第十三章 拉氏变换在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
第十三章 拉普拉斯变换
t 1 1 1 – uc(t)=L–1[ C 1 ]= C e s+ RC
1 (sc+ )UC(s)=1 R 进行拉氏反变换
三、(时域)积分性质 设：L[f(t)]=F(s)
F(s) 则：L[ f()d()]= s 0–
t
积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算 转换为复频域中象函数除以s的代数运算。 d t f()d()=f(t) 证： dt 0–
s3+6s2+15s+11 ] 2+5s+6 s
4s+5 F(s)=s+1+ 2 s +5s+6
k1 k2 =s+1+ s+2 + s+3
7 –3 =s+1+ s+2 + s+3 L–1[F(s)]=(t)+(t)–3e–2t+7e–3t
二、F(s)有共轭复极点 k2 k1 N(s) = s––j + s–+j F(s)= (s––j)(s–+j)
例： (t) R C uC
求：uc(t)的冲击相应 duc 1 解： c + uc=(t) dt R 等式两边进行拉普拉斯变换
duc 1 L[c ]+L[ uc]=L[(t)] dt R 1 scUC(s) –Cuc(0–)+ UC(s)=1 R 1 1 1 UC(s)= 1 1 = C s+ sc+ R
=|k1|ej 1e(+j)t +|k1|e–j 1 e(–j)t =|k1|et[ej( 1+t)+e–j( 1+t)] =2|k1|etcos(t+1)
电路分析中拉氏变换如何理解与计算
电路分析中拉氏变换如何理解与计算拉氏变换是一种在电路分析中常用的数学工具，用于将微分方程转换为代数方程，从而简化电路分析的过程。
它基于拉氏变换的定义和拉氏变换的性质进行计算。
下面将详细介绍拉氏变换的概念、计算方法以及其在电路分析中的应用。
一、拉氏变换的概念与定义1.拉氏变换的定义拉氏变换是一种线性、时不变的积分变换，它将一个函数f(t)转换为复数域的函数F(s)。
拉氏变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[e^(-st) * f(t)] dt其中，f(t)是定义在t≥0时间域上的函数，F(s)是定义在复平面上的函数，s=σ+jω是一个复数，σ和ω分别表示实部和虚部。
2.拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，这些性质是进行拉氏变换计算的基础。
以下是几个常用的性质：线性性质：对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{a*f(t)+b*g(t)}=a*F(s)+b*G(s)。
时延性质：对于函数f(t)和其时延h(t)=f(t-τ)，有L{h(t)}=e^(-sτ)*F(s)。
因果性质：对于定义在t≥0时间域上的函数f(t)，如果f(t)=0当t<0，那么F(s)只在Re(s)>σ0的区域存在，其中σ0是f(t)中所有极点的实部的最大值。
二、拉氏变换的计算方法在实际计算中，为了将一个函数f(t)进行拉氏变换，通常需要先将其分解为更简单的函数的组合。
常用的计算方法有积分法、查表法和拉氏变换的性质。
1.积分法积分法是根据拉氏变换的定义进行计算，将函数 f(t) 乘以 e^(-st) 后积分。
这种方法适用于简单的函数，如指数函数、幂函数等。
2.查表法拉氏变换的常见函数对应关系可以通过查找拉氏变换表来获得。
在查表法中，将函数f(t)的拉氏变换直接从表格中找到。
这种方法适用于常见函数的变换计算，如单位阶跃函数、脉冲函数等。
3.拉氏变换的性质根据拉氏变换的性质，可以将一个复杂的函数分解成多个简单的函数，然后利用已知的变换对这些简单函数进行变换。
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于电路分析和信号处理领域。
它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法，可以简化电路分析的计算过程，提高计算效率和精确度。
本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义与性质首先，我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。
拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，其定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复数变量，表示频域中的频率。
拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质，使得它成为电路分析中的重要工具。
二、1. 电路响应的计算拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。
通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数，可以建立电路的等效电路方程。
然后，对等效电路方程进行拉普拉斯变换，得到频域中的等效电路方程。
最后，通过求解频域方程，可以得到电路在不同频率下的响应。
2. 电路传递函数的求解电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。
拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。
通过将电路中的元件抽象为阻抗和导纳的拉普拉斯域表达式，并根据电路的串并联关系，可以得到电路的总阻抗和总导纳。
然后，将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除，可以得到电路的传递函数。
3. 时域响应的计算得到电路的传递函数后，可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。
通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格，可以获得电路的时域响应。
这在实际电路设计和故障诊断中非常有用，可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。
4. 稳定性分析拉普拉斯变换还可以用于电路的稳定性分析。
通过计算电路的传递函数，可以得到系统的极点和零点。
根据极点的位置，可以判断电路的稳定性。
拉普拉斯变换的极点在左半平面内时，电路是稳定的；而极点在右半平面内时，电路是不稳定的。
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在电路分析中有着广泛的应用。
通过将电路中的各个元件抽象成数学模型，我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。
本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。
首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。
拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数，s是复变量，f(t)是待变换的函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质，这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。
在电路分析中，我们常常需要求解电路中的电压和电流。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路，我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程，然后求解得到电路中的电流和电压。
另外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。
稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应，而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。
此外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。
频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。
通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。
这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。
除了以上应用之外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳定性和控制系统的性能。
通过将电路的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的极点和零点，从而判断系统的稳定性。
同时，拉普拉斯变换还可以用来分析控制系统的性能指标，如稳态误差、超调量和响应时间等。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
K1,K2¨¨Km的计算方法如下：
A( s) K k ( s sk ) B ( s ) s sk
则F(s)的拉氏反变换为：
L [ F ( s)] K k e
1 k 1
m
sk t
例1.
求 F ( s)
30( s 1)(s 2) s( s 3)(s 2 9s 20)
电感元件的VCR（积分形式）
1 t iL (t ) iL (0 ) u ( ) d L 0
, t 0
1 t [iL (t )] [iL (0 ) u ( ) d ] L 0 1 t [iL (0 )] [ u ( ) d ] L 0 iL (0 ) U ( s ) I (s) s sL
S域的零状态分析
零状态分析时的初始状态为零,所以电路的s域模型 就简化了: sL R I(s) 1/sC I(s)
I(s)
+ U(s) -
+ U(s) -
+
U(s) -
U (s) Z (s) I (s) I (s) Y (s) U ( s)
Z(S)称为广义阻抗(拉普拉斯阻抗)
Y(S)称为广义导纳
积分性质用于电容元件和电感元件VCR的S域形式 电容元件的VCR（积分形式）
1 t uc (t ) uc (0 ) i ( ) d , t 0 C 0 1 t L[uc (t )] L[uc (0 ) i ( ) d ] C 0 1 t L[uc (0 )] L[ i( ) d ] C 0 u c (0 ) I ( s ) U c (s) s sC
3. S域分析法的步骤 （1）建立电路的S域模型 求给定电源的拉氏变换，求C和L的初始值， 画出电路的S域模型。 （2）通过电路的S域模型，利用电阻电路的各种方 法，定理求解电路的响应。 （3）对在S域模型中求得的响应进行拉氏反变换， 即可得到电路的时域响应。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
1.电路元件参数的拉普拉斯变换
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于将电路中的元件参数转化为复
频域的表达式。
例如，电阻、电感和电容的电压和电流之间的关系可以通
过拉普拉斯变换来表示。
这种方法可以简化电路的计算和分析过程。
2.电路的传递函数
3.零极点分析
利用拉普拉斯变换，可以计算电路的传递函数的零点和极点。
零点和
极点决定了电路的频率响应和稳定性。
通过分析电路的零极点分布，可以
优化电路的性能和稳定性。
4.阻抗和导纳分析
5.信号处理和滤波器设计
总结：
拉普拉斯变换在电路分析中有广泛的应用。
通过将电路中的元件和信
号转化为复频域的表达式，拉普拉斯变换可以简化电路的计算和分析过程。
具体而言，它可以用来分析电路的传递函数、频率响应、零极点分布、阻
抗和导纳等。
此外，拉普拉斯变换还可以用于信号处理和滤波器设计。
因此，掌握和应用拉普拉斯变换对于电路工程师和电子技术人员来说是非常
重要的。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
时域中有：i(t) 0, u(t) 0
如果I (s)、U (s)分别为i(t)、u(t)的Laplace变换，则 由Laplace变换的线性性可得：
I (s) 0及U (s) 0。
5
电路的S域模型
二、元件VCR的s域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
运用拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换进 行动态电路的分析方法称为拉氏变换法或复频 率域(S域)分析法。
2
3
Laplace变换的性质
4
§12-2 电路的S域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
iL (t)
1 L
t
0 uL ( )d
IL (s)
U (s) sL
uC
(t )
1 C
t
0 iC ( )d
UC (s)
I (s) sC
10
零状态分析
定义零状态元件两端电压与电流比值为广义
阻抗：
2)当u(t)
U se-t
(t)时，U(s)
Us
s
sC
i(t) (K1et K2et / RC ) (t)
I (s) H (s)U (s) U s s / R
s s 1/ RC
K1
USC , RC 1
K2
Us
第十三章拉普拉斯变换
t f (ξ )dξ e − st dt 所以 ∫ ∫ 0− 0−
∞
t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s
− st ∞
− ∫ f (t )e − st dt
0−
∞ ∞
其中，当t<t0时，f (t-t0)=0。令τ=t-t0
ℓ[ f (t − t 0 )] = ∫ f (t − t 0 )e dt = ∫ f (t − t 0 )e − st dt
0− ∞ t0 − st ∞
= ∫ f (τ )e
0−
− s (τ + t 0 )
dτ = e
− st 0
∫
0−
−t
( s − pi ) n 的因 3、如果D(s)=0具有重根，则应含 ( s − pi )3的因式，p1为 式。现设D(s)中含有
即
N (s) Ki = (i = 1、、 …、n) 2 3、 D′( s) s = pi
确定了各待定系数后，相应的原函数为
f (t ) = ℓ [ F ( s)] = ∑ K i e
−1 i =1 n pi t
N ( pi ) pit =∑ e i =1 D′( pi )
n
例13-6
解 因为
2s + 1 求 F ( s) = s 3 + 7 s 2 + 10s
ω = 2 s +ω2
(2)ℓ[ K (1 − e −αt )] = ℓ[ K ] − ℓ[ Ke −αt ] K K = − s s +α Kα = s( s + α )
由此可见，根据拉氏变换的线性性质， 求函数乘以常数的象函数以及求几个函数 相加减的结果的象函数时，可以先求各函 数的象函数再进行计算。
第十三章 拉氏变换分析线性电路
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
简述： 一、拉普拉斯变换——一种积分变换法 通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的 微分方程化为频域的代数方程。 经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。
二、正弦稳态电路、一阶二阶动态电路均为时域电路 用拉普拉斯变换法求解也是可行方法之一。 三、拉普拉斯变换法分析时域电路——运算法 1、拉普拉斯变换将时域电路转化为运算电路（频域电路） 2、在运算电路中求频域响应U(S)、I(S) 3、拉普拉斯反变换将U(S)、I(S)转化为时域函数u(t)、i(t)
O j45
K 0.5 j0.5 0.5 2e
αt
f(t) 2 K e cos(ωtθ) 2e cos （2t 45 ）
t 0
14
S3 例：求F（s） 的原函数f（t） 2 （s 1）(S 4S 8)
解：S2 4S 8 0有解 P1 ， 2 2 j2 K1 K2 K F（s） s 1 S 2 j2 S 2 j2
4
$13-2 拉氏变换的基本性质（291）
若L[f（t）] F（S），则拉氏变换 有如下性质：
1、线性性质 L[Kf（t）]=K L[f（t）]=KF（s） L[f1（t）+ f2（t）]= F1（S）+ F2（S） L[K1f1(t)+K2 f2(t)]=K1 F1(S)+ K2 F2(S) 例13-2（291页）
解： S2 3S 2 0， 有 解 S 1， S 2 8S 2 k1 k2 F（ s） （ S 1） （ s 2） （ S 1）（ S 2）
求k1：等式二边同乘以（S 1）并令S 1 8S 2 有：k1 [(S 1)F(S)] 6 S 1 S 1 （s 2） 8S 2 同理：k2 [(S 2)F(S)] 14 S 2 S- 2 S 1 6 14
第十三章 拉氏变换在电路分析中的应用
一、当 有n个不同的实根 ， ，…， 时
其中：
例题：
已知：
求：
而：
因此：
所以：
二、当 有m个重实根时
其中：
例题：
已知：
求：
解：
那么：
因此：
所以：
三、当 有两个共轭的复根 ， 时
其中： ，
而： ，
例题：P297
再以13.1.4中的例题为例：
，即： ，
，
V
13-2
13
13.1.4
以一个典型的二阶电路为例： ， ， ， ， ，
该电路的电路方程为：
其中且： ，
两边同时拉氏变换：
一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。
电路响应往往为两个实系数的s的多项式之比。即 ，而在电路分析中，该式一般为真分式。（如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）
4．借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。
二、例题
1．已知：
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）
其中：
所以：
2．已知：
求： ，
解： ，
因此可以绘出原电路对应的复频域模型
所以
所以： ，
3．已知： ，
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）。
各种基本元件的VCR，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。
一、电阻
因为： ，两边同时取拉氏变换：L =L 。这样
即：
二、电容
因为：
两边同时取拉氏变换：L =L
这样：
拉氏变换分析线性电路
目录
• 引言 • 拉氏变换在分析线性电路中的应用 • 拉氏变换在分析线性电路中的优势
目录
• 拉氏变换在分析线性电路中的局限性 • 拉氏变换在分析线性电路中的实例 • 结论
01
引言
拉氏变换的定义和性质
定义
拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学方法，通过定义一个线性 积分算子，将时域函数乘以衰减因子后对时间进行积分，得到该函数的拉氏变 换。
05
拉氏变换在分析线性电路 中的实例
一阶RC电路的响应分析
总结词
通过拉氏变换，可以方便地求解一阶 RC电路的响应，包括零状态响应和 零输入响应。
详细描述
在RC电路中，电容的电压或电流是时 间的函数，通过拉氏变换，可以将时 域函数转换为复频域函数，从而方便 地求解电路的响应。
二阶RLC电路的响应分析
总结词
利用拉氏变换，可以有效地分析二阶RLC电路的响应特性，包括固有频率和阻尼比等参 数。
详细描述
通过拉氏变换，可以将RLC电路的微分方程转换为复频域的代数方程，从而方便地求解 电路的响应。
多输入多输出线性电路的响应分析
总结词
利用拉氏变换，可以方便地分析多输入 多输出线性电路的响应特性，包括传递 函数和频率响应等。
解决初值问题的能力
拉氏变换能够将线性电路中的初值问 题转化为代数问题，通过求解代数方 程得到电路的响应。
这种方法避免了求解微分方程的复杂 计算，简化了计算过程，提高了解决 问题的效率。
求解线性微分方程的简便性
拉氏变换可以将线性微分方程转化为 代数方程，从而简化了求解过程。
通过拉氏变换，我们可以直接得到电 路的响应，而不需要通过微分方程的 求解来得到。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用.pdf
拉普拉斯变换在电路分析中的应用电气13-3班周俊楠摘要:讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,关键词:拉普拉斯变换;电路分析;应用在电路分析中，对于具有多个动态原件额复杂电路，用直接求解微分方程额方法比较困难。
此时可用积分变换法进行求解。
就是将时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程换为复频域的代数方程。
拉普拉斯变换就是一种重要的积分变换。
￡变换一直是分析这类系统极为有效的方法.而且,由于拉普拉斯变换与￡变换有着很多类似之处,能够让我们在对电路分析中更加便捷。
1拉普拉斯变换111变换的目的11853 来求解x是非常麻烦的. 但却可以通过某种改造使问题得到简化.现对方程两侧取对数,得:1185lg x= lg3lg x=lg3= 0õ25791õ 85x = lg- 1(012579) = 116991从此例可以总结出几个特点:(1) 在例1 中, 我们使用的变换, 实际上是函数y = lg x , 对于每一个x值都赋于一个y值,即lg(õ) ;(2) 反函数 lg- 1 (õ) 也是单值函数;(3) 在实数域里, lg x的定义域为x > 0;在解决和分析问题时,我们常常对问题的数学表达式进( )变换lg(õ)和反变换lg - 1 ( ) 都可双列成表册,以便查4 õ行某种改造,希望通过这种改造,能够用更简单、更通用的方用.法去解决较为复杂的问题.上述这种改造,在数学上就可以称之为变换(或映射).这种过程可以用图1的方框图来说明.原问题变换较易解决解在变换域反变换原问题的问题里求解的解图1变换方法原理图例1解方程x1185 = 3方程中的幂指数不是整数,要直接计算3的1185次方根1 2拉普拉斯变换õ(1) 设f(t) 为时间t的函数,且当t< 0时,f(t) = 0;S = T + j X 为复数则定义拉普拉斯变换e-st d tL [ f ( t) ] = F (s) =∫0∞f ( t)õ(2) 求函数拉普拉斯变换方法的总结.∞①直接利用定义式F(s) =∫f(t)õe-st d t求解②利用已知函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换性质求F (s )③ 查表法113 拉普拉斯反变∞在数学上, 根据拉普拉斯变换定义F (s ) = ∫f ( t ) õ e - std t1c + j ∞st 可以得出拉普拉斯反变换的公式是f ( t )=2∫j c -j ∞F (s ) e d s ,式中C 是实常数, 为收敛横坐标, 它应比 F P一切奇点的实部都要大.直接用上述公式求拉普拉斯反变换是十分复杂的, 通常是将复杂的 F (s ) 展开成部分分式, 再利用拉普拉斯变换的线性性质和基本变换表来求 F (s ) 对应的 f ( t ).例 已知函数F (s ) = S 2 + 29S + 30 的三个极点是S1 S 3 + 7S 2+ 10S= 0, S 2 = - 2 和S 3 =-5. 因此可以展开为下列形式: S 2 + 29S + 30 = A + B + CS 3 + 7S 2 + 10S S S + 2 S + 5将上式右边通分, 则其分母与原函数相同, 而等式两边的分子多项式为:S 2+ 29S + 30 = (A + B + C ) S 2+ (7A + 5B + 2C ) S+ 10A比较等号两边对应项的函数, 得: A + B + C = 1 7A + 5B + 2C = 29 10A = 30 解上面的线性方程组, 即可确定各函数为: A = 3, B = 4, C = - 6 从而, 有F (s ) =3+4 - 6和 f ( t ) = 3 + 4g - 3t -s2s + 5s +6e - 5t2 拉普拉斯变换的应用这里讨论的范围, 只限于线性定常系统. 所谓系统, 是用来处理各种输入信号的装置. 这种处理可以用硬件来实现, 如由各种电器元件组成的电路网络, 机械元件组成的运动系统,都统称为系统. 这些系统的规律也可以用某种数学方法来描 述, 如电路方程, 微分方程, 硬件系统的传递函数(网络函数)等. 这时, 我们也称这些数学表达方式为系统. 也就是说, 系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律. 系统可以用软件表示, 因为只要把这些规律掌握了, 对实际系统的特性也就能充分地了解了.211 用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这里拉普拉斯变换的一个最基本的应用. 含有未知数f ( t ) 及其各阶导数方程称为微分方程. 如果 f ( t ) 及其各阶导数都是一次的, 则称之为线性微分方程. 线性微分方程常常被用来描述各种各样的动态系统.例 解微分方程d 2f ( t )õ d f ( t ) õ ( t )2 + 3+ 6 f d t d tf(0) = 0, f (0) = 3微分方程的拉普拉斯变换是 S 2F (S ) - S f (0) - f ’ (0) + 3S F (S ) - 3f (0) + 6F (S ) = 0代入初始条件, 并求出 F (S )F (S ) = 3S 2+ 35 + 615 = 232515)2(S+ 1 5) 2 + (2 F (s ) 的反拉普拉斯变换就是原方程的解, 即2f ( t ) = L - 1 [ F (s ) ] =3e - 1. 5t Sin (15 t )从以上分析可知, 所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法,实质上就是把时间域里的问题变换到S 域去求解, 最后通过反变换再返回时间域. 上述拉普拉斯变换中的复数S (或S 域)常常称为复频率(或复频域).212 电路复频域分析方法例 应用S 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应, 如图2 所示电路, 求阶跃响应 u ( t ) 和 i ( t ).图 2 二阶电路解: (解题思路) 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应, 即零状态响应. 作S 域模型时, 初始状态为零, 电感元件和电容元件S 域模型中没有附加电压源. S 域分析计算的步骤是, 首先作出时域电路的S 域模型, 然后应用节点分析法求解出待求量的象函数, 并将其展开为部分分式, 最后反变换为时域响应.关于信号, 在电路网络中就是指电压和电流, 一般通指系(解题方法)统中一些变量, 和机械系统的位置、速度、压力和流量等等. 设(1) 作出时域电路的S 域模型如图 3 所示. 其电压源的象 一个系统, 在输入为 f 1 ( t ) 和f 2 ( t ) 时的输出为y 1 ( t ) 和y 2( t ) , 函数是 10 , 复频域感抗 Z L (S ) = S , 复频域容抗 Z c (s ) = 1.若输入为af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) 时, 其输出为ay 1 ( t ) + by 2 ( t ) (a , b 为 S S常数) , 则这个系统为线性系统. 如果系统的参数(如电阻、电 (2) 求电压 u ( t ) , 应用节点分析法, 列出节点方程为10容值等) 是不随时间改变的, 则称该系统为定常系统或时不变 ( 1 + S + 1)U (S ) = S 系统. S + 1 S + 1(S 2+ 2S + 2)U (S ) =10SU (S ) =10S (S 2 + 2S + 2)= 10S (S + 1 - j ) (S + 1 + j )= K 1 + K 2 +K 3S S + 1 - j S + 1 + j计算待定常数k 1 = 3 õ U (s ) û s = 0 10 ûs = 0 = 5sS+ 2S +2k 2 = (s + 1 -j ) õU (s ) û s = - 1+ j =10 û= -s (s + 1 + j )5< -45°2k 3 = k 2 = -5< 45°2进行拉氏反变换得出( )- 1( )10- t() õ E ( )u t = L [U s ] = [ 5 - 2 co s t - 45°] t t V图 3 S 域模型(3) 求 i ( t )电路的S 域阻抗为 Z (s ) =(s + 1) + 1s + 1U s (S ) 10故 I (s ) = = s1Z (s )s +1 +s + 1=10 (S + 1)S (S 2 + 2S + 2)= 10 (s + 1)s (s + 1 - j ) (s + 1 + j )= K 1+ K 2 + K 3S s + 1 - j s + 1 + j计算待定常数k 1 = s I (s )s = 0= 10 (S + 1)s = 0= 5S + 2S + 2k 2 = (s + 1 - j ) õI (s ) û s = - 1+ j = 10 (s + 1)û s = - 1+ js (s + 1 + j ) = -5 < 45°5 õ û ] = [ 5 - 2 û °=k 3 = k 2 = - 5 < 45°55 5I (s ) = 5 - < 45° < - 45°2 5ss + 1 - j s + 1 + j进行反拉氏变换得出 10e - t co s ( t + 45 ) ]( t )Ai ( t )L- 1[ I (s )õ E213 频率特性及波特图系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应. 可以证明, 线性定常系统在正弦输入的激励下, 其输出为与输入同频率的正弦信号. 但其幅度及相位将发生一定的变化, 不过, 对于不同的频率, 输出信号的幅度及相位的变化是不同的. 以图 4 的R C 电路为例. 当u 1 ( t ) 的频率很低时, 电容C 相当于开路, R中无电流通过, 即u 2 ( t ) = u 1 ( t ) 而当u 1 ( t ) 为高频信号时, 电容C相当于短路, 则u 2 ( t ) = 0. 频率特性就是用来描述系统这种性能的.频率特性可以简单地用 jw 代替系统传递函数中的S 而获得.图 4R c 电路的电压传输函数是1G (s ) = U 2 (s )=sc = 1U 1 (s ) R +1 1 + R CSsc图 4 R C 电路在正弦稳态的情况下, 将S 变为 j X , 即得到它的频率特性(又称正弦传递函数).X U 2 ( j ) 1( j ) =1 + j R CG ( j ) = UXû X û ûX Xû X它的幅频特性(幅度随频率变化的函数)1G ( j ) ==1X+ j R C1 + ( R C ) 2相频特性(相位随频率变化的函数) 7 = - lg - 1 (X R C )如果以横坐标表示频率 X , 用纵坐标表示幅度或相位, 就可以分别画出它的幅频特性曲线和相频特性曲线. 频率特性的图标形式有很多种, 工程上用得最多的是对数坐标图, 即波特(Bode) 图.用波特图描述频率特性时, 采用的是半对数坐标, 频率采XX XXXX用对数分度, 即以 lg 2 - lg 1 = lg21当 2 = 10 1 , 其频率间隔就称为十倍频程, 这时 lg 2 =û X X û û ûX û X û X 1lg10 = 1. = X也就是说, 可以以十倍频程的频率点(如10 和 100, 100 和 1000, 25 和 250 等) 间的间隔长度是相等的.波特图的幅度用分贝(dB ) 作单位, 角度用度或弧度作单位. 表达式为 G ( j ) (dB ) = 20tg G ( j )采用这种记法的好处在于 G ( j ) 中相乘的项被化为相加, 这给作图提供了极大方便, 例如T2 220lg 1 + T = 20lg (T X - 20lg1 + T这样就可以只研究G ( j X ) 的各种典型因子(与拉普拉斯反变换时相类似) 的波特图, 然后再进行代数或图解加法得到© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ûG ( j X ) û 的波特图.一般把任意正弦传输函数分解为几种典型因子乘积:(1) 比例系数 K ;X º º(2) 纯 j X+ 1因子(积分或微分因子)(3) 一阶因子(1 + j T ) 1; XöX(4) 二阶因子[ 1 + 2 N XöX+ ( j1.( jn)n ) ]用一阶因子为例说明波特图的画法, 图 4 中R C 网络的传输函数就属于这种形式.设G ( j X (1 + X - 1 , 则) = j T )û X ûûX û( j = 20tg (1 + = - 20tg 1 + T 2 û G ) û j T ) - 1 2Xn 1 ö 或 T X n X X m低频时, 即 T 1, 可以近似表示为:G ( j ) = - 20lg 1 + T 2 2 ≈ - 20lg1 = 0ö因此, 低频时对数幅值曲线是零分贝线. 高频时, 即或 3X1 T》1, 则û ( j X û= - 20lg 1 + T 2 X20lg T X G ) 2 ≈ -X在 X=1 öX=ö时为 - 20 分贝, T 时为零分贝; 在 10 T = 100 ö 时为 - 40 分贝. 即 X每增加十倍就减少 20 分贝. 这T 样(1 +T 2 X1 的幅频特性可以用两条渐近直线来近似: 当 02 ) < X< ö ö X< ∞ 时, 是斜率为1 T 时, 是 0dB 的直线; 当 1 T <- 20dB ö十倍频程的直线, 图 5 就是它的近似曲线和精确曲线. 两条直线的交点 X = ö称为转角频率. 采用近似线的最 1 T 大误差出现在转角频率处, 这时误差为: - 20lg 1 + 1 -(- 20lg1) =-º10lg2 = - 1 01 即最大误差约为 3dB.3图 5 幅频特性渐近线( )= ( 1 + j X T ) - 1 的幅角7 为7 = - lg - 1 ( X T ) 当频 G j X率为零时, 幅角为零; 当频率趋于无穷大时, 为 - 90°;在转角频率处, 为 7 = - lg - 1 TT = - 45°,由于 7 是反正切函数, 它对拐点 7 = - 45°是斜对称的.用渐近线(或加以修正) 来描绘波特图的方法在工程上应 用很广. 绘制任意传输函数G ( j X ) 的波特图时, 一般可按下述 步骤进行:(1) 将G ( j X ) 分解为基本因子的乘积;(2) 找出这些因子的转角频率; (3) 在转角频率之间以适当斜率(如 - 20 分贝 ö十倍频程) 画出对应的渐近对数幅值曲线;(4) 在渐近线基础上加以适当修正, 即得幅频曲线; (5) 将各因子的相角曲线相加, 即得相频曲线.除了本文所述内容之外, 拉普拉斯变换还有许多应用,例如数学上还可以用来解一类积分方程, 偏微分方程等等. 而传输函数的远不止子电气工程, 从一般工业过程控制, 能源工程控制, 乃至尖端的航天飞行器的设计上, 都应用到传输函数的概念.[ 参 考 文 献][ 1 ]李瀚荪. 电路及磁路[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1998. [ 2 ]向国菊, 孙鲁扬. 电路典型题解[M ]. 北京: 清华大学出版社, 1998. [ 3 ]胡锡恒. 实用拉普拉斯变换和 Z 变换手册[M ]. 北京: 电子工业出版社, 1998.[ 4 ]邱关源. 电网络理论[M ]. 北京: 科学出版社, 1995.[5 ] 孙虎章. 自动控制原理[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1987.[6 ]邱关源 电路 高等教育出版社 2006[7] 张鸿艳 复变函数与积分变换 化学工业出版社 2011。
拉氏变换在电路复频域分析中应用
拉氏变换在电路复频域分析中的应用摘要拉氏变换是求解微分方程的有力工具，应用拉氏变换的复频域分析法在电路的分析中有着重要的作用。
本文通过拉氏变换引出电路的复频域分析法，之后对一阶和二阶动态电路分别用时域分析法和复频域分析法进行分析求解，通过两种方法的比较，总结出用复频域分析法分析电路的优点和拉氏变换在其中的重要应用。
最后对拉氏变换的应用进行了推广，简要的说明在一些学科研究中的不易解决的问题可以通过拉氏变换将其简化从而得以解决。
关键词:电路复频域分析法拉氏变换一.电路的基本分析方法有时域分析法，复频域分析法等。
时域分析法时域分析法又称经典法，是一种建立微分方程，求解微分方程从而得出电路响应的方法。
由于电感和电容元件的电压、电流关系是微分关系，由此列出的电路方程是微分方程，求解结果是电路的完全响应，此时响应电压和电流都表示为时间t的函数，为时域响应。
复频域分析法复频域分析法是一种用电压电流的象函数代替对应的时间函数，并根据电路的复频域模型，应用复频域形式的基尔霍夫定律、元件方程，从而将原来的线性微分方程变为线性代数方程的方法。
复频域分析法分析电路有两种方法，变换方程法和变换电路法。
变换方程法是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；变换电路法是将时域电路直接变换为复频域电路，即复频域模型，然后根据复频域模型进行分析计算，得出响应量的复频域形式，最后反变换为时域响应。
应用拉氏变换分析电路，主要的优点有：1. 拉氏变换能将电路分析时域求解微分方程的问题转化为复频域求解代数方程问题，从而使求解得以简化。
2.可以同时解出微分方程的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，而且初始条件自动地包含在变换式或复频域模型中，不需要确定积分常数。
从而避免了时域求解微分方程确定积分常数的繁琐计算。
3.应用拉氏变换，可以直接作出时域电路的复频域模型。
在复频域模型的基础上进行分析计算，可以实现几类电路分析方法的统一，而不必在时域列出微分方程，使分析计算大为简化。
拉氏变换及其在电路应用
拉氏变换与电路设计计算
要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。
信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。
在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）；
其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。
并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。
然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。
计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1）
Io=Vi（s） --------------------（2）
Vo=Ii（s） --------------------（3）
Io=Ii（s） --------------------（4）
下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）；
而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）；
至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。
例子：。
1(t)的拉氏式
1(t)的拉氏式1(t)的拉氏式是指在电路中，以1(t)作为输入信号的拉氏变换后的表达式。
拉氏变换是一种数学工具，用于分析线性时不变系统对输入信号的响应。
拉氏变换将时域中的函数转换为频域中的函数，便于对信号的频率特性进行分析。
在电路分析中，拉氏变换常用于求解电路的传输函数。
传输函数描述了系统对输入信号的响应，是电路设计和分析的重要工具。
通过拉氏变换，可以将电路中的微分方程转换为代数方程，简化了求解过程。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种积分变换，将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，表示为 F(s) = L[f(t)]。
其中，s 是复变量，表示频域中的频率。
拉氏变换的定义式为：F(s) = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性、时移性、频移性、尺度变换等。
这些性质使得拉氏变换在信号分析中具有广泛的应用。
1. 线性性：对于任意常数 a 和 b，有 L[af(t) + bg(t)] = aF(s)+ bG(s)。
2. 时移性：若 f(t) 的拉氏变换为 F(s)，则 e^(at)f(t) 的拉氏变换为 F(s-a)。
3. 频移性：若 f(t) 的拉氏变换为 F(s)，则 f(t-a) 的拉氏变换为 e^(-as)F(s)。
4. 尺度变换：若 f(t) 的拉氏变换为 F(s)，则 f(at) 的拉氏变换为 (1/a)F(s/a)。
三、拉氏变换在电路分析中的应用拉氏变换在电路分析中具有重要的应用价值。
通过拉氏变换，可以将电路中的微分方程转换为代数方程，从而简化了求解过程。
以一个简单的RLC电路为例，假设电路中的电感 L、电阻 R 和电容C 分别为 1 H、1 Ω 和 1 F，输入信号为 i(t) = 1(t) A。
我们可以通过拉氏变换求解电路中的电流响应。
根据电路的基本原理和欧姆定律，可以建立电路的微分方程：L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫[0,t] i(τ)dτ = 1(t)对上式两边同时进行拉氏变换，得到：sLI(s) + RI(s) + (1/C)(1/s)I(s) = 1/s整理后，可以得到电路中的电流 I(s) 的拉氏变换表达式：I(s) = 1/(s^2L + sR + 1/C)通过拉氏逆变换，可以将 I(s) 转换回时域中的函数 i(t)，从而得到电路中的电流响应。
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第十三章 拉氏变换在电路分析中的应用重点：1． 元件的复频域模型2． 拉氏变换及其在电路分析中的意义 3． 应用拉氏变换分析线性电路在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC 等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。
当微分方程的阶数大于2或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。
拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。
通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解。
13-1 有关知识的复习13.1.1 拉氏变换的定义一、拉氏变换定义在区间)0[∞，内的函数)(t f ，其拉氏变换)(s F 的定义为⎰∞--=00)()(dt e t f s F st其中s 为复频率ω+α=j s ，)(s F 为)(t f 的象函数，)(t f 为)(s F 的原函数。
二、拉氏反变换⎰∞+∞-π=j c st j c ds e s F jt f 0)(21)(三、表示L )()]([s F t f =，L )()]([1t f s F =-注意：我们用大写的字母表示频域量，如)(s U 、)(s I 等，用小写字母表示时域量，如)(t u 、)(t i 。
13.1.2 拉氏变换的基本性质一、唯一性：原函数)(t f 与象函数)(s F 一一对应。
二、线性性：)()(11s F t f ⇒，)()(22s F t f ⇒，则：)()()()(22112211s F A s F A t f A t f A +⇒+ 三、时域导数特性：L )0()()]('[--=f s sF t f 四、时域积分特性：L s s F d f t/)()(0=ξξ⎰-五、卷积定理：L )()()]()([2121s F s F t f t f ⋅=*13.1.3 常用时间函数及其象函数见书中P294。
——一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形式，然后通过查表得到结果。
A t A ⇒δ)(s A t A ⇒ε)(α-⇒α-s AAe t 13.1.4线性动态电路方程的拉氏变换解法以一个典型的二阶电路为例： 800=R ，200=L ，μ=1000C ，)()(t t u s ε=，V u C 1)0(=-，mA i 2)0(=-i L (t ) L该电路的电路方程为：)(55422t u dtdu dt u d C CC ε=++ 其中且：V u C 1)0(=-，V i Cu C 2)0(1)0('==-- 两边同时拉氏变换：s s U u s sU u su s U s C C C C C C /5)(5)]0()([4)]0(')0()([2=+-+-----6/5)()54(2++=++s s s U s s C)54(56)54(6/5)(222++++=++++=s s s s s s s s s s U C 13.1.5 拉氏反变换的计算一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。
电路响应往往为两个实系数的s 的多项式之比。
即)()()(s D s N s F =，而在电路分析中，该式一般为真分式。
（如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）下面我们来看一看真分式的部分分式展开。
一、当0)(=s D 有n 个不同的实根1p ，1p ，…，n p 时nn p s k p s k p s k s D s N s F -++-+-== 2211)()()(其中：])()()[(lim s D s N p s k i p s i i⋅-=→ 例题： 已知：6554)(2+++=s s s s F求：)(t f32)3)(2(546554)(212+++=+++=+++=s k s k s s s s s s s F而：3)3(54)3)(2(54)2(221-=++=+++⨯+=-=-=s s s s s s s s k7)2(54)3)(2(54)3(332=++=+++⨯+=-=-=s s s s s s s s k因此：3723)(+++-=s s s F 所以：t t e e t f 3273)(--+-=二、当0)(=s D 有m 个重实根时∑=--+-++-+-==ni iimm m p s k p s k p s k p s k s D s N s F 2111211111)()()()()(其中：1)()()(111p s m s D s N p s k =⋅-=1])()()([112p s m s D s N p s ds dk =⋅-=1])()()([2112213p s ms D s N p s ds d k =⋅-=1])()()([)!1(11111p s mm m ms D s N p s ds d m k =--⋅--= 例题： 已知：1216754)(23++++=s s s s s F求：)(t f 解：3)2(2)3()2(541216754)(221112223+++++=+++=++++=s k s k s k s s s s s s s s F那么：3)3(54)3()2(54)2(222211-=++=+++⨯+=-=-=s s s s s s s s k7])3(7[])3()54(1)3(4[])3()2(54)2[(222222212=+=++⨯-+⨯=+++⨯+=-=-=-=s s s s s s s s s s s ds d k7)2(54)3()2(54)3(3322-=++=+++⨯+=-=-=s s s s s s s s k因此：37)2(327)(2+-++-++=s s s s F 所以：t t t e te e t f 322737)(-----=三、当0)(=s D 有两个共轭的复根ω+α=j p 1，ω-α=j p 2时)cos(||2)()()('1121θ+ω=ω-α-+ω+α-=αt e k j s k j s k s F t其中：ω+α=ω+α==⋅ω+α-=j s j s s D S N s F j s k )(')()]()([1，ω-α=ω-α==⋅ω-α-=j s j s s D S N s F j s k )(')()]()([2而：ω+α=ω+α==⋅ω+α-=j s j s s D S N s F j s k )(')()]()([1，11k ∠ϕ=θ例题：P297再以13.1.4中的例题为例：)12()12()54(56)(32122j s k j s k s k s s s s s s U C +++-++=++++=，即：0=s ，ω±α=±-=j j s 12 1|)(01===s C s sU k ，*31222122158356)(')(k j s s s s s D s N k j s j s =-=++++==+-=+-= t e t e t u t t C sin 21)901cos(121)(22--+=︒-⨯⨯⨯⨯+=V13-2 应用拉氏变换分析线性电路13.2.1 元件的复频域模型——运算电路各种基本元件的VCR ，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。
一、电阻因为：)()(t i R t u R R ⋅=，两边同时取拉氏变换：L )]([t u R = L )]([t i R R ⋅。
这样)()(s I R s U R R ⋅=即： i (t ) RR R二、电容因为：⎰-+=-tC C C dt t i Cu t u 0)(1)0()(两边同时取拉氏变换：L )]([t u C = L ⎰-+-tC C dt t i Cu 0])(1)0([这样：su s I sC s U C C C )0()(1)(-+⋅=即：+ u C (t ) - +sC C - + s- -根据源变换的原则：C当电容的初始储能为零时：1C+ U C (s )-三、电感 因为：dtt di Lt u L L )()(= 两边同时取拉氏变换：L )]([t u L = L ])([dtt di L L 这样 )0()()(--⋅=L L L Li s I sL s U 即：i L (t ) L + u L (t ) - L L -根据源变换的原则：+ U L (s ) - i L (t ) L +- u L (t )L -当电容的初始储能为零时：i L (t ) L I L (s ) sL + u L (t ) - + sLI L (s ) -四、耦合电感+u 2_I+U 2(s)L 1(0-)(0-) _ _dt di M dt di L u 2111+= dt diM dt di L u 1222+=两边同时取拉氏变换有：)0()()0()()(2211111---+-=Mi s sMI i L s I sL s U)0()()0()()(1122222---+-=Mi s sMI i L s I sL s U 这样其运算等效电路为图所示。
五、独立电源直接将独立源的函数进行拉氏变换。
常用稳恒电源（电压源、电流源）：A sA⇒六、受控源 直接加上系数即可。
13.2.2 线性电路的分析一、分析步骤1．根据换路前一瞬间的工作状态，计算)0(-C u 及)0(-L i ；2．将各个元件转换为复频域模型，绘出电路的运算电路（复频域模型）；3．根据一般的电路分析方法——如节点法、回路法、戴维南-诺顿等效法等等对原电路的运算电路进行分析，计算出响应的象函数4．借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。
二、例题 1．已知：0.1H 1求：电路的零状态响应解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）232122)5()5()6()5)(6(1)6)(5)(5(1)3011)(5(122222221.01151.0)(+++++=++=+++=+++=+⨯+⨯++⨯+=s k s k s k s s s s s s s s s sss s s s I 其中： 1)5(1621=+=-=s s k1])6(1[]61[5252-=+-=+=-=-=s s s s ds d k1)6(153=+=-=s s k所以：2)5(1)5(1)6(1)(+++-+=s s s s I)( )()()(556A t te e e t i t t t ε+-=---2．已知：求：)(t u R ，)(2t i C解：0)0(1=-C u ，0)0(2=-C u因此可以绘出原电路对应的复频域模型 所以1051201202012012010)(+=⨯+⨯+⨯+=s s s ss sss U R 105.225.040420112012012010)(2+-=+=+⨯+⨯+=s s s s ss ss s I C 所以：V t e t u t R )(5)(10ε=-，A t e t t i t C )(5.2)(25.0)(102ε-δ=- 3．已知：V t u C 3)(=，A t i L 2)(=t )+ 0.(s )求：电路的零状态响应解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）。