图的存储、遍历及最小生成树

图的存储、遍历及最小生成树

图的定义

图（Graph ）是由一个用线或边连接在一起的顶点或节点的集合。是一种比线性表和树更为复杂的非线性数据结构，可称为图状结构或网状结构，前面讨论的线性表和树都可以看成是图的简单情况。

图G由两个集合V和E组成，记为：

G=(V，E)

其中：

V是顶点的有穷非空集合，

E是V中顶点偶对(称为边)的有穷集。

通常，也将图G的顶点集和边集分别记为V(G)和E(G)。E(G)可以是空集。若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边。

有向图和无向图

1．有向图

如图7.1 G2所示每条边都是有方向的，则称G为有向图(Digraph)。

（1）有向边的表示

有向边又称为弧，通常用尖括弧表示一条有向边， 表示从顶点v 到w 的一段弧，v 称为边的始点( 或尾顶点) ，w 称为边的终点，( 或头顶点)， 和 代表两条不同的弧。

【例】表示一条有向边，vi是边的始点(起点)，vj是边的终点。

注意: 和是两条不同的有向边。

（2）有向图的表示

【例】上面7.1图中G2是一个有向图。图中边的方向是用从始点指向终点的箭头表示的，该图的顶点集和边集分别为：

顶点集V={v 1 ,v 2 ,v 3 }

弧集E={< v 1 ,v 2 >,,< v 2 ,v 3 >,} 。

注意:

与 表示两条不同的边。

2．无向图

如图7.1G1中所示的每条边都是没有方向的，则称G为无向图(Undigraph)。

（1）无向边的表示

通常用圆括号表示无向边，(v,w) 表示顶点v 和w 间相连的边。在无向图中(v,w) 和(w,v) 表示同一条边，如果顶点v,w 之间有边(v,w) ，则v,w 互称为邻接点。

【例】无序对(vi，vj)和(vj，vi)表示同一条边。

（2）无向图的表示

【例】上面7.1图中的G1是无向图，它们的顶点集和边集分别为：

顶点集：V={v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }

边集：E={(v 1 ,v 2 ), (v 1 ,v 3 ), (v 1 ,v 4 ), (v 2 ,v 3 ), (v 3 ,v 4 )}

注意:

(v 2 ,v 1 ) 与（v 1 ,v 2 ）表示同一条边，(v 2 ,v 3 ) 与(v 3 ,v 2 ) 也表示同一条边，等等。3．图G的顶点数n和边数e的关系

（1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2

恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undireet-ed Complete Graph)

（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。

恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。

注意：

完全图具有最多的边数。任意一对顶点间均有边相连。

4.对图的讨论中我们对图作一些限制：

第一，图中不能有从顶点自身到自身的边（即自身环），就是说不应有形如（vx,vx)的边或 的弧。

第二，两个顶点vt和vu之相关联的边不能多于一条。

图的邻接矩阵

1．图的邻接矩阵表示法

在图的邻接矩阵表示法中：

①用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系

②用一个顺序表来存储顶点信息

2．图的邻接矩阵(Adacency Matrix)

设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：

【例】下图中无向图G5和有向图G6的邻接矩阵分别为Al和A2。

从图的邻接矩阵表示法中可以得到如下结论：

（1）对于n个顶点的无向图，有A（i，i）=0，1≤i≤n。

（2）无向图的邻接矩阵是对称的，即A（i，j）=A（j，i），1≤i≤n，1≤j≤n。

（3）有向图的邻接矩阵不一定对称的。因此用邻接矩阵来表示一个具有n个顶点的有向图时需要n2个单位来存储邻接矩阵；对有n个顶点的无向图则需存入上（下）三角形，故只需n（n+1）/2个单位。

（4）无向图的邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度TD（vi）。（5）有向图的邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的出度OD （vi）[或入度ID（vi）]。

3．网（带权值的图）的邻接矩阵

若G是网络，则邻接矩阵可定义为：

其中：

wij表示边上的权值；

∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。

【例】下面(a)是一个带权图，（b）是对应的邻接矩阵的存储结构

（a）带权图（b）邻接矩阵

4．邻接矩阵的图类

const int MaxVertices=10;

const int MaxWeight=32767;

class AdjMWGraph

{ private:

int Vertices[10]; //顶点信息的数组

int Edge[MaxVertices][MaxVertices]; //边的权值信息的矩阵

int numE; //当前的边数

int numV; //当前的顶点数

public: ………;//公有函数

private: ………;//私有函数

}

注意：

①在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点表及顶点数等均可省略）。

②当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。

③无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。

④邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n2)。