7.1(2)数列(数列的递推公式)罗
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。
本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。
一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。
递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。
1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。
其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。
例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。
根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。
例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。
斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。
根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。
二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。
通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。
2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。
其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。
以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。
2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。
例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。
数列的递推公式知识点、例题、练习
4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。
数列递推关系
数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。
数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。
线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。
比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。
非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。
线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。
这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。
非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。
比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。
这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。
比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。
在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。
在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。
总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。
数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。
数列的递推公式与求和公式推导
数列的递推公式与求和公式推导在数学中，数列是指按照一定规律排列的一组数字。
数列中的每个数字称为数列的项，而数列的递推公式和求和公式是用来描述和计算数列的重要工具。
本文将介绍数列的递推公式及其推导方法，以及数列的求和公式的推导过程。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知的前一项或前几项计算下一项的公式。
它描述了数列项之间的关系，使我们可以方便地求得任意项的值。
下面以斐波那契数列为例，介绍数列的递推公式推导。
斐波那契数列是一个经典的数列，它的定义如下：F(1) = 1F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n>=3。
可以通过观察前几个数来猜测递推公式，但为了证明递推公式的正确性，需要使用数学归纳法。
首先，验证当n=1和n=2时，递推公式成立。
然后，假设当n=k时，递推公式也成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
接下来，我们通过验证n=k+1时递推公式是否成立来证明递推公式的通用正确性。
当n=k+1时，根据斐波那契数列的定义可得：F(k+1) = F(k) + F(k-1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1) = F(k) + 2F(k-1)由假设知F(k) = F(k-1) + F(k-2)，代入上式可得：F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + 2F(k-1) = F(k-1) + 3F(k-1) = 4F(k-1)因此，当n=k+1时，递推公式也成立。
根据数学归纳法可知，对于任意的n，斐波那契数列的递推公式都成立。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指计算数列前n项和的公式。
通过求和公式，我们可以在不一一相加的情况下，直接得到数列的和。
下面以等差数列为例，介绍数列的求和公式推导。
等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数，记为d。
等差数列的通项公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d，其中n为项数。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列递推公式求解
数列递推公式求解数列递推公式求解是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在这篇文章中，我们将探讨数列递推公式的求解方法，以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们明确什么是数列递推公式。
数列是一组按照特定规律排列的数字的集合。
递推公式则用来描述数列中每一项与前一项之间的关系。
最简单的数列递推公式是等差数列，它的一般形式为an = an-1 + d，其中an表示第n项，an-1表示前一项，d表示公差。
等差数列的递推公式可以用来求解各种问题，例如计算等差数列的求和、求特定项等。
接下来，我们介绍一下数列递推公式的求解方法。
求解数列递推公式的关键是找到数列中的规律。
一种常用的方法是观察数列的前几项，然后尝试找到它们之间的关系。
举个例子，假设我们有一个数列：1, 2, 4, 7, 11, ...。
我们可以观察到，第二项（2）减去第一项（1）得到1，第三项（4）减去第二项（2）得到2，第四项（7）减去第三项（4）得到3，以此类推。
根据观察结果，我们可以得出数列的递推公式：an = an-1 + (n-1)。
这个递推公式可以用来计算数列的任意一项。
除了等差数列，还有其他类型的数列，例如等比数列、斐波那契数列等。
对于这些数列，我们也可以通过类似的方法来求解它们的递推公式。
递推公式的求解不仅仅是一种数学问题，它在实际中也有广泛的应用。
例如在计算机科学中，递推公式被用来描述算法的时间复杂度。
通过求解递推公式，我们可以评估算法的效率，并选择合适的算法来解决问题。
此外，递推公式还被用于生物学、物理学等领域中，用来描述自然现象的变化规律。
通过求解递推公式，我们可以预测未来的发展趋势，从而做出相应的决策。
总结起来，数列递推公式求解是一项重要的数学技能，广泛应用于各个领域。
通过观察数列的规律，我们可以找到数列的递推公式，从而计算数列中的任意一项。
递推公式的求解不仅仅是一种数学问题，它还有实际中的广泛应用。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解数列递推公式的求解方法及其应用。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
数列与级数的递推公式与通项公式
数列与级数的递推公式与通项公式数列与级数是数学中重要的概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
数列是按照一定规律排列的一系列数，而级数是数列的和。
在研究数列和级数时，递推公式和通项公式是两个重要的概念。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或几项来确定下一项的公式。
对于递推公式，通常给出初始项或前几项，并通过递推关系得到该数列的所有项。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，F1 = 1，F2 = 1。
根据递推公式，可以得到斐波那契数列的所有项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...同样地，等差数列和等比数列也有相应的递推公式。
等差数列的递推公式为：an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，a1为首项，r为公比，n为项数。
通过递推公式，我们可以方便地求得数列中的任意一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指能够直接通过项数n来表示第n项的公式。
通项公式能够让我们不通过逐项计算，直接求得数列中某一项的值。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的通项公式为：Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)通过通项公式，我们可以方便地求得数列中的任意一项。
三、级数的递推公式与通项公式级数是数列的和，它是数学中重要的概念。
对于级数，有两个与之相关的概念：递推公式和通项公式。
级数的递推公式是指通过前一项或几项来确定下一项的公式，而级数的通项公式是指能够直接通过项数n来表示第n项的公式。
例如，等差级数的递推公式为：Sn = Sn-1 + an其中，S1 = a1。
等差级数的通项公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，数列是一种常见的概念，它可以通过递推公式和通项公式来表示。
本文将介绍数列的定义、递推公式和通项公式的含义和应用。
一. 数列的定义数列是一种有序排列的数字序列，常用字母an表示其中的每一项。
一般情况下，数列中的每一项都与前一项或多项之间存在某种关系。
数列通常用大括号{}表示，例如{an}。
二. 递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定数列中的下一项的公式。
也可以称之为递归公式。
递推公式包含了数列中各项之间的递推关系。
形式上，递推公式可以表示为an = f(an-1, an-2, ... , an-k)，其中an表示第n项，f表示递推关系的函数，an-1, an-2, ... , an-k表示前一项或多项。
递推公式的具体形式取决于数列的性质和递推关系的特点。
常见的递推公式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
1. 等差数列的递推公式等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
设数列的公差为d，首项为a1，则等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与其前一项之比都相等的数列。
设数列的公比为q，首项为a1，则等比数列的递推公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。
设数列的首两项分别为a1和a2，则斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2。
三. 通项公式通项公式是指能够直接计算数列第n项的公式，也称为一般公式。
通项公式将数列的第n项与n直接相关，而不需要通过前一项来计算。
通项公式通常用an表示。
通项公式的形式取决于数列的递推关系和数列的性质。
通项公式的推导方法各异，根据数列的特点，可以通过数列的递推关系、求和公式、解方程等方法得到相应的通项公式。
通项公式能够直接计算数列中任意一项的值，方便在数学中进行进一步计算和研究。
数列的递推公式教案,教案设计
数列的递推公式教案,教案设计教学设计2．1.2 数列的递推公式(选学)整体设计教学分析本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及头前言中的事例引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本头左图中的说明，体会数学于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(头图引入)让学生观察头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出吗？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课新知探究提出问题(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{an}的通项公式是an＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？头数列3，1 s s s …从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第1层钢管数为4，即1?4＝1＋3；第2层钢管数为5，即2?5＝2＋3；第3层钢管数为6，即3?6＝3＋3；第4层钢管数为7，即4?7＝4＋3；第5层钢管数为8，即5?8＝5＋3；第6层钢管数为9，即6?9＝6＋3；第7层钢管数为10，即7?10＝7＋3.若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；数列3，a1＝1，an＝s(an－1)(n＝2,3,4，…)．(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．应用示例例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前5项，并猜想an.活动：根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．由anan－1＝2，可得到以下解法：anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，∴an＝2n.解：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴a2＝2×a1＝4，a3＝2×a2＝8，a4＝2×a3＝16，a5＝2×a4＝32.∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，∴猜想an＝2n.变式训练已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.解：由an＋1－an＝－ 4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起，an－an－1＝－4an－1－an－2＝－4an－2－an－3＝－4……＋ a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1∴an＝2－4(n－1)．例2(教材本节例1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1•a1＝23－2n.变式训练已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.求：(1)a5；(2)127是这个数列中的第几项？解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，∴a3＝3a2－2a1＝7，a4＝3a3－2a2＝15，a5＝3a4－2a3＝31.(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，∴127是此数列的第7项．例3(教材本节例2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出让学生观察发现an与an＋1间的关系．变式训练在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an 等于( )A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn．2＋nlnn D．1＋n＋lnn答案：A解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除、D；由a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…a2－a1＝ln21，将以上n－1个式子累加得an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝ln(nn－1•n－1n－2•…•21)＝lnn，∴an＝2＋lnn.例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中A1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记A1 ，A2，A3，…，A7，A8的长度所在的数列为{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．甲乙(1)写出数列的前4项；(2)写出数列{ln}的一个递推关系式；(3)求{ln}的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么A9，A2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．解：(1)l1＝A1＝1，l2＝A2＝2，l3＝A3＝3，l4＝A4＝2.(2)通过观察图形，可知：An＋1，An,1组成直角三角形，而An＋1＝ln＋1，An＝ln.∴由勾股定理可得l 2n＋1＝l 2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．(3)ln＝n.(4)A9＝l9＝3，A2 007＝2 007＝3223.点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．知能训练1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为( )A．{a2n＋1} B．{a3n＋1} ．{a4n＋1} D．{a6n ＋1}2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn ＝anan＋1，则数列{bn}的前4项依次是__________．答案：1．B 解析：取k＝0,1,2，…，8验证，周期为8.2．前4项依次是12，23，35，58.课堂小结1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．作业课本本节习题2—1 A组7、8；习题2—1 B组4，第5题选做．设计感想本教案设计遵循生活是，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．解：观察数列前若干项可得通项公式为an＝(－1)n2n －32n.2．公式法已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝S1，n ＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达式．【例2】已知数列{an}的前n项和Sn满足lg2(Sn＋1)＝n＋1，求此数列的通项公式．解：由条件可得Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.3．累差迭加法若数列{an}满足an＋1＝an＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，∴an＝n2＋5(n∈N)．4．连乘法若数列{an}能写成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，则可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n －2)，…，a2＝a1f(2)连乘求得通项公式．【例4】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝n＋1an2(n∈N)，求{an}的通项公式．解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，∴anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)．于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)，以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．5．求解方程法若数列{an}满足方程f(an)＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例5】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(lg2an)＝－2n，求数列{an}的通项公式．解：由条件f(lg2an)＝2lg2an－2－lg2an＝－2n，即an－1an＝－2n.∴a2n＋2nan－1＝0.又an＞0，∴an＝n2＋1－n.6．迭代法若数列{an}满足an＝f(an－1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an －2(n≥3)，则a5等于( )A.5512B.133 ．4 D．52．已知数列{an}的首项a1＝1，且 an＝－12an－1(n ≥2，且n∈N*)，则a4等于… ( )A．－ 1 B.12 .1724 D．－183．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1•an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝__________.4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝__________.5．已知an＝n－98n－99(n∈N*)，则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.2．D 解析：a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.3.1n 解析：由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.4.nn＋12＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.当n＝1时，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.5．a10，a9 解析：an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，当1≤n≤9时，99－98n－99＜0，an为递减函数；当n≥10时，99－98n－99＞0，an为递减函数．∴最大项为a10，最小项为a9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，则an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，则得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an －3(n≥4)，就可以求得a8＝81.。
数列的递推与递归公式
数列的递推与递归公式数列是数学中常见的一种数值序列，它由一个或多个数字按照特定的规律排列组成。
数列可以通过递推公式和递归公式来定义。
递推公式是指通过前一项或多项数值来计算后一项的公式。
递推公式常用于计算数列的前几项，然后利用这些已知的项来计算后面的项。
例如，斐波那契数列就可以通过递推公式来计算，其递推关系为f(n) =f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n个斐波那契数。
递归公式是指一个数列中的某一项可以通过该数列中的其他项来定义的公式。
递归公式常常用于计算数列中的任意一项。
例如，阶乘数列就可以通过递归公式来计算，其递归关系为f(n) = n * f(n-1)，其中f(n)表示n的阶乘。
递推公式和递归公式是数列中两种常见的定义方法，它们可以根据实际情况灵活运用。
在实际应用中，我们常常需要根据问题的要求选择适合的定义方法来计算数列。
数列的递推和递归公式有着广泛的应用。
在数学中，数列的递归公式常用于证明数学定理和解决数学问题。
而在计算机科学中，数列的递推公式常用于编写程序，计算数列的任意一项。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是指从1开始，后一项是前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推关系f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1) = 1，f(2) = 1。
利用递推公式，我们可以计算斐波那契数列的前几项：f(1) = 1f(2) = 1f(3) = f(2) + f(1) = 2f(4) = f(3) + f(2) = 3f(5) = f(4) + f(3) = 5...通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列的任意一项。
递推公式和递归公式是数列中常用的定义方法，它们在解决问题时有着不可替代的作用。
通过递推公式和递归公式，我们可以轻松地计算数列的任意一项。
无论是在数学领域还是在计算机科学领域，数列的递推和递归公式都是不可或缺的工具。
以上是关于数列递推和递归公式的一些介绍和应用。
数列,通项公式方法,求前n项 和例题讲解和方法总结
的前n项和为
，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列
和 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
例2．已知数列的首项，，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和
的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和
. 三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可. 2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及 前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则S13的值为( )
5、已知数列 是等差数列，且 ， 是数列 的前
项和． (Ⅰ)求数列
的通项公式 及前 项和 ；
(Ⅱ) 若数列 满足 ，且 是数列 的前 项和，求 与 ．
6． 设是正数组成的数列，其前n项和为 并且对于所有的自然数与2 的等差中项等于与2的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)令 求证：
7、已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ．
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方 法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝ _________________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d． e．
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是数学中的重要概念，它是按照特定规律排列的一系列数值。
在数列中，递推公式和通项公式是两个关键概念。
递推公式用来描述数列中每一项与前一项之间的关系，而通项公式则是用来计算数列中任意一项的值。
本文将深入探讨数列的递推公式与通项公式，希望能帮助读者对数列的理解更加深入。
一、递推公式递推公式是数列中每一项与前一项之间的关系式。
通过递推公式可以计算出数列中的各项值，从而形成一个完整的数列。
递推公式可以是线性的，也可以是非线性的，具体形式取决于数列的特点。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个非常著名的数列，在数列中的前两项是1，之后的每一项都等于前两项之和。
可以得出斐波那契数列的递推公式如下：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示第n项的值，Fn-1表示第n-1项的值，Fn-2表示第n-2项的值。
通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。
除了非线性的递推公式，还有一些数列的递推公式是线性的。
例如，等差数列和等比数列就可以使用线性的递推公式来描述。
在等差数列中，每一项都是前一项加上一个固定的差值d，递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
通过递推公式，我们可以轻松地计算出等差数列中任意一项的值。
二、通项公式通项公式是数列中任意一项的值的一般公式。
通过通项公式，我们可以直接计算数列中任意一项的值，而不需要通过递推关系一步一步计算。
以等差数列为例，等差数列的通项公式可以通过递推公式推导得到。
在等差数列中，递推公式为：an = a1 + (n-1)d将此递推公式进行整理和化简，可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d通过通项公式，我们可以直接计算出等差数列中任意一项的值。
只需要知道首项的值a1，公差d和要计算的项数n即可。
同样地，等比数列也有对应的通项公式。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，r表示公比，n表示项数。
递推数列与递推数列的求和公式总结
递推数列与递推数列的求和公式总结递推数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项都是前面一项或几项的函数。
递推数列的求和公式则是用来计算递推数列前n项和的数学公式。
本文将对递推数列和求和公式进行总结。
一、递推数列的定义与性质递推数列的定义是指数列的第n+1项与前n项之间存在着某种规律，常用的递推数列包括等差数列、等比数列等。
1. 等差数列等差数列是指数列的相邻两项之差恒为一个常数d，通常表示为a，a+d，a+2d，a+3d......其中a为首项，d为公差。
2. 等比数列等比数列是指数列的相邻两项之比恒为一个常数q，通常表示为a，aq，aq^2，aq^3......其中a为首项，q为公比。
递推数列具有以下性质：- 公差、公比所确定的递推数列的任意一项与其前一项之间的关系为常数差或常数比；- 递推数列的前n项和与其前n-1项和之间也存在递推关系。
二、递推数列的求和公式1. 等差数列求和公式对于等差数列a，a+d，a+2d，a+3d......其中a为首项，d为公差，它的前n项和Sn为：Sn = n/2(2a + (n-1)d)2. 等比数列求和公式对于等比数列a，aq，aq^2，aq^3......其中a为首项，q为公比，它的前n项和Sn为：Sn = a(q^n - 1)/(q - 1) (q ≠ 1)3. 斐波那契数列斐波那契数列是递推数列中的一种特殊情况。
它的定义是：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2）。
斐波那契数列的求和公式较为复杂，通常使用矩阵乘法等方法进行求解。
本文只介绍了部分递推数列的求和公式，实际上还有其他类型的递推数列，求和公式也各有不同，需要具体问题具体分析。
在实际运用中，可以根据递推数列的性质和公式，快速计算数列的前n项和，进而解决相关问题。
三、例题分析例题1：已知等差数列的前n项和为Sn，首项为a，公差为d，求第m项的值。
2022届高考数学一轮复习第7章7.1数列含递推公式核心考点精准研析训练含解析新人教B版
第7章核心考点·精准研析考点一数列的有关概念及通项公式1.数列{a n}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,a n=,则a3+a5= ( )A. B. C. D.n=n2-8n+15,则3 ( )A.不是数列{a n}中的项B.只是数列{a n}中的第2项C.只是数列{a n}中的第6项D.是数列{a n}中的第2项或第6项,-,,-,…的一个通项公式为( )n=(-1)n·n=(-1)n·n=(-1)n+1·n=(-1)n+1·4.若数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1,则++…+等于( )世纪金榜导学号A. B. C. D.5.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,则a n=( )世纪金榜导学号A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n【解析】n=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.n=3,即n 2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.n+1=a n+n+1,得a n+1-a n=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,a n-a n-1=(n-1)+1,以上等式相加,得a n-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得a n=1+2+3+…+(n-1)+n=,所以==2,则++…+=2=2= .n+1=a n+ln,所以a n-a n-1=ln=ln(n≥2),所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=ln+ln+…+ln+ln 2+2=2+ln=2+ln n(n≥2).又a1=2适合上式,故a n=2+ln n(n∈N*).将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )n=(-1)n-1n=n=2sin n=cos(n-1)π+1【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,a n=2sin不合题意.(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③各项的符号特征和绝对值特征;④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.(1)累加法:a n+1-a n=f(n).(2)累乘法: =f(n).(3)待定系数法:a n+1=pa n+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:a n+1-t=p(a n-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.【秒杀绝招】1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.考点二a n与S n的关系及其应用【典例】1.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2(a n-1)(n∈N*),则a n= ( )-1 nn-1n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,求a n. 世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题(1)看到a n与S n的关系,想到利用a n=S n-S n-1(n≥2)转化为a n与a n-1的关系1(2)也可以先检验n=1,n=2,n=3进行排除(1)利用a n+1=S n+1-S n转化为S n+1与S n的关系2(2)求得S n,代入a n=S n-S n-1(n≥2)得a n,并检验n=1是否成立【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1,所以数列{a n}为首项为2,公比为2的等比数列,所以a n=2n.【一题多解】1=2,a2=4,a3=8,易确定C.n+1=S n+1-S n=S n+1S n,两边同时除以S n+1S n,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以S n=-.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-+=,故a n=【答题模板微课】本例题2的模板化过程:建模板:当n=1时,a1=S1=-1, …………求首项当n≥2时,a n=S n-S n-1=-+=,…………作差求通项经检验a1=-1不适合a n=, …………检验故a n=…………结论套模板:已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, …………求首项当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1, …………作差求通项经检验a1=4不适合a n=2n+1, …………检验故a n=…………结论答案:n求a n的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换S n中的n得到一个新的关系,利用a n=S n-S n-1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式.(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用a n=S n-S n-1(n≥2)转化为只含S n,S n-1的关系式,再求解.(2)利用S n-S n-1=a n(n≥2)转化为只含a n,a n-1的关系式,再求解.1.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-3,则数列{a n}的通项公式是________.【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故a n=答案:a n=2.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n= ( ) n-1 B.C. D.【解析】n=2a n+1得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,=,而S1=a1=1,所以S n=.【变式备选】已知数列{a n}的前n项和为S n,求{a n}的通项公式.(1)S n=2n2-3n.(2)S n=3n+b.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.由于a1也适合此等式,所以a n=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b≠-1时,a1不适合此等式.所以当b=-1时,a n=2·3n-1;当b≠-1时,a n=考点三数列的性质及其应用命题精解读考什么:考查数列的单调性、周期性、最值问题怎么考:因为数列可以看作是一类特殊的函数值,所以数列也具备函数应具备的性质,因此常常以数列为载体,考查单调性、周期性以及最值等问题.解题过程中常常渗透逻辑推理的核心素养.新趋势:由递推关系求通项公式考查求通项公式的方法成为考试的新趋势学霸好方法(1)作差比较法(2)作商比较法(3)结合相应函数的图象直观判断.先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项;(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.数列的函数特性可利用数形结合、分类讨论进行解题数列的单调性【典例】已知递增数列{a n},a n≥0,a1=0.对于任意的正整数n,不等式t2-- 3t-3a n≤0恒成立,则正数t的最大值为( )A.1B.2【解析】选C.因为数列{a n}是递增数列,又t2--3t-3a n=(t-a n-3)(t+a n)≤0,t+a n>0,所以t≤a n+3恒成立,t≤(a n+3)min=a1+3=3,所以t max=3.在数列的恒成立问题中,若涉及求参数的最值问题时,如何进行合理地转化?提示:在涉及求参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.数列的周期性【典例】若数列{a n}满足a1=2,a n+1=,则a2 022的值为世纪金榜导学号( )A.2B.-3 D.【解析】1=2,a n+1=,所以a2==-3,同理可得:a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得a n+4=a n,则a2 022=a505×4+2=a2=-3.在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑如何求解?提示:在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.数列中的最值【典例】数列{a n}的通项为a n=(n∈N*),若a5是{a n}中的最大值,则a的取值X围是________.世纪金榜导学号【解析】当n≤4时,a n=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.当n≥5时,a n=-n2+(a-1)n=-+.因为a5是{a n}中的最大值,所以解得9≤a≤12.所以a的取值X围是[9,12].答案:[9,12]当数列涉及最大项或最小项问题时,除了用不等式组求解,还可以考虑什么方法?提示:解决数列的最值问题,除了用不等式组求解,还可以将数列看作某个函数,利用求函数的最值的方法求数列的最值.1.已知数列{a n}满足a n=(n∈N*),则数列{a n}的最小项是第______项.【解析】因为a n=,所以数列{a n}的最小项必为a n<0,即<0,3n-16<0,从而n<.又n∈N*,所以当n=5时,a n的值最小.答案:52.已知数列{a n}中,a n=n2+λn,且{a n}为递增数列,某某数λ的取值X围.【解析】因为a n+1-a n=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{a n}为递增数列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立.因为n=1时,-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).【一题多解】函数f(n)=n2+λn的图象的对称轴是n=-,如图,只需要-<,则λ>-3,即λ∈(-3,+∞).1.(2020·某某模拟)已知在正项等比数列中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,则a2 020的个位数字是( )A.2B.4【解析】选C.设公比为q(q>0),依题意得解得a1=q=2,故a2 020=2×22 019=22 020,注意到21个位数字是2,22个位数字是4,23个位数字是8,24的个位数字是6,25的个位数字是2,26的个位数字是4,…,故2n的个位数字的周期为4,而22 020=2505×4,故其个位数字为6.2.数列{a n}的通项公式为a n=,则数列{a n}中的最大项是( )B.19C.D.【解析】选 C.令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3n=,所以≤,由于n∈N*,故当n=9或n=10时,a n=最大.。
数列的递推公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
3 8
a5 1 =1 =
a4
5 5
总结：递推公式也是给出
数列的一种方法，根据数
列的递推公式，可以逐次
写出数列的所有项.
探究新知
问题2 通项公式与递推公式有什么差别与联系呢？
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
课本P8
小试牛刀
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在
3
3
2
2
a3 1 3 1 3，
3
3
2
2
a4 1 3 1 3.
3
3
课本P8
小试牛刀
3.已知数列{an }满足a1 2,an 2
1
an 1
( n 2),写出它的前5项,并猜想它的通项公式.
解：a1 2,
1
2 4
1
1 3
2 ，
a2 2 2 ， a3 2
4n 3
2
2
当n = 1时，a1 S1 2 12 1 1 2，
不符合上式
2 , ( n 1)
故数列{an}的通项公式为 an
*
4
n
3,(
n
2
且
n
N
)
拓展训练
3. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
从第二项起，后一项是前一项的3倍
1
3
3
1
0
×3
1 = 1
高二数学上：7.1 数列的递推公式 教案 沪教版
高二数学7.1（2）数 列（数列的递推公式）一、教学内容分析本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式.二、教学目标设计1、知道递推公式也是给出数列的一种方法；2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成学生的观察能力；3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力.三、教学重点及难点重点：理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系. 难点：阅读算法程序框图，建立递推关系式.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．观察3、6、9、12、15、18、21. ①2．思考在数列①中，项与项之间有什么关系？[说明]：13,a =2132433,3,3,a a a a a a =+=+=+ 或 2132432,3,24,3a a a a a a === 3．讨论由此，数列①也可以用下面的公式表示：113(27)3n n a a n a -=+ ≤≤⎧⎨=⎩ 或二、学习新课1．概念辨析如果已知数列}{na 的任一项与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法.2．例题分析例3.根据下列递推公式写出数列的前4项：（1）1121(2),1;n n a a n a -=+ ≥⎧⎨=⎩（2）1115(2),100.n n a a n a -=- ≥⎧⎨=⎩解：（1）由题意知：这个数列的前4项依次为1，3，7，15.（2）由题意知：这个数列的前4项依次为100，-85，100，-85.[说明] 已知数列的首项（或前几项），利用递推公式可以依次求出数列以后的项. 例4．根据图7-5中的框图，建立所打印数列的递推公式，并写出这个数列的前5项. 解：由图7-5可知，数列的首项为3，从第二项起数列中的每一项都是前一项与前一项减1所得的差之积，即利用上述递推公式，计算可得到数列的前5项依次为3，6，30，870，756030.[说明] 解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的是算法程序，该程序就是递推关系.3．问题拓展例1.1112(2),1, 1.n n n a a a n a a +-=+ ≥⎧⎨==⎩解：由题意知：这个数列的前4项依次为1，1，2，3.[说明] 由递推公式1112(2),1, 1.n n n a a a n a a +-=+ ≥⎧⎨==⎩给出的数列叫做斐波那契数列.斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250），意大利数学家，他在1202年所著的《计算之书》中，提出的“兔子问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列.斐波那契的兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子．那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？用记号“”表示初生的幼兔，“•”表示成熟的兔子，则有下图得到前七项：1，1，2，3，5，8，13进一步可以发现：从第三项起，每一项都是前面两项之和.下面给出证明：设n a 表示第n 个月的兔子数，n b 表示第n 个月幼兔，n c 表示第n 个月的成熟兔，则：n n n a b c =+由题意有：11112,nn n n n n n c c b a b c a -----=+=== *21(2,)n n n a a a n n N --∴=+≥∈，证毕. ∴1到12个月的兔子数依序是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，243.∴12个月后共有243对兔子.例2.已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(3)n n n a a a n --=+ ≥给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列{}n a ，通过公式1n n n a b a +=构造一个新数列{}n b ，写出数列{}n b 的前5项；（3）继续计算数列{}n b 的第6项到第10项，你发现数列{}n b 的相邻两项之间有怎样的关系. 解：由递推关系：1212(3),1, 2.n n n a a a n a a --=+ ≥⎧⎨==⎩（1）数列{}n a 的前5项依次为：1，2，3，5，8（2）数列{}n b 的前5项依次为：358132,,,,2358. （3）数列{}n b 的第5项到第10项依次为：21345589144,,,,1321345589.观察1：2341231,1,1235b b b =+=+=+，…，1055189b =+.于是，数列{}n b 的相邻两项之间具有：111(2)n n b n b -=+ ≥.观察2：212323121(1)1,1(1)1,23b b b b b b -=⇒-=-=⇒-=，…， 10910551(1)189b b b -=⇒-=.于是，数列{}n b 的相邻两项之间具有：1(1)1(2)n n b b n --= ≥.[说明]（1）题是利用递推关系求数列的项；（2）题是构造一个数列写出部分项；（3）题是通过观察部分项，猜想递推关系式.例3.根据框图，建立所打印数列的递推公式，并写出数列的前5项.解：根据框图，数列的递推公式为数列的前5项依次为：313552331,,,,52189377.[说明] 阅读框图，正确理解框图中的赋值语句，准确把握递推信息，是解此类题的关键.三、巩固练习: 7.1（2）1,2.四、课堂小结1、数列递推公式的概念；2、利用递推公式解题的基本类型：（1）根据递推公式，求数列的部分项；（2）已知数列的部分项，写出数列相邻两项的关系；（3）根据算法程序框图，建立递推关系式.五、作业布置练习册（A）6、7、8；练习册（B）2、4.七、教学设计说明本节课是数列的第二课时，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式．因此，本节课的教学设计应围绕以下几点开展教学：1、让学生明白：递推公式也是给出数列的一种方法；2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，以此来培养学生的观察能力；3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，以培养学生的数学阅读能力.。
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7.1（2）数 列（数列的递推公式）
【教学目标】
1.知道递推公式也是给出数列的一种方法；
2.理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成观察能力；
3.通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力.
【教学重点】
理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系.
【教学难点】
阅读算法程序框图，建立递推关系式
【教材分析】
本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式.
【教学过程】
一、情景引入
1．观察
3、6、9、12、15、18、21. ①
2．思考
在数列①中，项与项之间有什么关系？
[说明]：13,a =
2132433,3,
3,a a a a a a =+=+=+
或 2132432,
3,24,3a a a a a a === 3．讨论
由此，数列①也可以用下面的公式表示：
113(27)3
n n a a n a -=+ ≤≤⎧⎨=⎩ 或 11(27)13
n n n a a n n a -⎧= ≤≤⎪-⎨⎪=⎩ 二、学习新课
1．概念辨析
如果已知数列}{
n a 的任一项与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法.
2．例题分析
例1.根据下列递推公式写出数列的前4项：
（1）1121(2),1;
n n a a n a -=+ ≥⎧⎨=⎩
（2）1115(2),100.n n a a n a -=- ≥⎧⎨
=⎩
解：（1）由题意知：
12132431
212113
212317
2127115a a a a a a a ==+=⨯+==+=⨯+==+=⨯+=
这个数列的前4项依次为1，3，7，15.
（2）由题意知：
1213243100,
151510085
1515(85)100,
151510085a a a a a a a ==-=-=-=-=--==-=-=-
这个数列的前4项依次为100，-85，100，-85.
[说明] 已知数列的首项（或前几项），利用递推公式可以依次求出数列以后的项. 例2．根据图7-5中的框图，建立所打印数列的递推公式，并写出这个数列的前5项.
解：由图7-5可知，数列的首项为3，从第二项起数列中的
每一项都是前一项与前一项减1所得的差之积，即
111(1)(210),3.
n n n a a a n a --=- ≤≤⎧⎨=⎩ 利用上述递推公式，计算可得到数列的前5项依次为
3，6，30，870，756030.
[说明] 解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的是算法程
序，该程序就是递推关系.
例3.根据框图，建立所打印数列的递推公式，并写出数列的前
5项.
解：根据框图，数列的递推公式为
输入A=1
A=(A+B)/2打印A
B=A/2
111
2(210,*)231n n n a a n n N a a --+⎧= ≤≤∈⎪+⎨⎪=⎩ 数列的前5项依次为：313552331,,,,52189377
. [说明] 阅读框图，正确理解框图中的赋值语句，准确把握递推信息，是解此类题的关键.
四、课堂小结
1、数列递推公式的概念；
2、利用递推公式解题的基本类型：
（1）根据递推公式，求数列的部分项；
（2）已知数列的部分项，写出数列相邻两项的关系；
（3）根据算法程序框图，建立递推关系式.
五、课后作业
1.书上练习7.(2)中的1、2、3
2. 练习册习题７．１ A 组 6、7、8
7.1（2）数 列（数列的递推公式）
一、填空题
1、已知数列{}n a 满足条件1122,21+=-=+-n n n
a a a a ，则5a = 2、写出数列：1,2 3,8 5,18 732
……的一个通项公式 3、已知数列{}n a 满足：11,a = 11n n a a n +=++，则6a =
4、在数列{}n a 中已知13a =，23,a =-且12n n n a a a ++=+，则2004a =
5、在数列{}n a 中，11=++n a n n
，则12345++++=a a a a a 6、根据所给框图建立所给数列的递推公式，并写出该数列的 前4项：
二、选择题
7. 下列数列中，单调递减的是 （ ）
A. 数列1,1,2,3,4,5---
B ．数列{}n a 的通项公式是()cot n a nx =
C ．数列{}n a 的通项公式是22n a n =
D ．数列{}n a 的通项公式是221n a n n =--+
8. 已知数列{}n a 中，11a =，满足*12,n n a a n n N +=+∈，则n a 等于 （ ）
A ．2
1n n ++
B ．21n n -+
C ．222n n -+
D ．2221n n -+
9. 用半径相同的小球，堆在一起，成一个“正三棱锥”型，第一层1个，第二层3个，第三层有 （ ）
Α．5个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
三、解答题 10、已知数列{}n a 满足213
n n n a ++=，（1）写出10a 与1n a +，（2）2793是不是数列{}n a 的项？如果是，那么是第几项？
11、根据数列的递推关系写出数列{}n a 的通项公式：
1122,(2,)
n n a a a n n N -⎧=⎪⎨=+≥∈⎪⎩
12、已知数列{}n a 满足*2()144n n a n N n =∈+，则此数列哪一项的值最大？并求出最大值。
答案： 1、1072、2
212n n a n -= 3、21 4、6 5、61- 6、()23111333;1,,,344424
n n a a a n -=⎧⎪⎛⎫⎛⎫⎨ ⎪ ⎪=≥⎝⎭⎝⎭⎪⎩7、D 8、B 9、B 10、(1)21013337,3
n n n a a +++==；（2）不是 11、24n a n = 12、()12max 124n a a ==。