2015-2016学年湖北省百校大联盟高三(上)10月联考数学试卷(理科)(解析版)
湖北省2015届高三上学期10月联考数学试题及详解(理)
教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g xA1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ；（2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t'=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||4b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0，可得集合19={|}24B x x <<…………2分 19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n +=所以 22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分 综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去） (11)分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =，11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分 综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x --'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立，构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立， 取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e<成立. ………………………………14分。
湖北省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学
省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学试题考试时间2015年10月27日15:00-17:00 满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3B ．2C ．5D ．5 2．下列命题中正确命题的个数是(1)对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； (2)命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 (3)回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08 (4)3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(5)若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是4π； A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．执行右面框图，则输出m 的结果是 A ．5B ．7C ．9D ．114．某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是 A ．13B ．6πC ．23D ．1 5．在ABC ∆中， ac b =2，且33,cos 4a c B +==，则BC AB ⋅= A ．32 B ．32- C ．3D ．－3 6．定义在R 上的函数()xxg x eex 则满足(21)(3)g x g 的x 的取值围是A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－1，2)D ．(2，＋∞)7．若x 、y 满足，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为A ．2B ．2-C ．12D ．12-8．)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2||πϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x =的图象，只要将)(x f 的图象 A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为 A ．3B ．2C ．6D ．310．已知()3sin 2cos 2f x x a x =+，其中a 为常数.()f x 的图象关于直线6x =π对称，则()f x 在以下区间上是单调函数的是A ．31[,]56--ππB ．71[,]123--ππC ．11[,]63-ππD ．1[0,]2π 11．定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③2()1f x x =-，④()x f x e -=，其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()2f x x x a x =-+,若存在[]3,3a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值围是 A ．95(,)84B ．25(1,)24C ．9(1,)8D ．5(1,)4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
湖北省部分重点中学2015届高三上学期十月联考数学(理)试卷
湖北省部分重点中学2015届高三上学期十月联考数学（理）试卷考试时间：2014年10月16日上午8：00-10：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,A x x x R =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则AB =( )A. {}|11x x -≤≤B. {}|01x x ≤≤C. {}|0x x ≥D. ∅A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知二项式2(2nx +（*n N ∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( ) A ．180 B ．360 C ．1152 D ．23044.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5.两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是且a b >，则抛物线2b x y a=-的焦点坐标是( )A ．2(0,)5- B ．2(,0)5-C ．1(0,)5-D ．1(,0)5-6．函数25()2sin log 8f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D.4 7.十一黄金周期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“千古帝乡，智慧襄阳”、“养生山水，长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是( )A.5081B. 2081C. 81125D. 271258．已知直线0x y k --=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有正视图||3||OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是( )A. )+∞B.C. )+∞ D.9.对于函数3()3f x x x a =++，在曲线221xy x =+上存在点(,)s t ，使得(())f f t t =，则a 的取值范围是( )A.(3,0)-B.[]3,0-C.(3,3)-D.[]3,3-10.记{}max ,a b 为两数,a b 的最大值，当正数,x y 变化时，2212max ,,4t x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.执行如右图所示的程序框图，若输出的b 的值为127，则图中判断框内①处应填的整数为 ．12.ABC ∆中sin :sin :sin 6A B C =,则ABC ∆最大角与最小角的和是____．13．已知曲线1()()n f x xn N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201512015220152014log log log x x x +++的值为_______．14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为__________．15.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A 曲线，则该曲线的长度为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）设函数2()cos cos f x x x x a =++. (I) 求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(II) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求()f x 的解析式；(III) 将满足（Ⅱ）的函数()f x 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()g x ，求()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积.17．（本题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列. (I)求等比数列{}n a 的通项公式；(II)对*n N ∈,在n a 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n +个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符（I 的概率；（II ）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周．．后随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E ξ和D ξ．19．（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆ 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . （I ）求证：BM AD ⊥ ；（II ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为20．（本题满分13分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(I) 求该椭圆的离心率；(II) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.若对任意正整数p ，.试判断)(x S n 是否是湖北省部分重点中学2014-2015学年度第一学期十月联考A高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.B;2.D;3.A;4.C;5.C;6.C;7.A;8.B;9.D;10.B二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.8; 12.23π; 13. 1-; 14.8; 15. 6三、解答题：本大题共6小题，共75分.16． 解：（Ⅰ）cos 211()2sin(2)2262x f x x a x a π+=++=+++，…………2分 ∴()f x 的最小正周期为π……………………………………………………………………3分由3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ 故函数()f x 的单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦……………………………4分注：上面函数()f x 的单调递减区间写成开区间或半开半闭区间也正确.. (II) ,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,512,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴+∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为322a +……………………6分由题意，33222a +=，0a ∴=………………………………………………………………7分故1()sin(2)62f x x π=++……………………………………………………………………8分(III) 函数1()sin(2)62f x x π=++的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()sin g x x =……………………………10分∴()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积为22002sin 2cos 2xdx x ππ=-=⎰…………………………………………………………………………………………………12分 17．解：（I ）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，…………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22210q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，………………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =…………………………………………………6分 （II ）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，……………………………………………… 9分133()39322[()1]44212n n n T +-==--…………………………………………………… 12分18．解（I ）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A ， ………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．6分 的比例如下：………8分由题意，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布，即17~(5,)B ξ………………………………………………………………………10分 11分12分 平面ABCM ，1,2==AD AB ，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ON AM⊥，以O 为原点，,,OA ON OD的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系…………………………………………………………2分((((0,0,)2222A B M D --,则22(,0,),(0,2,0)22AD BM =-=,所以0,AD BM AD BM =∴⊥……………6分 （Ⅱ）设DE DB λ=,的一个法向量=010n （，，）2(ME MD DB λ=+=,(AM =-的一个法向量为(,,m x y =⎩1,1y z ==-所以(0,1,m =5,5m n m n m n⋅==⋅20.解：(I) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==…………………………4分.(II) 由(I)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck xk c c +++-=…………………………………………5分从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，………………6分所以22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+.由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以2222222212222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. …………………10分 令12S t S =，则9t >，从而1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41.………………………………………………………………………………………13分21．解：（I ）函数ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，21ln '()xf x x -=…………………1分 设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为021ln x x -，所以切线方程为00021ln ()x y y x x x --=-……………………………………………………………………2分，又因为原点在切线上，所以000201ln x y x x -=，即000200ln 1ln x x x x x -=，解得0x 3分故所求的直线方程为2xy e=………………………………………………………………4分 （II ）令()0g x =，得()l n m f xx =，令()()l n x f x x ϕ=，则222l n l n '()x xx x ϕ-=，由'()0x ϕ=，得1x =或2x e =………………………………………………………………5分又因为在区间1(,1)e上'()0x ϕ<，在区间2(1,)e 上'()0x ϕ>，在区间2(,)e +∞上'()0x ϕ<……………………………………………………………………………………6分所以函数()x ϕ在区间1(,1)e上递减，在区间2(1,)e 上递增，在区间2(,)e +∞上递减且2214(1)0,()()e e ee ϕϕϕ==>=…………………………………………………………7分 故当0m <或m e >时，函数()g x 没有零点；当0m =或24m e e<≤时，函数()g x 有一个零点；当240m e<≤时，函数()g x 有两个零点.………………………………………9分（III ）由（II ）知当1x >时，22ln 4x x e≤恒成立，即224ln x x e ≤对任意1x >恒成立，又*,n p N ∈，所以当1x >时，[]224ln ()()n p x n p x e+≤+成立…………………………10分又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，24()4()n p x n p e+≤+故当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，[]2ln ()4()n p x n p +≤+…11分 而对[]23ln (1)()()(1)n p n n x S x S x n ++-=++[]23ln (2)(2)n x n ++++[]23ln ()()n p x n p ++ 34(1)(1)n n +≤+34(2)(2)n n ++++34()()n p n p +++3331114(1)(2)()n n n p ⎡⎤=++⎢⎥+++⎣⎦11111444()(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p n n p n ⎡⎤<+++=-<⎢⎥++++-++⎣⎦…………13分综上，()n S x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是“高效”的.……………………………………………14分。
2015—2016学年度湖北省部分高中期中联考高三理科数学参考答案
a 2, 所以当 a 0 时，有 解得 1 a 2; 3 3a,
所以实数 a 的取值范围是 1 a 2 . 18. 解：(1)设公差为 d ，由已知得 解得 d 1或d 0(舍去） …..3 分 所以 a1 3, a n n 2 …………..5 分 ……10 分
由 f ( x ) 0, 得x ln 当 x ln ③当 e
2
a a 1,2 ，当 x 1, ln 时f ( x ) 0, f ( x )递减 ， 2 2
a a a ,2时f ( x ) 0, f ( x )递增 所以 f ( x ) min f (ln ) a a ln 2 ….5 分 2 2 2 a 即 a 2e 2 时 2
MF2 MF1 PF1 2 3 ，且 F1 F2 2 2 2 3 …………..3 分
M在以 F1，F2 为焦点，长轴长为 2 3的椭圆上
。
点M的轨迹方程为：x 2
y2 1 …………………5 分 3
（2）假设存在满足条件的点 Q（x ,0) 。
1 当 l x轴 时， l的方程为 x 0
3/5
k 点Q到直线l的距离d
d
所以
2 2k 2 3 k2 1 k 2
3 2 1 k 2 3 k2
3 2 1 k 2 3 2 3 (1 k 2 ) 3 AB 即： 2 2 3 k2 3 k2
k2 1
点Q的坐标为（
2 2 2 2 或点 Q的坐标为（ ， 0） ， 0） 4 4 2 2 ， 0） 4 …….12 分
此时 A 点坐标为 (0, 3 ) ， 显然 x轴上存在点Q（ 3， 满足题意。 B点坐标为（0， - 3） 0） …6 分
2016届湖北省百校大联盟高三上学期10月联考英语试题及答案
湖北省百校大联盟2016届高三上学期10月联考高三英语试卷考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What time is it in New York?A. It's 5:00 pm.B. It's 7:00 pm.C. It's 10:00 pm.2. What do we know about the man?A. He dialed the wrong number.B. He was looking for Philips.C. He invited the woman to have ice cream.3. What does the man think is important?A. To be unexpected.B. To enjoy every song.C. To get what you expect.4. What may lead to the man finding no job?A. His age.B. His living address.C. His email address.5. Why isn’t the man's brother bringing Jennifer to the party?A. They are divorced now.B. They live very far away.C. Jennifer broke her leg.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
湖北省百校大联盟2020届高三10月联考数学(理)-含答案
湖北省百校大联盟2020届高三10月联考数学（理）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容，集合与常用逻辑用语，函数与导致，三角函数。
一、选择题：本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合求的。
、 1.若集合{}121M x x =--≤＜，{}2680M x x x =-+＜则，M N ⋃=A. (]2,3B. ()2,3C. [)1,4D. ()1,42.命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为A.所有的偶函数的值域都不为RB.存在一个偶函数，其值域不为RC.所有的奇函数的值域不为RD.存在一个奇函数，其值域不为R3.函数()ln f x x =的定义域为A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. [),1-∞-D.[)()1,00,-⋃+∞4.若10b a =，且a 为整数，则“b 能被 5整除”是“a 能被 5整除的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为A. ()3808k x k ππ=-+∈Z B. ()3202k x k ππ=-+∈Z C. ()3808k x k ππ=+∈ZD. ()3808k x k ππ=+∈Z6.图中的4片中叶子由曲线2y x =与曲线2y x =围成，则每片叶子的面积为A.16B.C. 13D.237.下列不等式正确的是A. 3sin130sin 40log 4＞＞B. tan 226ln 0.4tan 48＜＜C. ()cos 20sin 65lg11-＜＜D. 5tan 410sin 80log 2＞＞8.函数()22cos xx x f x e-=在上的图象大致为[],ππ-A. B.C. D.9.已知cos 270.891≈)cos72cos18+的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.8110.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()f x 的图象关于点（3，0）对称，当12x ≤≤时，()()32log 43f x x x =++，则16092f ⎛⎫=⎪⎝⎭A.-4B.4C.-5D.511.函数()f x =的值域为A. ()2,2-B. ()1,1-C. [)2,0-D. (),2-∞-12.若函数()()3220f x x axa =-＜在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围 A. [)4,0-B. (],4-∞-C. [)2,0-D. [),2-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡的相应位置。
2016-2017学年湖北省百所重点中学高三(上)联考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖北省百所重点中学高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或32．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣C．﹣3 D．﹣3．（5分）已知函数f（x+1）=，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．（5分）为得到函数y=﹣sin2x的图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）“b≤∫dx”是“函数f（x）=是在R上的单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件e6．（5分）sin3，sin1.5，cos8.5的大小关系为（）A．sin1.5＜sin3＜cos8.5 B．cos8.5＜sin3＜sin1.5C．sin1.5＜cos8.5＜sin3 D．cos8.5＜sin1.5＜sin37．（5分）已知命题p：对任意x∈（0，+∞），log4x＜log8x，命题q：存在x∈R，使得tanx=1﹣3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q8．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．10．（5分）4sin80°﹣等于（）A．B．﹣C．2 D．2﹣311．（5分）设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．12．（5分）若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“若x≥1，则x2﹣4x+2≥﹣1”的否命题为．14．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y∈R，x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y∈R，y=4x2﹣1}，则A∩B的元素个数是．15．（5分）若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=．16．（5分）设函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+1），且当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），若关于x的方程f（x）=kx有3个不同的实数根，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f （x）=的定义域为A，m＞0，函数g（x）=4 x﹣1（0＜x≤m）的值域为B．（1）当m=1时，求（∁R A）∩B；（2）是否存在实数m，使得A=B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．19．（12分）设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f（x）=x3+x2+9x无极值点．（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2﹣（2m+）a+m（m+）＞0，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．20．（12分）已知函数f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x∈[，]，且F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）的最小值是﹣，求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）=+﹣（a﹣）lnx（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）证明：当a∈[，2]时，函数f（x）没有零点（提示：ln2≈0.69）．22．（12分）已知函数f（x）=（a，b∈R且a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，且f（x）有极大值，求实数a的取值范围；（2）若a=b=1，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．（提示：e＞，e＜）2016-2017学年湖北省百所重点中学高三（上）联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•沙河口区校级期中）已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，若A∩B≠∅，则a=2或a=3，故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016秋•鼓楼区校级期中）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣C．﹣3 D．﹣【分析】求出OP的距离，直接利用三角函数的定义，求出cosθ，列出方程，即可求出x的值．【解答】解：已知角α的终边经过点P（x，3）（x＜0）所以OP=，由三角函数的定义可知：cosθ=x=，x＜0解得x=﹣1．故选A．【点评】本题是基础题，考查三角函数的定义的应用，考查计算能力．3．（5分）（2016秋•湖北月考）已知函数f（x+1）=，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解切线的斜率．【解答】解：由已知得，则，所以f'（1）=1．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．4．（5分）（2016秋•湖北月考）为得到函数y=﹣sin2x的图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）=﹣sin（2x﹣+π）=﹣sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=﹣sin[2（x﹣）+]=﹣sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．（5分）（2016秋•沙河口区校级期中）“b≤∫dx”是“函数f（x）=是在R上的单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件e【分析】先根据定积分的计算法则求出b的范围，再根据分段函数的单调性得到b的范围，根据充分必要条件的定义即可求出，【解答】解：b≤∫dx=lnx|=1+1=2，∵函数f（x）=是在R上的单调函数，∴0+2＞30+b，解得b＜1，∴b≤∫dx”是“函数f（x）=是在R上的单调函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理6．（5分）（2016秋•湖北月考）sin3，sin1.5，cos8.5的大小关系为（）A．sin1.5＜sin3＜cos8.5 B．cos8.5＜sin3＜sin1.5C．sin1.5＜cos8.5＜sin3 D．cos8.5＜sin1.5＜sin3【分析】首先利用正余弦函数的周期性来化简，并通过化简后的函数单调性来判断即可．【解答】解：由于cos8.5=cos（8.5﹣2π），因为，所以cos8.5＜0，又sin3=sin（π﹣3）＜sin1.5，∴cos8.5＜sin3＜sin1.5．故选：B．【点评】本题主要考查了正余弦函数的周期性以及单调性等基础知识，属简单题．7．（5分）（2016秋•湖北月考）已知命题p：对任意x∈（0，+∞），log4x＜log8x，命题q：存在x∈R，使得tanx=1﹣3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【分析】根据对数的运算性质，可得当x＞1时，log4x＜log8x不成立，即p为假命题．当x=0时，tanx=1﹣3x=0，即q是真命题，再由复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：∵，∴当x＞1时，，即log4x＞log8x，即p为假命题．当x=0时，tanx=1﹣3x=0，即q是真命题，从而（¬p）∨q为真命题．p∧q，（￢p）∧（￢q），p∧（￢q）均为假命题，故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数的运算性质，方程根的个数，复合命题，难度中档．8．（5分）（2016秋•湖北月考）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．9．（5分）（2016•禹州市三模）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．【点评】本题考查了函数单调性的综合运用，函数的单调性对应着导数的正负，若已知函数的单调性，经常会将其转化成恒成立问题解决．属于中档题．10．（5分）（2016•海口模拟）4sin80°﹣等于（）A．B．﹣C．2 D．2﹣3【分析】将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．【解答】解：4sin80°﹣======﹣，故选：B．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的正弦与余弦，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016秋•嘉陵区校级期中）设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]⊆A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a的最大值．【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤．∴实数a的最大值为．故选：B．【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．（5分）（2016秋•沙河口区校级期中）若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：D．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•湖北月考）命题“若x≥1，则x2﹣4x+2≥﹣1”的否命题为若x＜1，则x2﹣4x+2＜﹣1．【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．【解答】解：命题“若x≥1，则x2﹣4x+2≥﹣1”的否命题为：若x＜1，则x2﹣4x+2＜﹣1；故答案为：若x＜1，则x2﹣4x+2＜﹣1．【点评】本题考查四种命题的逆否关系的应用，注意命题的否定与否命题的区别，是基础题．14．（5分）（2016秋•宜城市校级期中）已知集合A={（x，y）|x，y∈R，x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y ∈R，y=4x2﹣1}，则A∩B的元素个数是3．【分析】联立A与B中两解析式，求出x与y的值，即可确定出两集合的交集即可．【解答】解：联立得：，消去y得：x2+（4x2﹣1）2=1，即16x4﹣7x2=0，解得：x=0或x=±，∴y=﹣1或y=，∴A∩B={（0，﹣1），（，），（﹣，）}，则A∩B的元素个数是3，故答案为：3【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．15．（5分）（2016秋•湖北月考）若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=3．【分析】由两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得=，整理即可解得tanα的值，结合α的范围及诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵tan（α+）=sin2α+cos2α，∴==，整理可得：tan2α（3+tanα）=0，解得：tanα=0，或﹣3，∵α∈（，π），可得：tanα＜0，∴tanα=﹣3，∴tan（π﹣α）=﹣tanα=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）（2016秋•湖北月考）设函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+1），且当0≤x≤1时，f （x）=x（1﹣x），若关于x的方程f（x）=kx有3个不同的实数根，则k的取值范围是（5﹣2，1）∪{2} ．【分析】先确定函数f（x）为周期函数，再将问题等价方程f（x）仅有唯一实数根，并结合函数的图象与判别式得出k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x+1），∴f（x+2）=f（x），即f（x）是以2为周期的函数，因为，当x∈[0，1]时，f（x）=x（1﹣x），所以，x∈[﹣1，0]时，x+1∈[0，1]，所以，f（x）=﹣f（x+1）=x（x+2），∴f（x）在一个周期内的解析式为f（x）=，如右图，依题意，方程f（x）=kx有三个不等的实根，则该方程一根为负，一根为正，一根为0，即f（x）=kx只有唯一一个正实数根，当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）（3﹣x），令（x﹣2）（3﹣x）=kx，整理得，x2+（k﹣5）x+6=0，由△=0，解得k=5﹣4（舍k=5+4），此时，直线y=（5﹣4）x与f（x）的图象相切，共有5个交点，如图长虚线直线，所以，k＞5﹣4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①另一方面，函数f（x）=x（1﹣x）在x=0处的导数为f'（0）=1，即直线y=x与f（x）的图象只有一个交点，如图短虚直线，所以，k＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当1＜x＜2时，﹣1＜x﹣2＜0，f（x﹣2）=（x﹣2）（x﹣1），可得f（x）=f（x﹣2）=x2﹣3x+2，由x2﹣3x+2=kx，可得判别式为（3+k）2﹣8=0，解得k=2﹣3（﹣2﹣3舍去），当直线y=kx（k＜0）与y=f（x）相切可得2﹣3．综合以上讨论得，k∈（5﹣2，1）．故答案为：（5﹣2，1）∪{2}．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数周期性的判断与应用，函数的图象与性质，以及函数零点个数的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•江岸区校级期中）已知函数f （x）=的定义域为A，m＞0，函数g（x）=4 x﹣1（0＜x≤m）的值域为B．（1）当m=1时，求（∁R A）∩B；（2）是否存在实数m，使得A=B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出A，进而求出A的补集，把m=1代入确定出x的范围，进而求出g（x）的值域，确定出B，找出A补集与B的交集即可；（2）表示出g（x）的值域确定出B，根据A=B求出m的值即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：＜x≤，即A=（，]，∴∁R A=（﹣∞，]∪（，+∞），当m=1时，由0＜x≤1，得到＜4x﹣1≤1，即B=（，1]，则（∁R A）∩B=（，1]；（2）由题意得：B=（，4m﹣1]，若存在实数m，使A=B，则必有4m﹣1=，解得：m=，则存在实数m=，使得A=B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（12分）（2016秋•湖北月考）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．【分析】（1）利用两角和的正弦函数求出三角函数值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．（2）利用两角和与差的余弦函数以及二倍角公式化简求解即可．【解答】解：（1）α∈（0，），满足sinα+cosα=．可得2（sinα+cosα）=．可得sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）由（1）可得cos2（α+）=1﹣2=，sin2（α+）=2×=．cos（2α+）=cos[2（α+）﹣]=cos2（α+）cos+sin2（α+）sin==．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•沙河口区校级期中）设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f（x）=x3+x2+9x无极值点．（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2﹣（2m+）a+m（m+）＞0，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．【分析】分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围；（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p与q只有一个命题是真命题，进而得到答案；（2）求出“p∧q”为真命题，实数a的取值范围，结合r是￢t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值．【解答】解：由3a≤9，得a≤2，即p：a≤2．…（1分）∵函数f（x）无极值点，∴f'（x）≥0恒成立，得△=9（3﹣a）2﹣4×9≤0，解得1≤a≤5，即q：1≤a≤5．…（3分）（1）∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q只有一个命题是真命题．若p为真命题，q为假命题，则．…（5分）若q为真命题，p为假命题，则．…（6分）于是，实数a的取值范围为{a|a＜1或2＜a≤5}．…（7分）（2）∵“p∧q”为真命题，∴．…（8分）又，∴，∴a＜m或，…（10分）即t：a＜m或，从而¬t：．∵r是¬t的必要不充分条件，即¬t是r的充分不必要条件，∴，解得，∵m∈N*，∴m=1…（12分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，函数的极值，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题，难度中档．20．（12分）（2016秋•湖北月考）已知函数f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x∈[，]，且F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）的最小值是﹣，求实数λ的值．【分析】（1）先利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x∈[，]时，化解F（x），求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可得实数λ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．化简可得：f（x）=sin cos2x﹣cos sin2x﹣2sin（x﹣）cos（π﹣+x）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）函数f（x）的最小正周期T=，∵2x﹣∈[，]，k∈Z单调递增区间；即≤2x﹣≤，解得：≤x≤，∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）=﹣4λsin（2x﹣）﹣cos（4x﹣）=﹣4λsin（2x﹣）﹣1+2sin2（2x﹣）令t=sin（2x﹣），x∈[，]，∴2x﹣∈[0，]∴0≤t≤1那么F（x）转化为g（t）=﹣4λt+2t2﹣1，其对称轴t=λ，开口向上，当t=λ时，取得最小值为，由，解得：λ=．故得实数λ的值为．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．21．（12分）（2016秋•湖北月考）已知函数f（x）=+﹣（a﹣）lnx（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）证明：当a∈[，2]时，函数f（x）没有零点（提示：ln2≈0.69）．【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）得到f（a2）=[a2+1﹣（a2﹣1）lna2]，由于≤a2≤4，设g（x）=x+1﹣（x﹣1）lnx，（≤x≤4），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f（x）=[x+﹣（a2﹣1）lnx]，∴f′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，a2）时，f′（x）＜0，x∈（a2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，a2）递减，在（a2，+∞）递增，∴x=a2时，f（x）取极小值f（a2）=[a2+1﹣（a2﹣1）lna2]；（2）由（1）得：x=a2时，f（x）取极小值也是最小值，f（a2）=[a2+1﹣（a2﹣1）lna2]，∵≤a≤2，∴≤a2≤4，设g（x）=x+1﹣（x﹣1）lnx，（≤x≤4），则g′（x）=﹣lnx，∵g′（x）在[，4]递减，且g′（1）＞0，g′（2）＜0，∴g′（x）有唯一的零点m∈（1，2），使得g（x）在[，m）递增，在（m，4]递减，又由于g（）=＞0，g（4）=5﹣6ln2＞0．∴g（x）＞0恒成立，从而f（a2）=[a2+1﹣（a2﹣1）lna2]＞0恒成立，则f（x）＞0恒成立，∴a∈[，2]时，函数f（x）没有零点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．22．（12分）（2016秋•湖北月考）已知函数f（x）=（a，b∈R且a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，且f（x）有极大值，求实数a的取值范围；（2）若a=b=1，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．（提示：e＞，e＜）【分析】（1）求出函数的导数，求出b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出x=1时函数取极大值，求出a的范围即可；（2）求出f（x）的导数，求出m的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=，∴f′（1）=b=0，∴f′（x）=，a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞1，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）只有极小值，不合题意；a＜0时，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在x=1处取得极大值，故a的范围是（﹣∞，0）；（2）a=b=1时，f（x）=，f′（x）=，设g（x）=e x（x﹣1）+1﹣lnx，则g′（x）=x（e x﹣），设g′（m）=0，∵e＞，e＜，且y=e x﹣在x∈（0，+∞）递增，∴＜m＜，不难得到g（x）≥g（m），∵e m=，∴m=﹣2lnm，∴g（m）=，∵（m3+2m2+2m﹣2）′=3m2+4m+2＞0恒成立，∴φ（m）=m3+2m2+2m﹣2递增，∴φ（m）＞φ（）=＞0，∴g（m）＞0，g（x）＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．、2017年1月10日。
湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学(理)
湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=21c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m =(2015)f =15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =-若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间； （2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a+-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c ++的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右2y kx =+恒图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去） 故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+ 15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y+=，又曲线C即圆心为()2,0C，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y-+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y<，联立方程组得22(2)4x yx yy+=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22xy=⎧⎨=-⎩，故交点P的坐标为(2,2)-.过交点P且与曲线C相切的直线的普通方程是2y=-，对应的极坐标方程为sin2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）解析：（1）因为集合{|23}A x x=<<，因为12a=函数29(2)4lg=lg12xx aya x x--+=--，由9412xx-->0，可得集合19={|}24B x x<<…………2分19{|}24UB x x x=≤≥或ð，…………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x=≤<ð. ……………………………6分（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A B⊆由{|23}A x x=<<，而集合B应满足2(2)x aa x-+>-，因为22172()024a a a+-=-+>故2{|2}B x a x a=<<+，……………………8分依题意就有：2223aa≤⎧⎨+≥⎩，………………………………………10分即1a≤-或12a≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分（Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分 综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x<-. ……………………………3分 （Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a +>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试数学(理)试题
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题考生注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上．3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数（60%）；三角函数与平面向量（40%）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则M N 等于A ．()0,2B ．()0,1C ．()1,2D ．()1,1- 2、2014cos()3π的值为A ．12 B ．2 C ．12- D ． 2-3、已知a 为常数，则使得11aa dx x>⎰成立的一个充分而不必要条件是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．a e > D ．a e <4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．．13- D ．-5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -且sin C B =， 则A 等于 A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2 7、给出下列命题，其中错误的是A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D．函数sin (0)y x x ωωω=≠最小正周期为π的充要条件是2ω= 8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的 切线与两坐标轴围成的面积为 A ．43 B ．74 C ．94D ．4 9、已知,a b R ∈，函数()tan f x x =在4x π=-处于直线2y ax b π=++相切，设()x g x e =2bx c ++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数mA ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +10、对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上 11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=12、化简2log2lg5lg2lg2+-的结果为13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2c o s 2B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f x g x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95． 其中所有正确的结论的序号是三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若1()23a f π=，求2cos()3πα-的值．17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润； （2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值． 18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．19、（本小题满分12分） 已知函数()2(0)2mx nf x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 2f x θθθ≤+对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围．20、（本小题满分14分） 已知()(ln 1)x f x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．21、（本小题满分14分） 已知()ln (,1mf x n x m n x =++为常数)，在1x =处的切线方程为20x y +-=． （1）求()y f x =的单调区间；（2）若任意实数1[,1]x e ∈，使得对任意的1[,2]2t ∈上恒有()3222f x t t at ≥--+成立， 求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意正整数n ，有124()(ln1ln 2ln )2231nn n n +++++++≥+．。
湖北省教学合作2015届高三数学10月联考试题 理(含解析)新人教A版
教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、已知集合22{|23},{|0}2x A x y x x B x x +==--=≤-，则A B =A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1--【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】D 解析：依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.【思路点拨】求出集合A ，B 的等价条件，即可得到结论．【题文】2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件．（3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】C 解析：命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C【思路点拨】根据p ∧q ，￢p 的真假和p ，q 真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可判断这几个命题的真假．【题文】3、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【知识点】函数的图象与图象变化．B10【答案解析】A 解析：①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y 轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y 轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y 轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．【题文】4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >> 【知识点】对数值大小的比较．菁B7【答案解析】B 解析：由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B. 【思路点拨】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【题文】5、将函数2cos 2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g xA1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增【知识点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C5 C4【答案解析】D 解析：化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D.【思路点拨】由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到2()2sin(2)3g x x π=-，易得最大值是2，周期是π，故A ，C 均错；由22()32x k k Z πππ-=+∈，求出x ，即可判断B ；再由正弦函数的增区间，即可得到g （x ）的增区间，即可判断D ．【题文】6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f aD f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 【知识点】导数的运算．B11 【答案解析】D 解析：由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .【思路点拨】设利用导数及直线斜率的求法得到A 、B 、C ，D 分别为对数函数的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案． 【题文】7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx=⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x==；③()()234f x g x x π==；④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在．其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】微积分基本定理．B13 【答案解析】C 解析：对于①，111111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dxg x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C【思路点拨】利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间[﹣1，1]上的“等积分”函数的组数【题文】8、已知2221a b c ++=，21c x x m+≤-++对任意实数,,,a b c x恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．[)8,+∞ B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞【知识点】一般形式的柯西不等式．N4 【答案解析】 B 解析：由柯西不等式得,9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.【思路点拨】由柯西不等式求得3232≤++c b a ，可得1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立．再根据|x ﹣1|+|x+m|≥|m+1|，可得13m +≥，由此求得m 的范围．【题文】9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：依题意：画出不等式组040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ．【思路点拨】首先作出不等式组40x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，然后根据直线2y kx =+恒过点B （0，2），且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k ＜0．联立方程组求出D 的坐标，根据三角形的面积公式求得k 的值，最后把OM ON ⋅转化为线性目标函数解决．【题文】10、已知函数()()2212,3ln 2f x x ax g x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】D 解析：依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x '=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x ax ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a >所以0x a=，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13ln )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e==即为实数b 的最大值.【思路点拨】分别求出函数f （x ）的导数，函数g （x ）的导数．由于两曲线y=f （x ），y=g（x ）有公共点，设为00(,)P x y ，则有00()()f xg x =，且00()()f xg x ''=，解出x0=a ，得到b 关于a 的函数，构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b 的最大值．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上 【题文】11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a上的投影为【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3【答案解析】18-解析：因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--=,故331||4b +=所以b在a 上的投影为.1{|}2x R x ∈>53503sin 2ρθ=- 【思路点拨】因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b 。
湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(理)试题
教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π= D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,即2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h tt t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max 3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得|||A B A O A⋅=⋅，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO x AB y AC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO x AB AC y AC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0， 可得集合19={|}24B x x <<…………2分19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分 （Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分 即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分 当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。
数学_2015-2016学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(含答案)
2015-2016学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1. 复数2−3i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A −2 B 2 C −3i D −32. 已知集合M ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，N ={y|y =√x 2−1}，则M ∩N =( ) A (−∞, −1) B (0, +∞) C (4, +∞) D (0, 4)3.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若l ⊥m ，m ⊥n ，则l//n ；②若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m//α，n//β，α//β，则m//n ；④若l 与α，β所成角相等，且m ⊥α，n ⊥β，则l 与m ，n 所成角相等． 其中真命题是（ ）A ①和②B ①和③C ②和④D ①和④4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 值为−4，则输出y 值是（ ）A 7B 4C −1D 05. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，已知线段F 1F 2被点(b, 0)分成3:1的两段，则此双曲线的离心率为（ ） A √32B2√33 C √52 D2√556. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝6，s 3=∫ 304xdx ，则公比q 的值为（ ） A 1 B −12C 1或−12D −1或−127. 若第四届中国好声音最后的5人必须与甲、乙、丙3个公司中的某一个公司签约，要求每个公司至少签约1人，最多签约2人，则有签约方案（ ）种． A 30 B 60 C 90 D 180 8. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x”；②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件；③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1, 2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1, 2]上恒成立； ④“平面向量a →与b →的夹角是钝角”的充分必要条件是“a →⋅b →<0”．A 1B 2C 3D 49. 已知圆C 1：(x −2)2+(y −3)2=1，圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）A √17−1B 5√2−4C 6−2√2D √1710. 若函数f(x)=x(x −c)2在x =2处有极大值，则常数c 为( ) A 2 B 6 C 2或6 D −2或−611. 已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π12. 若函数f(x)=cos2x +asinx 在区间(π6, π2)是减函数，则实数a ∈( )A (−∞, 2)B (−∞, 2]C (4, +∞)D [4, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在题中的横线上． 13. 在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8展开式中，含x 3的项的系数是________． 14. 若不等式组{x −y ≥0x +2y ≤2y ≥0x +y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a ∈________．15. 已知等差数列{a n }，满足a 2=3，a 5=9，若数列{b n }满足b 1=3，b n+1=a b n ，则{b n }的通项公式b n =________16. 下列说法中错误的序号是________．①若函数f(x)=ax 2+(2a +b)x +2，x ∈[2a −1, a +4]是偶函数，则b =2；②函数f(x)=√x 2−2015−√2015−x 2既是奇函数又是偶函数；③已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞)时，f(x)=x(1+x)，则当x ∈R 时，f(x)=x(1+|x|)；④已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞)时f(x)单调递增，则f(x)在R 上为增函数； ⑤已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，且对∀x ，y ∈R 都满足f(x ⋅y)=xf(y)+yf(x)，则f(x)是奇函数．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2，(a +b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ．(I)若b=2，求c边的长；(II)求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．18. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2，点E是线段AB的中点，点M为线段D1C上的动点．，（1）当点M是D1C的中点时，求证直线BM // 平面D1DE；（2）若点M是靠近C点的四等分点，求直线EM与平面D1DE所成角的大小．19. 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a i，若存在正整数k，使a1+a2+...+a k=6，则称k为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为6分；若k=2，则你的得分为4分；若k=3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和数学期望．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，且椭圆C经过点P(43,13 )．(Ⅰ)求椭圆C的离心率：(Ⅱ)设过点A(0, 2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2=1 |AM|2+1|AN|2，求点Q的轨迹方程．21. 已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f(x)=1+In(x+1)x的定义域为{x|x>0, x∈R}（1）解关于x的不等式f(x2+1)>2e−1：（2）若常数k是正整数，当x>0时，f(x)>kx+1恒成立，求k的最大值．二.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1几何证明选讲]22. 过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=________．[选修4-4坐标系与参数方程]23. 在平面直角坐标xoy系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ=2sin2θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若曲线C1:{x=3+rcosαy=−2+rsinα（α为参数）与曲线C所表示的图形都相切，求r的值．[选修4-5不等式选讲]24. 已知关于x的不等式|ax−1|+|ax−2a|≥3(a>0)（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（理科）答案1. D2. C3. C4. D5. B6. C7. C8. B9. B10. B11. A12. B13. −12114. ∈(0,43]∪[2,+∞)15. 2n+116. ④17. 解：(I)由正弦定理得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，即a2−b2=c2−bc−−−−−−−−因为a=2且b=2，所以解得：c=2．---------------------(II)由(I)知cosA=b2+c2−a22bc =12，则A=60∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−因为a=2，∴ b2+c2−bc=4≥2bc−bc=bc，------------------∴ S△ABC=12bcsinA≤12⋅4⋅sin60∘=√3，此时三角形是正三角形---18. 证明：（1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，E(1, 1, 0)， C(0, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)，∵ 点M 是D 1C 的中点，∴ M(0, 1, 1)， DE →=(1,1,0)，DD 1→=(0,0,2) 设平面D 1DE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DD 1→=0˙，∴ {x +y =02z =0，取x =1，得n →=(1,−1,0)，∵ BM →=(−1, −1, 1)，∴ BM →⋅n →=0，∵ BM ⊄平面D 1DE ，∴ 直线BM // 平面D 1DE ． 解：（2）∵ D 1(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，点M 是靠近C 点的四等分点， ∴ 由题有M(0, 32, 12)，∴ EM →=(−1, 12,12)，∵ 平面D 1DE 的法向量为n →=(1, −1, 0)， ∴ cos⟨EM →，n →>=|EM →|⋅|n →|˙=−1−12⋅=−√32， ∴ <EM →，n →>=150∘，∴ 直线EM 与平面D 1DE 所成的角为60∘． 19. 解：（1）设“连续抛掷k 次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1、A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好1，2，3各一次．A 3：三次中有两次均为1，一次为4，A 1，A 2为互斥事件，则k =3的概率： P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=C 33(16)3+C 31⋅16⋅C 21⋅16⋅C 11⋅16+C 32(16)2⋅16=5108．（2）由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0， P(ξ=6)=16，P(ξ=4)=(16)2+C 21⋅16⋅16+C 21⋅16⋅16=536， P(ξ=2)=C 33(16)3+C 31⋅16⋅C 21⋅16⋅C 11⋅16+C 32(16)2⋅16=5108．P(ξ=0)=1−16−536−5108=3554，∴ Eξ=6×16+4×536+2×5108+0×70108=8954．20. （I ）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，且椭圆C 经过点P(43,13)．∴ c ＝1，2a ＝PF 1+PF 2=√(43+1)2+19+√(43−1)2+19=2√2，即a =√2 ∴ 椭圆的离心率e =ca =√2=√22⋯4分 (II)由(I)知，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，设点Q 的坐标为(x, y)（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0, 1)、(0, −1)两点，此时点Q 的坐标为(0, 2−3√55) （2）当直线l 与x 轴不垂直时，可设其方程为y ＝kx +2，因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1, kx 1+2)，(x 2, kx 2+2)，则 |AM|2=(1+k 2)x 12，|AN|2=(1+k 2)x 22，又|AQ|2＝(1+k 2)x 2，2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2 ∴ 2(1+k 2)x 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22，即2x 2=1x 12+1x22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x22⋯①将y ＝kx +2代入x 22+y 2=1中，得(2k 2+1)x 2+8kx +6＝0…②由△＝(8k)2−24(2k 2+1)>0，得k 2>32由②知x 1+x 2=−8k 2k 2+1，x 1x 2=62k 2+1，代入①中化简得x 2=1810k 2−3⋯③因为点Q 在直线y ＝kx +2上，所以k =y−2x，代入③中并化简得10(y −2)2−3x 2＝18由③及k 2>32可知0<x 2<32，即x ∈(−√62, 0)∪(0, √62)由题意，Q(x, y)在椭圆C 内，所以−1≤y ≤1，又由10(y−2)2−3x2＝18得(y−2)2∈(95, 94)且−1≤y≤1，则y∈(12, 2−3√55]综上得，点Q的轨迹方程为10(y−2)2−3x2＝18，其中x∈(−√62, √62)，y∈(12, 2−3√55]…13分21. 解：（1）∵ f(e−1)=2e−1∴ 不等式f(x2+1)>2e−1可以化为f(x2+1)>f(e−1)∴ f′(x)=1x2[xx+1−1−ln(x+1)]=−1x2[1x+1+ln(x+1)]∴ 当x>0时，f′(x)<0，∴ 函数f(x)在区间(0, +∞)上是减函数，∵ f(x2+1)>f(e−1)，∴ x2+1<e−1，∴ −√e−2<x<√e−2，∴ 不等式的解集是{x|−√e−2<x<√e−2}（2）∵ 当x>0时，f(x)>kx+1恒成立，令x=1，得k<2(1+ln2)∵ k是整数，∴ k=3．下面证明当k=3，x>0时，f(x)>kx+1恒成立，即当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1−2x>0恒成立，令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1−2x则g′(x)=ln(x+1)−1当x>e−1时，g′(x)>0，当0<x<e−1时，g′(x)<0∴ 当x=e−1时，g(x)取得最小值g(e−1)=3−e>0∴ 当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1−2x>0恒成立，∴ 正整数k的最大值是3．22. 423. 解：（1）由ρcosθ=2sin2θ得ρcosθ=4sinθ⋅cosθ，∴ cosθ=0或ρ=4sinθ，即ρcosθ=0或ρ2=4ρsinθ所以曲线C的直角坐标方程是：x=0或x2+(y−2)2=4；------- （2）曲线C1的普通方程为(x−3)2+(y+2)2=r2，又与与曲线C都相切，则有{r=332+(2+2)2=(r+2)2，所以r=3．-----24. （1）当a=1时，不等式化为：|x−1|+|x−2|≥3，要求其解集，需分类讨论如下：①当x≥2时，x−1+x−2≥3，解得x≥3；②当1≤x<2时，(x−1)+2−x≥3，无解；③当x<1时，−(x−1)−(x−2)≥3，解得x≤0，综合以上讨论得，x∈(−∞, 0]∪[3, +∞)；（2）若此不等式的解集为R，则对任意x∈R都有|ax−1|+|ax−2a|≥3成立，即[|ax−1|+|ax−2a|]min≥3，再根据绝对值三角不等式，|ax−1|+|ax−2a|≥|(ax−1)−(ax−2a)|=|2a−1|，因此，|2a−1|≥3且a>0，解得a≥2，即实数a的取值范围为[2, +∞)．。
湖北省金太阳百校联考高三上学期数学10月月考试卷及答案
高三上学期数学10月月考试卷一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（）A. B. C. D.3.若函数的定义域为，且，，，，则的解析式可能为（）A. B. C. D.4.将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（）A. 5B.C. 4D.5.已知命题：，，，则为（）A.，， B. ，，C.，， D. ，，6.函数在上的部分图象大致为（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.已知点为角终边上一点，，且，则（）A. 2B. 2±C. 1D. ±1二、多选题9.关于充分必要条件，下列判断正确的有（）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件B. “ ”是“ ，，成等比数列”的充分不必要条件C. “ 的图象经过点”是“ 是幂函数”的必要不充分条件D. “直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件10.血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时，），他的血压（）与经过的时间（）满足关系式，则（）A. 函数的最小正周期为6B. 当天早晨7点时李华的血压为C. 当天李华有高血压D. 当天李华的收缩压与舒张压之差为11.已知函数的定义域为，，，当时，，则（）A. B. 的图象关于直线对称C.当时， D. 函数有4个零点12.若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为一元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数（，），则（）A. B.C. 的最小值为D. 的最小值为三、填空题13.函数的图象在点处的切线方程为 .14.设集合，或，若，则的取值范围是 .15.设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为 .16.已知函数，则的最小值为，图象的一条对称轴方程可以是 .四、解答题17.已知.（1）.求的值；（2）.求值.18.如图，在三棱锥中，平面，，与的长度之和为6米，，现要给三棱锥的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.（1）.设米，三棱锥的侧面共需要油漆升，试写出关于的函数表达式；（2）.刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.19.已知函数的部分图象如图所示.（1）.求的解析式；（2）.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，证明：在上有最大值的充要条件是.20.已知函数.（1）.讨论在上的单调性；（2）.若曲线的一条切线的斜率为，证明：这条切线与曲线只有一个公共点.21.已知函数（且）经过定点，函数（且）的图象经过点.（1）.求函数的定义域与值域；（2）.若函数在上有两个零点，求的取值范围.22.已知函数.（1）.若，求的取值范围；（2）.若，证明：.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】，，.故答案为：D.【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合M，再由并集的定义结合不等式的性质即可得出答案。
湖北省稳派联考高三数学上学期10月调研试卷 理(含解析)
湖北省稳派名校联考2015届高三上学期10月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合中元素的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．（5分）下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”∃实数x0，使x02≥0”则命题¬p：“对于∀x∈R，都有x2＜0”3．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）若，则tan2α=（）A．B．C．D．5．（5分）函数的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[0，1]6．（5分）已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．210．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）计算：4cos70°+tan20°=．12．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为．13．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）14．（5分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=．15．（5分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM 与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I 上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．湖北省稳派名校联考2015届高三上学期10月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合中元素的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题；集合．分析：先求出集合A，由集合B的定义求出元素即可．解答：解：∵集合，∴A={1，2，3，4，5，6}B={1，2，4}；故选：A．点评：本题考查了集合的化简与集合中元素的求法，属于基础题．2．（5分）下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”∃实数x0，使x02≥0”则命题¬p：“对于∀x∈R，都有x2＜0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于A，根据“或命题”真假的判断方法判断；对于B，判断充要性要双向推理，即从左右互推进行判断；对于C，思路同上；对于D，特称命题的否定：一是量词的改变，二是结论的否定，依此判断．解答：解：对于A：或命题为假，当且仅当两个命题都为真，故A为真命题；对于B：当x=1时，显然有x≥1成立，但是由x≥1，未必有x=1，故前者是后者的充分不必要条件；对于C：当sinx=时，x=或，故C为假命题；对于D：该命题的否定符合特称命题的否定方法，故D项为真命题．故选：C．点评：该题目借助于命题真假的判断重点考查了复合命题的真假判断、命题充要性的判断、及特称命题的否定等知识，要注意准确理解概念和方法．3．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：图表型；规律型；数形结合法．分析：由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项解答：解：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求故选D点评：本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．4．（5分）若，则tan2α=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由题意和两角和与差的正切函数可的tanα，再由二倍角的正切公式可得tan2α解答：解：∵，∴tanα=tan[﹣（﹣α）]==，∴tan2α==故选：C点评：本题考查两角和与差的正切函数，涉及二倍角的正切公式，属基础题．5．（5分）函数的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[0，1]考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元t=，则x=1﹣t2，y=﹣t2﹣t+1，t∈[0，+∞），转化为二次函数求解即可．解答：解；设t=，则x=1﹣t2，y=﹣t2﹣t+1，t∈[0，+∞），∵轴t=﹣，可判断在t∈[0，+∞）上单调递减，∴当t=0时，y=1，故选：B点评：本题考查了二次函数的性质，注意变量的范围．6．（5分）已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（）A．B．C．D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先根据三角函数的诱导公式将原函数变成y=sinωx，所以ωx=时该函数第一次取极值，时该函数第二次取极值，所以，x=1时，ω便取最小值．解答：解：y=；∴时取第一次极值，时取第二次极值；∴，x取最大值1时，ω取最小值．故选：B．点评：考查三角函数的诱导公式，及正弦函数的极值．7．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由于两个非零向量|+|=|﹣|=2||，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可知：四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC，进而得出．解答：解：如图所示，∵两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，∴四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC．∴∠OBA=．∵∠COB=∠OAB+∠OBA．∴∠COB=．∴向量+与﹣的夹角为．故选：C．点评：本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、直角三角形的边角关系，属于中档题．8．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．解答：解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．点评：本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．9．（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．解答：解：曲线 y=sin x，y=cos x 的一个交点的横坐标为：，由曲线 y=sin x，y=cos x 与直线 x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是s=∫（cosx﹣sinx）dx+∫（sinx﹣cosx）dx=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|=﹣1+﹣1=2．故选D．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．10．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先求f′（x）=，根据x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，则可判断导数分子的符号，因此可判断导数的符号，由此得到g（k），则利用分离常数的方法求结论中a的范围，此时只需求出关于k的函数的最值即可．解答：解：由已知f′（x）=，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，所以﹣[4x2﹣4kx﹣1﹣3]恒成立，故f′（x）＞0在[x1，x2]恒成立，故f（x）在定义域内是增函数，所以g（k）=f（x）max﹣f（x）min=f（x2）﹣f（x1）=①，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，所以，代入①式化简后得：g（k）=，由对任意k∈R，恒成立得：，结合k2≥0，所以，故a的取值范围是a．故选A．点评：本题考查了不等式的恒成立问题，一般是分离参数转化为函数的最值求解，本题的关键是利用已知条件判断出函数f（x）的单调性，再用韦达定理实现对g（k）表达式的化简．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）计算：4cos70°+tan20°=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据三角函数的化简原则，切化弦，再根据50°=30°+20°由两角和的余弦公式求出解来．解答：解：4cos70°+tan20°========．故答案为：点评：本题考查了三角函数的化解与求值问题，解题的关键是根据诱导公式化简后，能发现50°=30°+20°的关系．12．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为4．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，先研究函数的定义域，当a=0时不合题意，当a≠0时，定义域为R，故函数的对称轴即内层函数的对称轴解答：解：由题意，a=0时不合题意当a≠0时，△=﹣3a2＜0，定义域为R，又内层函数的对称轴为x=∵函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称∴x==2∴a=4故答案为4点评：本题考查函数图象的对称性，求解本问题的关键是由函数的解析式得出函数的对称轴即内层函数的对称轴，由此关系建立方程求出参数的值即可．13．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是③④（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数①使得x取定义域内的每一个值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是准奇函数②当a=0时，f（x）=﹣f（2a﹣x），而题中的要求是a≠0，所以f（x）不是准奇函数③当a=时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），则称f（x）为准奇函数．④当a=π时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），则称f（x）为准奇函数故选：③④点评：本题考查的知识点：新定义的理解和应用．14．（5分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为2（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=0．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先由两角和的正弦公式，化简f（θ）．（1）由P的坐标为，则θ=，代入，即可得到；（2）画出平面区域Ω，由图象得到0，即有≤，再由正弦函数的性质即可得到最值．解答：解：f（θ）=sinθ+cosθ=2（sinθ+cosθ）=2sin（）．（1）由P的坐标为，则θ=，f（θ）=2sin（）=2sin=2；（2）平面区域Ω：如图：则P位于点（0，1）处，θ最大，位于点（1，0）处最小，即0，即有≤，则f（θ）的最大值为M=f（）=2，最小值为m=f（0）=1，则log M m=log21=0．故答案为：2，0．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查不等式组表示的平面区域，考查正弦函数的性质，属于中档题．15．（5分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b﹣a的表达式，求出最大值．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ax，g（x）=x2+2bx，∴f′（x）=x2﹣2a，g′（x）=2x+2b；由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，∴x2﹣2a≤0恒成立，即﹣≤x≤；又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，即0＜a≤，解得0＜a≤2；∴b﹣a≤﹣a=﹣+，当a=时，取“=”，∴b﹣a的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，得出0＜a ＜1，命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，得a＞，p且q为真时，可得：＜a＜1，最后可得出命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围．解答：解：∵命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，∵命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，∴f（x）=3x﹣（3x）2，t=3x，y=﹣t2+t，t＞0，当t=时，y的最大值，即必须得a＞，∵p且q为真时，可得：＜a＜1，∴命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞），点评：本题综合考查了函数，不等式，简易逻辑等知识灵活运用，巧用对立事件求解．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM 与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．考点：轨迹方程；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）利用向量的坐标运算、中点坐标公式、向量相等即可得出；（2）利用三点共线可得斜率关系，再利用模相等即可得出．解答：解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M是AB的中点，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）设点P的坐标是（x，y），D（a，b），则C（a+6，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共线，得①，由C，P，M共线，得②由①②化简得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化简得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查了向量的坐标运算、中点坐标公式、向量相等、三点共线可得斜率关系、模相等等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，可证得g（x1）g（x2）＜0，由零点存在定理可知存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．解答：解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．点评：本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意易得A=2，由T=π，可得ω=1，再由截距为可得2sinφ=，结合角的范围可得φ=，可得解析式；（2）结合（1）易得A=由正弦定理可得sinB=，sinC=，代入已知可得b+c=13，在结合余弦定理可得bc的值，由三角形的面积公式可得．解答：解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T，由三角函数的图象特点可得T==π，解得ω=1，又图象在y轴上的截距为，∴2sinφ=，∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+）；（2）∵锐角A满足，∴2sin（A+﹣）=，解得sinA=，∴A=；由正弦定理可得==，变形可得sinB=，sinC=，∴sinB+sinC=（b+c）=，∴b+c=13，再由余弦定理可得72=b2+c2﹣2bc×，=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=169﹣3bc，∴bc=40，∴△ABC的面积S=bcsinA=×40×=10．点评：本题考查三角函数解析式的求解，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．20．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出cosA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=x，AF=y，然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S 三角形ABC﹣S2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC上，设CE=x，CF=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．解答：解：（1）因为：AE=CE= AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=cosA==所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=所以EF=E为AC中点时，此时小路的长度为（2）若E、F分别在AC和AB上，sinA=设AE=x，AF=y，所以S2=xysinA=S1=S三角形ABC﹣S2=2﹣S2因为x+y=3﹣x+4﹣y+3所以x+y=5=﹣1xy≤当且仅当x=y=时取等号所以=当且仅当x=y=时取等号最小值是若E、F分别在AC和BC上，sinC=设CE=x，CF=y同上可得≥当且仅当x=y=取等号若E、F分别在AC和BC上，最小值是点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及利用基本不等式求最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I 上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：导数的综合应用．分析：（1）依据“非完美增函数”的定义判断即可；（2）由题意可得g（x）在[1，+∞）上为增函数，G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，利用导数研究函数的单调性，即可求得结论．解答：解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）==，∵F′（x）=，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；（2）∵g（x）=2x++alnx，∴g′（x）=2﹣+=，∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（1）≥0，∴a≥0，又G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣+≤0在[1，+∞）恒成立，即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax﹣axlnx﹣4，则p′（x）=﹣alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），∴p（x）=ax﹣axlnx﹣4在[1，+∞）上单调递减，∴p（x）max=p（1）=a﹣4≤0，解得：a≤4；综上所述0≤a≤4．点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力．。
湖北省百所重点中学2015届高三数学十月联合考试试题 理(含解析)新人教A版
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则MN 等于A ．()0,2 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()1,1-【知识点】交集及其运算．L4【答案解析】B 解析：由M 中不等式变形得：x （x ﹣2）＜0，解得：0＜x ＜2，即M=（0，2）；由N 中不等式变形得：﹣1＜0，即＜0，解得：x ＜1，即N=（﹣∞，1），则M∩N=（0，1）．故选B【思路点拨】求出M 与N 中不等式的解集确定出M 与N ，找出两集合的交集即可．【题文】2、2014cos()3π的值为A ．12B ．32C ．12-D ． 32-【知识点】运用诱导公式化简求值．L4 【答案解析】C 解析：cos （）=cos （670+）=cos=cos （π+）=﹣cos=﹣，故选：C ．【思路点拨】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【题文】3、已知a 为常数，则使得11aa dxx >⎰成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．0a >B ．0a <C ．a e >D ．a e <【知识点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】C 解析：由积分运算法则，得=lnx =lne ﹣ln1=1因此，不等式即11aa dxx >⎰即a ＞1，对应的集合是（1，+∞），将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e ，故选： C【思路点拨】由定积分计算公式，求出函数f （x ）=的一个原函数F （x ）=lnx ，从而利用微积分基本定理得到=lne ，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．【题文】4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．33B ．33-C ．13-D ．23-【知识点】两角和与差的正弦函数．L4【答案解析】B 解析：把sinα+cosα=2m 两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=，故选：B【思路点拨】把sinα+cosα=2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案．【题文】5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若223a b bc -=且sin 23sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【知识点】余弦定理．L4 【答案解析】A 解析：由sinC=2sinB ，由正弦定理可知：c=2b ，代入a2﹣b2=bc ，可得a2=7b2，所以cosA==，∵0＜A ＜π，∴A=．故选：A ．【思路点拨】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．【题文】6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2【知识点】函数奇偶性的性质．L4【答案解析】B 解析：由f （x ）为奇函数可得f （﹣x ）=﹣f （x ），再由条件可得f （﹣x ）=f （+x ），所以，f （3+x ）=f （x ）．所以，f （2015）=f （671×3+2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．故选：B ．【思路点拨】由已知得f （3+x ）=f （x ），所以f （2015）=f （671×3+2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．【题文】7、给出下列命题，其中错误的是 A ．在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D ．函数sin 3cos (0)y x x ωωω=+≠最小正周期为π的充要条件是2ω=【知识点】命题的真假判断与应用．L4 【答案解析】 D 解析：对于A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，即由正弦定理有sinA ＞sinB ，故A 正确；对于B ．在锐角△ABC 中，A+B ＞，则A ＞﹣B ，由y=sinx 在（0，）上递增，则sinA ＞sin （﹣B ）=cosB ，故B 正确；对于C ．把函数y=sin2x 的图象沿x 轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin （2x）=cos2x 的图象，故C 正确；对于D ．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin （ωx ），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D 错． 故选D ．【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A ；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B ；运用图象的左右平移，只对自变量x 而言，再由诱导公式，即可判断C ；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D ． 【题文】8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的切线与两坐标轴围成的面积为A ．43B ．74C ．94 D ．4【知识点】幂函数的性质．L4【答案解析】C 解析：根据幂函数的图象可知，n﹣2＜0，且为偶数，又n∈N，故n=0，所以f（x）=x﹣2，则f′（x）=﹣2x﹣3，所以切线的斜率为f′（1）=﹣2，切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3=0，与两坐标轴围成的面积为=，故选：C．【思路点拨】先根据幂函数的图象和性质，得到n=﹣2，再根据导数求出切线的斜率，求出切线方程，问题得以解决．【题文】9、已知,a b R∈，函数()tanf x x=在4xπ=-处于直线2y ax bπ=++相切，设()xg x e=2bx c++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m≤≤-恒成立，则实数mA．有最小值e- B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值1e+【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．L4【答案解析】D 解析：f（x）=tanx的导数f′（x）=（）′==，则a=f′（﹣）==2，将切点（﹣，﹣1）代入切线方程，即﹣1=﹣2+b+，即有b=﹣1．则g（x）=ex﹣x2+2，令h（x）=g′（x）=ex﹣2x，h′（x）=ex﹣2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上递增，即g′（x）在[1，2]上递增，则有g′（x）≥g′（1）=e﹣2＞0，则g（x）在[1，2]上递增，g（1）最小，g（2）最大，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解得m≤﹣e或e≤m≤e+1．即m的最大值为e+1．故选D．【思路点拨】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，得a=2，将切点（﹣，﹣1）代入切线方程，求得b=﹣1，再求g（x）的导数，判断g（x）在[1，2]上的单调性，求出最值，再由不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解出m的取值范围，即可判断．【题文】10、对于函数()f x，若,,a b c R∀∈，()()(),,f a f b f c为某一三角形的三边长，则称()f x为“可构造三角形函数”，已知函数()1xxe tf xe+=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2【知识点】指数函数综合题．L4【答案解析】D 解析：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立，由于f （x ）==1+，①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ，同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t，解得1＜t≤2．③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1，同理t ＜f （b ）＜1，2＜f （c ）＜1， 由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A ．【思路点拨】因对任意实数a 、b 、c ，都存在以f （a ）、f （b ）、f （c ）为三边长的三角形，则f （a ）+f （b ）＞f （c ）恒成立，将f （x ）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t ﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为f （a ）+f （b ）的最小值与f （c ）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上【题文】11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=【知识点】二倍角的正弦；诱导公式的作用．L4【答案解析】223 解析：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得 sinα=，∴cosα=﹣223．故cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣cosα=223，故答案为223．【思路点拨】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα 的值，再利用诱导公式求出cos （α﹣π）的值． 【题文】12、化简2log2lg 5lg 2lg 2+-的结果为【知识点】对数的运算性质．L4【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25．【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【题文】13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 【知识点】复合命题的真假．L4【答案解析】(],2-∞;131,,2128⎛⎤⎡⎤-∞-⋃- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 解析：（1）若p 为真，则，解得：m ＞2，若￢p 是真命题，则p 是假命题，故实数m 的取值范围是：（﹣∞，2]；（2）对于q ：设f （x ）=4x2+4（m ﹣2）x+1，由q 为真可得，解得：﹣＜m ＜﹣，若q 为假，则m≤﹣或m≥﹣，∴若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，则有m≤﹣或﹣m≤2，即m 的范围是：（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]；故答案为：（﹣∞，2]，（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]．【思路点拨】（1））若p 为真，求出m 的范围，若￢p 是真命题，则p 是假命题，从而得出m 的范围；（2）由q 为真可得m 的范围，若q 为假，求出m 的范围，若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，从而求出m 的范围．【题文】14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2B a b =+，若ABC ∆的面积为32S c=，则ab 的最小值为【知识点】正弦定理．L4 【答案解析】12 解析：在△ABC 中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C ）+sinB ，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB ，∴2sinBcosC+sinB=0， ∴cosC=﹣，C=．由于△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c ，∴c=ab ．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b 时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．【思路点拨】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c ，求得c=ab ．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab 的最小值．【题文】15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95． 其中所有正确的结论的序号是【知识点】分段函数的应用．菁优L4【答案解析】①②④解析：当x ∈[0，]时，f （x ）=﹣x 是递减函数，则f （x ）∈[0，]，当x ∈（，1]时，f （x ）==2（x+2）+﹣8，f′（x ）=2﹣＞0，则f （x ）在（，1]上递增，则f （x ）∈（，]．则x ∈[0，1]时，f （x ）∈[0，]，故①正确； 当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x+）﹣2a+2（a ＞0）=﹣acosx ﹣2a+2，由a ＞0，0≤x≤，则g （x ）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a ＞0，x ∈[0，1]时g （x ）∈[2﹣3a ，2﹣]，若2﹣3a ＞或2﹣＜0，即0＜a ＜或a ＞，方程f （x ）=g （x ）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【思路点拨】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R Aπωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x的解析式；（2）若1()23afπ=，求2cos()3πα-的值．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）f（x）=2sin （πx+）；（2）﹣解析：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又ω＞0，∴T==2，∴ω=π；由图可知，f（x）=Asin （ωx+φ）经过（，2），∴ω+φ=，即+φ=，∴φ=，∴f （x）=2sin（πx+）；（2）∵f（）=，∴2sin（+）=，∴sin（+）=cos[﹣（+）]=cos（﹣）=，∴cos（﹣α）=2﹣1=2×﹣1=﹣．【思路点拨】（1）由图可知，A=2，=，可求得ω，再利用ω+φ=可求得φ，从而可求得f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）的解析式，结合已知f（）=，可求得α的三角函数知，最后利用两角差的余弦计算即可求cos（﹣α）的值．【题文】17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值．【知识点】函数模型的选择与应用．L4【答案解析】（1）330（万元）（2）f （x ）= ﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），350（万元）． 解析：（1）售价为50元时，销量为15﹣0.1×50=10万套，此时每套供货价格为30+（元）， 则获得的总利润为10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，∴售价为100元时，销售总利润为；（15﹣0.1×1000（100﹣30﹣）=330（万元）．（2）由题意可知每套商品的定价x 满足不等式组，即0＜x ＜150，∴f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），∴f′（x ）=﹣0.2x+18，令f′（x ）=0可得x=90，且当0＜x ＜90时，f′（x ）＞0，当90＜x ＜150时，f′（x ）＜0， ∴当x=90时，f （x ）取得最大值为350（万元）． 【思路点拨】（1）由题意可得10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x＜150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值． 【题文】18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x yB x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．【知识点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【答案解析】（1）1266-（2）解析：（1）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以 ．（2）解：依题意得 y1=sinα，． 所以，．依题意S1=2S2 得 ，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin ]=sin2α﹣cos2α，整理得 cos2α=0．因为，所以，所以，即．【思路点拨】（1）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（2）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值． 【题文】19、（本小题满分12分）已知函数()2(0)2mx n f x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 22f x θθθ≤++-对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．L4【答案解析】（1）0＜m≤．（2）（﹣∞，0）∪（0，2]． 解析：（1）∵函数f （x ）=（m≠0）是定义在R 上的奇函数．∴f （0）=0，即=0，∴n=0，∴f （x ）=，显然f （﹣x ）=﹣f （x ）成立，故n=0时f （x ）为R 上的奇函数， ∴f′（x ）==，∵m ＞0，∴﹣m ＜0， 由f′（x ）＞0可得x2﹣2＜0，解得﹣＜x ＜，即f （x ）的递增区间是（﹣，），由题意只需（﹣m ，m ）⊆（﹣，），∴0＜m≤， ∴f （x ）在（﹣m ，m ）上递增的充要条件是0＜m≤． （2）设g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，∵f （x ）≤sinθcosθ+cos2θ+﹣对任意的实数θ和正实数x 恒成立，∴f （x ）≤g（x ）min 恒成立，∵g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣=sin2θ+﹣=sin2θ+cos2θ+=sin （2θ+）+，∴g （x ）min=﹣+=，∴只需f （x ）≤，即≤，∵x ＞0，∴只需≤，即m≤（x+）恒成立，而（x+）≥×2=2，当且仅当x=时取得最小值2，∴m≤2，又m≠0，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，2]．【思路点拨】（1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x ）＞0解得即可；（2）设g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，由题意得只需f （x ）≤g（x ）min 恒成立，利用三角变换求得g （x ）的最小值，列出不等式解得即可．【题文】20、（本小题满分14分）已知()(ln 1)x f x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值； （2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁L4【答案解析】（1）y=f （x ）﹣f′（x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y 取极大值﹣e ，函数无极小值．（2）方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上无实根．解析：（1）函数f （x ）=ex （lnx+1）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=+ex ，则 y=f （x ）﹣f′（x ）=，∴y′=，由y′=0可得x=1．当x ＞1时，y′＜0；当x ＜1时，y′＞0；∴y=f （x ）﹣f′（x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y 取极大值﹣e ，函数无极小值．（2）方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 可变为f′（x ）﹣f （x ）﹣kx+k2﹣e=0 进一步化为﹣kx+k2﹣e=0，令g （x ）=﹣kx+k2﹣e ，g′（x ）=． ∵x≥1，∴x ﹣1≥0，而ex ＞0，∴，又k ＜0，∴g′（x ）=＞0，∴g （x ）在[1，+∞]上单调递增，且g （x ）的最小值为g （1）=k2﹣k ，则方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上最多只有一个实根，∴要使方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上有一个实根，只需k2﹣k ≤0，解得0≤k≤1，这与k ＜0矛盾，故方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上无实根．【思路点拨】（1）先求出f （x ）的导数，代入y=f （x ）﹣f′（x ）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）把方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 化简，构造函数，用导数研究方程有无实根．【题文】21、（本小题满分14分）已知()ln(,1mf x n x m nx=++为常数)，在1x=处的切线方程为20x y+-=．（1）求()y f x=的单调区间；（2）若任意实数1[,1]xe∈，使得对任意的1[,2]2t∈上恒有()3222f x t t at≥--+成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意正整数n，有124()(ln1ln2ln)2 231nn nn+++++++≥+．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。
湖北省黄冈市高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
湖北省黄冈市2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ2．（5分）在△ABC中，“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则sinB=（）A．B．C．D．5．（5分）等比数列{a n}的首项a1=1002，公比q=，记P n=a1•a2•…•a n，则P n达到最大值时，n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．116．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．30 B．12 C．24 D．47．（5分）若直线xcosθ+ysinθ﹣1=0与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．R D．（﹣1，+∞）10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知，则f（f（3））的值为．12．（5分）若，，，则=．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=2015|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．14．（5分）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是．15．（5分）已知两个正数a，b，可按规律c=ab+a+b推广为一个新数c，在a，b，c三个数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．（1）正数1，2经过两次扩充后所得的数为（2）若p＞q＞0，经过五次操作后扩充得到的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n=．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知，若¬q是¬p的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）若，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前六项的和为60，且a1=5．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），b1=3，求数列{}的前n项和T n．19．（12分）某厂家准备在2014年12月份举行促销活动，依以往的数据分析，经测算，该产品的年销售量x万件（假设该厂生产的产品全部销售），与年促销费用y万元（0≤m≤4）近似满足x=3﹣（k为常数），如果不促销，该产品的年销售量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格规定的每件产品生产平均成本的1.5倍，（产品生产平均成本指固定投入和再投入两部分资金的平均成本）．（1）将2014年该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2014年的年促销费用投入为多少万元时，该厂家的年利润最大？并求出最大年利润．（3）在年销量不少于2万件的前提下，厂家的年利润是否随着年促销费用的增加而增加？说明理由．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．21．（14分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．湖北省黄冈市2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）≥0=lg1，得到x﹣2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）在△ABC中，“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：根据sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB=sin（A﹣B+B）=sinA，结合三角形的边角关系判断分析．解答：解：sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB=sin（A﹣B+B）=sinA∵在△ABC中，sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1，∴sin（A﹣B+B）=sinA≥1，∵0＜A＜π，∴A=90°，∵“△ABC是直角三角形”∴A=90°或B=90°或C=90°，根据充分必要条件的定义可判断；“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选：B点评：本题考查了解斜三角形，三角函数的性质，充分必要条件的定义，属于容易题．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则sinB=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：直接利用等比数列求出abc的关系，结合已知条件利用余弦定理求出B的余弦函数值，然后求解sinB．解答：解：△ABC中，由a、b、c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，又c=2a，∴2a2=a2+4a2﹣4a2cosB，∴cosB=，∴sinB==，故选：C．点评：本题主要考查余弦定理的应用，等比数列的定义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）等比数列{a n}的首项a1=1002，公比q=，记P n=a1•a2•…•a n，则P n达到最大值时，n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的通项公式，得出数列{a n}的通项公式，再用同底数幂乘法法则得出P n 的表达式，最后讨论二次函数，可得P n达到最大值时n的值．解答：解：由等比数列的通项公式，得a n=a1•q n﹣1＜210×=211﹣n∴P n=a1•a2•a3…a n＜210•29•28•…•211﹣n=∵2＞1∴达到最大值时，P n达到最大值结合二次函数图象的对称轴，可得当n=10时，P n达到最大值．故选C．点评：本题着重考查了等差数列、等比数列的有关知识点，属于中档题．解题的一个规律是等比数列各项为正数，这个积化作同底的幂的乘法，由此可得积的最值的解决方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．30 B．12 C．24 D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可解答：解：由三视图知，几何体是某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为：=24．故选：C．点评：本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键．7．（5分）若直线xcosθ+ysinθ﹣1=0与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，从而求得直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率﹣的值．解答：解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的距离等于半径，即=，化简可得|sinθ﹣sin2θ|=，即sinθ﹣sin2θ=，求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，故直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率为﹣=﹣，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．R D．（﹣1，+∞）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的图象的平移得到g（x）=f（x+1）+5的图象的特点，有g′（x）＞2x知g（x）＜x2+4的单调性，可求得．解答：解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）关于原点对称，又g（x）=f（x+1）+5，故g（x）的图象关于点（﹣1，5）对称，令h（x）=g（x）﹣x2﹣4，∴h′（x）=g′（x）﹣2x，∵对∀x∈R，g′（x）＞2x，∴h（x）在R上是增函数，又h（﹣1）=g（﹣1）﹣（﹣1）2﹣4=0，∴g（x）＜x2+4的解集是（﹣∞，﹣1）．故选A．点评：本题考查抽象函数的图象间的平移，奇函数的性质，导数的应用，属于中档题．10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．解答：解：因为f（x）=，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤，故选：C．点评：本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知，则f（f（3））的值为3．考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：先根据函数的解析式求出f（3）的值，再把f（3）看成自变量求出f（f（3））．解答：解：∵，∴f（3）=log3（9﹣6）=1，f（f（3））=f（1）=3•e0=3，故答案为3．点评：本题考查求函数值的方法，关键是确定将自变量代入哪一个段得解析式进行运算．12．（5分）若，，，则=．考点：角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．专题：综合题．分析：根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．解答：解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：点评：本题考查角的变换，考查差角余弦公式的运用，解题的关键是进行角的变换．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=2015|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2014|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，a≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．解答：解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2014|PF2|=2a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=a≥c﹣a，∴≤，∴双曲线的离心率e的最大值为故答案为．点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．14．（5分）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是（﹣∞，]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．解答：解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤，故答案为：（﹣∞，]．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．15．（5分）已知两个正数a，b，可按规律c=ab+a+b推广为一个新数c，在a，b，c三个数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．（1）正数1，2经过两次扩充后所得的数为17（2）若p＞q＞0，经过五次操作后扩充得到的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n=13．考点：进行简单的合情推理；归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）a=1，b=2，按规则操作二次，第一次：c=5；第二次c=17；（2）p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5﹣1，故可得结论．解答：解：（1）a=1，b=2，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=1×2+1+2=5第二次，5＞3＞1所以有：c=2×5+2+5=17（2）p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5﹣1∴m=8，n=5故答案为：17；13．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知，若¬q是¬p的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．考点：其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由条件推出B⊊A，进而得到a=1，或，或，由此求得实数a的取值范围．解答：解：若p真，由，A=[1，3）．…（3分）若q真，则（x﹣a）（x﹣1）≤0，记解集为B；当a=1时，B={1}．当a＞1时，B=[1，a]；当a＜1时，B=[a，1]…（9分）∵¬q是¬p的必要而不充分条件，∴¬p⇒¬q，即q⇒p，∴B⊊A．∴a=1，或，或，解得1≤a＜3，故a的取值范围是[1，3）．…（13分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）若，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用二倍角、辅助角公式化简函数，结合角的范围，即可求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；（Ⅱ）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，即可求a、b的值．解答：解（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin（2x﹣）﹣1…（3分）令，，∴f（t）=sint﹣1，∴当即时，f（x）max=0当即时，；…（6分）（Ⅱ）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，…（7分）∵0＜C＜π，∴0＜2C＞2π，∴＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=…（9分）∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a ①…（10分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣ab=3 ②…（11分）由①②解得：a=1，b=2．…（12分）点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析转化问题的能力，正确化简函数是关键．18．（12分）已知等差数列{a n}的前六项的和为60，且a1=5．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），b1=3，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），b1=3，利用“累加求和”b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=a n﹣1+a n﹣2+…+a1+3=S n﹣1+3即可得出．==．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）等差数列{a n}的公差为d，∵其前六项的和为60，且a1=5．∴6×5+=60，解得d=2．∴a n=5+（n﹣1）×2=2n+3，S n==n2+4n．（2）∵数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），b1=3，∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=a n﹣1+a n﹣2+…+a1+3=S n﹣1+3=（n﹣1）2+4（n﹣1）+3=n2+2n．当n=1时也适合．∴==．∴数列{}的前n项和T n=++…+==．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（12分）某厂家准备在2014年12月份举行促销活动，依以往的数据分析，经测算，该产品的年销售量x万件（假设该厂生产的产品全部销售），与年促销费用y万元（0≤m≤4）近似满足x=3﹣（k为常数），如果不促销，该产品的年销售量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格规定的每件产品生产平均成本的1.5倍，（产品生产平均成本指固定投入和再投入两部分资金的平均成本）．（1）将2014年该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2014年的年促销费用投入为多少万元时，该厂家的年利润最大？并求出最大年利润．（3）在年销量不少于2万件的前提下，厂家的年利润是否随着年促销费用的增加而增加？说明理由．考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1））由m=0，x=1可得x=3﹣，从而写出y=x•（1.5）﹣（8+16x+m），化简得y=29﹣[+（m+1）]，（0≤m≤4）；（2）由基本不等式求函数的最大值，从而得到最大利润；（3）求导以判断函数的单调性，转化为实际问题及可．解答：解：（1）由m=0，x=1得，k=2，∴x=3﹣，每件产品的销售价格为：1.5，∴2014年的利润y=x•（1.5）﹣（8+16x+m）=4+8x﹣m=﹣[+（m+1）]+29，（0≤m≤4），即y=29﹣[+（m+1）]，（0≤m≤4）．（2）由y=29﹣[+（m+1）]≤29﹣2=21．（当且仅当=m+1，即m=3时，等号成立）故该厂家2014年的年促销费用投入为3万元时，该厂家的年利润最大，最大年利润为21万元．（3）由x=3﹣≥2，0≤m≤4可得，1≤m≤4，由y′=﹣1+≥0解得1≤m≤3，由y′=﹣1+≤00解得3≤m≤4；故当1≤m≤3时，厂家的年利润随着年促销费用的增加而增加；当3≤m≤4时，厂家的年利润随着年促销费用的增加而减少；故在年销量不少于2万件的前提下，厂家的年利润不是随着年促销费用的增加而增加．点评：本题考查了函数的应用，同时用到了基本不等式与导数，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：确定函数f（x）的定义域，并求导函数（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，求出f（1）=﹣2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求导函数，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求得函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=；对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范围．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）（Ⅱ）=（6分）令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）又，x∈[0，1]①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，此时b＞1（11分）综上，b的取值范围是（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g （x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．21．（14分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．考点：函数在某点取得极值的条件；函数最值的应用；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），从而有x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x ﹣m﹣1）．化简后对照系数即可得出a的值；（2）由（1）得=．利用导数研究其单调性，从而得出极值的情形；（3）当m=1时g（x）=．利用二项定理化简式子[g（x+1）]n﹣g（x n+1），再利用组合数的性质或数学归纳法进行证明即得对∀n∈N*，[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2都成立．解答：解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）．∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=x2﹣（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1﹣2m=﹣（2m+1）．∴a=﹣2．…（2分）（2）解法1：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．…（4分）①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，，…（5分）则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②当m＜0时，由△＞0，得或，若，则，，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元2015届高考吧：www．gaokao8．net）∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）若时，，，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）解法2：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）令φ'（x）==0，得x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0，（*）则△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m＞0，（**）…（5分）方程（*）的两个实根为，．设h（x）=x2﹣（2+k）x+k﹣m+1，①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=﹣m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②若x1＞1，x2＞1，则得又由（**）解得或，故．…（7分）则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．∴==．…（10分）令T=，则T==．∵x＞0，∴2T=…（11分）≥…（12分）===2（2n﹣2）．…（13分）∴T≥2n﹣2，即[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2．…（14分）证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2．①当n=1时，左边=，右边=21﹣2=0，不等式成立；…（10分）②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k﹣2，则==…（11分）=2k+1﹣2．…（13分）也就是说，当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，对∀n∈N*，[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2都成立．…（14分）点评：本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年湖北省百校大联盟高三（上）10月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣2）D．[3，+∞）2．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（）A．B．1 C．D．3．（5分）已知cosθ=tan（﹣），则sin（﹣θ）等于（）A．B．﹣C．D．4．（5分）若（3x2﹣2ax）dx=4cos2xdx，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．45．（5分）已知命题p：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2cos2）＞0，则（）A．命题p的否命题为：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＜0B．命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＞0C．命题p是假命题D．命题p的逆命题是假命题6．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且f（﹣2）=3，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．2x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣4=07．（5分）若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．08．（5分）已知函数f（x）=2sin（π+x）sin（x++φ）的图象关于原点对称，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象．（）A．关于点（）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（﹣x）的图象向右平移个单位得到9．（5分）已知命题p：∃x∈R，≤cos2．若（¬p）∧q是假命题，则命题q可以是（）A．若﹣2≤m＜0，则函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣4，﹣1）上单调递增B．“1≤x≤4”是“x≥﹣1”的充分不必要条件C．x=是函数f（x）=cos 2x﹣sin 2x的一条对称轴D．若a∈[，6），则函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，3）上有极值10．（5分）已知x=是函数f（x）=（b﹣）sinx+（a﹣b）cosx（a≠0）的一个零点，则函数g（x）=asinx﹣bcosx的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，且函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]12．（5分）设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知集合A={﹣2，a}，B={ 2015a，b}，且A∩B={l}，则A∪B=．14．（5分）若“m＜a”是“函数g（x）=5﹣x+m的图象不过第一象限”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．15．（5分）若x∈[﹣，]，则f（x）=的最大值为．16．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣）﹣+，当＜x＜时，不等式f（x）•log2（x﹣2m+）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=Asin（4x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在时取得最大值2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，，求的值．18．（12分）函数f（x）=lg[﹣x2+（3a+2）x﹣3a﹣1]的定义域为集合A．（1）设函数y=x2﹣2x+3（0≤x≤3）的值域为集合B，若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）设集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cox）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）=﹣（1+λ）f2（x）﹣2f（x）+1在[﹣，]上单调递减，求实数λ的取值范围．20．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．21．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立；q：函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b ∈R）在[，2]上存在单调递增区间，若p或q为真，p且q为假，求实数b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣ax+1）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）设f（x）=xlnx﹣x2+，若a＜，求f（x）在区间[1，e]上的最大值；（2）定义：若函数G（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数G（x）的“域同区间”，若a=2，求函数f （x）在（1，+∞）上所有符合条件的“域同区间”．2015-2016学年湖北省百校大联盟高三（上）10月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016春•西藏校级期末）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣2）D．[3，+∞）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，根据A与B的交集不为空集确定出m的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3，即A=（﹣2，3），由B中y=，得到x≥m，即B=[m，+∞），∵A∩B≠∅，∴实数m的取值范围是（﹣∞，3），故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（）A．B．1 C．D．【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=f[1﹣2﹣1]=f（）==．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•湖北月考）已知cosθ=tan（﹣），则sin（﹣θ）等于（）A．B．﹣C．D．【分析】由已知结合诱导公式求得cosθ=，再由三角函数的诱导公式得sin（﹣θ）=cosθ=．【解答】解：∵cosθ=tan（﹣）=﹣，∴sin（﹣θ）=cosθ=．故选：B．【点评】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．4．（5分）（2015秋•湖北月考）若（3x2﹣2ax）dx=4cos2xdx，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【分析】根据定积分的计算，分别求得（3x2﹣2ax）dx=7﹣3a，4cos2xdx=2sin2x=1，可知7﹣3a=1，即可求得a的值．【解答】解：由（3x2﹣2ax）dx=（x3﹣ax2）=7﹣3a，4cos2xdx=2sin2x=1，∴7﹣3a=1，解得：a=2，故选：C．【点评】本题考查定积分的运算，考查求原函数的方法，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）（2015秋•湖北月考）已知命题p：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2cos2）＞0，则（）A．命题p的否命题为：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＜0B．命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＞0C．命题p是假命题D．命题p的逆命题是假命题【分析】写出原命题的否命题，可判断A，B；判断原命题的真，结合互为逆否的两个命题真假性相同，可判断C，D．【解答】解：命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）≤0，故A，B错误；命题p：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2cos2）=sinθcosθ＞0，为真命题，故C错误，D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，三角函数的化简求值，难度中档．6．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且f（﹣2）=3，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．2x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣4=0【分析】由已知函数的奇偶性求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，f（﹣2）=3，∴f（2）=3，∵当x＞0时，f（x）=x+，∴2+=3，∴m=2，∴f（1）=3，∵f′（x）=1﹣，∴f′（1）=﹣1．∴曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是y﹣3=﹣（x﹣1）．即x+y﹣4=0．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．7．（5分）（2016•广西一模）若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0【分析】由条件求得x≥﹣log25，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解答】解：xlog52≥﹣1，即为x≥﹣log25，2x≥，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3=（t﹣1）2﹣4，当t=1≥，即x=0时，取得最小值﹣4．故选：A．【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=2sin（π+x）sin（x++φ）的图象关于原点对称，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象．（）A．关于点（）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（﹣x）的图象向右平移个单位得到【分析】由已知可得y=sin（x++φ）为偶函数．由φ∈（0，π），可得φ，从而可求f（x），g（x），由三角函数的图象和性质及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】解：∵y=2sin（π+x）为奇函数，函数f（x）=2sin（π+x）sin（x++φ）的图象关于原点对称，∵y=sin（x++φ）为偶函数．∴由φ∈（0，π），可得φ=，∴f（x）=﹣sin2x=cos（2x+），∴g（x）=cos（2x﹣），∴g（）=cos0=1，A错误；f（x﹣）=﹣sin2（x﹣）=﹣sin（2x﹣﹣）=cos（2x﹣）=g（x），B正确；同理可得C，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（5分）（2015秋•湖北月考）已知命题p：∃x∈R，≤cos2．若（¬p）∧q是假命题，则命题q可以是（）A．若﹣2≤m＜0，则函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣4，﹣1）上单调递增B．“1≤x≤4”是“x≥﹣1”的充分不必要条件C．x=是函数f（x）=cos 2x﹣sin 2x的一条对称轴D．若a∈[，6），则函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，3）上有极值【分析】由已知可得命题p为假命题；若（¬p）∧q是假命题，则q也是假命题；逐一四个答案中命题的真假，可得答案．【解答】解：cos2＜0，＞0恒成立，故命题p：∃x∈R，≤cos2为假命题；若（¬p）∧q是假命题，则q也是假命题；A中，若﹣2≤m＜0，则函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣4，﹣1）上单调递增，为真命题；B中，“1≤x≤4”是“x≥﹣1”的充分不必要条件C中，x=是函数f（x）=cos 2x﹣sin 2x=2cos（2x+）的一条对称轴，为真命题；D中，函数f（x）=x2﹣alnx，f′（x）=x﹣，当a=时，f′（x）=x﹣＞0在区间（1，3）上恒成立，函数无极值，故D为假命题；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，复合命题，函数的单调性，函数的对称性，函数的极值等知识点，难度中档．10．（5分）（2015秋•湖北月考）已知x=是函数f（x）=（b﹣）sinx+（a﹣b）cosx（a≠0）的一个零点，则函数g（x）=asinx﹣bcosx的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意知f（）=（b﹣）sin+（a﹣b）cos=0，从而解得a=b，（b≠0），从而可得g（0）=﹣b，g（）=﹣b，从而确定答案．【解答】解：∵x=是函数f（x）=（b﹣）sinx+（a﹣b）cosx（a≠0）的一个零点，∴f（）=（b﹣）sin+（a﹣b）cos=0，即（b﹣）+（a﹣b）=0，即a=b，（b≠0），故g（x）=bsinx﹣bcosx，故g（0）=﹣b，g（）=b﹣b=﹣b，故g（0）与g（）同号，且|g（0）|＞|g（）|；故选：B．【点评】本题考查了函数的零点的应用及函数的图象的应用，属于中档题．11．（5分）（2016•浦城县模拟）已知函数f（x）=，且函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a ≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]【分析】由已知函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）==31﹣x﹣m，当x1∈[﹣1，2]时，f（x1）∈[﹣m，9﹣m]；∵t=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，故x∈[﹣，1]时，t∈[，4]，若函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，则a=2，即g（x）=log2（x2+x+2），当x2∈[0，3]时，g（x2）∈[1，log214]，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则﹣m≥1，解得m∈（﹣∞，﹣]，故选：A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．12．（5分）（2016•中山市校级模拟）设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2【分析】化简a≥x3﹣3x+3﹣，从而令F（x）=x3﹣3x+3﹣，求导以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：f（x）≤0可化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，即a≥x3﹣3x+3﹣，令F（x）=x3﹣3x+3﹣，则F′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+e﹣x），令G（x）=3x+3+e﹣x，则G′（x）=3﹣e﹣x，故当e﹣x=3，即x=﹣ln3时，G（x）=3x+3+e﹣x有最小值G（﹣ln3）=﹣3ln3+6=3（2﹣ln3）＞0，故当x∈[﹣2，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）有最小值F（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故实数α的最小值为1﹣．故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及转化的思想的应用，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2015秋•湖北月考）已知集合A={﹣2，a}，B={ 2015a，b}，且A∩B={l}，则A∪B={﹣2，1，2015} ．【分析】由A∩B={l}，可得a=b=1，则A∪B可求．【解答】解：∵A∩B={l}，∴a=b=1．则A∪B={﹣2，1，2015}．故答案为：{﹣2，1，2015}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础题．14．（5分）（2015秋•湖北月考）若“m＜a”是“函数g（x）=5﹣x+m的图象不过第一象限”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】根据指数函数的图象和性质，以及必要不充分条件的定义即可求出a的范围．【解答】解：∵函数g（x）为减函数，且函数g（x）的图象不经过第一象限，则满足g（0）=1+m≤0，即m≤﹣1，∵“m＜a”是“函数g（x）=5﹣x+m的图象不过第一象限”的必要不充分条件，∴a＞1，故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，和必要条件和充分条件，属于基础题．15．（5分）（2015秋•温州校级期中）若x∈[﹣，]，则f（x）=的最大值为﹣．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=tanx+1﹣2﹣，由x∈[﹣，]和函数的单调性可得．【解答】解：化简可得f（x）======tanx+1﹣2﹣∵x∈[﹣，]，∴tanx∈[﹣，1]，∴函数f（x）=tanx+1﹣2﹣为增函数，∴最大值为1+1﹣2﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的最值，涉及弦化切的思想和函数的单调性，属中档题．16．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=sin（x﹣）﹣+，当＜x＜时，不等式f（x）•log2（x﹣2m+）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】令x﹣=t（0＜t＜1），f（x）化为sint﹣t，求出导数，判断单调性，可得f（x）在＜x＜递增，即有f（x）＞0成立，由题意可得log2（x﹣2m+）＞0恒成立，运用对数函数的单调性和恒成立思想，即可得到m的范围．【解答】解：令x﹣=t（0＜t＜1），函数f（x）=sin（x﹣）﹣+=sint﹣t，导数为cost﹣，由0＜t＜1可得＜cos1＜cost＜1，即有cost﹣＞0，则f（x）在＜x＜递增，即有f（x）＞0成立，由f（x）•log2（x﹣2m+）＞0恒成立，即为log2（x﹣2m+）＞0恒成立，即有x﹣2m+＞1在＜x＜恒成立．则2m＜x﹣，由＜x﹣＜1，可得2m≤，解得m≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性和对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2013•肇庆一模）已知函数f（x）=Asin（4x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在时取得最大值2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，，求的值．【分析】（1）根据函数表达得ω=4，结合三角函数的周期公式即可得出f（x）的最小正周期的值；（2）由函数f（x）在时取得最大值2，得+φ=+2kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π取k=0得，从而得到f（x）的解析式；（3）由（2）求出的解析式代入，结合诱导公式化简得，由同角三角函数的关系结合算出sinα=﹣，用二倍角的三角公式算出sin2α、cos2α之值，代入的展开式，即可得到的值．【解答】解：（1）∵函数表达式为：f（x）=Asin（4x+φ），∴ω=4，可得f（x）的最小正周期为（2分）（2）∵f（x）在时取得最大值2，∴A=2，且时4x+φ=+2kπ（k∈Z），即+φ=+2kπ（k∈Z），（4分）∵0＜φ＜π，∴取k=0，得（5分）∴f（x）的解析式是；（6分）（3）由（2）得，即，可得，（7分）∵，∴，（8分）∴，（9分），（10分）∴=．（12分）【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）中的部分参数，根据函数的最大值及其相应的x值求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数的值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．18．（12分）（2015秋•湖北月考）函数f（x）=lg[﹣x2+（3a+2）x﹣3a﹣1]的定义域为集合A．（1）设函数y=x2﹣2x+3（0≤x≤3）的值域为集合B，若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）设集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）化简集合A，B，利用A∩B=B，可得B⊆A，即可求实数a的取值范围；（2）对a进行分类讨论后，再由A=B我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到结论．【解答】解：（1）A={x|（x﹣1）（x﹣3a﹣1）＜0}，B=[2，6]，∵A∩B=B，∴B⊆A，∴3a﹣1＞6，∴a＞；（2）由于2a≤a2+1，当2a=a2+1时，即a=1时，函数无意义，∴a≠1，B={x|2a＜x＜a2+1}．…①当3a+1＜1，即a＜0时，A={x|3a+1＜x＜1}，要使A=B成立，则，无解；②当3a+1=1，即a=0时，A=∅，使A=B成立，则2a＞a2+1，无解；③当3a+1=1，即a＞0时，A={x|2＜x＜3a+1}，要使A=B成立，则，无解综上，不存在a，使得A=B．【点评】本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=（sinx+cox）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）=﹣（1+λ）f2（x）﹣2f（x）+1在[﹣，]上单调递减，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合范围x∈[0，]，即可得解．（2）由（1）可知：f（x）在[﹣，]上单调递增，令t=f（x），则g（t）=﹣（1+λ）t2﹣2t+1在[﹣，]单调递减，根据二次函数的图象和性质分类讨论，从而解出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=（sinx+cox）2﹣2=sin2x+3cos2x+2sinxcosx﹣2=+3×+sin2x﹣2=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∴由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z，∴当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间为：[0，]．（2）由（1）可知：f（x）在[﹣，]上单调递增，令t=f（x），则g（t）=﹣（1+λ）t2﹣2t+1在[﹣，]单调递减，①当λ=﹣1时，g（t）=﹣2t+1满足；②当﹣（1+λ）＞0时，即λ＜﹣1时，，可解得λ≥，所以可得：﹣1＞λ≥，③当﹣（1+λ）＜0时，即λ＞﹣1时，≤﹣，解得λ≤﹣1+，所以可得：﹣1＜λ≤﹣1+，综上可得：≤λ≤﹣1+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了二次函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．20．（12分）（2015秋•朔州校级期中）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．【分析】（1）设AF所在抛物线的方程为y=ax2（a＞0），代入点（2，4），解得a，即可得到所求AF所在抛物线的方程；（2）求得直线CE的方程，设P（x，x2）（0＜x＜2），运用梯形的面积公式，可得公园的面积，求出导数，求得单调区间和极值，也为最值，可得公园面积的最大值．【解答】解：（1）设AF所在抛物线的方程为y=ax2（a＞0），∵抛物线过F（2，4），∴4=a•22，得a=1，∴AF所在抛物线的方程为y=x2；（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线的方程为y=x+4，设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4﹣x2，PR=4+x﹣x2，∴公园的面积（0＜x＜2），∴S'=﹣3x2+x+4，令S'=0，得或x=﹣1（舍去负值），极大值当时，S取得最大值．故该公园的最大面积为．【点评】本题考查导数的运用：求最值，同时考查抛物线的方程的运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立；q：函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b ∈R）在[，2]上存在单调递增区间，若p或q为真，p且q为假，求实数b的取值范围．【分析】（1）①由函数f（x）=（a＞0，且a≠1），可得x∈R．计算f（x）±f（﹣x），即可判断出奇偶性．f′（x）==，对a分类讨论即可判断出单调性．（2）若命题p是真命题：由于函数f（x）在R是单调递增，且不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立，当x=1时，函数f（x）取得最大值，可得af（1）≤2b（a+1），即可解出．若命题q是真命题：g′（x）=+2（x﹣b），由于函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[，2]上存在单调递增区间，可得g′（2）＞0，即可解出．根据p或q为真，p且q为假，可得p真q假，或p假q真．【解答】解：（1）①由函数f（x）=（a＞0，且a≠1），可得x∈R．∵f（x）+f（﹣x）=+=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．②f′（x）==，当a＞1时，lna＞0，a﹣1＞0，a x+a﹣x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．同理可得：当0＜a＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．无论：a＞1，还是0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递增．（2）若命题p是真命题：∵函数f（x）在R是单调递增，且不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，∴af（1）=a×≤2b（a+1），化为；若命题q是真命题：g′（x）=+2（x﹣b），∵函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[，2]上存在单调递增区间，∴g′（2）＞0，∴＞0，解得．∵p或q为真，p且q为假，∴p真q假，或p假q真．∴，或，解得，或．∴b的取值范围是∪．【点评】本题考查了函数奇偶性单调性、利用导数判定函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=（x2﹣ax+1）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）设f（x）=xlnx﹣x2+，若a＜，求f（x）在区间[1，e]上的最大值；（2）定义：若函数G（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数G（x）的“域同区间”，若a=2，求函数f （x）在（1，+∞）上所有符合条件的“域同区间”．【分析】（1）首先对F（x）求导，利用导函数的零点判断原函数F（x）的单调性，分类讨论a的大小来求出最大值；（2）设函数f（x）在（1，+∞）上的“域同区间”为[s，t]（1＜s＜t）．判断f（x）为单调增函数，∴，也就是方程（x﹣1）2e x=x有两分大于1的相异实根．进而转化为判断方程是否有两个实数根．【解答】解：（1）F（x）=xlnx﹣ax+1，则F'（x）=lnx﹣a+1，F'（x）=0，解得x=e a﹣1，则函数F（x）在区间（0，e a﹣1）上单调递减，在区间（e a﹣1，+∞）上单调递增．当a≤1，即e a﹣1≤1时，函数F（x）在区间[1，e]上单调递增．则F（x）最大值为F（e）=e+1﹣ea；当1＜a＜，即1＜e a﹣1＜e时，F（x）的最大值为F（e）和F（1）中较大者；由F（e）﹣F（1）=a+e﹣ae＞0，得a＜．∵＜时，∴F（x）的最大值为F（e）=e+1﹣ae．综上所述，F（x）在区间[1，e]上的最大值为F（e）=e+1﹣ea．（2）设函数f（x）在（1，+∞）上的“域同区间”为[s，t]（1＜s＜t）．∵f（x）=（x2﹣2x+1）e x，∴f'（x）=（x2﹣1）e x＞0．即函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴，即也就是方程（x﹣1）2e x=x有两分大于1的相异实根．设g（x）=（x﹣1）2e x﹣x （x＞1），则g'（x）=（x2﹣1）e x﹣1．设h（x）=g'（x），则h'（x）=（x2+2x﹣1）e x．∵在（1，+∞）上有h'（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增．∵h（1）=﹣1＜0，h（2）=3e2﹣1＞0即存在唯一的x0∈（1，2），使得h（x0）=0．当x∈（1，x0）时，h（x）=g'（x）＜0，即函数g（x）在（1，x0）上是减函数；当x∈（x0，+∞）时，h（x）=g'（x）＞0，即函数g（x）在（x0，+∞）上是减函数．因为g（1）=﹣1＜0，g（x0）＜g（1）＜0，g（2）=e2﹣2＞0．所以函数g（x）在区间（1，+∞）上只有一个零点．这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异根矛盾，所以假设不成立．所以函数f（x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性与最值，零点定理应用，构造新函数、函数与方程思想以及转化思想应用，属中等偏上题．。