株洲市二中2013年上学期高二年级期末数学考试试卷(理科)

2013年上期株洲市二中高二期末考试题数 学（理科）命题教师：李平凡 时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集(),U =-∞+∞，()0,2A =，(),1B =-∞，则图中阴影部分表示的集合是A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为A ． 2B ．2i -C ．4-D ． 2i3．执行右图所示的程序框图，输出的S 值为A ．3-B ．12-C ． 2D ． 134．()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ． ()y f x =在3(,)44ππ单调递增B ． ()y f x =在(0,)2π单调递增C ． ()y f x =在3(,)44ππ单调递减D ． ()y f x =在(0,)2π单调递减5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面 积是A ． 6B ． 8C ．D ． 36．双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线与抛物线24y x =-的准线交于P 、Q 两点，O为原点，若OPQ ∆的面积等于3 ，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．3 D7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=AB ，)27cos 2,63cos 2(︒︒=BC ，则ABC ∆的 最大内角为A. 135B. 120C. 150D. 90 8. 若函数1y x=和()2,,0y ax bx a b R a =+∈≠的图象有且只有两个不同的公共点()11,M x y 、()22,N x y ，则下列判断正确的是A ．当0a <时，120x x +>，120y y +<B ．当0a <时，120x x +<，120y y +>C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<D ．当0a >时，120x x +>，120y y +> 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb为7，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 （万元）10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（其中α为参数，R α∈）．在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则曲线1C 与2C 交点间的距离为11．设0sin cos 22x x a dx π=⎰，则二项式6⎛+ ⎝的展开式中的常数项等于 12．正项等比数列{}n a 满足21212n n a a -⋅=（n N *∈），则2123221log log log n a a a -+++=13．已知实数x 、y 满足222242(1)(1)(0)y xx y y x y r r ≤⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪++-=>⎩，则r 的最小值为14．若平面向量a ，b 满足||1a = ，||1b ≤ ，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 与b的夹角θ的取值范围是15．一艘轮船从O 点的正东方向10km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间]10 ,5[内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C2sin0c A-=．（1）求角C的大小；（2）若2c=，求证：4a b+≤．17．（本小题满分12分）某工厂2013年第一季度生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品，参加7月份的一个展销会．（1）问A，B，C，D型号的产品各抽取多少件？从50件样品中随机的抽取2件，求这两件产品恰好是不同型号的产品的概率；（2）从A，C型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD-中，P A⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB//CD，2AD CD AB==，E、F分别为PC、CD的中点．（1）求证：CD⊥平面BEF；（2）设PA kAB=，且二面角E BD C--的度数大于30°，求k的取值范围．AC DEFP19．（本小题满分13分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈），设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且11a ， 21a ，41a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记1231111n nA S S S S=+++⋅⋅⋅+，2112221111n n B a a a a -=+++⋅⋅⋅+，当2n ≥时，试比较n A 与 n B 的大小．20． （本小题满分13分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）如果点A 在圆222x y c +=（c 为椭圆的半焦距）上，且1||F A c =，求椭圆的离心率；（2）若函数log (01)m y x m m >≠且的图象，无论m 为何值时恒过定点(,)b a ，求22F A F B ⋅的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数()2112f x x =，()2ln f x a x =（其中0a >）．（1）求函数()()()12f x f x f x =⋅的极值；（2）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1(,)e e 内有两个零点，求a 的取值范围；（3）求证：当0x >时，231ln 04x x x e+->．（e 是自然对数的底数，e =2．71828⋅⋅⋅）．18.19. A BC DEFP20.21.2013年上期株洲市二中高二期末考试题答案 数 学（理科）命题教师：李平凡 时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集(),U =-∞+∞，()0,2A =，(),1B =-∞，则图中阴影部分表示的集合是 （ B ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为 （ D ）A ． 2B ．2i -C ．4-D ．2i3．执行右图所示的程序框图，输出的S 值为 （ C ）A ．3-B ．12-C ． 2D ． 134．()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ． ()y f x =在3(,)44ππ单调递增B ． ()y f x =在(0,)2π单调递增 （ D ） C ． ()y f x =在3(,)44ππ单调递减 D ． ()y f x =在(0,)2π单调递减5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面 积是 （ A ） A ． 6B ． 8C．D ． 36．双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的渐近线与抛物线24y x =-的准线交于P 、Q 两点，O 为原点，若OPQ ∆的面积等于3 ，则双曲线的离心率为 （ B ）A ．B ．C ．3 D7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=AB ，)27cos 2,63cos 2(︒︒=BC ，则ABC ∆的 最大内角为 （ A ）A. 135B. 120C. 150D. 908. 若函数1y x =和()2,,0y ax bx a b R a =+∈≠的图象有且只有两个不同的公共点()11,M x y ，()22,N x y ，则下列判断正确的是 （ A ）A ．当0a <时，120x x +>，120y y +< B ．当0a <时，120x x +<，120y y +>C ．当0a >时，120x x +<，120y y +< D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为7，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为73.5 （万元）10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（其中α为参数，R α∈）．在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．则曲线1C 与2C 交点间的距离为 211．设sin cos 22x x a dx π=⎰，则二项式6⎛ ⎝的展开式中的常数项等于 20 12．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且21212n n a a -⋅=（n N *∈），则2123221log log log n a a a -+++= 22n n -13．已知实数x 、y 满足222242(1)(1)(0)y x x y y x y r r ≤⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪++-=>⎩ ，则r 的最小值为．14．若平面向量a ，b 满足||1a = ，||1b ≤ ，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 与b的夹角θ的取值范围是5[,]66ππ15．一艘轮船从O 点的正东方向10km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间]10,5[内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是2-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C2sin 0c A -=． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求证：4a b +≤．17．（本小题满分12分）某工厂2011年第一季度生产的A ，B ，C ，D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品，参加四月份的一个展销会．（1）问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取多少件？从50件样品中随机的抽取2件，求这两件产品恰好是不同型号的产品的概率；（2）从A ，C 型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A 种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．解析：（1）从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为50150010=，所以A ，B ，C ，D 四种型号的产品分别取111110010,20020,505,1501510101010⨯=⨯=⨯=⨯=，即样品中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件． ……………3分从50件产品中任取2件共有250C 1225=种方法， 2件恰为同一产品的方法数为22221020515C C C C 350+++=种， 所以2件恰好为不同型号的产品的概率为3505112257-=． ………………6分（2）35315C 2(0)91C P ξ==， 12105315C C 20(1)91C P ξ⋅==， 21105315C C 45(2)91C P ξ⋅==， 310315C 24(3)91C P ξ==， ………………10分所以ξ的分布列为………………11分204524232919191E ξ=+⨯+⨯=． ………………12分 18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB//CD ，2AD CD AB ==，E 、F 分别为PC 、CD 的中点．（1）求证：CD ⊥平面BEF ；（2）设PA kAB =，且二面角E BD C --的度数大于30°，求k 的取值范围．19．（本小题满分13分）ABCDEFP已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈），设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a ， 21a ，41a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2）记1231111n n A S S S S =+++⋅⋅⋅+，2112221111n n B a a a a -=+++⋅⋅⋅+，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小．（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214111(),a a a =⋅得2111()(3)a d a a d +=+ 因为0d ≠，所以d a =所以1(1),.2n n an n a na S +==（2）解：因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++++=-+因为1122n n a a--=，所以21122211()11111212(1).1212n nn nB a a a a a a --=++++=⋅=--当0122,21n nn n n n n C C C C n ≥=++++>+ 时， 即1111,12n n -<-+所以，当0,;n n a A B ><时当0,.n n a A B <>时20． （本小题满分13分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）如果点A 在圆222x y c +=（c 为椭圆的半焦距）上，且1||F A c =，求椭圆的离心率；（2）若函数log (01)m y x m m =>≠且的图象，无论m 为何值时恒过定点(,)b a ，求22F A F B ⋅的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数()2112f x x=，()2ln f x a x =（其中0a >）．（1）求函数()()()12f x f x f x =⋅的极值；（2）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1(,)e e 内有两个零点，求a 的取值范围；（3）求证：当0x >时，231ln 04x x x e +->．（e 是自然对数的底数，e =2．71828…）．[来源:学科网ZXXK]。