中考数学专题训练 压轴题(含解析)

压轴题

1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；

（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为

58，⊙Q 的半径为2

3

；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033

y x =-

+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．

当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，

∵t>2.5，∴

符合条件．

②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，

∵t>2.5，∴

符合条件．

综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．

（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（

10

9

,

531）

。 2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）(31)E ，；(12)F ，．

（2）在Rt EBF △中，90B ∠=o

， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．

设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，Q 顶点(1

2)F ，， ∴设抛物线解析式为2

(1)2(0)y a x a =-+≠．

①如图①，当EF PF =时，22

EF PF =，2

2

1(2)5n ∴+-=．

解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+

（第2题）

②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，2

2

(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得5

2

n =-（舍去）．

③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于

y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于

点M N ，，则点M N ，就是所求点．

(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．

43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．

又5EF =Q ，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是55

3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，AD ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;

②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;

（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;

（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。

解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．

②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x . 又∵ＢＧ＝2x ，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x －1，∴０＜2x －1≤１，∴

1

12

x

2

DE×DF=)()12112x x --

=2326x x -

+- 当3

4

x =

时，48max S =.

（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，则两三角形相似，

此时可得ＤＦ＝ＤＧ 即121x x -=-

解得：23

x =

． C B 第3题

C

B

②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt∠，则两三角形相似，

此时可得ＤＦ＝12ＥＦ＝1

4ＢＰ， 即114x x -=．解得：4

5

x =．

4、如图，二次函数c bx x y ++-=2

4

1的图像经过点()()4,4,0,4--B A ， 且与y 轴交于点C .

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；

（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，

∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440，解得⎪⎩⎪⎨⎧

==2

21c b ，

∴二次函数解析式为22

1

412++-

=x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，则在AOC Rt ∆中，