行列式化简计算技巧实题

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求特征值的行列式化简技巧

求特征值的行列式化简技巧引言在线性代数领域中，矩阵是一个重要的概念。

而对于一个矩阵的特征值和特征向量的求解，经常是求解线性代数问题的关键一步。

在实际应用中，特征值的计算往往需要化简矩阵的行列式。

在本文中，我们将介绍一些求特征值的行列式化简技巧，帮助读者更好地理解和应用特征值问题。

二级标题特征值和特征向量简介特征值和特征向量是对一个矩阵线性变换性质的刻画。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得以下方程成立：Ax = λx (1)则称λ 为矩阵 A 的特征值，x 为对应的特征向量。

矩阵 A 的特征值和特征向量的求解对于解决很多实际应用问题非常有用，比如在机器学习中的主成分分析和物理学中的振动问题等。

二级标题特征多项式与特征值我们首先来看一个矩阵的特征多项式。

对于一个n阶方阵A，特征多项式的定义为：p(λ) = |A-λI| (2)其中，I 是单位矩阵。

特征多项式的根就是矩阵的特征值。

因此，求解特征值的一种方法就是求解特征多项式的根。

三级标题行列式化简技巧行列式化简是求解特征值的常用方法之一。

下面将介绍几种常见的行列式化简技巧。

三级标题对角矩阵求特征值对于一个对角矩阵D，即非对角元素都为0的矩阵，其特征值即为对角线上的元素。

这是一个简单的结论，因为对角矩阵的特征向量可以是任意向量，不会随着线性变换发生改变。

例如，对于一个二阶对角矩阵D：D = |λ1 0| |0 λ2|其特征值即为λ1 和λ2。

三级标题上三角矩阵求特征值对于一个上三角矩阵U，即矩阵的下三角元素都为0的矩阵，其特征值即为主对角线上的元素。

例如，对于一个三阶上三角矩阵U：U = |a b c| |0 d e| |0 0 f|其特征值即为 a, d 和 f。

这是因为对于上三角矩阵，行列式的值就等于主对角线元素的乘积。

三级标题仿射变换幺正矩阵求特征值对于一个仿射变换幺正矩阵，其特征值的模为1。

仿射变换幺正矩阵具有很多特殊的性质，其中之一就是其特征值的模保持不变。

行列式的计算技巧与方法总结(同名4612)

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn nnb a a a a a b a a a a ++=+KM O M M M K K 21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b b +==KK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n ---=ΛM O M M ΛΛ212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===ΛM O M MΛΛ212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM O M M ΛΛ2221111mm x x m x n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM OM M ΛΛ0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn ΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111*********D n ---------=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 1111120022200021321----=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 0111100011000011132122ΛM M O M M M ΛΛΛ+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211ΛΛM M O M M MΛMΛn n a a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()()()()()n n n a a a n a a a n ΛΛ21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n nKKM M O M M M O K K -----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211K .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++=Λ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλΛMO M M M M ΛΛΛb bbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000021n b a a aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=ΛMO M M Λ000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D ΛΛM M OM M M ΛΛΛ=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：10010000010000011111)1n D ------=ΛΛM M O M M M ΛΛΛ（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n D . 解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ΛM O M M M ΛΛΛ•-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11ΛM O M M M ΛΛΛβββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n ΛΛM M M O M M M M ΛΛΛ=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ .1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--ΛΛM MO M M M ΛΛΛΛΛM M O M M M ΛΛΛ上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a ------=-11001000010011D 13321ΛΛM M O M MΛΛ 111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a ΛΛΛ2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλΛ21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλΛ21=，则A 可逆()n i i n ΛΛ2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n nn a a a a a a a a a a M OKK K 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a ΛO M M M 321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a OM Λ2211210，nnnc a c a c a a b b b M N Λ2211012，nnn b b b a a c a c a c ΛNM 2101122，121122a b b b c a c a c a nn nΛMO这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321OM Λ，其中.,2,1,0n i a i Λ=≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i Λ=列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321OM Λ nni ia a a a a 00011113221OM Λ∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321Λ. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c ΛNN 2101122，nn n a b c a b c a b c a OO2221110，n n nc a c a c a a b b b N N Λ2211012，0111222a c b a c b a c b a n n n OM O ，1021122c a c a b a b c a b nn n NN M ，n nna c a c a cb b b a O OΛ2211210，0121122a b b b c a c a c a nn nΛO O，nnn b a b c b a b a c a c 12211201NN 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+M NN M NN .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑MN MN()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ00000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ000000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()122111221100010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D ΛM O M M ΛΛΛΛM O M M Λ()n n n b b b a a a ΛΛ211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ. 解：按第一列展开，得()ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-10000010000100000D 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322Λ.故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121ΛΛn n n n b ab b a a ++++=--11Λ.4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n Λ. ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D ΛΛ()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.。

线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式001002001000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n nnnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a bb D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

线性代数第一章行列式练习题

线性代数第一章行列式练习题(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第一次练习题一）填空题1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-＝________；2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________；4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________.二）解答题5）计算三阶行列式 222111ab c a b c .6）用定义证明1(1)212100000(1)0000n nn nnλλλλλλ--=-.7）设n阶行列式中有多于2n n-个元素为零，证明这个行列式为零.班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第二次练习题一）填空题1）把行列式111222a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式132412340000a a a a x yb b z wb b 写成两个行列式之积_________________________________；3）提取行列式第二行公因子后111213212223313233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式223456789a b c d a ab ac ad＝_________________________________.二）解答题5）化简行列式111122223333x y x a z x y x a z x y x a z +++6）计算行列式5222 2522 2252 22257）计算行列式3112 5134 2011 1533------班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第三次练习题一）填空题1）将行列式123123123x x xy y yz z z按第三列展开为__________________________________；2）已知四阶行列式D中第三行元素依次为2，5，3，4；它们的余子式分别为3，1，2，4；则D＝__________；3）计算1111234549162582764125＝__________；4）设3961246812035436D=，则41424423A A A++＝__________.二）解答题5）计算行列式100 110 011 001abcd ---.6）当λ为何值时，线性方程组12312330(3)22040x x x x x x x λλ++=⎧⎪--+=⎨⎪=⎩有非零解7）设曲线230123y a a x a x a x =+++通过四个点(1,3)，(2,4) ，(3,4) ， (4,3)-；求系数0123,,,a a a a .班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章复习题1）按定义计算行列式0001000200200100000n n n--2）计算行列式ab b b ba b b bb a b bbba3）计算行列式01000 00100 00010 a b c d e e d c b a4）计算行列式1231111 1111 11111111n aaaa ++++5）问,λμ取何值时，齐次线性方程组12312312320x x xx x xx x xλμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解6）解非齐次线性方程组12341241341234 2583692254760 x x x xx x xx x xx x x x+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩。

解行列式的方法

解行列式的方法
哇塞，解行列式可是线性代数中超级重要的一部分呢！那到底怎么解行列式呢？这就来详细说说。

首先呢，最常见的方法就是按行或按列展开。

就像剥洋葱一样，一层一层地把行列式展开。

步骤就是选定一行或一列，然后用这一行或一列的元素分别乘以它们对应的代数余子式，再把这些乘积加起来。

这里要注意哦，代数余子式的符号可不能搞错啦！这个方法简单直接，但有时候计算量可能会有点大哦。

在解行列式的过程中呀，安全性那是杠杠的，只要你按照步骤来，一步一步认真算，就不太会出错。

稳定性也很高呀，不管行列式多大，都可以用这个方法慢慢解出来。

那它都有啥应用场景和优势呢？哎呀呀，那可多了去啦！在很多工程问题、物理问题中都有它的身影呢。

它的优势就在于能把复杂的问题转化为行列式的计算，让我们可以有条理地去解决。

而且一旦掌握了方法，就像拿到了一把钥匙，能打开很多知识的大门呢！
来举个实际案例吧。

比如说在研究电路网络的时候，通过建立行列式就能分析出电流的分布情况。

哇，是不是很神奇？就像我们找到了一个神奇的工具，能让复杂的电路变得清晰明了。

所以呀，解行列式真的是超级厉害的工具呢！它能帮我们解决好多难题，让我们在数学和其他领域都能游刃有余呀！。

行列式的计算方法

az bx ax by ay bz
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
xyz D利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.
它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列式值的情况。
1 0 Dn 0
x1 x12 1
x2 x1
x2 x1 x2 x22 1
xn x1 xn x2 xn
0
xn x1
xn x2
xn2 1
给加边后的行列式的第1行乘 xi 加到第i行上(i=1,2,…,n)得
1 x1 x2
xn 1 x12 x22 xn2 x1 x2
xn
x1 1 0
0
0
10
0
Dn x2 0 1
②
把 ② 代入① 中得
Dn an xan1 x2 Dn2
依次下去，得
Dn an xan1 x2 Dn2 xn2 D2 ③
而
x D2 a2
1 a1 x
a2
a1x
x2
④
将 ④代入 ③中得
Dn an an1x a1xn1 xn
方法5 升阶法（加边法）
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。
n1
y
x
y
0
0
0 00 x
0 0x y
降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为
Dn xn (1)n1 yn
x 1 0
0 x 1
00
x
（2） Dn
0
0
0

求特征值的行列式化简技巧

求特征值的行列式化简技巧特征值的行列式化简技巧在线性代数中扮演着非常重要的角色。

通过行列式化简技巧，我们可以简化计算特征值的过程，从而更好地了解和分析线性变换体系的性质。

在本文中，我们将详细讨论行列式化简技巧，并且给出一些实际应用的例子。

首先，我们需要明确，行列式是线性变换矩阵的一个重要特征。

对于一个n×n的方阵A，其特征值λ满足以下方程：det(A-λI) = 0其中，det( )表示行列式的计算，I是n×n的单位矩阵。

解这个特征方程可以得到方阵A的n个特征值。

接下来，我们将讨论四种常见的行列式化简技巧。

一、按行展开行列式按行展开行列式是一种常见的行列式化简技巧。

通过按行展开，我们可以将一个n×n的行列式化简为n个n-1阶行列式的求解。

具体的步骤如下：1.选择第i行展开（i=1,2,...,n），将行列式表示为一系列n-1阶行列式的和。

2.对于每一个n-1阶行列式，重复上述步骤，直到化简为1阶行列式（即一个数）为止。

二、子式与代数余子式展开在行列式的展开中，我们可以使用子式和代数余子式的概念。

子式是通过从行列式中选择一些行和列而形成的行列式，而代数余子式是子式乘以一个(-1)的幂。

使用这些概念，我们可以将一个n×n的行列式化简行/列上的n个n-1阶子式和相应的代数余子式的乘积之和。

具体的步骤如下：1.对于具体的行/列i，选择一个n-1阶子式，并将其乘以相应的代数余子式。

2.将上述结果相加，即可得到化简后的行列式。

三、行列互换行列互换是一种简单而易行的行列式化简技巧。

通过交换两个行/列的位置，我们可以改变行列式的符号。

这是因为行列式中每个元素的符号是由其在行/列中的位置决定的。

通过利用这个性质，在化简行列式时，我们可以通过不断交换行/列的位置来达到最简形式。

四、行列式的性质行列式具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来简化行列式。

以下是一些常见的性质：1.行列式中相同行/列的元素交换位置时，行列式变号。

行列式的计算技巧

行列式的计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

行列式的计算是线性代数中的重要内容之一，掌握行列式的计算技巧对于解决各类问题至关重要。

本文将介绍一些行列式的计算技巧，帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在介绍行列式的计算技巧之前，我们需要先了解行列式的定义。

对于一个n阶矩阵A=(a[i][j])，其行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n]-a[1][n]*a[2][n-1]*…*a[n][1]其中a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

二、行列式计算的基本规则1.交换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即A，=-，A其中A'表示交换了两行（列）的行列式。

2.行列的一个倍数加到另一行（列）上，不改变行列式的值，即A，=，A其中A'表示将A的其中一行（列）的k倍加到另一行（列）上的行列式。

3.如果行列式的其中一行（列）的所有元素都为0，则行列式的值为0。

三、行列式计算的技巧1.利用初等行变换求行列式的值初等行变换是指对矩阵进行以下操作：(1)交换两行(2)一行乘以非零常数(3)一行加上另一行的k倍利用初等行变换可以把一个行列式转化成上三角形或下三角形的形式。

例如，对于一个三阶矩阵，可以通过初等行变换将其转化为上三角形，此时行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

2.利用行列式的性质简化计算对于具有一定结构的矩阵，可以利用其特定的性质来简化行列式的计算。

(1)对角矩阵的行列式的值等于对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(2)三角矩阵的行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(3)如果行列式的其中一行（列）的所有元素都相同，则行列式的值等于该行（列）的任一元素乘以n-1次该元素的幂，即A，=a[1][1]^(n-1)*a[2][2]^(n-1)*…*a[n][n]^(n-13.利用行列式的性质化简计算行列式具有一些性质，利用这些性质可以将行列式的计算简化。

线性代数专题：行列式计算

当β ≠ α 当β = α
注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注 1 仿照例 1 的讨论，三对角线型的 n 阶行列式
2a a 2 1 En = 0 0
和三对角线型行列式
0
0 0 0 2a 0 0 0 2a
（3）
2a a 2 1 2a 0 0
2a a 0 a 2a a Fn = 0 a 2a 0
xy x+ y 1 0 0
0 xy x+ y 0 0
0 0 0 x+ y 1
0 0 0 xy x+ y
解：
D1 = x + y D2 = x 2 + xy + y 2 D3 = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3
猜测： Dn = x + x
n n −1
y+
+ xy n −1 + y n
2
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ，当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②

行列式的计算技巧

行列式的计算技巧行列式的计算技巧很多, 在这里, 我们介绍常见的一些行列式的计算技巧,主要包括行和或列和相等, 爪型（歪爪型）、范德蒙（伪范德蒙）、加边法、递推降阶法、层层递加（减）法等等。

方法1 行（列）和相等这类行列式的计算一般把行列式的行全部加到第一行, 或者把所有的列全部加到第一列, 习惯上, 我们可以全部加到第一列, 提取公因子后, 第一列全部变成1, 从而方便我们植1造0, 或者在此时观察行列式的特点, 进一步化成上三角或者下三角来进行计算。

例1 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。

求如下行列式的值。

12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 我们再仔细看一下, 每行的元素的和数都是一样的, 那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列, 现提出公因式, 这样行列式的次数就降了一次。

解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a x a a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑对行列式xa a a a a a a x a a a n n n32322211111进行观察, 此时一般有两种途径, 一种是在第一列造0, 把第二行开始后的每一行都减去第一行, 或者利用第一列的1, 把第一列的倍数加到其他列来造0, 具体采用哪个看具体问题, 在本题中, 可以考虑把第一列的倍加到第2列, , 第一列的倍加到最后一列, 。

从而有)())()((1010010001)(1111)(2112312231211323222111n n i i nni i n nn ni i n a x a x a x x a a x a a a a a a a a a x x a x a a a a a a a x a a a x a D ---+=------+=+=∑∑∑===+方法2 爪（歪爪）型行列式此类行列式有三条线构成, 类似一个爪子, 或者歪爪, 可以采用去爪的方法来做, 特别注意歪爪只能去掉歪了的爪子, 在去爪的过程中, 利用主对角线上的元素来去爪子, 层层递进即可。

行列式化简计算技巧实题

.技巧：技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等，即D=D Ta 11a 12K a 1 na 11a 21K a n1a 21 a 22 La 2na 12 a 22 Ka n2M MMM MM a n1a n2Ka nna 1na 2nKa nn技巧4:行列式具有分行（列）相加性技巧5:将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数 k 后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变Zachary技巧2:互换行列式的任意两行（列），行列式的值将改变正负号an ai2 K Qn a 21 a 22 L a 2n M MM3n13n2 K a nn321 a 22 K a 2n an 3I 2 L a1nMMMa n1a n2 Ka nn技巧3:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面ban ba 12K b?a 21 ba 22K MMb n a n1 b n a n2Kan 3I 2 K a 1na 21 a 22 K a 2n MMM a n1a n2Ka nna 11a 12Ka 1n MMM1G15 G2K b tn (MMM a n1 a n2Ka nna 11 a 12Ka 1n M MM b t1 bt2 K b tn M M Ma n1a n2Ka nn a 11 a 12Ka 1nM MMC t1 C t2K C tnMMMa n1a n2Ka nnb|31n ba2n0 a nnnb ni 1a11a12Ka1 na11a12K a1nMMMMMMas1as2Kasnas1kat1as2kat2KasnkatnMMMMMMat1at2Katnat1at2KatnMMMMMMan1an2Kannan1an2Kann技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积nnDaikA k (i1,2丄，n)akjA j (j 1,2,L , n)k 1 k 1.解题方法阶行列式和3阶行列式，可以直接使用对角线法则进行计算a ii a22 a 33a 12a 23a31a 13821 a32耳1823832812821833813822831a11Ka1m0 K 0 MM MMa m1K amm 0 K 0c11Kc1mbn K b1nMM MMC n1KCnmbn1Kbnna11Ka1m 1bn Kbi n MM MMam1Ka^mmlbn1Kbnn技巧7:［拉普拉斯按一行代数余子式乘积之和（列）展开定理］行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的方法 1:对于2a 11 a 12a 11 a 21 a 22a 11 a12 a 13 a21 a22a 23 a 31a32a33a ?2812821方法2:上三角行列式，下三角行列式，主对角线行列式，副对角线行列式1 2L n （其余未写出元素均为零），n （n 1）（1）F 1 2L n （其余未写出元素均为零）方法3:若行列式中有两行（列）对应元素相等，则此行列式的值等于零方法4:若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零方法5:若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零a ka e ib kb f jc kc g kd kd h lan a 12 K a 1nan0 K 0 0a 22 La 2nna 21a 22 La”，M MM i 1MMMKa nna n1a n2K annna ii，i 1a ab bc cd de if jg kh l12Nn0 a 0 b 0 c 0 de if jg kh l0 ( 1) ( 1) 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 4实题操练: 计算下列行列式的值习题 1: 解答：习题 3: 10 111213 14 15 161 2 3 4|11 3 1 5 67 8 C 2q 51 7 19 10 11 12 C 4 C 3 9 1 11 1 13 14 15 1613 1 151习题4:33 3 x 333 x 333x 3 33x 3333解答:解答:4) 33 3 3 x 3x3 3 x 3 34 xC C i3 x 3 3 3i 2 x x x 3 3 3 3x1 3 3 x 3|1 3 「「11 3 x 3 3 0 0 x 「A1 x 3 3 3 0 x「「11 3 3 3 1 —001 3 3 x 30 x 0 x 4r2 r 3 x x0 0 x x0 0 0 x习题5:3 x 3x 3 33 33 3 x 3xxxab a® a® aAa2b2a2b3 a?b4a2b s a3b s aAa?b4 a3b4 a4b4 解答：3 3 3 3 3 x 0 0a 1b 1 a 1b 2 ap a 1b 4a 1b 2 a 2b 2 azda ?b 4 aAazda^a 3b 4aQ a ?b 4 a 3b 4 a 4b 4a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4a|b 2 a 1b 3 a 1b 4a ib ? a*|b 3 a i b 4a 1b 2 a 1b 3a 1b 4ab a 2b 3 a 3b 3 a 3b 4a 1b 2 a 2b s a 3b 3 a 3b 4aib s a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4a 1b 4a 2b (2 a 2b 3 a 2b 4a 2b 4 a 3b 4 a 4Qa 2b 4 a 3b 4 a 4b 4a 2b 4 a 3b 4 a 4b 4azd a 3b 3 a 3b 4引匕4@20 a i b 2)[a 4b 3(a 3b 2 a z b ?) &3匕4@2匕 3 aA)] a i b 4(a 2bi a i b 2)(a 3b 2 a 2b 3)(a4d a s b 4) a i b 4(a 1b 2 a 2b 1)(a 2b 3 &3匕2)@3匕 4 a q bO3(a i b1i 1 a i 1b)习题6:a 1b 2 耳4 ag a 1b 2 睫嗣由于行列式 a 2b 2 a 2b 3 a ?b 4 和 a 2b 2 a 2b 3 a ?b 4 有两行元素成比例，因此值为0,a ?b 4 a 3b 4 a 4b 4a ?b 3 and a 3b 4b 2 b 3 b 4b 2R b 4b 2b 3 b 4 D a 1a 2b|b 4 a 2b 3 a 3b 3 a 3b 4 a ；b 2b 4a ?b 3 a 3b 3 a 3b 4 2(a 1a 2b|b 4 a 1 b 2b 4)a 3b 4a 2 a 3 a 4a 2a 3a 4a ?a 3a 4 （现叭a ：b 2b 4)(a 3a 4b 2b 3 a z a s b^ a z a q b ：按第一列展开,4 a (a 1)4(a 2)4(a 3)4(a 4)4 3 a (a 1)3(a 2)3(a 3)3(a 4)32 a (a 1)2(a 2)2(a 3)2(a 4)2a a 1 a 2 a 3 a 41 1 1 1 1 解答：将行列式上下翻转后再左右翻转，不难得11114!3!2!1! 288习题7:x 1 0 K 0 0 0 x 1 K 0 0 00 x K 0 0 M M MM M 0 0K x 1 a nan 1an 2Ka 2x a 1解答：D n XD n 1 a n Dn 1 xD n 2 an 1D n 2xD n 3a n 2MD 2 xD r a ? D-i x a 11,x,x 2,L ,x n 1后全部相加,并化简,得:a a 1D 5 ( 1)4 3 2 12 a (a 1)23 a (a 1)34 a (a 1)41a 2 a 3 a 4 (a 2)2 (a 3)2(a 4)2 (a 2)3 (a 3)3 (a 4)3 (a 2)4 (a 3)4 (a 4)4(1)432 1( 1)43 (a 4)2(a 4)3(a4)4 1 a 3 (a 3)2 (a 3)3 (a 3)41 1 1a 2 a 1 a (a2)2(a 1)2a 2(a 2)3 (a 1)3 a 3 (a2)4 (a 1)4 a 410 Kx1 KD n xDm a n (『10 x K M M0 K按第一列展开,得D n 的递推公式0 0 0 0 0 0 M M x 1将上述各式的两边分别乘以 nn 1D n xa 2x n 2 La n 1X a nD 2n ( 1)2(2n 2)D 2D 2(n 1) (ad be) D 2( n 1)(ad bc)n1D 2 (ad bc)na ONONa b c d c解答b （其余未写出元素均为零）：将D 2n 中的第2n 行依此与第2n 1行,2n 再将第2n 列依此与第2n 例,2 n 3列,LK K3行丄，第2行对调, 习题8:。

行列式计算技巧

论行列式的计算方法方法1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。

注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。

然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111201111100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广] 循环行列式从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：令 0121101223411230n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==∴=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=++++这里用到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw n nw w k n w w w ππ-=∴=≠<<设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅==⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然为范德蒙行列式 110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=⋅⋅⋅⋅=⋅∴==⋅⋅⋅从而有：又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与011120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+⋅⋅⋅⋅==≠=++++=+++=即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w w w n n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏从而有：(-1)(-1)。

行列式化简计算技巧实题

行列式化简计算技巧和实题操练——Zachary一.技巧:技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a =技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212n n n n n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面1111121111121221222222122211212n n nn n ni n n n n n nnn n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a bb a b a b a a a a ==∏技巧4:行列式具有分行(列)相加性11121111211112111221212121212n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112112212121212n ns s sns t s t sn tnt t tn tt tn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积111111111111111111110000m m nm mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.解题方法:方法1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---方法2:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn ii i nna a a a a a a ==∏,112122112000nii i n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零方法3:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f j c c g k ddhl =方法4:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f jc g k dhl=方法5:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f jc kc g k dkdhl=实题操练：计算下列行列式的值: 习题1:120114318--- 解答:1201141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:4122131414233333333333333333333333333333133313331333001333001333013330000000ii x x x x x x c c x x x x x x x r r x x x x r r x x x x r r xx x xr r x x x xx=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------- 解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==习题7:12211000010000000001nn n x x x x a a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)00011,,,,,,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nD x D xD a x x D xD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:习题8:()aba b c dcd其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)0()()()n n n n nn n D n n n n n n a b c d abDa b cdcdD Dad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。

(完整版)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

2 1 0 2 1 0
12 1 11 2 （2） 0 1 1 0 1 1 （第二、三列互换）
2 1 0 2 0 1
1 （3） 1
5
10 1 0 0 （第一、二两行相等） 27
2 1 1 （4） 4 2 2 0 （第二、三列相等）
7 3 3
1 例 4（1） 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT . 注由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质 3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即
1 4 10
2 8 35
（2）
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
0 0 14
1 4 5 7
倍.
1 0 2 2 0 4
10 2
例 5 若 D 3 1 0 , 则 3 1 0 (2) 3 1 0 2D
1 2 1 1 2 1
1 2 1
4 0 2 10 2 又 12 1 0 4 3 1 0 4D .
1 23
例 1 计算三阶行列式 4 0 5 1 0 6
1 23 解 4 0 5 1 0 6 2 5(1) 3 4 0 3 0 (1) 1 5 0 4 2 6
1 0 6
10 48 58.
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
注: 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上,记作 ri krj ; 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作

行列式简便计算方法

行列式简便计算方法
1. 嘿，你知道行列式可以对角线法来简便计算吗？就像算2x2 行列式，主对角线上的数字相乘减去副对角线上的数字相乘，多简单呀！比如行列式2 3，那就是2×4 - 3×1 = 5，是不是超容易理解呀！
2. 哇塞，行列互换法也超好用的好不好！就像把行列式的行和列换个位置，有时候答案一下子就出来啦！比如3 4，行列互换后成3 4，答案还是
那个答案，轻松搞定呀！
3. 还有哦，按行或按列展开计算行列式很厉害呢！比如1 2 3，可以按第一行展开，计算一下子就简化啦，这招可牛了！
4. 呐，利用行列式的性质也很妙呀！像那些可以把行列式变简单的性质，能让计算变得轻松愉快呢。

比如2 0 3，利用性质把0 那一行或列处理一下，计算就不难啦，你说有趣不？
5. 嘿呀，特殊行列式的公式法简直是神器呀！有些特殊的行列式直接套公式就行啦，不用费力去想。

就像1 1 1这种，公式一套，答案就出来咯，多爽！
6. 哇哦，分块行列式的计算法也很有意思呢！把行列式分成几块来计算，就像把大难题拆成小问题逐一解决。

比如一个大行列式分成几个小的，分别计算后再组合，超有意思的！
7. 你们试过逐行相加法吗？就像做游戏一样，一行一行地处理行列式，让它慢慢变简单。

比如1 2 3，可以通过逐行相加找到简便算法哦，快来试试吧！
8. 还有啊，利用已知行列式的值来计算新的行列式也很赞呀！就好像有了参考答案一样，很快就能得出答案呢。

比如知道一个类似的行列式的值，那新的行列式就好算了呀！
9. 我觉得行列式的简便计算方法真的好多样好有趣啊！只要掌握了这些方法，行列式的计算根本不在话下，大家快去运用起来吧！。

行列式技巧简便计算

行列式技巧简便计算行列式啊，这玩意儿可真是数学里的一个奇妙存在！就好像是一个神秘的魔法盒子，你要是掌握了打开它的技巧，那可就太有意思啦！咱先来说说这行列式计算里的一个小窍门，就跟咱生活里找捷径一样。

有时候你看着那一堆数字，密密麻麻的，是不是感觉头都大啦？别急，咱有招儿呀！比如遇到那种有很多相同元素的行列式，嘿，这不就是机会嘛！咱可以利用这些相同元素的特点来简化计算，就像你知道了一条近路，能不开心嘛！还有啊，有时候行列式里会有些特殊的结构，这就好比是隐藏的宝藏线索。

你要是能敏锐地发现它们，那计算起来可就轻松多啦。

比如说有些行列式是对称的，或者有一些特殊的规律，这时候你就得像个侦探一样，仔细观察，找出这些关键信息。

你想想，这是不是很像你玩游戏的时候找到通关秘籍呀？再给你举个例子吧。

假如有个行列式，它的某一行或者某一列全是 1 或者其他的简单数字，那你就可以利用这一点来展开行列式呀。

这就像是你有了一把万能钥匙，能轻松打开那扇复杂的门。

你说这多有趣呀！计算行列式可不能死脑筋，得灵活多变。

就像咱过日子，不能一条道走到黑呀。

有时候换个角度想想，说不定就柳暗花明又一村了呢！而且，行列式的计算技巧那可是丰富多彩的，就跟咱生活中的各种小惊喜一样。

比如说，你可以通过行列式的性质，把它进行变形，变得更容易计算。

这就好像你把一件复杂的事情拆分成几个简单的步骤来做，是不是感觉轻松多啦？还有啊，行列式的展开定理也是个好东西，能让你一步一步地把复杂的问题给解决掉。

咱再说说这行列式和其他数学知识的联系。

它就像是一个大家庭里的一员，和其他的兄弟姐妹都有着千丝万缕的关系。

你要是能把这些关系都搞清楚，那在数学的世界里就能游刃有余啦！你说这是不是很神奇呢？总之啊，行列式技巧就像是隐藏在数学世界里的宝贝，等你去发现，去挖掘。

只要你有耐心，有细心，就一定能掌握这些奇妙的技巧。

到时候，你就会觉得计算行列式也不是那么难啦，反而是一件很有乐趣的事情呢！行列式技巧，真的值得你去好好探索一番呀！。

四阶行列式计算方法及技巧

四阶行列式计算方法及技巧
1. 嘿，你知道吗？计算四阶行列式可以先按行或列展开呀！就像搭积木一样，一层一层来。

比如行列式[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 1 2 3; 4 5 6 7]，我们就可以找一行或一列来展开计算，是不是很有意思？
2. 哇塞，还有一种技巧呢，就是利用行列式的性质化简呀！好比给行列式来个瘦身操。

举个例子，对于行列式[2 4 6 8; 1 2 3 4; 3 6 9 12; 5 10 15 20]，通过一些性质可以让它变得简单很多哦，你不想试试吗？
3. 嘿呀，观察法也很重要哦！要像侦探一样仔细观察行列式的特点。

比如说行列式[1 0 0 1; 2 3 4 5; 6 7 8 9; 10 11 12 13]，说不定一眼就能看出一些
特别的地方呢，多神奇啊！
4. 哦哟，别忘了特殊行列式的公式呀！这就像是个秘密武器。

比如遇到对角线行列式[1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 3 0; 0 0 0 4]，直接用公式就能快速算出结果啦，是不是超爽？
5. 哈哈，转换行列式的形式也有门道呢！就像变魔术一样。

打个比方，对于行列式[3 4 1 2; 6 8 3 4; 9 12 5 6; 12 16 7 8]，转换一下能让计算更容易，你难道不想掌握这个魔法吗？
6. 哎呀呀，行列互换也是个好用的招儿呀！这就好像乾坤大挪移。

就像行列式[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]，换一下行和列，可能会有
新发现哦！
我的观点结论：四阶行列式的计算方法和技巧真的很多很有趣，学会了就能在数学的世界里畅游啦！。

行列式的多种计算方法

例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b b a a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k =1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n n n n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列(1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B 和D 可逆，求A -1.例12 计算nn b b b a a a D 101000102121=例13 设：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A , BC T =0. 证明：|AA T|=|BB T||CC T |.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．例1：nn n n n D ⨯-=000100002000010解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式n21nn n 21nn n 21nn n 210*00000000*0000000)1(λλλλλλλλλλλλ===⨯⨯⨯下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nn n 21nn n 21nn n n 21)1(000000000000000)2(λλλλλλλλλλλλλ-⨯⨯⨯-===n n 次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式例2 nn n n D ⨯=001030100211111解：)11(!0000300002011111221,3,21∑∑==⨯=-=-=-nj nn nj C jC nj njn n j D j2.3 可化为箭形的行列式∏∑∏∑=∏===+===⨯--+=---+⨯------=------==≠=n 1i i i n1k 222n1k i iC C n,2j n 333222111n1i i i n 1133112211321r -r n 2,i n 321321321321)x ()1(10101)(x101-0101-0011-)(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,j11i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a ni a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k kkk n kk knn n n i i nn nn n n n解3 降阶法降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111+-=-++-+=-++=n b a ba b b b b ab a a b a a a b b a b a b a D n n n n n按第一列展开例4 升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算)()1(00000001c c c c 010010011r r r r ,r r 00011n nax 112ax 11nn 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n nn ax a n n D a x a x ax naa x a x a x a a aa x a x a x a a a xa a a x aa a x aa a D a x xaa a a x a a a a x a a a a x D 时当时当5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值:,)()(:,)()(0000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==n n n n n nn n n n nn nn nn n a x a D a x D a x a D a x a aa x a a x a a x D a x a a a a a x a a a a x a a a a x a x a a a x a a a x a a a x a a x a a a x aa a x a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x D])1([)()()1()()(])())[((1111122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n .)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121∑∑∑-=--==+=-≥+=+⋅=++=+=+=≠+++=n i in n ni in n i in nn a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例1121121212111110000000011111111111111111111---+=+=+++++=n n n n n nn D a a a a D a a a a a a a a D于是又归纳假设得：)11()11(12111121121∑∑=-=--+=++=ni in n i i n n n n a a a a a a a a a a a a D故对一切自然数n 猜得正确，即1),11(121≥+=∑=n a a a a D ni in n7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式例8nnn n nn nn n n n n x x x x x x x x x x x x D32122322213211111----=n 阶范德蒙行列式为∏≤<≤-----=nj i i jn nn n n nna aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111解构造n+1阶范德蒙行列式=)(x f 1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111+++-+--+++⨯+----------+++=n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n nn n n nn n n n n n n A x A x A x xA A x x xx x x x x x xx xx xx xx x x x∏≤<≤-⋅---=ni j j in x xx x x x x x 121)()())((1,1,++-==n n n n n A M D 由f(x)的表达式知，1-n x 的系数为∏∏≤<≤≤<≤+-+++=∴-+++-=ni j j in n ni j j in n n x xx x x D x xx x x A 1211211,)()()()(8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算例9 设nnn na a a a D1111=nnn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a D ++++++=221122221211212111解n nn n n nn n n n x a x a a x a x a a x a x a a D ++++++=221222221121211nnn n nn n n x a x a x x a x a x x a x a x +++++++2212222112121∑=+++++++=ni i nnn n n nn n n A x x a x a a x a x a a x a x a a 111221222221121211∑∑∑∑====+=+++==ni ij nj j ni i ni in n A x D A x A x D 1111119 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果例10211121112a a aa a a D n ------=解令a x -=1，由（拆项法例题结果）知∑∑==-++++=-++-+-+-+-++-+-+-+-++=ni nj ijn A a aa a a a aaa a a a a a a a D 11)1(10010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11n a n a D j i j i a A n n n ij -+++=∴≠= ⎝⎛-=-- 10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值例11nn nn n n n nn b a b a b a b a b a b a D ⨯++++++=212221212111解213))((0000001111001001001001122111321321==≥⎪⎩⎪⎨⎧--+=⋅=n n n b b a a b a b b b b a a a a D nn n例题。

行列式的例题

行列式的例题一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明2221112222221111112c b a c b a cb a b a ac c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得22222111112222211111b a ac c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左2222111122221111b a ac b a a c b a a c a a c b a a c b a a c b +++++++= 222111222111b ac b a c b a c a c b a c b a c b+= 222111222111a cb ac b ac b a c b a c b a c b += 2221112a c b a c b a c b ==右2．计算n 阶行列式nn n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=212221212111解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ，当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2）当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 011113131312121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n nn综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≥=--=+=3,02),)((1,212111n n b b a a n b a D n 。

3． n 阶行列式D 中每一个元素a ij 分别用数b i-j (b≠0)去乘得到另一个行列式D 1 ，试证明D 1=D 。

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行列式化简计算技巧和实题操练——Zachary一.技巧:技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a =技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212n n n n n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面1111121111121221222222122211212n n nn n ni n n n n n nnn n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a bb a b a b a a a a ==∏技巧4:行列式具有分行(列)相加性11121111211112111221212121212n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112112212121212n n s s sns t s t sn tnt t tn t t tn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积111111111111111111110000m m nm mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.解题方法:方法1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---方法2:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn ii i nna a a a a a a ==∏,11212211200nii i n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零方法3:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f j c c g k ddhl =方法4:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f jc g k dhl=方法5:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f jc kc g k dkdhl=实题操练：计算下列行列式的值: 习题1:120114318--- 解答:1201141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:4122131414233333333333333333333333333333133313331333001333001333013330000000ii x x x x x x c c x x x x x x x r r x x x x r r x x x x r r xx x xr r x x x xx=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------- 解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==习题7:12211000010000000001nn n x x x x a a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)00011,,,,,,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nD x D xD a x x D xD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:习题8:()abab c dcd其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)0()()()n n n n nn n D n n n n n n a b c d abDab cdcdD Dad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得。