最新人教版2018-2019学年九年级数学上册《用待定系数法求二次函数解析式》综合检测题及解析
巧用待定系数法求二次函数的解析式
数学篇解法荟萃求二次函数的解析式是中考中常考的内容，我们通常采用待定系数法求解.利用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是设、代、解、列，即先设出适当形式的解析式，再代入条件，得到有关待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组求出待定系数，最后列出解析式即可.那么如何根据抛物线的特征设出适当形式的函数关系式呢？这就需要同学们开动脑筋，拓展思路，根据题目的特点灵活选择解析式的形式.一、设一般式求函数的解析式若题目已知二次函数图象上的三个点的坐标，可以设一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)求其解析式.方法是把三个点的坐标分别代入一般式中，构造关于a ,b ,c 的三元一次方程组，解方程组即可得到a 、b 、c 的值，从而求得正确的函数解析式.例1已知二次函数图像经过了D（-1，-10）、E （1，0）、F （3，18）三个坐标点，求解其函数解析式.解：设此二次函数解析式为y =ax 2+bx +c（a≠0），将D 、E 、F 的坐标代入可得ìíîïï-10=a -b +c ,0=a +b +c ,18=9a +3b +c ,解方程组得ìíîïïa =1,b -5,c =-6,由此可得，此二次函数的解析式为：y =x 2+5x -6.评注：若所给抛物线上三个点不是特殊点(即顶点、与x 轴的交点)，常设一般式求解；若已知抛物线经过原点时，则可直接设其解析式为y =ax 2+bx ；若已知抛物线的对称轴是y 轴，则可直接设其解析式为y =ax 2+c .二、设顶点式求函数的解析式当已知函数图象的对称轴或者最值以及顶点坐标时，可以设顶点式求函数解析式.当顶点在坐标原点，即顶点为(0，0)时，可设y =ax 2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点在y 轴上，即顶点为(0，k )时，可设y =ax 2+k (a ≠0)求函数的解析式；当顶点在x 轴上，即顶点为(h ，0)时，可设y =a (x -h )2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点不在坐标轴上，即h 、k 都不为0时，可设y =a (x -h )2+k (a ≠0)求函数的解析式.设定解析式后，先将顶点坐标或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入其中求出a 的值，即可得到抛物线的解析式.例2已知二次函数的顶点坐标为（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式.分析：已知二次函数的顶点坐标，可用顶点式来设抛物线的解析式，再将点（5，1）代入，即可求出二次函数的解析式．解：设此二次函数的解析式为y =a (x -4）2-2；∵二次函数图象经过点（5，1），∴a (5-4)2-2＝1，解得a =3，∴y =3(x -4)2-2=3x 2-24x +46．巧用待定系数法求二次函数的解析式甘肃省兰州市榆中县第六中学高艳32数学篇例3已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，求此二次函数解析式.分析：因为抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，所以抛物线的对称轴是直线x =3，可设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式．解：∵抛物线与x 轴的两交点间的距离为4，且顶点坐标为（3，-2），∴抛物线的对称轴是直线x =3，抛物线与x 轴的两交点的坐标是（1，0）和（5，0），设抛物线解析式为y =a (x -3)2-2，将点（1，0）代入得a =12，∴抛物线解析式为y =12x 2-3x +52．评注：设顶点式求解二次函数解析式，需要确定其顶点坐标的具体数值，只要知道了顶点坐标h 和k 的取值，那么在运算过程中只需求出a 的值，就能够得到二次函数的解析式.三、设交点式求函数的解析式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为A (x 1,0)、B (x 2,0)以及另一个点坐标，可以设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)求其解析式.将抛物线与x 轴两个交点的横坐标代入交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)，然后再将抛物线上另一点的坐标代入其中求出a ，最后将交点式化为一般式的形式即可.例3二次函数的图象过点A（3，0），B （-1，0）且与y 轴的交点为C （0，6）．求此二次函数的解析式.分析：由题意可设所求二次函数的解析式为y =a (x -3)(x +1)，将点C （0，6）代入所设解析式求出a 的值，即可求得所求二次函数的解析式；2∴可设其解析式为：y =a (x -3)(x +1)，又∵其图象过点（0，6），∴6=a （0-3）（0+1），解得a =-2，∴所求二次函数的解析式为：y =-2(x -3)(x +1)，即y =-2x 2+4x +6；评注：若已知二次函数y=ax 2+bx +c （a 不等于零）和x 轴相交的坐标点分别为A （x 1,0）和B （x 2,0），那必然存在ax 21+bx 2+c =0，即x 1和x 2是一元二次方程的两个根，ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).由此将其解析式设为交点式来求解更加方便.总之，在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．只有选择最合适的解题方式才能让我们的解题更加高效.上期《<相似>拓展精练》参考答案1.D ；2.D ；3.D ；4.D ；5.32；6.5；7.3或65或545；8.16；9.证明过程略．10.解：由题意得：∠ABD =∠DEO =∠NPO =90°，PM =PN =4.6，BD ∥OE ，∴∠ADB =∠DOE ，∴△ADB ∽△DOE ，∴AB BD =DE EO ，∴1.53=0.6EO ，解得：EO =1.2，∵∠DOE =∠NOP ，∴△DEO ∽△NPO ，∴DE EO =NP PO ，∴0.61.2=4.6PO ，解得：PO =9.2，解法荟萃。
最新人教版九年级数学上册《第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式》精品教学课件
状元成才路
4.已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： (1) (1, 1),(0, 2),(1,1); (2) (1,0),(3,0),(1, 5).
解：（1）选用一般式求解析式： y 2x2 x 2
（2）选用交点式求解析式：
y 5 x 12 5
4
状元成才路
根据已知条件选设函数解析式： 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择 适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； ②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶 点式； ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式； ④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对 称轴）.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
4a+2b+c=7
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
∴解方程组得：a=2, b= -3, c=5 因此，所求二次函数是：y=2x2-3x+5.
状元成才路
任意两点的连 线不与y轴平行
归纳
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定 系数a，b，c的值。
状元成才路
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
状元成才路
归纳
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般 步骤: 第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k. 第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
人教版数学九年级上册22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式教案
4.通过实际例题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
我们将结合教材中的例题和练习题，让学生在实际操作中掌握待定系数法求二次函数解析式的步骤和应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑思维能力，通过对二次函数解析式的推导和求解，使其能运用待定系数法进行数学建模，提高分析问题和解决问题的能力；
2.强化学生的数据运算能力，使其能够准确、熟练地进行待定系数法的相关计算，增强数学运算的准确性；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用待定系数法求二次函数解析式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过几个点来确定一个抛物线方程的情况？”（例如，抛球运动的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数解析式的奥秘。
为了帮助学生突破这些难点，教师应当采用以下教学方法：
-通过具体例题，逐步引导学生理解待定系数法的原理和步骤；
-在运算过程中，提供详细的步骤解释和注意事项，强调运算的准确性；
-利用图像辅助教学，帮助学生直观地理解二次函数的性质，从而更好地将实际问题转化为数学模型；
-设计不同难度的练习题，让学生在逐步挑战中巩固知识点，提高解决问题的能力。
其次，关于教学难点和重点的讲解，我尝试通过生动的案例和详细的步骤解释来帮助学生理解。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。但我也注意到，部分学生在面对复杂运算时还是感到困惑，这可能是因为我在讲解过程中没有充分考虑到他们的接受程度。因此，我决定在接下来的课程中，适当放慢讲解速度，让学生有更多时间消化吸收。
部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲 解析版含答案
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》教案、教学设计
九年级的学生已经在之前的学习中掌握了二次函数的基本概念、图像及其性质，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对于用待定系数法求二次函数解析式这一内容，虽然在理论上有一定的认知，但在实际操作中，可能仍存在以下问题：对于待定系数法的理解不够深入，难以灵活运用；在求解过程中，对于参数的选择和方程组的建立可能存在困难。此外，学生对于将实际问题抽象为二次函数模型的能力有待提高。因此，在教学过程中，应注重引导学生理解待定系数法的原理，通过实例分析，培养学生的建模能力和解决问题的策略。同时，关注学生的个体差异，给予不同层次的学生有针对性的指导，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
4.分层教学，关注个体差异
针对不同层次的学生，设置不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，加强对学困生的辅导，帮助他们克服困难，提高自信心。
5.及时反馈，巩固提高
在教学过程中，及时了解学生的学习情况，对学生的疑问进行解答，巩固所学知识。通过课堂练习、课后作业等形式，检验学生的学习效果，促使学生主动复习，提高知识掌握程度。
（二）讲授新知，500字
1.教师讲解待定系数法的原理，通过具体实例解释如何将实际问题抽象为二次函数模型，并引导学生理解待定系数法的基本步骤。
2.分步骤讲解待定系数法的求解过程，强调参数的选择和方程组的建立，让学生掌握求解二次函数解析式的方法。
3.结合课本例题，教师示范解题过程，强调注意事项，提醒学生关注细节。
6.拓展延伸，激发创新
在学生掌握基础知识的基础上，适当拓展延伸，引导学生探索二次函数在其他领域的应用，如物理、几何等，培养学生的创新意识和综合运用能力。
7.总结反思，提升素养
在教学结束时，组织学生进行总结反思，回顾学习过程，总结用待定系数法求二次函数解析式的关键步骤，提升学生的数学素养。
最新人教版九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》精品教案
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，依题意得：⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐＝k来求出相应的数．标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y＝2x2＋8x＋5.方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n.【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.方法总结：y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k.【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
专题1：用待定系数法求二次函数解析式
专题1：用待定系数法求二次函数解析式一、【经典例题】1.（1）如果一个二次函数的图象经过（－1,-11）（2,8）（0,-8）三点，求出这个二次函数的解析式.（2）如果一个二次函数的顶点为(2,1)且经过点（0,3），求出这个二次函数的解析式.（3）已知二次函数的图象与x 轴交于A （—2,0）,B （6,0）两点，与y 轴交于点C （0,- 4）求二次函数解析式.2.如图,已知抛物线的对称轴为直线x=-1,且经过A （1,0），B （0，-3）两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上,是否存在点M,使它到点A 的距离与到点B 的距离之和最小,如果存在求出点M 的坐标,如果不存在请说明理由.()20y ax bx c a =++≠3．如图，抛物线的开口向下，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ．已知C （0，4），顶点D 的横坐标为﹣，B （1，0）．求抛物线的解析式；二、【练习】1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）A ．y ＝2x 2+x+2B ．y ＝x 2+3x+2C ．y ＝x 2﹣2x+3D ．y ＝x 2﹣3x+2 2．二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，-3），（3，0）．（1）求b 、c 的值； （2）求该二次函数图象的顶点及坐标和对称轴．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点A 在x 轴的正半轴上，BC 与y 轴交于点D ，点C 的坐标为（﹣3，4）．（1）点A 的坐标为 ；（2）求过点A 、O 、C 的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；4．(如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B 、C 两点的抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =．求A 点的坐标及该抛物线的函数表达式.5.如图，ABCD中，A（﹣1，0），B（0，2），BC＝3，求经过B、C、D的抛物线的解析式．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y＝x2+bx﹣2过点C．求抛物线的解析式．。
九年级上-待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法求二次函数的解析式知识集结知识元利用一般式求二次函数的解析式知识讲解已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.例题精讲利用一般式求二次函数的解析式例1.'二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：求此二次函数的解析式．'例2.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'例3.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'利用顶点式求二次函数的解析式知识讲解当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.例题精讲利用顶点式求二次函数的解析式例1.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3例2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4例3.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．例4.'已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．'利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式知识讲解当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.例题精讲利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式例1.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．例2.抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）B．C．D．A．例3.过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（﹣1，5）D．（2，）例4.'已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．'顶点在原点的二次函数解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲顶点在原点的二次函数解析式的求法例1.若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）A．-2 B．2C．±2 D．4例2.'抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．'例3.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.例题精讲顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．例2.已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式为．例3.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：（1）与x轴只有唯一的交点；（2）判别式等于0；（3）图象不在x轴上方（或下方）；（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.例题精讲顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）A．4B．8C．-4D．16例2.若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）A．B．-1C．D．或例3.'如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．'过原点的二次函数的解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲过原点的二次函数的解析式的求法例1.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．例2.'二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析式．'例3.'已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．'例4.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'与长度相关的解析式的求法知识讲解在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与长度相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x轴交于A、B 两点，且AB=8．求函数解析式．'例2.'如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．'例3.'在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．'与面积相关的解析式的求法知识讲解在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与面积相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．'例2.'在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．'例3.'已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．'利用几何综合性质求函数解析式知识讲解利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.例题精讲利用几何综合性质求函数解析式例1.'如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．'例2.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'例3.'已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点①用含a的式子表示点D的坐标；②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．'当堂练习单选题练习1.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2练习2.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．练习3.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．练习4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．练习5.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4练习1.已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．练习2.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．练习3.若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．练习4.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．解答题练习1.'如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．'练习2.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'练习3.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'练习4.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．'练习5.'已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．'练习6.'如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．'练习7.'直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．'练习8.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．'练习9.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'练习10.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'练习11.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'。
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26.1.5节《用待定系数法求二次函数的解析式》是本册教材的重要内容之一。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的，旨在让学生通过待定系数法求解二次函数的解析式，从而更好地理解和掌握二次函数的知识。
本节教材主要分为两个部分，第一部分是待定系数法的引入和解释，第二部分是待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
在第一部分中，教材通过例题和练习题让学生理解待定系数法的概念和原理；在第二部分中，教材通过例题和练习题让学生掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
二. 学情分析在九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象，但是对于待定系数法的理解和应用还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，能够运用待定系数法求解二次函数的解析式，并能够通过练习题进行巩固和提高。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是待定系数法的理解和应用。
在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和练习法相结合的教学方法。
首先，我会通过讲解和示例让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理；然后，我会通过布置练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和动画等，来帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.引入：通过复习二次函数的一般形式和图象，引导学生思考如何求解二次函数的解析式。
2.讲解：讲解待定系数法的概念和原理，并通过示例让学生理解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。
我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。
即假设a、b、c的值为未知数。
2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。
在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。
3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。
4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。
下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。
例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。
解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。
首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。
现在我们得到了a=3-2c和b=c。
将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。
人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.6节《用待定系数法求二次函数的解析式》是二次函数内容的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式，了解了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是用待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法是解决这类问题的基本方法，对于学生来说是一个重要的数学方法。
本节课的内容对于学生来说难度较大，需要学生具有较强的逻辑思维能力和转化能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和图象性质有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用已学的知识，对于待定系数法的运用还不够熟练。
此外，学生的逻辑思维能力和转化能力还有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，能够运用该方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用待定系数法，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入待定系数法求二次函数的解析式。
2.自主学习：让学生自主探究待定系数法的步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法。
4.教师引导：教师针对学生的讨论进行点评和指导，帮助学生解决问题。
5.巩固练习：给学生提供一些练习题，让学生运用待定系数法解决问题。
6.总结归纳：教师引导学生总结待定系数法的运用方法和注意事项。
人教版九年级数学上册用待定系数法求二次函数解析式
所以：a(0＋1)(0－3)＝－3 得： a＝1
故所求的抛物线解析式为 y= (x＋1)(x－3) 即：y=x2－2x－3
人 教版九 年级数 学上册 用待定 系数法 求二次 函数解 析式
人 教版九 年级数 学上册 用待定 系数法 求二次 函数解 析式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 __y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为__y_=_a_(_x_-h_)_2_+_k_(_a_≠_0) 3(x、2,0已),通知常抛设物解线析与式x 轴为的__两_y_个=_a_交(_x_-点_x_1()_x(_x1,_-0x)2、) (a≠0)
人 教版九 年级数 学上册 用待定 系数法 求二次 函数解 析式
2
已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图 象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点 （3，-6），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2） 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
因此所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
人 教版九 年级数 学上册 用待定 系数法 求二次 函数解 析式
人 教版九 年级数 学上册 用待定 系数法 求二次 函数解 析式
最新人教版九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》优质教案
第二十二章二次函数22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式学习目标：1.会用待定系数法求二次函数的表达式.2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.难点：会用待定系数法求二次函数的表达式.一、知识链接1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？二、要点探究探究点1：用一般式法求二次函数的表达式问题1 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式. 要点归纳：用一般式法求二次函数表达式的方法已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.练一练下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的表达式.试一试已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-1，0)．求这个二次函数的解析式；例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 要点归纳：用顶点法求二次函数的方法已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.练一练已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．探究点3：用交点法求二次函数的表达式问题选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)，试出这个二次函数的表达式.要点归纳：用交点法求二次函数表达式的方法已知抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；（3）如图，图象经过A，B，C三点．三、课堂小结.2.过点(2，4)，且当x=1时，y 有最值为6，则其表达式是 .3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．4.已知抛物线与x 轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．5.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A(－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积． 参考答案 自主学习 知识链接 1.2个 2个2.(1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式） 课堂探究 二、要点探究探究点1：用一般式法求二次函数的表达式问题 （1）3个 由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式. （2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c.由已知，图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，得关于a ，b ，c 的三元一次方程组10,4,427,a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,3,5.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所求二次函数解析式为y=2x 2-3x+5. 例1 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax 2+bx+c ，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得4214,93110,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,23.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求的二次函数的表达式是2331.22y x x =-+ 练一练 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax 2+bx+c ，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax 2+bx+c 得930,0,3,a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩解得1,4,3.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的表达式是y=-x 2-4x-3.探究点2：用顶点法求二次函数的表达式试一试 解：把（-1，0）代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=-1，则函数解析式为y=-(x-1)2+4. 例2 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点（0,1），可得1=a(0-8)2+9.解得a=1.8-∴所求的二次函数的解析式是y=()28189.x --+ 练一练 解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），设关系式为y=a(x-5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，解得a=1.3-∴二次函数的关系式为y=()25134.x --+探究点3：用交点法求二次函数的表达式问题：解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x 1)(x-x 2).其中x 1、x 2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x 2-4x-3.例3 解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a ·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x 2+4x-3.（2）解：∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，解得a=2.3-∴抛物线的解析式为y=()2223 3.x +-+（3）根据图象可知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1，0），B （0，-3），C （4，5）三点，代入可得0,3,1645,a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,2,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的表达式是y=x 2-2x-3.当堂检测 1.234y x =2.y=-2(x-1)2+6 3.解：设这个二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．依题意得5,4,1,a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得2,3,4.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴这个二次函数的表达式为y ＝2x 2＋3x －4.4.解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a ＝－1，所以所求抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y ＝－x 2＋1.5.解：(1)把点A(－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴ 2b- ＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的表达式是y ＝x 2＋6x ＋5.(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴S △BCD ＝12×8×7＝28.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
最新人教版九年级上册数学第22章二次函数第19课时用待定系数法求二次函数解析式——顶点式和交点式
对点范例
2. 已知二次函数图象经过点(-1，0)，(1，-8)和(3，0)，则 它的解析式为____y_＝__2_x_2_-_4_x_-_6__________.
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典例精析
【例1】已知二次函数的图象过点(4，-3)，并且当x=3时， y有最大值4，求这个二次函数的解析式.
解：由题可知顶点坐标为(3,4),则设二次函数的解析式 为y=a(x-3)2+4. ∵函数图象过点(4，-3), ∴-3=a(4-3)2+4.解得a=-7. ∴该函数的解析式为y=-7(x-3)2+4.
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思路点拨：根据条件可知抛物线的顶点坐标为(3，4)，故可 设解析式为y＝a(x-3)2+4，再将点(4，-3)代入求出a值，即 可回代确定其解析式.
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举一反三
1. 若二次函数的图象的顶点为 求该二次函数的解析式.
，且经过点(-2，1)，
解：∵二次函数的图象的顶点为 ∴可设函数解析式为y＝a(x-1)2- . ∵函数图象经过点(-2，1)， ∴9a- ＝1. 解得a＝ . ∴二次函数的解析式为y＝ (x-1)2- .
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对点范例
1. 若二次函数顶点坐标为(2，3)，且过点(1，5)，则 二次函数解析式为___y_＝__2_(_x_-_2_)_2_+_3______.
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知识重点
知识点二 利用交点式求解析式 方法步骤： (1)设二次函数的解析式为y＝__a_(_x_-_x_1)_(_x_-_x_2_)______(a≠0)； (2)代入抛物线与x轴两个交点的横坐标与另一个点的坐标， 列出一元一次方程； (3)解出待定系数a; (4)回代写出解析式，并化为一般式.
九年级数学人教版(上册)小专题4 求二次函数的解析式
D(0，4)，求这个二次函数的解析式．
解：∵二次函数 y＝ax2－5ax＋c 的图象过点 D(0，4)，∴c＝4.
∵二次函数 y＝ax2－5ax＋c 的最小值为－94，
∴4a·4－（－5a）2＝－9且
4a
4
a＞0.
∴a＝1.
∴这个二次函数的解析式是 y＝x2－5x＋4.
类型 2 利用平移、对称求二次函数解析式 4．已知抛物线 y＝－x2＋2x＋1. (1)向右平移 3 个单位长度，向下平移 2 个单位长度得到的函数 解析式是 y＝－(x－4)2(或y＝－x2＋8x－16) ． (2)沿 x 轴翻折所得抛物线解析式为 y＝(x－1)2－2(或y＝x2－2x －1) ． (3)沿 y 轴翻折所得抛物线解析式为y＝－(x＋1)2＋2(或y＝－x2 －2x＋1) ．
(1)二次函数的平移变化 ①抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向左(右)平移 m(m＞0)个单位长度，得 到抛物线 y＝a(x±m)2＋b(x±m)＋c； ②抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向上(下)平移 n(n＞0)个单位长度，得 到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n.
(2)二次函数的对称变化 ①关于 x 轴对称
h)2＋k.
第二十二章 二次函数
小专题4 求二次函数的解析式
类型 1 利用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数的图象经过点 A(1，－2)和 B(0，－1)，且对称
轴为直线 x＝1，求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
a＋b＋c＝－2， a＝1，来自根据题意，得c＝－1，
设二次函数为 y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)，
∵二次函数图象经过 B(4，0)，A(－1，0)， ∴y＝a(x－4)(x＋1)， 把点 C(0，2)代入 y＝a(x－4)(x＋1)，得－4a＝2， 解得 a＝－12. ∴y＝－12(x－4)(x＋1)＝－12x2＋32x＋2.
专题(五) 用待定系数法求二次函数解析式课件(人教版)
解：(1)y＝x2－2x－3 (2)抛物线C1向左平 移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐 标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)， 即y＝x2＋4x
5．如图，直线 l 过点 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内交于点 P，若 S△AOP＝92，求二次函数的解析式．
解：易求直线 AB 的解析式为 y＝－x＋4，∵S△ AOP＝29，∴12×4×yp＝29，∴yp＝94，∴94＝－x＋4，解得 x＝74，把点 P 的坐标(74，94)代入 y＝ax2，解得 a＝3469， ∴y＝3469x2
五、已知图形变换求解析式
6．如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0) ，C(0，－3)．
(1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐 标原点，并写出C2的解析式．
五、已知图形变换求解析式
6．如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0) ，C(0，－3)．
三、已知抛物线与x轴的交点求解析式 已知抛物线与x轴两交点坐标：设y＝a(x－x1)(x－x2)求解 3．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3， 0)，求这条抛物线的解析式．
解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可 表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3
九年级上册人教版数学
专题(五) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
人教版九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》教学设计
第1课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标1．掌握二次函数解析式的一般形式，用待定系数法求二次函数的解析式．2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．3．能根据二次函数的图象，用待定系数法求二次函数的解析式．重点难点重点二次函数的解析式的一般形式难点二次函数的解析式的一般形式教学设计一、复习引入1．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________2对于求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)需要几个独立的条件？这节课我们来学习用待定系数法求二次函数解析式二、例题讲解例根据下列条件求二次函数的解析式：(1)二次函数图象经过点A(－1，0)，B(1，4)，C(2，－7)；求出这个二次函数的解析式(2；二次函数图象经过点（1,1），（-1,4）（0,4）求出这个二次函数的解析式(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．说明：本题给出求抛物线解析式的解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；三、巩固新知课本40页练习1题，2题。
四。
课堂小结1.本节课你学到了什么？2.用待定系数法求二次函数解析式的步骤是什么？五．反馈检测已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当x>1时,y随x的增大而增大。
当x<1时，y随x的增大而减小，且经过（0,3），（3,6）求这个二次函数的解析式六、作业布置课本42页10题，11题。
七．教学反思1.学生能熟练代数值为三元一次饭方程组。
2.学生基础太差对三元一次方程组解法不过关，3.因学生原因，本节课只学一种求解析式的方法。
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《22.1.5 用待定系数法求二次函数解析式》一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+32．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣33．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣34．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣35．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 ﹣﹣2 ﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x27．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+28．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为______．10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为______．11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是______．12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a______b．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是______．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为______．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．《22.1.5 用待定系数法求二次函数解析式》参考答案与试题解析一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+3【解答】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，把（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）代入得解得，所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，故选：D．2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．故选：B．3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，代入方程组得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，故选B4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．故选：C．5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 ﹣﹣2 ﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣）和（2，﹣），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把（﹣1，﹣1）代入得4a ﹣2=﹣1，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x ﹣1）2﹣2=x 2﹣x ﹣．故选A ．6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=﹣2x 2B ．y=2x 2C ．y=﹣x 2D ．y=x 2【解答】解：设此函数解析式为：y=ax 2，a ≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x 2．故选：C ．7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣x 2﹣x+2C ．y=﹣x 2﹣x+1D ．y=﹣x 2+x+2【解答】解：A 、由图象可知开口向下，故a ＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，∴a＞0，﹣＞0，因此b＜0，∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，∴c＜0，∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．故选：A．二、填空题：9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x﹣3 ．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3．10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为y=（x﹣3）2+1 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，所以a=，所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．【解答】解：∵y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4=0，解得c=4，故答案为：4．12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a ＞b．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，故答案是：＞．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3 ．【解答】解：据题意得解得∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是y=﹣x2﹣2x+3 ．【解答】解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式y=（x﹣2）2﹣1 ．【解答】解：因为开口向上，所以a＞0∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2∵y轴的交点坐标为（0，3），∴c=3．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是①③④．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故答案为：①③④．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵顶点C到x轴的距离为2，∴C点坐标为（1，2）或（1，﹣2），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把C（1，2）代入得a×3×（﹣3）=2，解得a=﹣，所以此时抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+；把C（1，﹣2）代入得a×3×（﹣3）=﹣2，解得a=，所以此时抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．故答案为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=x2+x．所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），把（0，﹣2）代入得a•1•（﹣5）=﹣2，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣x﹣2．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．设OP=x，则PA=PC=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵m＞0，∴x=﹣=﹣＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=﹣m＜0，x1•x2=﹣m2＜0，∴x1与x2异号，又∵=＞0，∴OA＞OB，由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x1＜0，x2＞0，∴OA=|x1|=﹣x1 ，OB=x2，代入得： =，=，从而，解得m=2，经检验m=2是原方程的根，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（3）解：当x=0时，y=﹣m2∴点C（0，﹣ m2），∵△ABC是直角三角形，∴AB2=AC2+BC2，∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2∴﹣2x1•x2=m4∴﹣2（﹣m2）=m4，解得m=，∴S△ABC=×AB•OC=|x1﹣x2|•=×2m×m2=．。