第26-28讲平面几何(二)
六年级下册数学整理和复习图形与几何第2课时平面图形的认识与测量(2)PPT
2 m ＝100.48（米） 答：这条道路的面积是188.4平方米，
外沿周长是100.48米。
6.草地上有一间房子，占地形状是边长4米的正方形。
一只羊被拴在房子的外墙角处，已知栓羊的绳子长6
米，这只羊能吃到草的面积是多少平方米？
如图，羊能吃到草的面积由三个扇形组成。
2m
3.14×62×－34 ＋3.14×(6－4)2×－12
6
6 a
h b
10.5
周长：6×2＋10.5＋7.5＝30（m）
面积： （6＋10.5）×6÷2 ＝16.5×6÷2 ＝49.5（m2）
1.计算下面各图形的周长和面积。（单位：m）
周长： 3.14×6÷2＋6+5×2
6
＝9.42＋ 6 +10
＝25.42（m）
面积： 3.14×(6÷2)2÷2 ＋5×3
平面图形的面积计算公式 圆的面积＝圆周率×半径的平方 把一个圆分成若干份，剪拼成一个近似的长方形， 这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于 圆的半径。
r
πr
平面图形的面积计算公式
长方形的面积＝长×宽 S＝ab 正方形的面积＝边长×边长 S＝a2
平行四边形的面积＝底×高 S＝ah 三角形的面积＝底×高÷2 S＝ah÷2
x cm
梯形面 积减扇 形面积
扇形面积 减三角形 面积
(10＋x)×10÷2＝107 10＋x＝21.4 x＝11.4
答：x的值是11.4。
课后作业
01 课后练习第6题。 02 相关练习。
a
把正方形看作长和宽相等的长方形。 a
平行四边形的面积＝底×高
通过割补、平移转化为长方形。
MBA联考数学-平面几何与解析几何(二)
MBA联考数学-平面几何与解析几何(二)一、问题求解(总题数：37，分数：111.00)1.三角形的周长为10，有一条边长为4，则它的面积的最大值为( )．A.B.C.D.E. √利用13题的结论．2.设A，B是两个圆(x-2)2+(y+3)2=5和(x-1)2+(y+1)2=3的交点．求过A，B的直线方程．填空项1:__________________ （正确答案：2x-4y-9=0．）见30题．3.两个半径都为r的圆盘的圆心间的距离也是r，则它们的公共部分的面积为( )．A.B.C.D. √E.见图6-87，所求面积=两个扇形面积-菱形面积．4.如图6-58中，△ABC的面积为1，且△AEC，△DEC，△BED的面积相等，则△AED与△ABC的面积之比是( )．A.B. √C.D.E.5.过点A(2，0)向圆x2+y2=1作两条切线AM和AN，(如图6-59)，则两切线与圆所围成的图形面积(图中阴影部分)为( )．A.B.C.D.E. √6.球内接等边圆锥体积与球体积之比为( )．A.B.C.D. √E.7.在边长为1的正方形ABCD内画两条半径1的圆弧：以A为圆心的BD弧，以B为圆心的AC弧，它们的交点为E，如图6-66．则曲边三角形CDE的面积为( )．A.B.C. √D.E.如图6-93，连接BE，AE，△ABE是等边三角形，∠CBE=∠EAD=30°．S曲边△CDE=S正方形ABCD-2S扇形BCE-S△ABE8.过点A(-1，2)，且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为( )．(A) x-y+3=0 (B) x+y-1=0 (C) x-y+3=0或y=-2x(D) x+y-1=0或y=-2x (E) x-y+1=0或y=2xA.B.C.D. √E.(1)直线过原点．y=kx，点A(-1，2)在直线上，k=-2，y=-2x．9.已知两点P1(3，-2)，P2(-9，4)，线段P1P2与25轴的交点Pλ，则有( )．A.B.C.D. √E.10.已知△ABC的两个顶点的坐标：A(1，0)和B(5，0)，并且C在Y轴上，要使得△ABC的外接圆和Y轴相切，则C的坐标为( )．A.B. √C.D.E.11.直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4a=( )．(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) O (E) 以上结论均不正确A.B.C.D. √E.12.已知点M1(6，2)和M2(1，7)，直线y=mx-7与线段M1M2的交点M3:2，则m的值为( )．A.B.C.D.E. √13.球的表面积为S，则它的体积为( )．A.B.C. √D.E.14.等边圆柱轴截面的面积是32，那么它的侧面积是( )．(A) 8π (B) 16π (C) 32π (D) 48π (E) 64πA.B.C. √D.E.15.一个棱长为3 cm的正方体所有表面油成红漆，再切割成棱长为1 cm的小正方体，仅一面为红色的小正方体的个数为( )．(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12A.B. √C.D.E.16.平行四边形ABCD的边AB和BC所在直线分别为2x-y-5=0，3x+2y+6=0BD所在直线的方程．填空项1:__________________ （正确答案：17x+2y-2=0．）用直线束比较简单．17.如图6-70，直角△ABC中，AB为圆的直径，且AB=20，若面积Ⅰ比面积Ⅱ大7，那么△ABC的面积S△ABC 等于( )．(A) 70π (B) 50π (C) 50π+7 (D) 50π-7 (E) 70πA.B.C.D. √E.18.把一个半球削成底半径为球半径一半的圆柱，则球体积与圆柱体积之比为( )．A.B.C.D.E. √19.A，B是两个不同点，则一个圆到A和B距离相等的切线( )．(A) 有2条，3条或4条 (B) 一定有4条 (C) 有2条或4条(D) 一定有2条 (E) 一定有3条A. √B.C.D.E.到A和B距离相等的切线有两类，和AB平行或过AB的中点．前者有两条，后者的条数随AB的中点的位置而不同．20.直角三角形的一条直角边长度等于斜边长度的一半，则它的外接圆面积与内切圆面积的比值为( )．A.B.C.D.E. √21.实数x，y，满足(x-1)2+(y+2)2=5，求x-2y的最大值．填空项1:__________________ （正确答案：10．）最大值在平行于x-2y=0的切线(下面那条)上达到．22.两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0公共弦所在的直线方程是( )．(A) x+2y+4=0 (B) x-2y-4=0 (C) x+2y-4=0(D) x-2y+4=0 (E) 以上结果均不正确A.B.C.D. √E.C2-C1：4x-8y+16=0，x-2y+4=0．23.如图6-71，直角梯形ABCD上底长5，下底长7，高为4，△ADE，△ABF与四边形AECF面积相等，则△AEF的面积是( )．A. √B.C.D.E.24.三角形的面积为60cm2，有一条边长为10cm，则它的周长的最小值为( )cm．(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 35 (E) 36A.B.C.D.E. √见图6-89．设AB边长10 cm，则C在平行于AB，并且和AB的距离为12 cm的直线l上变动．设A'是A 关于直线l的对称点，则三角形的周长=10 cm+折线A'CB长，当A'，C，B共线时最短．25.底半径为5的等边圆锥，它的侧面积为( )．(A) 15π (B) 20π (C) 25π (D) 40π (E) 50πA.B.C.D.E. √26.如图6-65，长方形ABCD中，AB=10 cm，BC=5 cm，以AB和AD的面积为( )cm2．A.B.C.D. √E.图中阴影部分的面积等于的面积减去曲边四边形ABCF的面积，而曲边四边形ABCF的面积又等于长方形ABCD的面积减去的面积．27.直角三角形ABC的斜边AB=13 cm，直角边AC=5cm，把AC对折到AB上去与斜边相重合，点C与点E重合，折痕为AD，如图6-63．则图中阴影部分的面积为( )cm2．A.B. √C.D.E.设DE=x，则CD=DE=x．28.z=5x+y的最大值为( )．(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 以上结果均不正确A.B.C.D. √E.29.如图6-67，⊙O直径AB=10 cm，C是AB弧的中点，ABD是以AB为半径的扇形，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.B. √C.D.E.如图6-94，连接OC，△OBC是等腰直角三角形．注：如果我们连接AC，S弓形AC=S弓形BC，则可直接得到S阴影=S扇形ABD-S△ABC．30.梯形ABCD(AB∥DC)中，∠A=∠DBC(见图6-49)，AB:DC=25:16，则AD:BC=( )．(A) 2 (B) 16:25 (C) 4:5 (D) 25:16 (E) 5:4A.B.C.D.E. √两个三角形相似．注意对应关系．31.如图6-62，已知BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，则在下列四个结论中正确的是( )．①BC∥AE ②ABCD是平行四边形③∠C=65°④△EFD是正三角形(A) ①② (B) ①③ (C) ①②③ (D) ②③④ (E) ③④A. √B.C.D.E.∠C=180°-(∠CBF+∠CFB)=50°=∠EDF，有BC∥AE，①正确；③不正确．由BC∥AE得∠E=∠CBF=65°，④不正确．∠ABF=∠CBF=65°，∠A=180°-(∠E+∠ABF)=50°=∠EDF，AB∥DC，ABCD是平行四边形，②正确．32.梯形ABCD下底AB和上底CD的长度比为3:2，E是两腰延长线的交点，则△ABE面积和梯形面积比为( )．(A) 3:2 (B) 9:4 (C) 9:5 (D) 3:1 (E) 2:1A.B.C. √D.E.33.y=kx+(m+n)一定经过( )．(A) 第一、二、三象限 (B) 第一、二象限 (C) 第二、三象限(D) 第一、四象限 (E) 无法确定A.B. √C.D.E.34.若一个圆柱和圆锥的底的直径和高都与一个球的直径相等，则圆柱、圆锥与球的体积之比为( )．(A) 6:4:3 (B) 6:3:4 (C) 5:1:3 (D) 3:2:1 (E) 3:1:2A.B.C.D.E. √35.等腰直角三角形的外接圆的面积和内切圆的面积的比值为( )．A.B.C.D.E. √面积比即半径比的平方．36.从点P(5，4)作圆：(x-3)2+(y+2)2=4的切线PA，PB，则切点A，B间的距离为( )．A.B.C.D. √E.设圆的圆心为Q(3，-2)．PQ交AB于R，切点B的坐标为(5，-2)．BR是Rt△PBQ斜边PQ上的高，37.一个圆的半径为r，圆外点P到圆心O的距离h＞r，过P的圆的两条切线的切点为A和B．(1)求AB的长度．(2)求O到AB的距离d．填空项1:__________________见图6-90．记M是OP和AB的交点．利用直角△AOP和直角△OMA相似求d．利用△AOP的面积求AB．二、条件充分性判断(总题数：1，分数：39.00)A．条件(1)充分，但条件(2)不充分．B．条件(2)充分，但条件(1)不充分．C．条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．D．条件(1)充分，条件(2)也充分．E．条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．（分数：39.00）(1).梯形ABcD(AB∥DC)有外接圆．(1)∠A=∠B； (2)AB和DC中点的连线和AB垂直．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)梯形有外接圆㈢它是等腰梯形．两个条件都可以推出是等腰梯形．(2).平面上两条不同直线l1，l2平行．(1)l1，l2都垂直于直线l；(2)l1上有两个点P，Q到l2距离相等．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)由条件(2)不能得出平行，因为当相交时l1上也可找到两个点P，Q到l2距离相等．(3).凸四边形是正方形．(1)它的两条对角线的交点到4个顶点的距离相等；(2)它的两条对角线的交点到4条边的距离相等．__________________________________________________________________________________________正确答案：((C)．)见7题．(4).△ABC是等边三角形．(1)它的内切圆和外接圆是同心圆；(2)它的重心和垂心(三条高的交点)重合．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)(1)成立时，各边的中垂线和所对顶角的分角线都重合，推出3边等长．(2)成立时，各边的中线和高都重合，推出3边等长．(5).两个相外切的圆的公切线的长度为4．(1)这两个圆的半径为1和4；(2)这两个圆的半径的乘积为4．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)设这两个相外切的圆的半径为r和R，则公切线长度的平方=(r+R)2+(r-R)2=4rR．(6).直线ax+by=3和圆x2+y2=3没有交点．(1)点P(a，b)在圆x2+y2=3的外面；(2)点P(a，b)在圆x2+y2=3上．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((E)．)直线ax+by=3和圆x2+y2=3没有交点圆心(0，0)到ax+by=3(7).动点(x，y)的轨迹为圆周．(1)|x-1|+|y|=4； (2)3(x2+y2)+6x-9y+1=0．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)(8).圆(x-1)2+(y-2)2=4和(x-4)2+(y+2)2=r2相切．(1)r=-3； (2)r=7．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)=两半径和或两半径差的绝对值．(9).直线l和圆周(x-1)2+(y+2)2=5相切．(1)l的方程为x+2y-2=0；(2)l的方程为2x-y+1=0．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)(10).直线l被圆周(x+1)2+(y-3)2=9(1)直线l的方程为x+7y-5=0；(2)直线l的方程为7x+y-11=0．填空项1:__________________ （正确答案：(D)．）利用直线被圆截得的弦长度和圆心到直线距离的关系．(11).圆心分别为(0，1)和(3，5)，半径分别为r1，r2的两个圆的公切线有3条．(1)r1=2，r2=3； (2)r1=4，r2=1．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)两个圆的公切线有3条即它们外切．(12).(x-a)2+(y-b)2=9和x2+y2=1的公切线有2条．(1)a2+b2＜16； (2)a2+b2＞4．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((C)．)两个圆的公切线有2条即它们相交．(13).直线Ax+By+C=0和圆(x-2)2+(y+3)2=5相切．(1)A=1，B=2，C=-1； (2)A=2，B=1，C=3．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)直线和相切即圆心到直线的距离等于半径．。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。
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2-1 几何构造分析的几个概念 四、约束 约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约 束和内部约束两种。
外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座； 内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结 点，刚结点和链杆等。
用铰和基础相连的运动情况完全相同。
从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约
束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起
I C
的约束作用，这个铰称为 瞬铰
A
在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变
1
2 化。
B
D 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约
束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
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2-1 几何构造分析的几个概念
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2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配
1 从基础出发进行装配-【例2-1】
① A
② ④
⑤ C
⑥ ⑧
⑩ E
③ B ⑦D⑨
① A
② ④
③B
⑤ C
⑥ ⑧
⑩ E
⑦D ⑨
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2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 1 从基础出发进行装配-【例2-2】
A
Ⅱ
B Ⅲ CⅣ D
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
工程制图第二章平面
OY1 投影轴；
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图
13
正平面
动画
y
y
投影特性：(1)正面投影反映实形；
(2)水平投影 、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相
应的OX、OZ 投影轴；
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图
14
正平面的迹线表示
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一般位置平面
投影面倾斜面
铅垂面
特殊位置平面
投影面垂直面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 水平面 正平面
侧平面
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图
5
一般位置平面
动画
投影特性:(1)三个投影均为的类似形；
(2) 投影图不反映、、 的真实角度；
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图
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求作两平面的交线MN。 解:1.取属于Δ ABC的直线AC、BC分别与平面P求交点,即可求得
交线。
（投影面垂直面与一般位置 平面相交）
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图
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2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
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LK⊥平面P 则： LK⊥水平线AB
LK⊥正平线CD
高中平面几何常用定理总结
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b ma -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r r r r r r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
超级画板《动态几何教程》2平面几何1
第二篇平面几何平面几何作为一门系统的学科, 已有两千多年的历史, 其魅力经久不衰。
计算机科技的发展, 推出了动态几何作图软件, 使这门古老的科学焕发青春, 变得更加丰富多彩, 更有吸引力和挑战性。
《超级画板》是由动态几何作图软件发展而来, 平面几何动态作图当然是它的基本功能。
基本功能熟练了, 就有了登堂入室的基础。
这一篇里, 我们将通过一些实例, 学习动态几何作图, 图形的旋转、平移和缩放的操作机制, 图形的测量以及制作控制图形运动和变化的按钮方法。
看了这些例子你会看到, 优秀的作品源于对知识的创造性地运用。
再好的软件也不过是你手中的工具, 不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的发展。
创意永远是最重要的。
首先我们来看看动态几何作图与平时我们在纸上、黑板上作图有什么区别。
（一）共点的三个圆大家一起来试一试, 画出过同一点的三个圆。
合上书本, 自己动手。
完成后, 看看你的制作结果是不是与图中的图形相似？有三个圆, 六个点。
请大家随意拉动几个点试试, 看这三个圆是否还能“过同一点”？拖动结果可能如图2-1所示：图2-1为什么图形会“散架”, 可能作图过程是这样的（图5-2列出了最典型的初学者“画共点的三个圆”的步骤, 受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响）。
图2-2在拖动过程中, 动态几何作图能够保持所有给定的几何关系, 因为它就是根据几何关系来设计的！那么, 你思考一下, 上述方法在画圆时, 到底给定了什么样的几何关系？我们知道, 圆是由两个点来决定的, 双击鼠标按下去的点即为圆心, 松开鼠标的点即为圆上的一点。
改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。
而在我们刚才的操作中, 我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下, 图中共三个圆, 六个自由点）。
根据这样的几何关系, 每个圆都可以随意地改变。
这就表明：在超级画板中, 不能再象在黑板上那样, 随手画出图来, 而每时每刻都得考虑几何关系。
解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
平面几何讲义(合订本)
10、在凸四边形 ABCD 中，对角线 BD 不平分对角中的任意一个.点 P 在 四 边 形 ABCD 内 部 ， 并 且 满 足 PBC DBA 和 PDC BDA . 若 A,B,C,D 四点共圆，证明：AP=CP.
5
河南师大附中 2015 级数学竞赛班平面几何培训讲义
11、已知半圆 O 的直径为 AB，C 为 OB 上一点，过点 C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直于 AB 的 直线交半圆 O 于点 D.圆 P 与半圆 O 内切于点 F，与 CD 切于点 E，与 BC 切于点 G.证明：△ADG 为等腰三角形.
PBA PCA PBC PCB .证明： AP AI ，并且等号当且仅当 P 与
I 重合时成立.
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河南师大附中 2015 级数学竞赛班平面几何培训讲义
33、设△ABC 的外接圆为 O，过 B,C 作 BC 的垂线 h 和 g，AB 的中垂线 与 h 交于点 F，AC 的中垂线与 g 交于点 G.证明： BF CG 为定值.
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河南师大附中 2015 级数学竞赛班平面几何培训讲义
25、已知非等边三角形 ABC 中，角 A 的平分线交对边 BC 于 A , AA 的 中垂线对边 BC 于 A .同样的定义 B, C 和 B, C .证明： A, B, C 三点共 线.
26、设 AD 是圆 O1，O2 的公共弦，过点 D 的直线交圆 O1 于 B，交圆 O2 于 C.E 是线段 AD 上异于 A,D 的点，连接 CE 交圆 O1 于 P,Q 两点.连接 BE 交圆 O2 于 M,N 两点.证明： （1）PMQN 四点共圆，圆心记作 O3 ； （2）
42、在锐角△ABC 中，CD⊥AB 于 D，DE⊥BC 于 E.F 为 DE 上一点（异 于 D,E） ，且满足
学练考高中数学2.3.3、2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
哈工大画法几何与机械制图答案
第一章 制图的基本知识
1-8 按规定方法标注尺寸（数值从图中量取，取整数）。
第一章 制图的基本知识
1-9 已知椭圆长轴为70，短轴为40，作椭圆。
（1） 同心圆法
（2） 四心圆弧法
第一章 制图的基本知识
1-10 按已知斜度和锥度，完成下列图形，并标注斜度与锥度值。
′
′
′
n ′ c
n
八解
第二章 点、直线和平面
2-14 判断两直线的相对位置。
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
(1)平行
′′
′′
(2) 交叉
′′
′ ′
(3)
交
叉
′a
c
′
′
′
b
d
(4)
相交
(5)
交叉
(6)
交叉
第二章 点、直线和平面
2-15 AB与CD相交，补出线段所缺的投影。
（1）
′
′ ′
′
′
′
′ ′
′
′
′
′
′ ′
d
k l
e
′ ′
′
k′
′
k
′
′
k′
′
′
k
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-15 过点A作平面垂直于已知直线AB。
3-16 求点M到平面 ABCD的距离。
c′
′
d′
′
c
d ′ ′
′
′
′
k′
′
′
k
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
平面构成课第二讲 肌理构成
肌理
视觉肌理
触觉肌理
台北 民族路、民生路
澳门 老街
深圳 港口
香港 民居 视觉肌理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理的形态
几何形态
偶然形态
自然形态
完全可以重复，有机 械、准确、明快之感， 但有时显得冷漠，缺 乏生气
不可有意识重复的形态
包括有机形态和无机形态
肌理的不同形态
肌理的组织形式及审美
肌理往往给人难以言表的抽象之美，以形态的组织为例， 我们可以用现代设计的观点来解释肌理的语言，并归类整 理，以明晰其艺术效果与设计思路。
形状效果
感光效果
触感效果
（1）形状效果 肌理的形状组织形式及审美可参考平面构成中的“重复”、“渐变”、 “近似”、“密集”等构成形式，遵循“对比与调和”、“节奏与韵律”、 “变化与统一”等形式美法则来寻求美观、丰富的形态变化（图1-25）。
图1-25 肌理的各种形状效果
（2）光感效果 材料表面的组织结构不同，所具有的光泽度也不同。光泽度是由反射光 的空间分布所决定的对物体表面的知觉属性。由于光线投射的角度、强弱和 物体表面纹理、质地和色泽不同，物体对光线的吸收、反射、折射也有很大 区别，因此物体所具有的光泽度也不同，而且其效果丰富多变：细密而光亮 的质面，反光能量强，知觉感觉轻快、活泼且有冷感（如锦缎）；平滑无光 的质面，给人感觉含蓄安静（如沙滩）；粗糙有光的质面，使人感到笨重、 强固（如鳄鱼皮）；粗糙无光的质面给人感觉稳重而生动（如树皮）（图126）。
综合各种材料，其肌理造型的加工方法包括以下四种： （1）叠加：累积、堆叠、黏合现成的物料； （2）塑造：石膏、水泥等； （3）改形：雕刻、腐蚀、皱折、敲打、穿孔； （4）编织：用纤维、条带编成花纹。 还有更多肌理制作方法可以借鉴，制作更多的肌理图案，如滴色法、水色 法、水墨法、吹色法、撕贴法、压印法、干笔法、木纹法、叶脉法、拓印法、 盐与水色法等（图1-27至图1-35）。
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
平面构成第二讲 肌理构成讲解
（3）触感效果 肌理感觉很大程度上和触觉感受相关，是压觉、湿觉、痛觉、湿觉等综合 的皮肤感觉。我们平时所使用的“手感”、“触感”、“纹理”、“质地” 等术语，多数都是用来说明物体表现出来的触觉感受。其感受往往与材料的 硬、软、湿、粗糙、细腻、冷暖感等有关。触感通常包括两方面的感受：一 是直接感觉。它以实际材料以及材料表面的实际组织构造为基础；二是心理 感受。它以材料表面的实际组织构造所造成的心理感觉为基础。这两者相互 结合，相辅相成。 人们对客观事物的感知通常是调动身体的各个感觉、知觉器官综合完成的， 由于人的知觉经验在视、触、听等方面会产生神奇的相互作用和沟通，人们 称之为联觉，因而肌理的不同触觉感就被视觉化了，并且深刻影响着人们的 心理，我们将之称为“肌理的感情”。
图1-27 水色法制作的融合流淌效果 图1-28 干笔法制作的皴擦效果
图1-29 滴色法制作的绚烂背景
图1-30 刮擦法制作的发射状肌理
图1-31 电脑模仿的压印肌理效果 图1-32 电脑模拟的木刻肌理
图1-33 墙面涂鸦肌理 图1-34 何菲毕业创作肌理效果的招贴
肌理造型不能离开材料而独立存在。我们拿来一个材料，首先要了解其化 学和物理特性，研究其在不同物理环境和受力条件下的形态特征，更要着重 研究其“破坏”的方式和形态效果。我们首先要敢于破坏材料，破坏是变化 的前提，而变化则是寻求多样造型的基本手段。材料的形态无非是三种，即 几何形、偶然形、有机形。几何形是探求公式、尺规、机械化加工方式最方 便的形态，因此我们的创作思维也要按由简单到复杂的逻辑来思考。拿来一 个材料，按等比例以及一定的方向规律先分别破坏成点状、线状、面状、块 状等规则的构成要素，再按构成的法则去组织它们。之后，我们可以抛弃逻 辑的思维方式，按偶然性、随机工具和条件，寻求肌理的偶然形态和意象化 造型，综合各种材料即兴创作。加工破坏材料的手段要丰富多样，要变换不 同的加工工具和工艺。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
工程制图第二章平面
2021/3/26
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正平面的迹线表示
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侧平面
动画
返回
投影特性：(1) 侧面投影反映平面实形；
(2) 水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于
相应的OY、OZ 投影轴；
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2.2 平面上的点和直线
2.2.1 平面上取直线和点 2.2.2 平面上的特殊直线
3.求交线MN与已知直线DE 的交 点K
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两个一般位置平面相交，用直线与平面求交点的方法求两平面的交线
空 间 分 析
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作 图 步 骤
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返回
判 别 可 见 性
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2.3.3.1直线与平面垂直
直线与平面垂直，则该直线必 垂直于平面上的任何直线。
两平面相垂直
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两平面不垂直
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过定点S 作平面垂直于平面△ABC.
返回
两相交直线FS、SN 即为所求（解不唯一）
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例：平面ABC与平面DEF是什么位置关系
b’
e’ d’ a’
c’
e a
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b c
d
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f’
f
垂直
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例：平面ABC与平面DEF是什么位置关系
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2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
2平面几何定理及公式
初等几何选讲复习资料二平面几何定理及公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
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知识点拨
名人名言
希尔伯特
我们必须知道，我们必将知道．
这是1930年希尔伯特（D ·Hilbert,1862~1943,德国数学家）在科尼斯堡讲演的最后一句话，题为《认识自然和逻辑》．无论从哪个角度看，这都是伟大而有决定意义的诗句，表达了数学家探索数学的决心和信心．正如1962年库朗（R.Courant,1988~1972,德国数学家）在纪念希尔伯特诞生100周年大会上发表的演讲“我确信，希尔伯特那具有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着它的生命力．唯有希尔伯特精神，才会引导数学继往开来，不断成功．”此外1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的演讲．他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题．这23个问题被称为“希尔伯特问题”，称为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响并积极地推动作用．
希尔伯特是一位正直的数学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字．战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布（Darboux ，1842~1917，法国数学家）．希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策．由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世．然而，
第九讲
平面几何技巧（二）
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直线共点也是平面几何中的典型问题，也常从角、线、形、有关结论等几个方面去考虑． 1．先设其中的两条直线交于某点，再证这个交点在第三、第四……条直线上； 2．欲证直线12,,
,k l l l 共点，先在i l 上取一特殊点，再证其余直线都过此点；
3．设法证两两相交直线的交点重合；
4．运用三角形的巧合点（三角形的五心）证直线共点；
5．注意到特殊图形或多边形的中心的性质，证直线共点于图形中的特殊点； 6．运用旋转、对称等变换的保结合性证明直线共点； 7．运用赛瓦定理之逆定理证直线共点； 8．运用反证法等证明直线共点．
【例1】 设O 是ABC △内一点，点O 关于A ∠，B ∠，C ∠的内平分角线的对称点分别为A '，B '，
C '．证明：AA '，BB '，CC '相交于一点．
C '
B 'A '
O
B
【例2】 如图，设平面上两不相等的圆1O 和圆2O 相交于A ，B 两点，又设两外公切线分别切圆1O 于1P ，
1Q ，切圆2O 于2P ，2Q ．而1M ，2M 分别为12PQ ，22PQ 的中点，分别延长1AM ，1AO 交圆1
O 于C ，E ，分别延长2AM ，2AO 交圆2O 于D ，F ．求证：AB ，EF ，CD 三线共点．
例题精讲
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2
【例3】 如图，已知等圆1O 与圆2O 交于A ，B ，O 为AB 中点，过O 引圆1O 的弦CD 交圆2O 于P ，
过O 引圆2O 的弦EF 交圆1O 于Q ．求证：AB ，CQ ，
EP 三线交于一点．
【例4】 如图，设ABC △为锐角三角形，H 为自A 向边BC 所引高的垂足，以AH 为直径的圆，分别
交边AB ，AC 于M ，N （且与A 不同），过A 作直线A L 垂直于MN ．类似地作出直线B L 与C L ．证明：A L ，B L ，C L 共点．
44 | 高一·数学·第9讲·联赛班·学生版 |
L C
L B
L A E
N
M H
C
B
A
【例5】 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设ABP △，BCP △，CDP
△与DAP △的外心分别是1O ，2O ，3O ，4O ．求证：OP ，13O O ，24O O 三直线共点．
O 4
O 3O 2
O 1
O P
D
C
B
A
【例6】 已知ABC △的重心为G ，证明,,AG BG CG 分别关于,,A B C ∠∠∠的角平分线对称的三条直线
交于一点P ．
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【例7】 在凸六边形ABCDEF 中，对角线,,AD BE CF 中的每一条都将六边形分成面积相等的两部分，
求证：这三条对角线交于一点．
1． 如图，圆O 内切于ABC △，1A ，1B ，1C 分别为BC ，CA ，AB 边上的切点．AO ，BO ，CO
分别交圆于2A ，2B ，2C ．求证：12A A ，12B B ，12C C 共点．
O
A 2
B 2
C 2C 1B 1A 1
C
B
A
2． 如图，一圆交ABC △的边,,BC CA AB 分别于1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C ，如果由点111
,,A B C 分别引,,BC CA AB 的垂线相交于一点，则过点2,22,A B C 的垂线也相交于一点．
大显身手
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O
A 2
B 2
C 2
C 1B 1
A 1
P C
B
3． 已知ABC ∆的外心为O ，90A ∠<︒，P 为OBC ∆的外接圆上且在ABC ∆内部的任意一点，以
OA 为直径的圆分别与AB ，AC 交于点D ，E ， OD ，OE 分别与PB ，PC 或其延长线交于
点F ，G ，求证A ，F ，G 三点共线．
F
G E
D P O
C。