>⎝⎛⎭⎪⎫13a【解析】由ac2>bc2，得a>b(c≠0)，显然，当a，b异号或其中一个为0时，A，B，C不正确．【答案】 D2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2 D.a3＞b3【解析】由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.【答案】 A3．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是()A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－bC．|a|x＞|a|y D.(a－b)x＞(a－b)y【解析】对于A，两式相加可得a＋x＞b＋y，A正确；对于B，a＞b⇒－a＜－b，与y＜x相加得y－a＜x－b，B正确；对于D，∵a－b＞0，∴(a－b)x＞(a－b)y，D正确；对于C，当a＝0时，不等式不正确，故选C.【答案】 C4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a的取值范围是()A ．45≤a <80B ．50<a <80C ．a <80D.a >45 【解析】由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5，而正整数解是1,2,3，则3≤a5<4，解得45≤a <80.【答案】 A5．若a ，b 为非零实数，那么不等式恒成立的是( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B.a ＋b2≥ab C.⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab D.b a ＋a b ≥2【解析】 a ，b 为非零实数时，A ，B ，D 均不一定成立．而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22≥0恒成立．【答案】 C6．在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( )【导学号：32750026】A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝lg x ＋1lg x C ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π)【解析】 y ＝x ＋4x ≥24＝4，A 错；当0<x ≤1时，lg x ≤0，B 错；当x 2＋1＝1x 2＋1时，x ＝0，∴y ＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2此时等号取不到，C 错；y ＝sin x ＋1sin x ≥2，此时sin x ＝1，D 正确．【答案】 D7．不等式|2x －log 2x |＜|2x |＋|log 2x |的解为( ) A ．1＜x ＜2 B ．0＜x ＜1 C ．x ＞1D.x ＞2【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ·log 2x ＞0，x ＞0，∴log 2x ＞0，解得x ＞1，故选C. 【答案】 C8．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D.9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由f (x )在x ＝1处有极值，得f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6.又a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号，故选D. 【答案】 D9．设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D.6【解析】 ∵a －ca －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥4，当且仅当b －ca －b ＝a －b b －c时，取等号，∴1a －b＋1b －c ≥4a －c ，而1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，得n ≤4. 【答案】 C10．若0<x <12，则x 2(1－2x )有( ) A ．最小值为127 B ．最大值为127 C ．最小值为13D.最大值为13【解析】 x 2(1－2x )＝x ·x (1－2x ) ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋1－2x 33＝127. 当且仅当x ＝13时，等号成立．【答案】 B11．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集是空集，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(1,2)D.(－∞，－1) 【解析】 |x －1|＋|x －2|的最小值为1，故只需a 2＋a ＋1<1， ∴－1<a <0. 【答案】 B12．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3 【解析】由(1－a i x )2<1，得0<a i x <2. 又a i >0，∴0<x <2a i对a i (i ＝1,2,3)恒成立，则x 小于2a i的最小值．又a 1>a 2>a 3， ∴2a i的最小值为2a 1，则x <2a 1.因此x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1，选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为________.【导学号：32750027】【解析】 |2x －1|－|x －2|<0，即|2x －1|<|x －2|，两边平方并整理得，x 2<1，解得－1<x <1，故解集为{x |－1<x <1}．【答案】 {x |－1<x <1}14．设x ＞0，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则x ＋y 的取值范围为__________．【解析】因为xy －(x ＋y )＝1，且xy ≤(x ＋y )24，所以1＝xy －(x ＋y )≤(x ＋y )24－(x ＋y )．设x ＋y ＝a ，则a 24－a －1≥0(a ＞0)，则a ≥2＋22，即x ＋y ≥22＋2，故x ＋y 的取值范围为[22＋2，＋∞)．【答案】 [22＋2，＋∞)15．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为__________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xa y ≥1＋a ＋2a ，∴1＋a ＋2a ≥9，即a ＋2a －8≥0，故a ≥4.【答案】 416．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为________．【解析】如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2.【答案】 2 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)解不等式x ＋|2x －1|＜3. 【解】法一原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)＜3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜0，x －(2x －1)＜3. 解得12≤x ＜43或－2＜x ＜12.所以原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜43. 法二由于|2x －1|＜3－x ， ∴x －3＜2x －1＜3－x ，解得x ＞－2且x ＜43. ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜43. 18．(本小题满分12分)(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.19．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518. 【证明】因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.20．(本小题满分12分)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围．【解】 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意非零实数a 和b 恒成立，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0时取等号， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值等于4.(2)∵|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |不大于|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值．由(1)可知|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值等于4.实数x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解，解不等式得－2≤x ≤2， ∴x 的取值范围是[－2,2]．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1时，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围.【导学号：32750028】【解】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.22．(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．图1(1)设总造价为S 元，AD 长为x 米，试求S 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，S 取得最小值？并求出这个最小值．【解】 (1)设DQ ＝y 米，又AD ＝x 米，故x 2＋4xy ＝200，即y ＝200－x 24x .依题意，得S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2＝4 200x 2＋210(200－x 2)＋160⎝⎛⎭⎪⎫200－x 24x 2 ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2.依题意x >0，且y ＝200－x 24x >0， ∴0<x <10 2. 故所求函数为 S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2，x ∈(0,102)．(2)因为x >0，所以S ≥38 000＋2 4 000x 2·400 000x 2＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x 2，即x ＝10时取等号． ∴当x ＝10∈(0,102)时， S min ＝118 000元．故AD ＝10米时，S 有最小值118 000元．。

人教新课标版数学高二选修4-1检测模块学习评价

模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 如图1，已知AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，那么下列比例式成立的是( )图1A.OA ′OA ＝OC OC ′B.A ′B ′AB ＝B ′C ′BCC.A ′C ′AC ＝OC OC ′D.AB A ′B ′＝OCCC ′【解析】 ∵AB ∥A ′B ′∴OA ′OA ＝OB ′OB .同理OC ′OC ＝OB ′OB . ∴OA ′OA ＝OC ′OC ，∴A 不成立．A ′B ′AB ＝OB ′OB ＝B ′C ′BC ，∴A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，∴B 成立由于OA ′OA ＝OC ′OC ，∴AC ∥A ′C ′ ∴A ′C ′AC ＝OC ′OC ，∴C 不成立． AB A ′B ′＝OB OB ′＝OCOC ′，∴D 不成立．【答案】 B2．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为()A．4B. 6C．24 D.2 6【解析】由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝26，即PC＝2 6.【答案】 D图23．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6 cm，AC∶BC＝1∶2，则AD的值是()A．6 cm B.3 2 cmC．18 cm D.3 6 cm【解析】∵AC∶BC＝1∶2，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t，又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝32(cm)，即AD＝3 2 cm.【答案】 B图34．如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于( )A ．40° B.55° C ．65°D.70°【解析】 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°， ∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°. 【答案】 B图45．如图4，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若△AEF 的面积等于2 cm 2，则△CDF 的面积等于( )A ．16 cm 2 B.18 cm 2 C ．20 cm 2D.22 cm 2【解析】 ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝AE CD ＝13， ∵DC ∥AE ，∴△DCF ∽△EAF ， ∴S △DCF S △EAF ＝(CD AE )2＝(31)2，即S △DCF 2＝9， ∴S △DCF ＝18(cm 2)．【答案】 B图56．(2013·郑州模拟)如图7，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )A.252πB .252π－24C．24 D.25π2＋24【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵tan∠BAC＝34，∴sin∠BAC＝35.又∵sin∠BAC＝BCAB，AB＝10，∴BC＝35×10＝6，AC＝43×BC＝43×6＝8，∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝12×π×52－12×8×6＝252π－24.【答案】 B图67．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()A.12B.33C.32 D.非上述结论【解析】用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin 30°＝12.【答案】 A8．(2012·北京高考)如图7所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()图7A．CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2【解析】根据CD是Rt△ABC的斜边AB上的高及CD是圆的切线求解．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·DB.又CD是圆的切线，故CD2＝CE·CB.∴CE·CB＝AD·DB.【答案】 A图89．如图8，AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝25，则线段AC的长度为()A．5B.35C.30D.3 5【解析】连接BC，∵AB垂直平分CD，∴CP2＝AP·P B.设PB＝x，则AP＝6－x.∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)．即AP＝5，＝5，又CP＝252∴AC＝25＋5＝30.【答案】 C图910．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为() A．2∶1 B.1∶2C.2∶1D.3∶1【解析】连接BE，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB ＝a，∵∠A＝45°，又∵CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，∴BE＝AB＝a，∴AE＝2a，∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.【答案】 A11.图10如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是()A．①②④ B.①②③C．②③④ D.①②③④【解析】如图所示连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB 中点时，截得图形是图①，当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图②，当平面经过轴AB时，截得的图形是图③，当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④，故有可能的图形是①②③④.【答案】 D12．如图11，已知△ABC中，BDDC＝23，AEEC＝34，AD、BE交于F，则AFFD·BFFE的值为()图11A.73B.149C.3512 D.5613【解析】过D作DG∥BE交AC于G.∵BD DC ＝23，∴DCBC＝35.∴DG BE ＝DC BC ＝35. ∴DG ＝35BE . 又EG EC ＝BD BC ＝25， ∴EG ＝25EC .又AE EC ＝34，∴EC ＝43AE . ∴FE DG ＝AE AG ＝AE AE ＋25EC＝AE AE ＋25×43AE＝1523. ∴FE ＝1523DG ＝1523×35BE ＝923BE . ∴BF FE ＝149，AF FD ＝AE EG ＝158. ∴AF FD ·BF FE ＝158×149＝3512. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)图1213．如图12，点E 、F 分别在AD 、BC 上，已知CD ＝2，EF ＝3，AB ＝5，若EF ∥CD ∥AB, 则CFFB 等于________．【解析】如图，过C 作CH ∥DA 交EF 于G ，交AB 于H ，则EG ＝AH ＝DC ＝2，GF ＝1，BH ＝3.∵GF ∥HB ，∴CF CB ＝GF HB ＝13， ∴CF FB ＝12. 【答案】 12图1314．如图13，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D.CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.【解析】 ∵AD ·BD ＝CD ·DT ， ∴DT ＝9，∴PT 2＝(PB ＋6)2－81.又∵PT 2＝PB ·(PB ＋9)，∴PB ＝15. 【答案】 1515．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin 双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e ＝________.【解析】依题意：Dandelin 双球球心距离即为圆柱母线长． ∴2a ＝12，∴a ＝6.又b ＝r ＝4， ∴c ＝a 2－b 2＝62－42＝2 5.∴椭圆的离心率e ＝c a ＝256＝53. 【答案】 53图1416．已知如图14，△ABC 中，边AC 上一点F 分AC 为AF FC ＝23，BF 上一点G 分BF 为BG GF ＝32，AG 的延长线与BC 交于点E ，则BE ∶EC ＝________.【解析】过F 作FD ∥AE 交BC 于D ，如图所示，则CD DE ＝CF AF ＝32，DE EB ＝FG GB ＝23，故CD ＝32DE ，BE ＝32DE ，EC ＝CD ＋DE ＝32DE ＋DE ＝52DE ，从而BE EC ＝35. 【答案】 3∶5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知如图15，DE ∥BC ，四边形DEFG 是平行四边形．求证：AH ∥DG .图15【证明】 ∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AD AB .∵GF ∥DE ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝HG HB .∵GF ＝DE ，∴DE BC ＝GF BC ，∴AD AB ＝HG HB .∴AH ∥DG .18．(本小题满分12分)如图16，AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的切线，DC 切⊙O 于E ，并与AD 、BC 分别交于D 、C 两点，BD 与AC 交于点F ，求证：FE ∥A D.图16【证明】 ∵AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的切线，∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB.∴AD ∥BC ，∴AD BC ＝AF FC .∵DC 与⊙O 切于E ，并与AD 、BC 分别交于D 、C 两点，∴AD ＝DE ，BC ＝CE .∴DE CE ＝AF FC ，∴FE ∥AD.19．(本小题满分12分)如图17，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．图17【证明】连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2.所以BD∥CE，于是ABAC ＝ADAE＝2r12r2＝r1r2.所以AB∶AC为定值．20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．图18【解】(1)证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.(2)设BP＝x，PE＝y，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12，①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ⇒9＋x y ＝62，②由①②得，⎩⎨⎧ x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－1.(舍去) ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.21．(本小题满分12分)(2013·洛阳模拟)如图19，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为中点，连接AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连接CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.图19【证明】 (1)如图，连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD.∵∠DFG ＝∠CFE ，∴∠ECF ＝∠GDF ，∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GDF ，∴∠DAG ＝∠ECF ，∴△CEF ∽△AGD ，∴CE EF ＝AG GD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD.(2)由(1)知∠DAG ＝∠GDF ，∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF ，由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.22．(本小题满分12分)(2012·湖北联考)已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆O 相切与点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB ＝10，AC ＝12.(1)求证：BA ·DC ＝GC ·AD ； (2)求BM .图20【解】 (1)证明：因为AC ⊥OB ，所以∠AGB ＝90°，又AD 是圆O 的直径，所以∠DCA ＝90°，又因为∠BAG ＝∠ADC (弦切角等于同弧所对圆周角)所以△AGB ∽△DCA ，所以BA AD ＝AG DC ，又因为OG ⊥AC ，所以GC ＝AG ，所以BA AD ＝GC DC ，即BA ·DC ＝GC ·AD.(2)因为AC ＝12，所以AG ＝6，因为AB ＝10，所以BG ＝AB 2－AG 2＝8，由(1)知：Rt △AGB ∽Rt △DCA ，所以AB AD ＝BG AC ，所以AD＝15，即圆的直径2r＝15，又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0. 解得BM＝5.。

高中数学人教A版选修4-1模块综合检测(一) Word版含解析

模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD ，△BCD 均与△ABC 相似． 2．已知：如图，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD ，DC 于E ，F 两点，AD ，BF 的延长线交于点M ，则下列等式成立的是( )A ．AD 2＝AE ·AMB ．AD 2＝CF ·DC C ．AD 2＝BC ·ABD ．AD 2＝AE ·ED解析：选A 在▱ABCD 中， ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BF BM . ∵DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC . ∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC .∴AD AM ＝AE AD ， ∴AD 2＝AE ·AM .3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( ) A ．射影为线段时，线段的长为8 B ．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8 C ．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8 D ．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：选D 由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8. 4.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54C.32D. 2解析：选B ∵PQ ⊥PC ， ∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP . ∴Rt △APQ ∽Rt △BCP . ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3， ∴PB ＝3，AP ＝1. ∴AP BC ＝AQ BP .即AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 5．如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则PA PB 等于( ) A ．2 B.12C. 3 D ．1解析：选C 利用切割线定理得PA 2＝PB ·PC ，又PB ＝13PC ，∴PA 2＝3PB 2，∴PA PB ＝ 3.6.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°解析：选B ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠POC ＝2∠A ＝70°. ∵OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠POC ＝20°.7.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO 等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°解析：选C ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD . 又∵AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD ，由此得∠ACO ＝∠CAD . ∵OC ＝OA ， ∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠CAD ＝∠CAO . 故AC 平分∠DAB ， ∴∠CAO ＝40°. 又∠ACO ＝∠CAO ， ∴∠ACO ＝40°.8.如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC ，垂足是P ，DH ⊥BH ，垂足是H ，下列结论：①CH ＝CP ；②¼AD ＝»DB；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③解析：选D 显然①可由△PCD ≌△HCD 得到；②因为四边形ABCD 为圆的内接四边形，所以∠BAD ＝∠HCD ＝∠ACD ，即¼AD ＝»DB，②成立；而③连接BD ，则AD ＝BD ，∠DAP ＝∠DBH ，所以Rt △APD ≌△BHD ，得AP ＝BH ，③成立；对于④不能判定DH 是圆的切线，故应选D.9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( )A.35B.45C.12D.22解析：选C 如图所示为截面的轴面，则AB ＝8，SB ＝6，SA ＝10，2cos ∠ASB ＝35，cos ∠BSP ＝cos 12∠ASB ＝1＋cos ∠ASB 2＝255.∴cos ∠SPB ＝sin ∠BSP ＝55. ∴e ＝cos ∠SPB cos ∠BSP ＝12.10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件： ①∠B ＋∠DAC ＝90°， ②∠B ＝∠DAC ， ③CD AD ＝AC AB， ④AB 2＝BD ·BC .其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选A 验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝ACAB可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90°；而④中AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC ，∠B 为公共角，则△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有3个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.(陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.解析：∵B ，C ，F ，E 四点在同一个圆上， ∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ， ∴△AEF ∽△ACB ， ∴AE AC ＝EFBC ，26∴EF ＝3. 答案：312．如图，AB 是⊙O 的直径，¼AD ＝¼DE，AB ＝10，BD ＝8，则cos ∠BCE ＝________.解析：如图，连接AD .则∠ADB ＝90°，且∠DAC ＝∠B ，所以cos ∠BCE ＝cos ∠DAB ＝DAAB ＝102－8210＝35. 答案：3513.如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CD ＝________.解析：由于PC 切⊙O 于点C ，由切割线定理得PC 2＝PA ·PB ， ∴PA ＝PC 2PB ＝428＝2，∴AB ＝PB －PA ＝8－2＝6.由于CD ⊥AB ，且AB 为圆O 的直径，由垂径定理知CE ＝DE ，连接OC ，在Rt △OCP 中，由射影定理，得OC 2＝OE ·OP ，则OE ＝OC 2OP ＝95，∵CE 2＝OE ·EP ＝95×⎝⎛⎭⎫5－95＝95×165，5∴CD ＝245.答案：24514．如图，△ABC 中，AD ∥BC ，连接CD 交AB 于E ，且AE ∶EB ＝1∶2，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，若S △ADE ＝1，则S △AEF ＝________.解析：∵AD ∥BC ， ∴△ADE ∽△BCE . ∴BE AE ＝CE DE ＝21.∵EF ∥AD ， ∴EF AD ＝CE DC ＝23.∵△ADE 与△AFE 的高相同， ∴S △AEFS △ADE ＝EF AD ＝23.∴S △AEF ＝23.答案：23三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦AG 交CD 于F .(1)求证：E ，F ，G ，B 四点共圆； (2)若GF ＝2FA ＝4，求线段AC 的长．解：(1)证明：如图，连接GB ，由AB 为圆O 的直径可知∠AGB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠AGB ＝∠BEF ＝90°. 因此E ，F ，G ，B 四点共圆．(2)连接BC.由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.又AF＝2，AG＝6，所以AE·AB＝12.因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2 3.16.(本小题满分12分)如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD 于点F，证明：(1)∠BFM＝∠PEF；(2)PF2＝PD·PC.证明：(1)连接OE.∵PE切⊙O于点E，∴OE⊥PE.∴∠PEF＋∠FEO＝90°.又∵AB⊥CD，∴∠B＋∠BFM＝90°.又∵∠B＝∠FEO，∴∠BFM＝∠PEF.(2)∵∠EFP＝∠BFM，∴∠EFP＝∠PEF.∴PE＝PF.又∵PE2＝PD·PC，∴PF2＝PD·PC.17.(本小题满分12分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P 在圆O 上，圆O 的弦BC 切圆P 于点B ，CP 及其延长线交圆P 于D ，E 两点，过点E 作EF ⊥CE ，交CB 的延长线于点F .(1)求证：B ，P ，E ，F 四点共圆；(2)若CD ＝2，CB ＝22，求出由B ，P ，E ，F 四点所确定的圆的直径．解：(1)证明：如图，连接PB . 因为BC 切圆P 于点B ，所以PB ⊥BC . 因为EF ⊥CE ，所以∠PBF ＋∠PEF ＝180°，所以B ，P ，E ，F 四点共圆．(2)连接PF ，因为B ，P ，E ，F 四点共圆，且EF ⊥CE ，PB ⊥BC ，所以此圆的直径就是PF . 因为BC 切圆P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22，所以由切割线定理得CB 2＝CD ·CE ，所以CE ＝4，所以DE ＝2，则BP ＝PE ＝1. 又因为Rt △CBP ∽Rt △CEF ，所以EF BP ＝CECB ，得EF ＝ 2.在Rt △FEP 中，PF ＝PE 2＋EF 2＝3，即由B ，P ，E ，F 四点确定的圆的直径为 3.18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD ，BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求PA 的长．解：(1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE CE ＝EFED . ∵∠DEF 是公共角， ∴△DEF ∽△CED .∴∠EDF ＝∠C . ∵CD ∥AP ， ∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA .∴DE PE ＝EFEA .即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD ，BC 相交于点E ， ∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4，∴EC ＝9. ∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：PA 2＝PB ·PC ， ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝152 3.。

人教新课标版数学高二人教A版选修4-1测评模块综合测评

模块综合测评选修4－1(A 版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．如图⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交于点P ，∠B ＝38°，∠APD ＝80°，则∠A 等于( )A ．38°B ．42°C ．80°D ．118°解析：∵∠B ＝38°，∠APD ＝80°，∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－38°＝42°，∴∠A ＝∠D ＝42°.答案：B2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC ＝12，BC ＝5，则CD 的长为( )A.6013B.12013C.5013D.7013解析：∵AC ＝12，BC ＝5，∠ACB ＝90°，∴AB ＝13. 又∵CD ⊥AB ，∴CD ·AB ＝AC ·BC ，即CD ＝AC ·BC AB ＝12×513＝6013. 答案：A3．如图，四边形BDEF 是平行四边形，如果CD ∶DB ＝2∶3，那么S ▱BDEF 是S △ABC 的( )A.49B.613C.619D.1225解析：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA . ∴S △CDE S △CBA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD CB 2. 又CD ∶DB ＝2∶3，∴CD ∶CB ＝2∶5， ∴S △CDE S △CBA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD CB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425， ∴S △CDE ＝425S △CAB .∵DE ∥AB ，∴CE CA ＝CD CB ＝25.∴AE AC ＝35.同理，S△AFE＝925S△CAB，∴S▱BDEF＝S△ABC－S△AFE－S△EDC＝S△ABC－925S△ABC －425S△ABC＝1225S△ABC.答案：D4．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG∶GD等于()A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3解析：作EM∥AD交CG于点M，易得△GFD≌△MFE，∴ME＝GD，∵ME为△CAG的中位线，∴ME＝12AG，则AGGD＝AGME＝21.答案：A5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°.又∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠BCD＝35×180°＝108°，∴∠A＝180°－108°＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C6．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B.如果OP＝4，PA＝23，那么∠AOB等于()A．90°B．100°C．110°D．120°解析：由题意可知Rt△AOP≌Rt△BOP，sin∠AOP＝APOP＝234＝32，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝2∠AOP＝120°.答案：D7．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于()A．15°B．20°C．25°D．30°解析：∵OA＝OC，∠A＝35°，∴∠ACO＝∠A＝35°，∴∠POC＝∠A＋∠ACO＝70°.∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.答案：B8．如图所示，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 为斜边AB 上一点，以O 为圆心的圆与边AC ，BC 分别相切于点E ，F .若AC ＝1，BC ＝3，则⊙O 的半径为( )A.12B.23C.34D.45解析：连接OE 、OF ，则四边形CEOF 为正方形， Rt △ABC ∽Rt △OBF ，∴OF AC ＝BFBC ， ∴OF 1＝3－OF 3，∴OF ＝34，即半径为34. 答案：C9．如图，PAB ，PCD 为⊙O 的两条割线，若PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11，则AC ∶BD 等于( )A ．1∶3B ．5∶12C ．5∶7D ．5∶11解析：由割线定理，得PA ·PB ＝PC ·PD ， ∴5×(5＋7)＝PC (PC ＋11)，∴PC ＝4或PC ＝－15(舍去)．又PA ·PB ＝PC ·PD ，即PA PD ＝PCPB ，∠P ＝∠P ， ∴△PAC ∽△PDB .∴AC BD ＝PA PD ＝515＝13. 答案：A10．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为(2,0), (0,2)，⊙C 的圆心坐标为(－1,0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( )A ．2B ．1C ．2－22D ．2－ 2解析：AD 与⊙C 在x 轴上方相切时，△ABE 的面积有最小值．连接CD ，则∠ADC ＝90°.AC ＝3，CD ＝1，由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝2 2.过切点D 作DF ⊥AC ，垂足为F .由△ACD ∽△DCF ，得AC DC ＝AD DF ＝CD CF ，31＝22DF ＝1CF ，解得CF ＝13，DF ＝223.则AF ＝AC －CF ＝3－13＝83.由△AOE ∽△AFD ，得AO AF ＝OE FD ，283＝OE 223，OE ＝22.则△ABE 的最小面积是12×BE ×OA ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22×2＝2－22.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图，在△ABC 中，DE 和FG 都平行于BC ，并把△ABC 面积分成S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10.若BC ＝15，则DE ＝__________，FG ＝__________.解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2，设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，则kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE 152，解得DE＝15(负值舍去)．同理S △ADE S △AFG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE FG 2，∴kk ＋4k ＝⎝⎛⎭⎪⎫15FG 2，解得FG ＝53(负值舍去)．答案：15 5 312．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为AB 的中点，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，则CD 与CE 的关系是__________．解析：∵E 是AB 的中点，∴AE AB ＝12. ∵AB ＝AC ， ∴AE AC ＝12.又AB ＝AC ＝BD ， ∴AC AD ＝12.∴AE AC ＝ACAD ，∠A ＝∠A ， ∴△AEC ∽△ACD ， ∴CE CD ＝AE AC ＝12， ∴CD ＝2CE . 答案：CD ＝2CE13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ，过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为__________．解析：设CD ＝x ，则AD ＝4x ，因为AF ·FB ＝CF ·FE ，所以CF ＝2，又CF BD ＝AF AB ＝34⇒BD ＝83，又BD 2＝x ·4x ⇒x ＝43. 答案：4314．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切圆O 于点C .已知圆O 半径为3，OP ＝2，则PC ＝__________；∠ACD 的大小为__________．解析：连接OC ，由切割线定理，得PC 2＝PB ·PA ＝(2－3)(2＋3)＝1，∴PC ＝1，∵PD 切圆O 于点C ，∴△OPC为直角三角形，∴sin∠POC＝PCOP ＝1 2，∴∠POC＝30°，∴∠AOC＝150°，弧AC为150°的弧，∴∠ACD＝75°.答案：175°三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°.∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF ∽△DEC .(6分)(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD ＝AB ＝4.又∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD .在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝(33)2＋32＝6，∵△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF DC . ∴336＝AF 4，AF ＝2 3.(12分)16．(12分)如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．解：(1)连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC .(4分)(2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12，①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ⇒9＋x y ＝62＝3，②由①②得，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝－1(舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16＝144，∴AD ＝12.(12分)17．(12分)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD，而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(6分)(2)因为FG∥BC，故GB＝CF，由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，又∠GDB＝∠EFC＝∠DCF，∠DCF＝∠BDC，∴∠GDB＝∠BDC.故△BCD∽△GBD.(12分)18．(14分)如图所示，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．解：(1)∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∵四边形AFBC内接于圆，∴∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，又∠DAC＝∠FBC，∴∠FBC＝∠FCB.∴FB＝FC.(4分)(2)∵∠FBC＝∠FAB＝∠FCB，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB，FBFD ＝FA FB，∴FB2＝FA·FD.(8分)(3)AB是△ABC外接圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∠EAC＝60°，∠BAC＝60°. ∴∠DAC＝12∴∠D＝30°，∵BC＝6 cm，∴AC＝2 3 cm，∴AD＝2AC＝4 3 cm.(14分)。

高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测(九) 弦切角的性质 Word版含解析

课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠BB ．∠PAC ＝∠P C ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA ＝∠B .2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析：选B 连接OC .∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC .∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°.连接BC ，则∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C 连接BC ，则∠ACB ＝90°，又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°，即∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC ，∴AC 2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A连接BC .∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P .∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P .∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC PA ＝PB PC. ∴PC 2＝PB ·PA ，即AC 2＝PB ·PA .而AC 2＝AB 2－BC 2，设⊙O 半径为r ，则4r 2－12＝1·(1＋2r )，解得r ＝1.二、填空题5．如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°.答案：80°6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC .∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC .∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2.∴PC ＝2 3.∵OC ·PC ＝OP ·CD ，∴CD ＝2×234＝ 3. 答案： 37．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC. 而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.答案：35三、解答题8.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B )，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E .求证：CB ＝CE .证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CB＝CE.9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，所以BCAC＝CECB，即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A 点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD. 又∵BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中，ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

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