长沙理工大学线性代数模拟考试试卷(二)

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长沙理工大学模拟电子模拟试题及答案1-10套

长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号01 拟题教研室（或教师）签名电子教研室教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）模拟电子技术课程代号专业电类相关专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一、填空（本题共20分，每空1分）：1．整流电路的任务是__________；滤波电路的任务是__________。

2．在PN结的形成过程中，载流子的扩散运动是由于__________而产生的，漂移运动是__________作用下产生的。

3．放大器有两种不同性质的失真，分别是__________失真和__________失真。

4．在共射阻容耦合放大电路中，使低频区电压增益下降的主要原因是__________的影响；使高频区电压增益下降的主要原因是__________的影响。

5．在交流放大电路中，引入直流负反馈的作用是__________；引入交流负反馈的作用是___________。

6．正弦波振荡电路一般由__________、__________、__________、__________这四个部分组成。

7．某多级放大器中各级电压增益为：第一级25dB 、第二级15dB 、第三级60dB ，放大器的总增益为__________，总的放大倍数为__________。

8．在双端输入、单端输出的差动放大电路中，发射极公共电阻R e对__________信号的放大无影响，对__________信号的放大具有很强的抑制作用。

共模抑制比K CMR为__________之比。

9．某放大电路的对数幅频特性如图1（在第三页上）所示，当信号频率恰好为上限频率时，实际的电压增益为__________dB。

二、判断（本题共10分,每小题1分，正确的打√，错误的打×）：1、（）构成各种半导体器件的基础是PN结，它具有单向导电和反向击穿特性。

长沙理工大学线性代数习题册答案详解

练习1.1一、1.6,8,6,8+1；2.n .二、1.()()24R A R A β==<,无穷多个解；2.()()3R A R A β==,有惟一解(5,0,3)；3.()2,()3R A R A β==,无解.三、1.21313212311342121338()312100101134113080006r r r r r r r r A β------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,()()R A R A β≠,无解；2.213132124142232423141245124507714()38213000041960000r r r r r r r r r r r r A β---↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()()23R A R A β==<,有无穷多个解；3.23211331323222*********()32134075951435200000r r r r r r rr r r A β↔-↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,()()24R A R A β==<,有无穷多个解.四、321221331581824()18240231431690011r r r r rr A β-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3R A R A β==，358824369x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，有惟一交点.五、21231321241421212()417737371034571717233219200117174111316000072130000r r r r r r r r r r r r r r r A -⨯-------⎛⎫--⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-=→→→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，取34,x a x b ==，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=b x a x ba xb a x 4321172017191713173. 练习1.2一、1.≤，5，5；2.初等行变换.二、1.21313212343011*********r r r r r r r r A ++----⎛⎫⎪→→→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()2R A =；2.34242132312343421()241()33162113430011020001000000r r r r r r r r r r r r r r r r B ⨯--⨯---------⎛⎫ ⎪--⎪→→→→ ⎪ ⎪⎝⎭,()3R B =； 3.31210101000r ar C a a -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭,若a =0或a =1，()2R C =；若a ≠0且a ≠1，()3R C =. 三、1.23r r ↔；2.261r ⨯；3.)4(2131r r +. 四、1.()()()1+≤≤B R A R B R ；2.当)B ()A (R R ≠时，方程组无解；当n R R ==)B ()A (时，方程组有唯一解；n R R ＜)B ()A (=时，方程组有无穷多个解练习1.3一、1.无，无穷多个，唯一；2.)B ()A (R R <；3.n A R ＜)(，n A R =)(.二、1.32321221332731612122()3522401151109417200000r r r r r r r r A β-+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组有无穷多解；2.3242213234312343144123434322315124731270117464136001512470001r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----↔--+↔----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 方程组有惟一零解.三、2131133222222311111()11011110021r r r r r r r rA λλλλβλλλλλλλλλλλλλ--↔+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭, 1.当1≠λ，且2≠λ时，()()3R A R A β==,方程组有唯一解； 2.当λ＝－2时，()2,()3R A R A β==,方程组无解； 3.当λ＝1时，()()1R A R A β==,方程组有无穷多个解. 四、13211313212(2)25112222122()254201112451(1)(10)(1)(4)0022r r r r r r r r r A λλλλβλλλλλλλλλλ↔+⨯--+-+⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪=--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭ ⎪⎝⎭1.当1≠λ且10λ≠时,()()3R A R A β==,方程组有唯一解；2.当10λ=时,()2,()3R A R A β==,方程组无解；3.当1λ=时,()()1R A R A β==，方程组有无穷多个解.1221()00000000A β-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,123122x x x =-+,令2x a =，3x b =，得122 321⎪⎩⎪⎨⎧==++-=b x a x b a x （b a ,为任意常数）练习1.4一、1.r=k ；2.行，列，秩；3.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001. 二、1.12421321233134341243231455343111100310010441001121000r rr r r r r r r r r r r r r r r r r E O -++---⨯---⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→→→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； 2.313144124221122342431324343453441421()2131122421112()134********11012201103100422012r r r r r c c r c c r r r r r r r r r r r r r c c r r c c r r r r r r ⨯----⨯+-+-⨯-+---+↔+---⎛⎫⎪⎪→→→→→→ ⎪⎪--⎝⎭10000010000010000010⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()445E O ⨯；三、213123211202(1)2(1)4(1)03(1)3(1)6(1)r r r kr k A k k k k k k +---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1.当1k =时，A →431000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；2.当k ≠1时，1121120112011201(1)20020k k A k k ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, (ⅰ)2k =-，A →432000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；(ⅱ)2k ≠-，A →()4330⨯E .练习2.1一、1.1；2.1或-2.二、1.1；2.xyz z y x 3222-++；3.))()((a c c b b a ---．三、14.练习2.2一、1.零；2.D k n n )1(-；3.111110()()0111a b c a b c b a a b bc a b a a b b a c a c aa cca b c aa c ++---+=--==--=---+--；4.103100204203100204110020411002041992003953992003954200395601330130060060130060013006004012--===-- 613100100(20)2000412-=-=-⨯-=-．二、1.1234102341023310234234110341011301131603412104120222004441231012301110004--====-------；2.2()2()2()02()0xyx y x y y x y x y y x y yx y x x y x y x x y x yxy x y x y x yx++++++=++=-++-- 2()2()000x y y x y x y y x y x y x y x xy++++=-+---2()2()000x y y x y x y y x y x y y x y xy++++=-----22332()()2()()()2()()2()x y x y x x y y y x y x xy y x y =+--+--=-+-+=-+；3.111111111020411102abac ae bdcd de abc de f abcdef abcdef bfcfef----=-=-=--；4.(1)(1)(1)00(1)00a b b a n b b b a n b b b b a b a n b a b a b b b a a n b b a a b +-+-+--==+-- 1[(1)]()n a n b a b -=+--．练习2.3一、1.64；2.4x ；3.－10；4.0,))((,212111b b a a b a ---；5.－2，0，2. 二、1.1)]()1([---+=n n a x a n x D ；（见练习2.2二、4.解法）2.21222242()()()()n n n n n D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ---=-=-==-=- ．三、1.2122232421031132329635304167A A A A ---++==--； 2.4142434421031111035301111A A A A -+++==-．练习2.4一、1.2，-1；2.c b a ≠≠.二、2124133223121211111D λλλλλλλλλ----+-=-=---2332(3)(2)0121λλλλλλλλ-+-==--=--,3,2,0=λ．三、1.1,3,2,14321-====x x x x ；2.1,4,6,44321-==-==x x x x ．四、甲、乙、丙三种化肥各需3千克，5千克，15千克.练习3.1 一、1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛91101106,15803113；2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2536,14324101221 3.（10），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；4.E 3；5.0，a d -. 二、1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001n ； 2.2824211100713()1125312010823101110001210f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、()()300014000.50.040.211115001300465047027000.40.060.42000800⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,总价值：4650万元；总重量：470吨；总体积：2700立方米.练习3.2 一、1.3221-⎛⎫⎪-⎝⎭；2.25112*11,9,813A A A A A A --======； 3.16；4.111111111111()()[()]()A B B BA B AA B B A A A B A B ------------+=+=+=+；5.AA . 二、1.1102214151122⎛⎫- ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭；2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121. 三、1.1011101113113623210212432432856111312X --⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.222,,()AX E A X AX X A E A E X A E +=+-=--=-,00101010141A E -==-≠,A E -可逆,121()()()()()X A E A E A E A E A E A E --=--=--+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛341030102.四、11,P AP A P P --=Λ=Λ,1010110111*********A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010111122122212⎛⎫--+= ⎪--+⎝⎭. 五、2124,(2)4,[(2)]4A A E O A A E E A A E E -+=-=-⋅--=. A ∴可逆,11(2)4AA E -=--.练习3.3一、1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8500320000520021,9320014500000910002023，2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010000000010000001100000121n n a a a a ； 3.1111A O A O A O C C C A B O B O B OB --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11A B A OO A B B --⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A O O A B . 二、1.34202541004322A ==-⨯=--,881610A A ==；12A O A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,442211145005A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4422222642022A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 44441442645000050000200022A O A OA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3401230000021000001200011.三、1.11111,A O E O A O A O A O E O B O E O B OB OB -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11111,O A E O O A OB O B E B O O E B O AO AO -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.A B E O E B A O M O C O C O E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,E O E B A O M E C A E A C O C O E O E===.练习4.1一、1.；；T T TT )4,3,2,1(,)13,4,5,17(21.2)8.1,7,2(,)1,1,1,3(------ 3.121233333(k k βααβααα=-=-+，为任意实数).二、123111111111111()3210012301230120120003αααβλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1.当3λ≠时，123123()2,()3R R ααααααβ==，β不能由123ααα线性表示；2.当3λ=时，123123()()23R R ααααααβ==<，β能由123ααα线性表示，且表示式不惟一.三、β 可由12,,,m ααα 唯一线性表示，∴方程组1122m m x x x αααβ+++= 有唯一解，则1212()()m mR R m ααααααβ== ，从而12,,,m ααα 线性无关.练习4.2一、1.线性相关，线性无关； 2.＜，＝； 3.1； 4.无关.二、1.123110110000012()12200022000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,123()23R ααα=<,123,,ααα相关； 2.123131131()223041315000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα相关.三、1.设113221323()()()0k k k αααααα++-++=,即121232133()()()0k k k k k k ααα-++++=.123,,ααα 线性无关,1223130,0,0.k k k k k k -=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ 1100110101-=,方程组有非零解,123,,ααα线性相关. 2. 设112123123()()0k k k αααααα+++++=,即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=.123,,ααα 线性无关,1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩ 11101110001=≠,方程组只有零解,123,,ααα线性无关. 四、解法1:设11221233123()(2)(2)0k a k a k αααααααα++++++-=,即12311232233(2)(2)()0k k k ak k k ak k ααα++++++-=.123,,ααα 线性无关,1231232320,20,0.k k k ak k k ak k ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-=⎩ 若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则方程组只有零解,2121121001a a a =-≠-,1±≠a . 解法2:12123123123121(22)()1201B a a a a ααααααααααα⎛⎫ ⎪=++++-= ⎪ ⎪-⎝⎭,若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则()3R B =,又121()12301R B R a a ⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪-⎝⎭,12112301R a a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭,2121121001a a a =-≠-,1±≠a .五、设1234()a bc d b a d c A c d a b d c b a αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪--⎝⎭, 22222222222222220000000000T a b c d a b c d AA a b c d a b c d ⎛⎫+++⎪+++⎪= ⎪+++ ⎪⎪+++⎝⎭,222224()T T a b c d AA A A A A A +++====,0,0,()4abcd A R A ≠∴≠= ,1234,,,αααα线性无关.练习4.3一、1.T 中任一个向量都可由s ααα,,,21 线性表出；2.＜，＝；3. 4，5321,,,αααα.二、123217121121121121217055055()055055055000318318055000ααα------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα线性相关.三、1234132213221322223204120231()311208540854111102310412αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭71110100132222202313110101022200700010001000500000000⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1234(,,,)3R αααα=,123,,ααα为一个最大无关组,4121122ααα=+.四、设1212(),,,,n n B αααααα= 线性无关,(),0R B n B ∴=≠.1212()n n A A A A AB A B αααααα=== ,1212()00()n n R A n A A A A R A A A n αααααα=⇔≠⇔≠⇔=12,,,n A A A ααα⇔ 线性无关.自测题（第一、二、三、四章）一、填空题1.-3；2.4m -；3.0；4.2,1-≠≠λλ；5. 任一n 维向量都是0Ax =的解，则n 个n 维单位坐标向量12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n εεε=== 是0Ax =的解，则1212()()(000)n n A AE A A A A O εεεεεε===== ，从而()0R A =.6.3,0-≠k ；7.2；8.-4；9.20,0,20,2,1,2A E A E A E +=-=-=∴- 为A 的特征值,2124A =-⋅⋅=-, 31*2(4)16A A-==-=.10.1110111101P AP D A PDPA PDP PDP PDP PD P ------=⇒=⇒==101010111111102122211202112221-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.三、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313223X .四、160.五、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6493244361A .六、因为1121111111022110221131824000001302000000----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以，第一列与第二列是一个最大无关组.七、()1111111122(2)3010323000A a b ab a a b a b β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, 当0a b ==时，()1,()2R A R A β==；当0,0a b =≠时,()2,()3R A R A β==,无解；当b a a ≠≠，0时，()()3R A R A β==,有惟一解:Taa x )0,1,11(-=，当b a a =≠,0时,()()2R A R A β==有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 八、()123411111011212324335185a b a ααααβ⎛⎫⎪-⎪= ⎪++ ⎪+⎝⎭11111102100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1.当0,1≠-=b a 时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合；2.当1-≠a 时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示:32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b练习5.1一、1.A 0=；2.≠A 0；3.无关；4.2；5.0,1；二、111111111100111100220011112200330000A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121234340,,0..x x x x x x x x -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ 令2142x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则通解为 11213224,,,x c x c x c x c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或121212341010,(,)0101x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 三、112111211022211103310103221201030038A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101003010380013⎛⎫- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14243410,33,8.3x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩取43x =，得方程组的一个基础解系为10983ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.练习5.2一、1.b AX =；2.1；3.04321=+++a a a a ；4.≠A 0.二、1111021*********22()422120001000010211110002000000A β⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭, 1234111,2220,x x x x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩即1234111,2220,x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得 11221324111,222,,0,x c c x c x c x ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩即12121234111222010,(,)001000x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、见练习1.3第三题.四、充分性:若0A ≠,则A 可逆,对任一0β≠,方程组Ax β=唯一解1x A β-=.必要性:若对任一0β≠,Ax β=有解,则当β分别为12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时,方程组有解,即存在12,,,n ηηη ,使得1122,,,n n A A A ηεηεηε=== , 则121212()()()n n n A A A A E ηηηηηηεεε=== ,A ∴可逆,0A ≠.练习5.3一、1.零，非零；2.是，0；3.是，3.二、123123512351235()111003450345032703270022αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123512081208100203450309010301030011001100110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123123()3,,,R αααααα=∴ 线性无关,从而是3R 的一个基.12323βααα=+-,β在基123ααα下的坐标为(2,3,1)-.三、11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,21221112301[,]2111[,]331113αββαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 31323312112220301[,][,]111101[,][,]3232111123αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111e ββ==1(1,1,1)3T ,222e ββ==1(2,1,1)6T -,333e ββ==1(0,1,1)2T -. 练习6.1一、1.0, <, 非零；2.0；3.1，3121，，6，11，18；4.1，2，3.二、1.233256356356911022020121121121r r c c A E λλλλλλλλλλλ+--------=--=--=-----2359(2)(2)(44)(2)11λλλλλλλ--=-=--+=----,令0A E λ-=，得===321λλλ 2.对于2λ=解方程组()0A E x λ-=,得基础解系12(2,1,0),(1,0,1)T Tξξ=-=,则A 的对应于===321λλλ2的全部特征向量为12(2,1,0)(1,0,1)T T k k -+(12,k k 不同时为零)； 2.121321133133133353153020664464464c c c c r r A E λλλλλλλλλλλλλ++--------=--=---=----------21313(2)(2)(4)(2)(4)4411λλλλλλλλλ--=--=-+-=+---,令0A E λ-=,得221-==λλ,=3λ 4.对应于221-==λλ的全部特征向量为T T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(12,k k 不同时为零)；对应于=3λ4的全部特征向量为3(1,1,2)T k (03≠k ).三、已知A ξλξ=,要证k k A ξλξ=,用数学归纳法.因为当1k =时等式成立,假设当k m =时等式成立,即m m A ξλξ=,则11m m m m m m A AA A A ξξλξλξλλξλξ++=====,即1k m =+时等式也成立,所以对一切正整数k 等式成立. 四、用反证法.假设12αα+是A 的对应于特征值λ的特征向量,即1212()()A ααλαα+=+由已知111222,A A αλααλα==,12121122()A A A ααααλαλα+=+=+,则有121122()λααλαλα+=+,从而有1122()()0λλαλλα-+-=.1212,,λλαα≠∴ 线性无关,则12120,0λλλλλλλ-=-=⇒==,与12λλ≠矛盾,所以12αα+不是A 的特征向量.练习6.2一、1.n ；2.B AP P =-1；3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123λλλ；4.设1212(),,P αααα= 线性无关，12()2,0,R P P αα∴=≠可逆.121212120202()()(02)()0101AP A A A P αααααααα⎛⎫⎛⎫===+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10201P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭,A 与0201⎛⎫ ⎪⎝⎭相似,特征值相同,0201⎛⎫⎪⎝⎭的特征值为0和1,所以A 的非零特征值为1. 二、1.1211(1)0,0,10A E λλλλλλλ--==--===-，12λλ≠，A 能对角化；2.22122125335375121A E λλλλλλλλ------=--=--------223111211(1)(1)034375344λλλλλλλλλλ----=-==+=-+=+-----+--， 1231λλλ===-，,()0A E O R A E +≠+≠，A 不能对角化.三、202312520111A E xx x x -=-=-+-=-,2=x 或21=x . 2=x 时,12312344440421121121111211212r r r A E λλλλλλλλλλλλλ++-------=--=--=------ 4411(1)(1)(4)(1)(4)(1)01212λλλλλλλλλλ--=--=-+-=-+--=--,1231,4,1A λλλ=-==，能与对角阵相似；21=x 时,3112312312311111222122224221210221112r r A E λλλλλλλλλλλ-----=--=--=---+---3121252111220(52)(22)(1)04410c c λλλλλλλ+--=-=---+=+,1235,1,12A λλλ===-，能与对角阵相似.四、1.已知112212,,11,,A A αααααα=-=-≠∴ 线性无关.设1122330k k k ααα++=,则331122331122k k k k A k A k A αααααα=--⇒=--32311223311232()()()k k k k k k k ααααααα⇒+=---⇒=-+ 1122112321132()20k k k k k k k αααααα⇒--=-+⇒-= 13220,00k k k α⇒==⇒=,而,则123,,ααα线性无关.2.1231231223123100()()()()011001AP A A A A ααααααααααααα-⎛⎫ ⎪===-+= ⎪ ⎪⎝⎭,100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.练习6.3一、1. 正交的；2.线性无关的；3.实数；4.若0A =，则A 有特征值10λ=.设A 还有两个特征值为23,λλ.A 的特征值互不相同,230,0λλ∴≠≠,且A 能对角化,即存在可逆矩阵P ,使得1230P AP λλ-⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. 11()()(),()()(),()()2R R P AP R A R A R P P R R A R --Λ=≤=Λ≤Λ∴=Λ= .二、1.A 与012⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,A ∴的特征值为0,1,2. 2111()011A ααβαββ==--=,010201A E ααβαββ-===⇒0==βα；2.对于10λ=,解方程组0Ax =,得1(1,0,1)T ξ=-. 对于21λ=,解方程组()0A E x -=,得2(0,1,0)T ξ=. 对于32λ=解方程组(2)0A E x -=得3(1,0,1)T ξ=.123,,λλλ 互不相同,123,,ξξξ∴两两正交,将123,,ξξξ单位化: 3121231231111(,0,),(0,1,0),(,0,)2222T T Tp p p ξξξξξξ==-====, =P 12311022()01011022p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为正交矩阵,使1P AP B -=. 三、设A 的与特征值6对应的特征向量为3123(,,)Tx x x α=,363,α≠∴ 与1α，2α都正交,3132[,]0,[,]0αααα==,131230,20,x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩解得基础解系3(1,1,1)Tα=,A 的与特征值6对应的全部特征向量为333(0)k k α≠.121[,]0,ααα=∴ 与2α正交,故123,,ααα两两正交,将它们单位化:31212311121111(,0,),(,,),(,,)22666333T T Tαααααα=-=-=, 得正交矩阵11126321063111263P ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,使1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1333366TA P P P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111102632234112112103141636666114111111263333⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、()2,R A A =∴ 的特征值有且只有一个是0.设λ为A 的特征值,则2()2f λλλ=+为2()2f A A A =+的特征值,而()f A O =的特征值必为0,220,0λλλ∴+==或2-.A 的全部特征值为2,0321-===λλλ.练习7.1一、1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡310122021；2.323121x x x x x x f ++=；二、1.1222212122311112222nn n n n ii i i i f x x x x x x x x x xx x --+===+++----=-∑∑ ，()()R f R A n ==.2.23()32(23)(32)(745)745x y z f x y z x y z x x y z y x y z z x y z x y z ++⎛⎫ ⎪=++=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭2222152352106()133535x x y z xy xz yz x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,215133()()3535A R f R A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，.三、1.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323112220112200012212012()010001020001004TT y y y y y y y y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=----=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212324y y y =-+.2.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232311111122010022011212011()010*********022TTy y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=----=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222123y y y =-+.四、1.220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,32368(1)(2)(4)A E λλλλλλλ-=-++-=--+-,令0A E λ-=，得1231,2,4λλλ==-=.对于11λ=,解方程组()0A E x -=,得基础解系1(2,1,2)T ξ=-；对于11λ=-,解方程组(2)0A E x +=,得基础解系2(1,2,2)T ξ=；对于34λ=,解方程组(4)0A E x -=,得基础解系3(2,2,1)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123212333122()333221333P ξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1124T P AP P AP -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()24T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====-+.2.222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 22220220225421421424521549A E λλλλλλλλλλλ-------=--=--=----------2222(1)(1)(1110)(1)(10)49λλλλλλλλ--=-=--+=-----,令0A E λ-=，得1231,10λλλ===.对于121λλ==,解方程组()0A E x -=,得基础解系12(2,1,0),(2,4,5)TTξξ=-=；对于310λ=,解方程组(10)0A E x -=,得基础解系3(1,2,2)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :3121232213535142()3535520335P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使11110TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()10T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====++.五、1111111A a a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的特征值为2,2,b ,则221113b ++=++=,1b =-. 又2111211(1)0,111A E a a a a ----=--=+=∴=---. 111111111A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.对于122λλ==,解方程组(2)0A E x -=,得基础解系12(1,1,0),(1,1,2)T T ξξ=-=-；对于31λ=-,解方程组()0A E x +=,得基础解系3(1,1,1)T ξ=.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123111263111()26321063P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1221TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()22T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====+-. 且22()()()T T T T T T xx x Py Py y P P y y Ey y y y ======,2222222212312322222222236T f y y y y y y yx x x =+-≤++====⋅=,∴f 在3=X X T 下的最大值为6.(上式在30y =时等号成立,即取得最大值)练习7.2 练习7.3一、1.22231213232444f x x x x x x x x =-+--22222123121323132(222)23x x x x x x x x x x x =+++---- 222123132()23x x x x x =+---,令11123233x y x x x y x y=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩，则22212322f y y y =-+-. 所作的可逆变换为11212333x y x y y y x y =⎧⎪=-++⎨⎪=⎩，即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则2222221212231133223322442(2)2(2)f y y y y y y y y y y y y y y =-++=++--+2213232()2()y y y y =+--,令13123233y y z y y z y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,即11322333y z z y z z y z=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则221222f z z =-. 所作的可逆变换为1122123332x z z x z z z x z =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩,即112233*********x z x z x z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、1.不是,2210a bA a b b a==--=-<- ；2.是正, 是负.三、1140102t A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若A 为正定,则2211140,404204102t t t t t t =->=->,⇒22<<-t .四、1112125t A t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,若A 为负定,则 2211110,125401125t t t tt t t---=->-=-<---,⇒540<<t .五、设λ是A 的特征值,则2()56f λλλ=-+是2()56f A A A E O =-+=的特征值,25602λλλ∴-+=⇒=或3λ=.A 的特征值全为正,则A 是正定矩阵.六、设λ是A 的特征值,A 为正定,0λ∴>.()T T T T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=- ,T A ∴与A 有相同的特征值,从而TA 的特征值全大于0,则TA 也为正定.1A - 的特征值为1λ,1A -∴的特征值全大于0,则1A -也为正定.*A 的特征值为Aλ,而0A >*A ∴的特征值全大于0,则*A 也为正定.七、B 为正定,B ∴为对称矩阵,有TB B =,且0,B B >可逆. 0x ∀≠,则0Bx ≠(否则11()00x B Bx B --==⋅=).从而有()()()0TTTTf x BAB x x B ABx Bx A Bx ===>(A 为正定), 故BAB 为正定.自测题(第五、六、七章)一、1.0；2.若2是A 的特征值，则12是1A -的特征值，212⎛⎫ ⎪⎝⎭是1221()()A A --=的特征值，2122⎛⎫ ⎪⎝⎭是212112()()2A A --=的特征值，211()2A -∴必有一个特征值为12.3.2,2,-2；4.10==y x ，；5.–3；6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----321222121；7.0；8.3； 9.2122121,430,1,31212A A E λλλλλλλ---⎛⎫=-==-+=== ⎪---⎝⎭,22123f y y =+ 10.1122112212()s s s s s A k k k k A k A k A k k k ηηηηηηβββ+++=+++=+++12()s k k k ββ=+++= , 12(1)0s k k k β+++-= ,12120,101s s k k k k k k β≠∴+++-=⇒+++=二、练习6.1二、1.(2)0R A E -≠,A 不相似于对角阵.三、设1112132122233132,1a a a A a a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为正交矩阵,A ∴的列向量是单位向量, 2222221323313213233132(1)1,(1)10a a a a a a a a ++-=++-=⇒====,1112212200,0001a a A a a Ax ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭的解为1111222000000011T a a x A A a aββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四、设A 的与4λ=对应的特征向量为123(,,)Tx x x ,它与2λ=-对应的特征向量1η正交,12320x x x ∴-++=,它的一个正交基础解系为23(1,1,0),(1,1,1)T T ηη==-,31212311162311162321063P ηηηηηη⎛⎫-⎪⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1244P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1223124413244220T A P P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11162311162321063x y ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.五、见自测题(第一,二,三,四章)七大题当0=a 时，无解；当b a a ≠≠,0时，有惟一解:Taa x )0,1,11(-=，当b a a =≠,0时,有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 六、1.()11231001011,00121P P AP ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,1110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； 2.10101110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 七、A 为正交正定矩阵,1121,TTA A A A A A A AA AA E ---∴==⇒=⇒=== 设λ为A的特征值,α为对应的特征向量,即22222(1)0A A E αλααλααλααλαλα=⇒=⇒=⇒=⇒-=,20,10αλ≠∴-= ,又A 为正定,1λ∴=,即A 的特征值全为1,A 与E 相似, 11,P AP E A PEP E --===.八、设20120()(0)m m f x a a x a x a x a =++++≠ ,假设0是A 的特征值,则(0)f 是()f A O =的特征值,0(0)0f a ∴==,与已知矛盾, 0∴不是A 的特征值.模拟试题一一、1.设()123B βββ=，AB O = ，即()()()123123000A A A A ββββββ==，1230,0,0A A A βββ∴===，则123,,βββ是方程组0Ax =的解向量，又()2,R A =∴ 0Ax =的基础解系含有1个解向量，即0Ax =只有一个线性无关的解，故123,,βββ最多只有一个线性无关，123()(,,)1R B R βββ=≤，又,()0,()1B O R B R B ≠>∴=.2.1230262!0032000n nA n n n==, (1,2,,)222(1)(1)2(1)2(1)2(!)2i n i r r i n nn n n n n O AA OB A A A n A OOA+↔=======-=-=-=- .3.122212123304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A α 与α线性相关,2334111a a a a a ++∴==⇒=-. 4.()101310131001111401010101011301130012αβγξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ξαβγ=++,ξ在基,,αβγ下的坐标为(1,1,2).5.()3,0R A Ax =∴= 的基础解系含有4-3=1个解向量. 123,,ηηη 是Ax β=的解,1223,ηηηη∴--是0Ax =的解,则1223123()2()32(0,1,0,0)T ξηηηηηηη=---=-+=是0Ax =的基础解系. 又*123`1()(1,2,3,4)3T ηηηη=++=-是Ax β=的解,Ax β∴=的通解为 (1,2,3,4)(0,1,0,0)()T T x c c R =-+∈.6.23*12*1*1221()()()32TT A B A A B A A B A AA B---====. 7.()2211123()4()()()44A A E O A E E A E A E E A E A E ---=⇒-=⇒--=⇒-=-.8.设A 的特征值为12,,,,1n i λλλλ= 或1(1,2,,)i n -= .A 为实对称矩阵,∴存在可逆矩阵P ,使得121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则1A P P -=Λ, 21222111122111n A P P P P P P PEP E λλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.二、*29A B -=- *1*1119[(2)]9(2)9(2)9(2)A E A A AA A A E A E ----=-=-=-=+1203932019000303009001⎛⎫- ⎪-⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎪⎣⎦- ⎪ ⎪⎝⎭.三、22222(2)2(2)A A E O A kA A kA k k E E k k E O ++=⇒++-+-+--=2()(2)()(22)A A kE k A kE k k E ⇒++-+=--+ 2[(2)]()(22)A k E A kE k k E ⇒+-+=--+,221,220,[(2)]()22k R k k A k E A kE E k k ∀∈-+>-+-+=-+,A kE ∴+可逆,[]121()(2)22A kE A k E k k -+=-+--+.四、()()121122n n n n n n B t t t βββαααααα==+++()12121000101n n t t t ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭, 当1-=n t 时,()1R B n n =-<,方程组有非零解.五、A 是正交矩阵,A ∴的列向量是两两正交的单位向量,0,1,Ti j i ji j αα≠⎧=⎨=⎩则()12121121100001000101T T T n T n T T T T n B A C ααααααβαβαβαβ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 100,T T B A B A B A C B B ====≠⇒≠ 可逆,111111111()()()()()T T T T T T B CA B B CA AC B AC C A ---------=⇒===⇒==.六、设0λ是B 的任一特征值,则0()0f λ=.()f A 可逆()f A ⇔的特征值全不为00()0f λ⇔=不是()f A 的特征值0λ⇔不是A 的特征值.七、1.设A 的特征值为12,,,n λλλ ,{}12max ,,,nk λλλ= .A 为实对称矩阵,∴存在正交矩阵P ,使得121T n P AP P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , ()112212()()T T T T n n n y y f x Ax Py A Py y P APy y y y y λλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221122n n y y y λλλ=+++ ,22222222112212T T n n n x Ax y y y ky ky ky k y k x kx xλλλ=+++≤+++=== .()22()()T T T T T T x x x Py Py y P Py y Ey y y y======2.222211111333T T T AA αααααααααααα=≤==.八、本教材无此概念.模拟试题二一、1.42342311a a a a ；2.(2 3)，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；3.()n A R =；4.3213αααk +-；5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310122021.二、1.)(233y x +-；2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/12/511412/12/101A ；3.2=λ；4.213212),,(ααααα，，=R ；5.TT 2T 10,0,1110,1121,0,111,119c 0,1,115,111c x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-==12/12/1p ,011p ,111p 9,1,0321321；λλλ；7.23222142y y y ++-. 三、1.∵()()()()()E AA AEA A BB A A B AB AB AB T T T T T T T=====,∴AB 也是正交矩阵. 2.设R k k k ∈321,,，使得()()0321321211=+++++ααααααk k k ,即 ()()0332211321=+++++αααk k k k k k ,∵321,,ααα线性无关,∴0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k , ∴321211,,αααααα+++线性无关.。

长沙理工大学线性代数考试试卷2

长沙理工大学模拟考试试卷………………………………………………………………………………………………………………
试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………
课程名称（含档次）线性代数课程代号
专业层次（本、专）考试方式（开、闭卷）闭卷
一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)
的行列式，则；（）
1.若五阶方阵的行列式
为阶方阵，为阶单位阵，则；（）
2.设
3.若向量
4.任何一个齐次线性方程组都有解；（）
均为阶正交矩阵，则也必为正交矩阵。

（）
5.若
二、填空题：(每小题5分，共20分)
阶方阵中有一列向量是其余列向量的线性组合，则；
1.若
2.若有
阶可逆矩阵，则可逆，的逆矩阵为；
3.齐次线性方程组
4.设
三、计算题：(每小题10分，共60分)
1.
；
2.设
，求
；
3.已知三阶方阵
且
的每一个列向量都是
的
解，1）求
的值，2）求
；
4.求矩阵
的行向量组的一个最大无关组；
5.设三阶矩阵
的特征值为
，对应的特征向量为
，求
；
6.写出二次型
的矩阵
，并判断
是否为正定。

四、证明题：(10分)
若
线性无关，试证
也线性无关。

湖南理工学院高等代数第六章线性空间测试题

高等代数第六章——线性空间测试题
一、填空题
（1）已知R3的两组基Ⅰ；
Ⅱ
那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为
。
（2）在中，已知，，，是的基，那么，在该基下的坐标为
。
（3）设是方程组解空间，是方程组那么∩是方程组
的解空
间。
（4）设
。
（5）设、都是V的子空间，且+为直和，那么。
二、判断题：
）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（）
（2）实数域上的全体几级可逆矩阵做成的子空间。（）
（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（）
பைடு நூலகம்
（4）线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（）
（5）在子空间的和+中，如果，且这种表示形式唯一，那么+为直和。
（）
三、在中，
当为何值时，线性相关？
当为何值时，线性无关？
四、设
（1）证明1，是的基，并求由该基到基的过渡矩阵。（2）求在基1，下的坐标。五、设，是齐次方程的解空间，求+，的一组基和维数。
六、设把V看成R上的线性空间，证明：
是V的一组基。
七、设的解空间，是的解空间，证明：。八、设证明：
（1）W关于中的向量的加法和数乘运算做成上的线性空间。（2）。

《线性代数》模拟试题(二)及答案

《线性代数》模拟试题(二)及答案一、填空题（每空3分，共30分） 1．设B A ，均为n 阶矩阵，3||||-=2=B ，A ，则=-|2|1*B A 2．设n 阶方阵A 满足022=++E A A （E 是n 阶单位矩阵），则=-1A 。

3．设α为3维列向量，'α是α的转置，若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111111111'αα，则=αα' 。

4．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，则220042A B -= 。

5．设A 为三阶方阵，且A A -='，则=||A 。

6．若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当时，方程组有惟一解。

7．逆序数=)45321(τ 。

8．已知)0,2,5,1(),9,7,5,3(-==βα，x 满足βα=+x 32，则=x 。

9．二次型323121232221321121210933),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的秩为。

10．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111121,101121B A ，则=AB 。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）得分得分11．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232,32r r B r r A βα，其中32,,,r r βα均为3维行向量，且已知行列式2||,18||==B A ，则行列式||B A -等于（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）412．设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是（）。

（A ）若A ，B 均可逆，则A +B 可逆（B ）若A ，B 均可逆，则AB 可逆（C ）若A +B 可逆，则B A -可逆（D ）若B A +可逆，则B A ，均可逆13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。

（A ）133221,,αααααα+++ （B ）321211,,αααααα+++ （C ）133221,,αααααα--- （D ）1332213,2,αααααα+++14．设三阶矩阵A 的特征值为2,1,2--，矩阵E A A B 2323+-=，则=||B （）（A ）－4（B ）－16（C ）－36（D ）－7215．设321,,εεε是0=AX 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成（）。

长沙理工大学《电路》考研模拟试题(1-3)

考研模拟试题（一）一．列写下图所示直流电路的节点方程 ,并求出两个独立电流发出的功率。

（20分）二．如图所示的正弦电路，已知当I1=I2=I，R2=10Ω，ωM =10Ω时，虚线框内的并联电路达到谐振，求此时的R1，X1。

（20分）三．电路如图3所示，已知双口网络N的传输参数矩阵，试求负载电阻R2为何值时,R2获得最大功率，并求此最大功率。

（20分）四．电路如图所示N为线性含源网络，已知i s=8A , u s=12V时，响应U X=80V；i s= - 8A ,u s=4V时，响应U X=0V；当i s=0A , u s=0V时，响应U X= -40V。

求当i s=10A , u s=20V时,响应U X为多少。

（20分）五、正弦稳态电路如图5所示，试求图中电流I。

(20分)六、如图6所示，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路为零初始状态，试用拉普拉斯变换求t≥0时的电流i2(t) 。

(20分)七．电路如图7，已知双口网络的传输参数，求负载R L为何值时吸收最大功率并求出最大功率P max。

(15分)八．求图8所示二端口网络的Y参数，并做出π形等效电路。

（15分）考研模拟试题（二）一、填空题：（每空7分，共56分）1. 图1-1所示电路中，1A电流源发出的功率( )。

2. 图1-2所示电路中，电压源的电流i为( )A ，电流源的电压u为( )V 。

3. 在图1-3所示对称三相电路中，电流表读数均为1A（有效值），若因故发生A相短路（即开关闭合）则电流表A1的读数为( )，A2的读数为( ) 。

4. 图1-4所示电路处于谐振状态，已知Is=1A，U1=50V，则电阻R2=( )Ω,电感电压U L=( )V。

5. 已知某动态电路的网络函数，该电路的冲激响应为() 。

二、简算题：（每小题7分，共56分）1. 某网络的基本割集矩阵为,若已知连支电流A，求树支电流i1、i2和i3。

2. 图2-1所示电路，在开关断开时，电流I=1A，求开关闭合后该支路的电流。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数模拟试卷及答案4套

线性代数模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式（12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解（12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系（8分）线性代数模拟试卷(二)三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式（13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解（14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝。

线性代数模拟题及答案

模拟试题一一. 填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（）。

① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。

① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）线性无关。

① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7．设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（）。

2022年线性代数试卷及答案6套

线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一．填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二．选择题（每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ．左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。

线性代数模拟试题及答案

...《线性代数期末模拟试题一》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。

2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零，则该三阶行列式的所有项中有项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。

3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。

4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。

5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。

6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。

得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。

9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。

10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（）不正确（A ）若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ）若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ）若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ）系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（）（A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

长沙理工数理方程试卷及答案

长沙理工数理方程试卷及答案长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）数学物理方程与特殊函数课程代号专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062432=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于双曲型；（）2．定解问题的适定性包括解的唯一性、解的存在性和解的稳定性；（） 3．上半空间内狄利克雷问题的格林函数为-=101141),(0MM MM r r M M G π；（） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)(110?-=dx x xP ；（）5．n 阶Bessel 方程的一般形式为0)()1()(2)()1(2=++'-''-x y n n x y x x y x ．（）二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）长为2的弦在0=x 端点固定，另一端2=x 处自由，且在初始时刻0=t 时处于水平状态，初速度为)2(x x -，写出相应定解问题．2．（本小题20分）在矩形域b y a x ≤≤≤≤0,0内求拉普拉斯方程的解，使满足边界条件====.0),(,0),0(),(),(),()0,(y a u y u x g b x u x f x u 3．（本小题15分）用达朗贝尔法解下面定解问题：==>+∞<<-∞= ２).()0,(),()0,(),0,(x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 4．（本小题15分）求解下面的定解问题=<+-=?=+ .0|),(4),(222222ay x u a y x y x u三．证明题：（本题总分10分）验证函数22sin ),(y x xy y x u +=是方程0=-y x yu xu 的解．长沙理工大学试卷标准答案课程名称：数学物理方程与特殊函数试卷编号：一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×；2．√；3．√；4．√；5．×．二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）泛定方程：xx tt u a u 2=，)0,20(><<="" p="" t="" u="" x="" …………………10分="" …………………15分="" …………………5分="" 初始条件：0)0,(="x" 边界条件：0),0(="t" ，)2()0,(x="" ，0),2(="t" ；="">用分离变量法，设)()(),(y Y x X y x u =，代入泛定方程，得0)()(=''x X x X λ＋，0)()(=''y Y y Y λ－，…………………3分解特征值问题?===+''.0)(,0)0(,0)()(a X X x X x Xλ，得2=a n n πλ，a x n x X n πsin)(=，,2,1=n …………………8分将2=a n n πλ代入0)()(=''y Y y Y λ－得其通解为y an n y an n n eB eA y Y ππ-+=)(， ,2,1=n …………………14分故此定解问题的通解为∑∞=-+=1s i n ),(n y a n n y a n n a x n e B e A y x u πππ，…………………16分其中n n B A ,由下面的方程组确定=+=+??-aa b n n a b n n an n dx a x n x g a e B e A dx a xn x f a B A 00.sin )(2,sin)(2ππππ ,2,1=n ………………20分3．（本小题15分）特征方程为 0222=-dt a dx ，………………2分两积分曲线为 1C at x =+， 2C at x =-，作变换at x +=ξ，at x -=η，………………5分原方程化为0=ξηu ，………………8分积分后代回原变量得通解为 )()(),(21at x f at x f t x u -++=，…………10分由初始条件 )()()()0,(21x x f x f x u ?=+=[])()()()0,(21x x f x f a x u t ψ='-'= ………………12分积分上式 a c d a x f x f xx +=-?0)(1)()(21ξξψ，故 acd a x x f x x 2)(21)(21)(01++=?ξξψ?，a c d a x x f x x2)(21)(21)(02--=?ξξψ?，……………14分所以其解 )()(),(21at x f at x f t x u -++=[]?+-+-++=atx atx d a at x at x ξξψ??)(21)()(21．…………15分 4．（本小题15分）显然，泊松方程有一个特解 )(),(22y x y x w +-=， (4)分令 )(),(),(22y x y x v y x u +-=，则上述问题化为==?=+ .|,0),(2222a v y x v a y x …………………8分由极值原理，有2),(a y x v =，…………………12分所以所求定解问题的解为()222),(y x a y x u +-=．…………………15分三．证明题：（本题总分10分）证明：由22sin ),(y x xy y x u +=有22c o s xy xy y u x +=， y x xy x u y 22cos +=， (8)分故 [][]y x xy x y xy xy y x yu xu y x 222cos 2cos +-+=-0=．所以结论成立．………………16分。

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题:（正确：√,错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………（）2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。

……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。

…………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分）1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 。

2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是。

3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是。

4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为。

7、()B A R + ()()B R A R +。

8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关。

10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+。

2、设矩阵A 和B 满足B AE AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B 。

四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、（10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ, 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解。

大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别姓名成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是。

7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。

8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。

9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为。

10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是。

11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是。

线性代数模拟题二答案

线性代数试题班级姓名学号第 1 页线性代数模拟题（二）答案一、判断题（正确画“ √ ”，错误画“×”）（每题2分，共10分）（ √ ） 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。

（ × ） 2. 若向量组的秩为r ，则向量组中任意1r -个向量线性无关。

（ √ ） 3. 任意两个行列式都可以相乘。

（ × ） 4. 设A ，B 是n 阶方阵，则()222AB A B =。

（ × ） 5. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。

二、填空题（每空3分，共30分）1．已知4阶行列式112430711539268D --=----，则11121314539M M M M -+++的值为 0 ，其中M ij 为D 的第i 行第j 列元素的余子式。

2．已知3阶矩阵A 的行列式2A =，则12A -= 4 ，*A = 4 。

3．已知4元齐次线性方程组0A x =的通解为1210011001x k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则0A x =的系数矩阵A 的秩为 2 ，0A x =的一个基础解系为1001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

4．已知非齐次线性方程组的增广矩阵为B =2210021011000010101k k kk -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪+⎝⎭，则当k =时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。

5．可逆矩阵的列向量组的线性相关性为线性无关。

6．已知101010011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的3个特征值为123,,λλλ，则123λλλ++= 1 ，A 的3个特征值的乘积为⋅⋅=123λλλ -1 。

1. 已知矩阵201021,11211A B --⎛⎫⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，1221C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

（1）试指出下列运算哪个有定义（即运算可以进行），哪个没有定义：（3分）,2,AB B C C +（表示矩阵C 的行列式）；（2）求矩阵2T BA -。

线性代数期末考试模拟试卷及答案

共7页，第1页学院：专业：学号：姓名：装订线一、填空题（每小题3分，共24分）1.设A 、B 是n 阶方阵，下列等式正确的是 .（A ）AB=BA （B ）))((22B A B A B A -+=-（C ）22A A = （D ）111)(---+=+B A B A2. 设A 为n 阶方阵，则0=A 的必要条件是 .(A) A 中有两行（列）元素对应成比例； (B) A 中必有一行为其余行的线性组合；(C) A 中有一行元素全为零； (D) A 中任意一行为其余行的线性组合.3. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，；(C)251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.(C) A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关.5. 、设3阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为41,31,21，则=)(det *B （）共7页，第2页共7页，第3页共7页，第4页答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.C2.B3.B4.C5.A6.C7.A8.B 二、填空题（每小题4分，共24分）1.⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-11001000003100001 ， 2. 332±， 3. ⎝⎛⎪⎪⎭⎫10101， 4. k 不存在 5. 40， 6. 0. 三．（8分）证明：由06))(4(1032=-+-=--I I A I A I A A ……………………5分所以I I A I A 6))(4(=+- ……………………6分故I A 4-可逆，且逆矩阵为6IA + ……………………8分四、（12分）解：2)3(111111111λλλλλ+=+++=A ………………………………………3分当03≠-≠λλ且时，方程组有唯一解………………………………5分当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→←⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111r B 知 )()(B R A R ≠ , 方程组无解…………………………………………8分当3-=λ时，增广矩阵为共7页，第5页⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211 321131210112r B 2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解，解为T T c x )0,2,1()1,1,1(--+=，（c 为任意常数）……………………12分五、（10分）解：设有k x x x x ,,,,210 使得0)()()(22110=+++++++k k x x x x αβαβαββ ， (1) )………2分⇒0)(2211210=++++++++k k k x x x x x x x αααβ , (2)………4分若0210≠++++k x x x x ，则β可由k ααα,,,21 线性表示，⇒是0=Ax 的解,与已知矛盾.故必有0210=++++k x x x x ，从而02211=+++k k x x x ααα ，………………………………………………………7分由k ααα,,,21 是0=Ax 的一个基础解系知k ααα,,,21 线性无关，⇒021====k x x x ，0)(210=+++-=k x x x x ，因此向量组k αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.…………………………………10分六、（10分）解：由已知(2)-=A E X A ， …………………………………………2分因为 100386(2,)0102960012129r--⎛⎫⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A ………………………8分故1386(2)2962129---⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A …………………………………………10分β共7页，第6页七、（12分）解：)1()1(3240102232-+-=------=-λλλλλλE A =0, ………… 2分1,1321=-==λλλ. ………（4分） (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-224000224)(1E A λ41113~⋅-r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000021211, 02121321=-+x x x ,令2312,c x c x ==，2112121c c x +-=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021012121321c c x x x .121-==λλ对应的特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ它们是线性无关的. ………（8分）(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-424020222)(3E A λ~132r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*******1123~⋅-r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000201112122~21r r r --⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000010101, ⎩⎨⎧==-00231x x x , 令13c x =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011321c x x x ，对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013ξ. ………（10分）(3)因为321ξξξ，，线性无关，所以A 可以对角化，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11000112121P , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ100010001. ………（12分）共7页，第7页。

线性代数模拟试题(二)及答案

模拟试题（二）一、填空题.1.设,A B 均为3阶方阵，若1,22==A B ，则T 12()-B A = . 2.设123(2,3,5),(3,7,8),(1,6,1)===-ααα，若12323=--βααα，则β= .3.线性方程组=AX B 有解的充分必要条件是 .4.设齐次线性方程组0040x y x ky x y z -+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩有非零解，则k =_ .5.将向量(5,0,2,4)=α单位化得 . 二、选择题.1.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BAC.()()T T =AB BAD.()222=AB A B2.设向量组为12,,,m ααα线性相关，且该向量组的秩为r ，则必有（）.A.r m =B.m r <C.1m r =+D.r m < 3.行列式12021k k -≠-的充分必要条件是（）.A.1k ≠且3k ≠B.1k ≠-且3k ≠C. 1k ≠且3k ≠-D.1k ≠-且3k ≠-4.齐次线性方程组120n x x x +++=的基础解系所含解向量的个数为（）.A.1n -B.2n C.12n + D.(1)2n n + 5.n 阶矩阵A 与某对角阵相似的充分必要条件是（）. A.()R n =A B.A 是实对称矩阵C.A 有n 个不同特征值D.A 有n 个线性无关的特征向量三、计算3112513420111533------行列式的值.四、设111123213,221344343--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ，求（1）1-A ；（2）TB A .五、已知向量组123411111131,,,11111131⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα，求（1）求1234,,,,αααα的一个最大无关组；（2）将其余向量用最大无关组线性表示.六、线性方程组1234123412341234322,521,26331,11544x x x x x x x x x x x x a x x x x +--=⎧⎪-++=-⎪⎨+--=+⎪⎪--++=-⎩ 当a 为何值时有解，在有解的情况下，求其全部解.七、用正交变换将二次形22212312312(,,)22f x x x x x x x x =+++化成标准形，并求出所使用的正交变换=X PY模拟试题（二）答案一、1.3；2.(2,17,1)--；3.(,)R b A ；4.1-；2,4).二、1.B ；2.D ；3.B ；4.A ；5.D.三、解原式=51115111113182620400010055505530----=-==-----.四、1T 401495111,6128222486511222-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭A B A . 五、最大无关向量组为124,,ααα，3122=-ααα. 六、解因为39910161616755011616160000200000a ⎛⎫--⎪⎪ ⎪--→ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ，当2a =时，方程组有解，此时方程可化为134234939,161616575,161616x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩方程组的一个特解为91651600*⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭η.取334410,01x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得齐次线性方程组的基础解系12938435481001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξξ，方程组的全部解为1122c c *=++X ξξη.七、解二次形的矩阵110110002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，特征值为1230,2λλλ===，对应的特征向量为()()()T T T1231,1,0,1,1,0,0,0,1=-==ηηη，且两两正交，将其单位化得))()T T T1231,1,0,1,1,0,0,0,1=-==ξξξ.。