由面积公式产生的函数关系问题

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知识点218 根据实际问题列二次函数关系式解答题

一、解答题4、（2010•哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长．考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法；二次函数的应用。

专题：几何图形问题。

分析：（1）根据长方形的面积公式求出S与x之间的函数关系式．（2）根据矩形ABCD的面积为50平方米，即S=50，即可列出一元二次方程求解．解答：解：（1）根据题意AD=，S=x（15﹣x）=﹣x2+15x（2）当S=50时，﹣x2+15x=50，整理得x2﹣15x+50=0解得x1=5，x2=10当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5∵AB＜AD∴AB=5答：当矩形ABCD的面积为50平方米且AB＜AD时，AB的长为5米．点评：对于长方形的面积公式要熟记．注意本题AB＜AD，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．5、（2005•南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法。

专题：几何图形问题。

分析：（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×20+45+2x2×120化简即可．（2）设镜宽为xm，根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用=195元，即可列出方程求解．解答：解：（1）y=240x2+120x+45（2）设镜宽为xm，则可列方程为2x2×120+6x×20+45=195 3分整理得8x2+4x﹣5=0解得x1=，x2=（舍去）5分∴x=∴2x=答：镜子的长和宽分别是m和m．点评：本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式。

中考压轴函数关系,7.由面积产生的函数关系问题-教师版

由面积产生的函数关系问题例1 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--．（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例2 如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)．所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以3313sin 1313B ==．在Rt △BEH 中，93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=．当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例3 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x +=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．例4 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工． 2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-．于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭．③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9例5 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1思路点拨1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =．（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤．在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =．在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =．于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+．②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤．因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =．因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-．所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4 （3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-．因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+．因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289． ③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+．因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14．综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289．考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-．图5例6 如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧．设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F 画对应的等边三角形EFG ，思路和思想以及分类的标准尽在图形中． 2．用t 表示OE 、AE 、EF 、AH 的长，都和点E 折返前后相关，分两种情况． 3．探求等腰三角形AOH ，先按顶点分三种情况，再按点E 折返前后分两种情况． 4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．满分解答（1）在Rt △ABC 中，233tan63BC BAC AB ∠===，所以∠BAC ＝30°．如图2，当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，在Rt △BCF 中，∠BFC ＝60°，BC =23，所以BF ＝2．因此PF ＝3－2＝1，运动时间t＝1．图2（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，2343S t =+． ②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，234333S t t =-++． ③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，43203S t =-+． ④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，23(6)S t =-．图3 图4 图5在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．△AEH 的形状保持不变，AH ＝3AE ．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．图6 图7 图8①当AO ＝AH 时，解3(3)3t -=，得33t =-（如图7）；解3(3)3t -=，得33t =+（如图8）．②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO ＝3AH ＝3AE ．解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．图9 图10 图11考点伸展图3，图4中，点E 向A 运动，EF ＝6；图5，图6中，点E 折返，EF ＝12－2t ．。

例谈中考动态题中图形面积与运动变量的函数关系

例谈中考动态题中图形面积与运动变量的函数关系【摘要】近年来，涉及图形运动的几何问题经常出现在各类考试的压轴题中，常见的图形变化问题是通过变化图形的位置，引起图形的面积发生改变。

本文结合近年广东各地中考数学卷，将此类问题分为动点型、动线型、图形平移型、图形折叠型等四种类型进行分析，总结此类问题的解题思路、解题技巧。

【关键词】图形面积运动变量一、动点型这类题考查学生数形结合、化归的数学思想。

解这类题在于“动静结合”“动中求静”。

解答的方法是观察由于点的运动，所求的几何图形与哪些图形存在关系，从而进一步求出图形面积与运动变量的函数关系式。

例1 （2012湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形aob 的顶点a、b分别落在坐标轴上。

o为原点，点a的坐标为（6，0），点b的坐标为（0，8）。

动点m从点o出发，沿oa向终点a以每秒1个单位的速度运动，同时动点n从点a出发，沿ab向终点b以每秒5/3个单位的速度运动。

当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点m、n运动的时间为t秒（t>0），（1）当t=3秒时，直接写出点n的坐标，并求出经过o、a、n三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△mna的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△mna是一个等腰三角形？【分析】△mna中，过n作ma边上的高nc，先由∠bao的正弦值求出nc的表达式，而am=oa-om，由三角形的面积公式可得到关于s△mna关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△mna 的最大面积。

二、动线型此类题以平面直角坐标系为载体，要求直线平移过程中图形的面积。

由于直线运动过程中所求的几何图形的形状和大小发生变化时，相应的时间分界点是确定的。

于是图形由“动”变“静”，再设法分别求解。

用分类的思想画图在解这类动态几何题时非常有效，它可以帮助我们理清思路，击破难点。

解答此类题的方法是画出各个时刻的图形，根据图形形状确定时间分界点，从而分类讨论求解。

二次函数中的面积问题

二次函数中的面积问题
二次函数中的面积问题是一个广泛应用的数学概念。通过深入研究二次函数，我们可以探索其标准式、图像、交点、对称轴以及顶点等属性，进而应用面积公式解决各种实际问题。
什么是二次函数
二次函数是一个以x的二次项为特征的函数。它的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数。二次函数的图像通常呈现开口向上或向下的抛物线形状。
二次函数的变形及面积问题的应用
通过对二次函数进行平移、缩放和翻转等变形操作，可以解决更加复杂的面积问题，例如计算部分面积的问题。
二次函数的导数是代表函数斜率的函数，可以通过求导得到。导函数即为二次函数的一阶导数。
求二次函数的最小值及最大值
二次函数的最小值或最大值是函数的极值点。可以通过求导数和解方程得到最小值或最大值的坐标。
二次函数与勾股定理
二次函数与勾股定理有一定的联系。通过勾股定理，我们可以计算二次函数的斜边长度或直角边长。
要计算二次函数与坐标轴的交点，可以将函数等于零得到二次方程，然后使用求根公式解方程。交点包括x轴与y轴的交点。
二次函数的对称轴
对称轴是二次函数的一个重要属性，通过对称轴可以找到抛物线的对称中心。对称轴的公式为x=-b/2a。
求二次函数的顶点及最值
顶点是二次函数的极值点，可以通过求导数或通过对称轴的坐标计算得出。最值可以是极大值或极小值，具体取决于抛物线的开口方向。
二次函数与坐标系围成的面积
二次函数与坐标系围成的面积可以通过计算二次函数与x轴、y轴围成的矩形面积和差值的方式得到。
求二次函数与x轴围成的面积
要求二次函数与x轴围成的面积，可以将函数转化为标准形式，计算定积分，或通过求解二次方程得到交点坐标进而计算面积。

二次函数与三角形面积问题

二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。

具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。

通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。

同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。

首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。

二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。

二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。

现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。

假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。

首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。

这可以通过使用求根公式来进行计算。

根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。

假设我们求解得到了两个根，x1和x2。

接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。

根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。

因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。

接下来，我们需要确定三角形的高。

为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。

二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。

通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。

一次函数与面积的关系动点问题

一次函数与面积的关系
当函数的导数为常数时，函数的图像为
图像下面积的计算
2
直线，与x轴和y轴围成的图形面积与x轴之间的积分成正比，即面积等于函数导
在一次函数的图像下方，面积与反比例
数在定义域上的积分。
函数成正比，可以通过用反比例函数来
计算函数面积。
3
图像上方面积的计算
在一次函数的图像上方，面积பைடு நூலகம்反比例
一次函数与面积的关系动点问题
在本次的PPT中，我们将会一起探究一次函数与面积的关系动点问题。了解什么是一次函数，如何求解函数的解析式以及如何计算面积的变化。让我们开始吧！
什么是一次函数？
一次函数是指函数的最高次项为1的一类函数。它具有简单的线性关系，对于初学者来说是数学中的基础。
1 定义和性质
将复杂图形分解成若干个简单图形，计算每个图形的面积，然后将它们相加起来。
2
特殊图形的面积计算
掌握特殊图形的计算公式，如扇形和梯形的面积计算公式。
3
应用例题
用面积的知识解决实际问题。
探究一次函数与面积的关系
了解一次函数与面积之间的关系，探究线性函数的图像和面积之间的联系，以及如何在图像上求解面积。
1
了解线性函数的基本概念和特点。
2 解析式的确定
掌握如何根据给定的条件来确定一次函数的解析式。
3 实际问题求解
学会如何用一次函数的知识解决实际问题。
面积的定义和性质
面积是二维图形所占的空间大小。它是一种抽象的概念，但是却具有广泛的应用。
面积的定义
通过正方形面积的概念引入面积的定义。
面积的性质
了解面积在几何学中的一些基本性质，比如面积叠加和面积不变形。

上海中考数学压轴题解题方法总结

上海中考数学压轴题解题方法总结上海中考数学压轴题各题型解题方法总结18题题型一：翻折问题；性质：翻折前后两个图形全等：边相等，角相等折痕垂直平分对应点的连线学会找等腰画图：已知折痕：过对应点做折痕的垂线并延长已知对应点：做对应点连线的垂直平分线【解题策略分析】解决动态问题需要我们运用运动与变化的观点去观察与研究图形，把握图形运动与变化的全过程，在动中找出不变的因素，利用不变的因素来解决变化的问题。

1）通过翻折后与原图形全等找出等量关系；2）联结原点和翻折后的点，必定关于折痕对称（或者用折痕是对称点的垂直平分线）；3）跟其他线段中点结合构造中位线；4）做垂线运用“双勾股”。

图形翻折之“翻折边长”题型解题方法与策略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻觅翻折相等的线段或角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件找到隐含条件；5.勾股定理、三角比、相似三角形构造方程；6.部分题目注意分类讨论。

图形翻折之“翻折角度”题型解题办法与战略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻找翻折相等的线段或角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件解题（比如平行、垂直等）；5.利用好三角形的内角和、外角性质。

图形翻折之“翻折面积”题型解题办法与战略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻觅翻折相等的线段和角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件（比如平行、垂直）解题；5.利用好勾股定理、相似、等高三角形面积干系等转化成线段干系。

运题型二：旋转问题；旋转三要素旋转中心旋转偏向：顺时针；逆时针旋转角度性质：旋转前后两个图形全等：边相等，角相等会找新的相似：以旋转角为顶角的两个等腰三角形相似，相似后对应角相等注意题目中的暗示：画图：点的旋转图形的旋转：可以把图形的旋转转化为点的旋转，从而画圆旋转后点落在边上、直线上、射线上1.寻找旋转中心;2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论;3.挖掘题目中的特殊条件:题目中有哪些角相等？哪些边相等？4.准确画出旋转后的图形是解题的关键.图形旋转之“旋转边长”题型解题方法与策略：1.寻找旋转中心；2.寻觅旋转的偏向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有申明则分类会商；3.寻觅旋转前后相等的线段或角度，根据题意准确画图；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.勾股定理、三角比、相似三角形构造方程；6.部分题目注意分类会商；图形旋转之“旋转面积”题型解题方法与策略：1.寻觅旋转中心；2.寻觅旋转的偏向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有申明则分类会商；3.寻觅旋转前后相等的线段或角度，根据题意准确画图；4.观察所求图形面积形状，结合面积公式、相似、等高模型求解；5.部分题目注意分类讨论；图形旋转之“旋转角度”题型解题方法与策略：1.寻觅旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论；3.寻觅旋转旋转角、旋转前后相等的线段、相等的角度，根据题意准确画图；4.利用内角和、外角性质并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；题型三：平移问题平移图形的特征1.平移前后的图形全等2.图形上每一个点平移的距离和偏向都是相同的平移之“函数中的图象平移”题型解题办法与战略：1.寻找平移方法和距离；2.化简原函数解析式，并在坐标系中画出原函数大致图象；3.根据请求画出平移后函数的图象；4.结合平移前后对应点坐标以及二次函数对称轴和举行相关计算和求解；5.部分题目注意分类讨论。

一次函数中的面积问题

一次函数中的面积问题学情分析：本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。

文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。

研究目标与考点分析：研究目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式；2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决。

考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合。

研究重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用；2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

研究方法：讲练结合练巩固。

研究内容与过程：一、本节内容导入本节内容主要介绍了一次函数相关的面积问题，包括规则图形和不规则图形的求解方法，以及含参数问题的求解方法。

文章强调了在求解过程中，需要注意坐标的正负和线段的非负性。

二、典例精讲本节提供了三个典型例题，分别介绍了如何利用面积求解析式，如何求解含参数问题的面积，以及如何求解四边形的面积。

文章强调了在解题过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。

本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。

文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。

在研究过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。

同时，需要注意坐标的正负和线段的非负性。

通过讲练结合练，可以更好地巩固所学知识。

1、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,m)，且将△AOB分成两部分。

1）若△AOB被分成的两部分面积相等，则k=-2，b=2.2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k=-5，b=7.2、已知一次函数y=-2/3x+3的图像与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y=kx+b经过OA的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S△AOB=S△DOC，求直线y=kx+b的解析式。

三角形面积公式关系

三角形面积公式关系一、三角形面积公式：S=底长×高÷2。

三角形是由同一平面内，不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学中都有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形，等腰三角形。

按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

二、三角形面积公式是数学中一个基本且重要的概念，它与多个数学知识点存在密切的关系。

这种关系主要体现在以下几个方面：1、与基底和高的关系：三角形面积公式中最常见的形式是面积= (底×高) ÷2。

在这里，底和高的选择不是唯一的，只要它们能构成一个三角形即可。

这个公式直观地表达了三角形面积与基底和高的关系。

2、与勾股定理的关系：勾股定理描述了一个直角三角形的三边关系，其中直角边的平方和等于斜边的平方。

对于非直角三角形，勾股定理虽然不直接适用，但可以推广到描述三边关系的更一般的三角函数定理。

三角形面积公式与勾股定理之间存在间接的联系，因为面积可以通过三边长度的函数来表示。

3、与相似三角形的关系：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例是常数。

相似三角形的面积之比等于它们的对应边之比的平方。

这一关系表明，通过比较两个相似三角形的面积，可以确定它们是否相似。

4、与多边形的关系：一个多边形可以被划分为多个三角形，这些三角形的面积之和等于多边形的面积。

这个关系是计算多边形面积的基础，尤其是在计算机图形学和CAD软件中广泛应用。

5、与线性代数中的矩阵和向量关系：在解析几何中，三角形面积也可以通过向量和矩阵运算来计算。

例如，两个不共线的点可以确定一个平面，通过这两个点和它们之间的向量可以计算出平面的法向量，进而计算出包含这两个点的三角形面积。

6、与积分学的关系：在积分学中，不规则图形的面积可以通过积分来求解。

对于由曲线和直线围成的图形，可以通过计算曲线和直线之间的面积来求解。

这种关系表明，三角形面积公式在积分学中也有其应用。

济南创佳教育2014挑战中考压轴1_图形运动中的函数关系问题

2014济南创佳教育挑战中考《挑战中考压轴》————图形运动中的函数关系问题姓名：班级：座号：二—1：由比例线段产生的函数关系问题 1．（2010年上海市第25题）如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P.（1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长；（2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若1tan 3BPD ∠=，设CE x =，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.二—2：由面积公式产生的函数关系问题2．（2010年江西省第24题）如图，已知经过原点的抛物线x x y 422+-=与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m （0>m ）个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P . （1）求点A 的坐标，并判断PCA ∆存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设CDP ∆的面积为S ，求S 关于m 的关系式.三—1：代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．（2011年河北省第26题）如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，xyD A C O P－5）、D （4，0）.⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）；⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N .①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S=218； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围.三—2：几何证明及通过几何计算进行说理问题 4．（2011年上海卢湾模拟第24题）已知：抛物线2y ax bx c=++经过点()0,0O ，()7,4A ，且对称轴l 与x 轴交于点()5,0B . （1）求抛物线的表达式；（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点55,2C ⎛⎫⎪⎝⎭是BF 上一点，将BOC ∆沿着直线OC翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，:1:4DOH DHC S S ∆∆=，求G 点坐标.OBCDEFxy(第24题图)l《挑战中考压轴》参考答案————图形运动中的函数关系问题二—1：由比例线段产生的函数关系问题 1．（2010年上海市第25题）（1）解：∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60° ∵AD=AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ∴∠EPC ＝30° ∴三角形BDP 为等腰三角形 ∵△AE P 与△BDP 相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1∴在RT △ECP 中，EC=12EP=12（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB ＝90°∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴AD AQ AB AC = 即113a x =+，∴31a x =+ ∵在RT △ADQ 中 2222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB= ∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似， ∴AE ADAC AF =，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP == (3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =- ∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x ====++ ∴5533,44x xAB BC ++== FQAE D PCB济南创佳教育∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0二—2：由面积公式产生的函数关系问题 2．（2010年江西省第24题）（1）令0422=+-x x ，得2,021==x x .∴点A 的坐标为（2，0）. …………………………2分 PCA ∆是等腰三角形. ………………………………3分（2）存在.2,====CD OA m AD OC .……………………5分(3)当0＜m ＜2时，如图1，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P . ∵A(2,0), C(m ,0),∴m AC -=2. ∴222mAC CH -==. ∴2222+=-+==m m m OH x p 把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p . ∵2==OA CD ,∴221)221(2212122+-=+-∙∙=∙=m m HP CD S .………………9分当2=m 时，PCD ∆不存在当2>m 时，如图2，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P . ∵A （2，0），C （m ，0），∴2-=m AC ，∴22-=m AH . ∴22222+=-+==m m OH x p图1 图2把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p .∵2==OA CD ，∴221)(221212+=-∙∙=∙=m y HP CD S p ………………12分说明：采用p y HP CD S ∙∙=∙=22121思路求解，未排除2=m 的，扣1分.三—1：代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．（2011年河北省第26题）三—2：几何证明及通过几何计算进行说理问题4．（2011年上海卢湾模拟第24题）解（1）由题意得5,20,4974b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩…………………………（1分）解，得4,2140,210.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴24402121y x x =-+.…………………………………………（3分）（2）∵BOC ∆与DOC ∆重合，55,2OB BC ==，∴55,2BO DO CD BC ====，90OBC ODC ∠=∠=︒，∴90EDO FDC ∠+∠=︒，又90EDO EOD ∠+∠=︒，∴EOD FDC ∠=∠，∵90OED DFC ∠=∠=︒，∴EOD ∆∽FDC ∆，………（2分） ∴5252ED EO OD FC DF CD ====，……………………………………………………（1分） ∵四边形OEFB 是矩形，∴EF OB =，EO FB =，设FC x =，则2,52ED x DF x ==-，∴104EO x =-，∴51042x x -=+，解，得32x =，∴3,4ED EO ==，∴()3,4D .…………（1分）（3）过点H 作HP OB ⊥，垂足为点P .∵:1:4DOH DHC S S ∆∆=，∴14DOH DHC S OH S HC ∆∆==，…………………………………（1分） ∵HP OB ⊥，CB OB ⊥，∴HP ∥BC ， ∴15OH OP PH OC OB BC ===，∴11,2OP PH ==，∴11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………（1分） ∴经过点()3,4D ，11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭的直线DG 的表达式为7544y x =-，……………（1分）∴155,2G ⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………………………………（1分）《挑战中考压轴》————图形的平移、翻折与旋转姓名：班级：座号：四—5：四边形：1．（2011年北京房山中考模拟第24题）如图，抛物线332-+=ax ax y （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，点 A 在点B 的左侧，且31tan =∠OCB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，△ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．四—6：圆： 2．（2011年南京第26题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ． ⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．四—7：函数的图像及性质（1）： 3．（2010年眉山第26题）如图，Rt△ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．（24题图）(备用图) AB C P Q O(第26题)四—8：函数的图像及性质（2）： 4．（2010年长春第26题）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线x ax y 22+=与直线x y 21=交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．(1)求OA 所在直线的解析式． (2)求a 的值．(3)当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．(4)如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝23．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．《挑战中考压轴》————图形的平移、翻折与旋转五—1：四边形：1．（2011年北京房山中考模拟第24题）解：（1）由已知可得C （0，3-），∵31tan =∠OCB ，∠COB =90°，∴31=OC OB ， ∴B （1,0） ------ 1分 ∵抛物线332-+=ax ax y （a ＞0）过点B ，∴033=-+a a ， ∴43=a∴抛物线的解析式为349432-+=x x y ------- 3分（2）如图1，∵抛物线对称轴为23-=x ，B （1,0）∴A （4-,0）联结OD ， ∵点D 在抛物线349432-+=x x y 上 ∴设点D （x ，349432-+x x ），则 ACDAOD DOC AOCS S S S ∆∆∆∆=+-OOA ABB CCP DEQ P DN MR Eyyxx图①图②=()2139114334324422x x x ⎛⎫⨯--++⨯--⨯⨯ ⎪⎝⎭=2362x x -- ---------------------------------------------------------5分 ∴S=()23262x -++ ------------------------------------------------------- 6分 ∴当2-=x 时，△ACD 的面积S 有最大值为6.此时，点D 的坐标为（2-，29-）． -------------------------------------------------------- 7分（3）①如图2，当以AC 为边，CP 也是平行四边形的边时， CP ∥AE ，点P 与点C 关于抛物线的对称轴对称，此时P(3-，3-).②如图3，当以AC 为对角线，CP 为边时，此时P 点的坐标是(3-，3-)--------- 9分 ③如图4、图5，当以AC 为边，CP 是平行四边形的对角线时，点P 、C 到x 轴的距离相等，则349432-+x x =3，解得2413±-=x ，此时P （2413--，3）（如图4）或（2413+-，3）（如图5） -------------------------------------------------------------- 11分综上所述，存在三个点符合题意，分别是1P (3-，3-)，2P (2413--，3），3P (2413+-，3）．----- 12分五—2：圆： 2．（2011年南京第26题）.解⑴直线AB 与⊙P 相切．如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ．在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ，图 2图 3 图4图5济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼11EN MDCBAOyx∴2210AB AC BC cm =+=．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm ．∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ． ∴PD PB AC AB =,即4610PD =，∴PD =2.4(cm) ．当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径． ∴直线AB 与⊙P 相切．⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴152OB AB cm ==．连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴132OP AC cm ==． ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切． ∴523t -=或253t -=，∴t =1或4． ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．五—3：函数的图像及性质（1）： 3．（2010年眉山第26题）解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ …（1分） ∴2254()32m =⨯-+∴16m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+ …………（4分）（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴225AB OA OB =+=∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分）（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- ………（9分）济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼12∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，……………………（10分） ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）． ………………………………（12分）五—3：函数的图像及性质（2）： 4．（2010年长春第26题）济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼13。

三角形pbc的面积为s则s与m的函数关系式

三角形的面积公式是很基础的数学知识，但是当面积与其他因素之间的函数关系式出现时，就需要我们深入探讨这个主题，逐步理解其背后的数学原理和规律。

在本文中，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角形PBC的面积S与其它因素m的函数关系式。

1. 面积与底边的关系三角形PBC的面积S与其底边的长度b有直接的关系。

按照三角形面积的计算公式，S = (1/2) * b * h，其中b为底边长度，h为三角形PBC到底边的高。

当底边长度固定时，三角形PBC的面积S与m之间是线性关系的，即S = k * m，其中k为常数。

2. 面积与高度的关系三角形PBC的面积S与其高度h也有密切的关系。

根据面积公式S = (1/2) * b * h，当底边长度b固定时，高度h与面积S成正比，即S∝ h。

这说明，当高度h增加时，三角形PBC的面积S也会增加，二者之间存在线性关系。

3. 面积与边长的关系除了底边长度和高度之外，三角形PBC的两条斜边PB和PC的长度也会对其面积S产生影响。

根据三角形面积的计算公式S = (1/2) * b * h = (1/2) * PB * PC * sin(∠P)，可以看出，当斜边PB和PC的长度增加时，三角形PBC的面积S也会增加，二者之间存在正相关的关系。

4. 个人观点和理解从上述讨论可以看出，三角形PBC的面积S与m的函数关系式是一个复杂的问题，其结果受到底边长度、高度和斜边长度的综合影响。

在实际问题中，我们需要根据具体的情况，综合考虑各种因素，才能准确地建立起S与m的函数关系式。

这也提醒我们在学习数学知识时，要注重综合运用，灵活应用，深入理解其背后的数学原理和规律。

总结回顾通过本文的探讨，我们深入分析了三角形PBC的面积S与m的函数关系式。

从面积与底边、高度、斜边长度的关系来看，我们可以得出结论：当底边长度固定时，三角形PBC的面积S与m之间是线性关系的；而高度h与面积S成正比；斜边PB和PC的长度增加也会使三角形PBC的面积S增加。

挑战中考数学压轴题(第九版精选)之欧阳道创编

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例42012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例62011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题例22014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例42012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例22014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例62011年南通市中考第28题例72010年广州市中考第25题1.7因动点产生的相切问题例12015年上海市闵行区中考模拟第24题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8因动点产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例22014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例12015年呼和浩特市中考第25题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题例5 2012年河北省中考第26题例6 2011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例12015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例12015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例12015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例12015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例12015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例12015年兰州市中考第15题例22014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例12015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入ky，得k＝8．x（2）将点B(n, 2)，代入8y x =，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4, 2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B(4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝22，BC ＝42，∠ABC ＝90°．图2所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C (0,－2)，得AD ＝22，AC ＝210．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC =时，CE ＝AD ＝22．此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD=时，21021022=．解得CE ＝102．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4 考点伸展第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例22014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ 的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况：① 如果BP BA BQ BC =，那么510848t t =-．解得t ＝1． ② 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241t =．图3 图4（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cosB ＝45，所以BD ＝BPcosB ＝4t ，PD ＝3t ．当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．由于H 是PQ 的中点，HF//PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA=，3241t =．如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BA BQ BC =，t ＝1．如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径PQ半径等于FC ＝48=．解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点C 的坐标为(0, 4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A(1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2+．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

上海中考压轴专题复习3(面积问题)

面积问题面积的存在性问题常见题型与解题策略：第一类：先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根；第二类：先假设关系存在，再列方程，然后根据方程的解验证假设是否正确。

例题解析：1、如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移动到点A为止．（1）写出AP的长y1和AQ的长y2关于时间t的函数；（2）经过多少时间后，△APQ与△ABC相似？（3）在整个过程中，是否存在使△APQ的面积恰好为△ABC面积一半的情况？若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C，此抛物线的对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求点C坐标以及该抛物线的关系式；（2）连接AC，在x轴下方的抛物线上有点D，使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．3、在平面直角坐标系中，O 为原点，直线y =－2x －1与y 轴交于点A ，与直线y =－x 交于点B ，点B 关于原点的对称点为点C ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q ． ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②若点P 的横坐标为t （－1＜t ＜1），当t 为何值时，四边形PBQC 面积最大，并说明理由．由面积产生的函数关系问题解题策略：1、规则图形的面积用面积公式；2、不规则图形的面积通过割补进行计算；3、同高等高（或同底等底）三角形面积比等于对应底边（或高）之比；4、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

中考数学专题讲义二次函数之面积与相似类

二次函数之面积与相似类ax”的值，所以说明：从与代数式的关系上看，表示二次函数的y就是二次整式“2+bx+c只要能出现二次整式，就可以产生二次函数。

图形面积，勾股定理，相似比等，与几何图形相关的问题，都可以与二次函数相关，其最大、最小面积，最长、最短线段，都可以借助二次函数的性质来解决。

解法归一：面积问题用面积公式与部分等于整体减去部分；线段问题用相似建立线段关系，或找直角三角形用勾股定理。

一、图形面积类[9]例21-1 1．某房地产开发公司准备在一块长80米，宽60米的长方形空地上建两幢n层住宅楼，楼房的地基为长方形且每层一样大．设计要求：两楼房平行，楼房与空地边界平行且保留5n米距离，两幢楼房之间保持5n米的距离．设计人员设计了如图所示的两种方案．设每幢楼的宽度为x（m），总建筑面积（两幢楼房各层面积总和）为S（m2）（1）请你分别求出两种方案中楼层数n与宽度x（m）之间的函数关系式；（2）请你分别求出两种方案中总建筑面积s（m2）与宽度x（m）之间的函数关系式；（3）请问哪种设计方案中楼房总建筑面积最大，此时每幢楼房高为多少层？交流分享：首先把两图中右楼(或楼右)的空白宽5米标出，再用楼边距(2个5米)加2个楼宽、加楼间距建立方程，就可以解决第一问了：第二问另忘了是两栋楼，注意用第一问的结果替代n;第三问用顶点公司或配方法都可以。

体验与感悟21-11、把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体形状的盒子（纸板厚度忽略不计）⑴如图21—1—2，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。

cm，那么剪掉的正方形的边长是多少？①要使折成的长方体盒子的底面积为4842②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，请说明理由。

⑵若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上）将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子。

三角形的面积与三角函数关系

三角形的面积与三角函数关系三角形是几何学中的一种基本形状，它的三条边和三个内角决定了其形状和大小。

三角形的面积是研究三角形性质时的重要参数之一，而三角函数则是描述三角形内角与边长之间的关系的数学函数。

本文将探讨三角形的面积与三角函数之间的关系。

1. 三角形的面积公式三角形的面积公式是研究三角形面积的基础。

对于任意三角形，其面积可以通过以下公式来计算：面积 = 底边长度 ×高的长度 / 22. 正弦定理与余弦定理在研究三角形的面积与三角函数之间的关系时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。

正弦定理可以描述三角形的边与其对角的关系，而余弦定理则可以描述三角形的边与其夹角的关系。

它们的数学表达式分别为：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这两个定理为我们研究三角形面积与三角函数之间的关系提供了基础。

3. 三角形面积的三角函数表示根据三角函数的定义，我们可以将三角形的面积表示为三个内角的三角函数之间的关系。

以一个一般的三角形为例，设其三个内角分别为A、B、C，边长分别为a、b、c，则三角形的面积可以表示为：面积 = 1/2 * a * b * sinC这里的sinC是三角形第三个内角C的正弦函数值。

同样地，对于其他两个内角，可以得到相应的面积表示公式。

4. 三角函数与各类三角形的关系三角函数与各类特殊三角形之间存在紧密的关系。

以常见的等边三角形、等腰三角形和直角三角形为例：等边三角形的三个内角都是60°，其面积可以表示为：面积 = (边长)^2 * √3 / 4等腰三角形的两个底角相等，设其底角为A，顶角为B，底边长度为a，高度为h，其面积可以表示为：面积 = a * h / 2 = a^2 * sinA / 2 = a^2 * sinB / 2直角三角形中，设直角所在的两个内角为A、B，斜边长度为c，直角边长度分别为a、b，其面积表示为：面积 = a * b / 2 = (a^2 * sinB) / 2 = (b^2 * sinA) / 2 = (c^2 * sinA * sinB) / 2通过三角函数的定义与三角形的性质，我们可以将三角形的面积与三角函数之间的关系清晰地描述出来。

三角形的面积计算与三角函数的关系

三角形的面积计算与三角函数的关系三角形是几何学中最基础的形状之一，其面积的计算与三角函数之间存在一定的关系。

本文将通过介绍三角形的面积计算公式以及三角形的相关定义，探讨三角形面积与三角函数之间的关联。

一、三角形的面积计算公式要计算三角形的面积，常用的方法包括海伦公式、鞋带公式和正弦定理等。

下面我们逐一介绍这些计算方法。

1. 海伦公式海伦公式适用于求解已知三角形三边长度的情况。

假设三角形的三条边分别为a、b、c，其中s为半周长，则三角形的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))其中，s = (a+b+c)/2。

2. 鞋带公式鞋带公式适用于已知三角形三个顶点的坐标的情况。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = 0.5 * |x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)|3. 正弦定理正弦定理适用于已知三角形一个角度和两个边长的情况。

假设三角形的一个角度为α，边长分别为a和b，则三角形的面积可以通过以下公式计算得出：面积= 0.5 * a * b * sin(α)二、三角函数与三角形的面积关系三角函数是用来描述角度之间关系的数学函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在三角函数中，正弦函数与三角形的面积有着密切的关系。

1. 正弦函数与三角形面积正弦函数（sine）表示一个角的对边与斜边的比值，通常记为sin。

在一个锐角三角形中，正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。

这可以用于推导三角形的面积公式。

假设锐角三角形的一个角度为α，边长分别为a和b，那么三角形的面积可以表示为：面积 = 0.5 * a * b * sin(α)其中，sin(α)即为角度α对应的正弦值。

2. 例子为了更好地理解三角函数与三角形面积的关系，我们举一个具体的例子。

假设有一个锐角三角形ABC，已知角A的度数为30°，边长AB 为5，边长AC为4。

三角形的面积与三角函数的关系

三角形的面积与三角函数的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质和关系对于几何学以及应用数学都具有重要意义。

本文将探讨三角形的面积与三角函数之间的关系。

一、三角形的面积公式三角形的面积公式是通过基本几何概念推导得出的。

设三角形的底边为b，高为h，则三角形的面积公式可以表示为：面积 = 1/2 * b * h这是最简单的情况，当三角形是直角三角形时，可以利用直角三角形的斜边作为底边，两条直角边作为高来计算面积。

二、三角函数的概念三角函数是描述角和边之间关系的函数，其中常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在解决三角形问题以及求解各类数学问题中起着重要的作用。

1. 正弦函数正弦函数（sin）用于计算一个角的对边与斜边的比值。

对于一个角的正弦值，可以表示为对边与斜边的比值：sin(A) = a / c其中A表示角A，a表示对边，c表示斜边。

2. 余弦函数余弦函数（cos）用于计算一个角的邻边与斜边的比值。

对于一个角的余弦值，可以表示为邻边与斜边的比值：cos(A) = b / c其中A表示角A，b表示邻边，c表示斜边。

3. 正切函数正切函数（tan）用于计算一个角的对边与邻边的比值。

对于一个角的正切值，可以表示为对边与邻边的比值：tan(A) = a / b其中A表示角A，a表示对边，b表示邻边。

三、三角形面积与三角函数的关系三角形的面积与三角函数之间存在着紧密的关系。

通过利用三角函数，我们可以推导出三角形面积的计算公式。

1. 正弦定理正弦定理是描述三角形边与角之间关系的重要定理之一。

对于一个三角形ABC，设其三个边的长度分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么正弦定理可以表示为：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)在计算三角形的面积时，可以利用正弦定理来推导出面积的计算公式。

2. 三角形面积公式根据三角形的面积公式与正弦定理，可以推导出以下三角形面积的计算公式：面积 = 1/2 * b * h = 1/2 * c * h = 1/2 * a * h其中h表示三角形高，根据正弦定理可以得出：h = b * sin(C) = c * sin(A) = a * sin(B)将h代入三角形的面积公式中，可得：面积 = 1/2 * b * h = 1/2 * b * (c * sin(A)) = 1/2 * c * (b * sin(A)) = 1/2 * a * (c * sin(B))通过三角函数的关系，我们可以得到三角形面积的计算公式。

三角形的面积与三角函数

三角形的面积与三角函数三角形是几何学中的一种基本图形，它由三条边和三个角组成。

计算三角形的面积是几何学中的一项基本技能，而三角函数则是在三角形中计算各个角度的函数。

一、三角形的面积公式三角形的面积可以用不同的方法计算，其中最常用的方法是基于三角形的底和高的关系。

根据三角形的定义，底是任意一条边，高是与底垂直的距离。

设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S可表示为：S = 0.5 * b * h这是最常用的三角形面积公式，适用于各种类型的三角形。

二、三角形面积与正弦函数在三角形中，角度是一个重要的概念。

根据三角形内角和的性质，三角形的三个内角之和为180度（或π弧度）。

因此，可以利用三角函数来表示三角形的角度和关系。

正弦函数是三角函数中的一种，它定义为对边与斜边之比。

在一个三角形中，三个内角分别为A、B、C，则对边分别为a、b、c，斜边为R（半径）。

根据正弦函数的定义，可以得到以下关系式：sin(A) = a / Rsin(B) = b / Rsin(C) = c / R这些关系式揭示了三角形中三个角度和三个边长之间的关系。

三、三角形面积与正弦函数的关系根据三角形面积的定义，三角形的面积可以使用底和高的关系进行计算。

而根据正弦函数的定义，可以用三角形的边长和角度的关系来计算。

那么，三角形的面积和正弦函数有什么关系呢？考虑一个任意的三角形，它的底为b，高为h，三个角分别为A、B、C。

根据正弦函数的关系，可以得到：sin(A) = h / Rsin(B) = b / Rsin(C) = c / R将这些关系代入三角形面积公式中，可以得到：S = 0.5 * b * h= 0.5 * (b / R) * (h / R) * R^2= 0.5 * sin(B) * sin(A) * R^2由此可见，三角形的面积可以用正弦函数的乘积来表示。

这是三角函数与三角形面积之间的一个重要的关系。

四、应用示例以一个具体的例子来说明三角形面积和正弦函数的关系。