第5章 随机信号通过线性系统
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
西北工业大学考博基础理论课考试大纲--盛世清北
基础理论课考试大纲（2020）《高等电磁理论》考试大纲考试内容：Maxwell方程组，平面电磁波，复杂媒质中的电磁波，各项异性媒质，导波理论，金属波导理论，介质波导理论，谐振腔，谐振腔的微扰，电磁波的辐射与反射，口面天线理论。
参考书目：1.Fields & Waves in Communication Electronics S.Ramo & J.Whinnery John Wiley & Sons；2.导波场论 R.E.柯林著上海科学技术出版社。
3.正弦场电磁场哈林顿著上海科学技术出版社（2021）《信号检测与估计》考试大纲考试内容：1.随机信号分析平稳随机信号与非平稳随机信号，随机信号的数字特征，平稳随机过程，复随机过程，随机信号通过线性系统。
2.信号检测信号检测的基本概念，确知信号的检测（包括匹配滤波原理、高斯白噪声中已知信号检测、简单二元检测）3.信号估计信号参数（包括贝叶斯估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计），信号波形估计（主要指卡尔曼滤波）。
参考书目：1.景占荣，羊彦，信号检测与估计，化学工业出版社 20042.赵树杰，信号检测与估计理论，西安电子科技大学出版社 2001（2022）《现代网络分析》考试大纲考试内容：1.网络元件和网络特性：二端元件的参数与性质、二端口元件、性质及六组参数、受控电源、网络特性。
2.网络图论：图的概念与定义、节点关联矩阵、回路关联矩阵、割集关联矩阵、独立变量组、非基本关联矩阵、图形的树数、求全部树、由矩阵求图。
3.网络方程：支路电流方程和支路电压方程、回路电流方程和网孔电流方程、割集电压方程和节点电位方程、混合方程、含受控源网络和理想运放器网络的节点方程。
4.网络的拓扑分析：割集方程和回路方程的拓扑解、驱动点函数的拓扑公式、传输函数的拓扑公式、含受控源网络的传输导纳、节点方程的拓扑解。
5.信号流图：信号流图基本概念、信号流图的构成方法、梅森公式、状态变换图解、线图到流图、Shannon-Happ公式、Coates公式。
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
随机信号分析基础第五章习题王永德答案
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号应用领域 的了解，包括通信、雷达、声呐、图像处 理等领域的应用。
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随机信号分析基础 第五章习题王永德 答案
目录
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01
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习题一答案
题目一答案
总结词：周期性
详细描述：题目一考察了周期性随机信号的特点，包括周期信号的波形、频谱和 功率谱等。通过分析，可以理解周期信号的规律性和稳定性，以及在通信、雷达 、声呐等领域的应用。
掌握随机信号的模拟生成方 法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机 信号的模拟生成方法，包括 基于概率密度函数的生成方 法和基于概率质量函数的生
成方法。
总结词
理解随机信号的数字生成方法
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号数字生成 方法的理解，包括基于离散概率分布的生 成方法和基于连续概率分布的生成方法。
总结词
04
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的表 示方法，包括概率密度函数、概率质 量函数、特征函数等。
06
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号线性变换的理 解，包括线性变换的基本原理和计算方法。
题目二答案
总结词
掌握随机信号的谱分析方法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的谱分析方法，包括谱 估计的基本原理和计算方法，以及谱估计的评价指标。
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的模拟生成方法，包括基于 概率分布的随机抽样和基于确定性函数的随机调制。学生需 要理解这些方法的原理，掌握其实现过程，并能够根据实际 需求选择合适的方法生成随机信号。
通信原理重点知识点串讲与相关课后习题
通信原理知识点串讲第1章 绪论一、数字通信系统的模型框图及各部分的作用 考点预测：简答题（1）信源编码与译码：作用有两个，一个是将模拟信号转换为数字信号，即通常所说的模数转换；二是设法降低数字信号的数码率，即通常所说的数据压缩。
信源译码是信源编码的逆过程。
（2）信道编码与译码：数字信号在信道上传输时，由于噪声、干扰等影响，将会引起差错。
信道编码的目的就是提高通信系统的抗干扰能力，尽可能地控制差错，实现可靠通信。
译码是编码的逆过程。
（3）加密与解密：为保证所传信息的安全。
将输入的明文信号人为干扰，即加上密码。
这种处理过程称为加密。
在接收端对收到的信号进行解密，恢复明文。
（4）调制与解调：其作用是在发端进行频谱的搬移，在收端进行频谱的反搬移。
二、 信息及其度量：信息量、熵 考点预测：填空选择（1）信息量I 与消息出现的概率P(x)之间的关系为：（2）说明： a=2时，信息量的单位为比特（bit ）； a=e 时，信息量的单位为奈特（nit ）； a=10时，信息量的单位为十进制单位，叫哈特莱。
（3）信源熵H ：统计独立的M 个符号的离散信息源的平均信息量为：11logMi i iH p p ==å例题1：某信源符号集由A 、B 、C 、D 、E 、F 组成，设每个符号独立出现，其概率分别为1/4、1/4、1/16、1/8、1/16、1/4，试求该信息源输出符号的平均信息量。
解：222222111111log 4log 4log 16log 8log 16log 444168164H =+++++ 2.375/bit =符号三、主要性能指标：有效性和可靠性 考点预测：填空选择噪声信 道 调 制 器信道 编码器加 密 器信源 编码器信源解 调 器信道 译码器解 密 器信源 译码器信宿()1log log ()a a I P x P x ==-∑数字通信系统1. 有效性：信息速率、码元速率、频带利用率有效性：指在给定信道内所传输的信息内容的多少，用码元传输速率或信息传输速率或频带利用率来度量。
信号检测与估计—原理及其应用
信号检测与估计考试题库考试内容：1.随机信号分析平稳随机信号与非平稳随机信号，随机信号的数字特征，平稳随机过程，复随机过程，随机信号通过线性系统。
2.信号检测信号检测的基本概念，确知信号的检测（包括匹配滤波原理、高斯白噪声中已知信号检测、简单二元检测）3.信号估计信号参数（包括贝叶斯估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计），信号波形估计（主要指卡尔曼滤波）。
一、填空（1x15=15）1.可以逐一列举的随机变量称为（离散型随机变量）随机变量；可能的取值占满一个连续区间的随机变量称为（连续型随机变量）随机变量。
（P3）2.服从正态分布的调幅噪声经过包络检波之后服从（瑞丽分布）分布。
（P5）3.（方差）就是描述随机变量的在其均值周围发散程度的度量。
（P6）4.全体观测结果构成的函数族称为（随机过程）。
（P9）5.一维分布函数只能反映随机过程在某一时刻的统计规律，随机过程在不同时刻的相互联系需要用（多位分布函数）来描述。
6.有一类随机过程的统计特征（不随时间变化），称为平稳随机过程。
（P12）7.线性时不变（LTI）系统的特性在时域用冲击响应（h(t)）来描述，在频域用频率响应函数（H(W)）来描述。
（P15）8.高斯分布的随机过程通过LTI系统后是（高斯过程）过程。
(P16)9.高斯过程是随机过程的概率密度函数为__________，白噪声是指具有均匀（功率谱密度恒为常数）的随机信号。
（P17）10.在信号传输和处理过程中，经常会受到各种干扰，使信号产生失真或受到污染，这些干扰信号通常称为（噪声）。
（P18）11.白噪声的均值为（零）。
（P18）12.功率谱密度恒为常数的随机信号称为（白噪声）。
（P18）13.限带白噪声的相关函数比理想白噪声的相关函数宽，（既噪声的相关时间加长）。
（P20）14.在雷达系统中要根据观测（回波信号）来判断目标是否存在。
（P49）15.为了寻找未知先验概率情况下的最佳判决准则，首先研究（风险）与先验概率之间的关系。
第5章_随机过程通过线性系统_
∞
∫ h(τ )x ( t τ , ξ
∞
∞
i
)d τ
∫ h(τ )x ( t τ , ξ
0
i
)d τ
也只能是随机过程的一个样本且有界。 即，系统输出 y(t,ξi ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。 其无法代表系统输出随机过程的全体。 其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t , ξ ) 都是有界的，才有 都是有界的，
其中， 称为系统的功率传输函数 所以， 系统的功率传输函数。 其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， 系统的输出功率=系统的输入功率 系统的输入功率× 系统的输出功率 系统的输入功率× |H(ω)| 2。
系统输出Y(t)的自相关函数 的自相关函数 系统输出
1 +∞ RY (τ ) = GY (ω )e jωτ dω 2π ∫ ∞ 1 +∞ 2 H (ω ) G X (ω )e jωτ dω = 2π ∫ ∞
x(t ) X (ω) h(t ) H (ω) y(t ) = x(t ) h(t ) Y (ω) = X (ω) H (ω)
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、 问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？ 及与系统函数间的关系如何？
随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述 。 函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。 随机信号 函数值无法用数学式或列表形式确切的表述 其原因是： 其原因是： 随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。 1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为 随机过程（ 信号） 随时间或依时序组成的每个时间点上 随机过程 （ 信号 ） 是 随时间或依时序组成的 每个时间点上 随机变量的集合 的集合， 的 随机变量 的集合 ， 所以随机信号每个时间点上对应的函 数值都是一个随机变量 。 即便通过一个具体的实验所得到 数值都是一个 随机变量。 随机变量 的确定函数 也只能是该随机过程的一个样本函数 函数， x ( 函数 的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本t , ξ i ) ， 它也无法表征整个随机过程的行为 它也无法表征整个随机过程的行为 。 波及性， 2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个 端口的输出， 端口的输出 ， 各时间点上随机变量的取值往往具有前后的 波及影响， 既不同时间点上随机变量间的关联性。 波及影响 ， 既不同时间点上随机变量间的关联性 。 这种波 及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。 惯性决定的 及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。
随机信号分析 第五章随机信号通过线性系统(2)
2
0
0
0
FX ( ) N 0
K0
0
N0 K0
0
2
0
0
0
注：“窄带”的定义
1、窄带系统： 系统的中心频率
0
H ( )
系统带宽。
∥
0
0
2，窄带随机信号： 其功率谱密度的中心频率 0 e 等效噪声带宽。
G X ( )
N0 w2 L2 R 2 R 2 jw N RN0 R| |/ L e dw 0 ( ) e 2 R2 w2 L2 2 4L
题3：若图示系统的输入x(t)为平稳随机过程,求输 出的功率谱密度.
解：先求自相关函数，再求功率谱密度
RY ( ) E[Y (t )Y (t )] E{[ X (t ) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} E[ X (t ) X (t ) X (t T ) X (t ) X (t ) X (t T ) X (t T ) X (t T )]] 2 R X ( ) R X ( T ) R X ( T )
e 均由系统本身决定。
同一系统的这两个不同参数有着密切联系。
e
e
5.3.2 白噪声通过线性系统
一，输出信号的功率谱密度
N0 G X ( ) 2
FX () N0
GX ( ) FX ( )
N0 GY ( ) | H ( ) |2 ， 2 FY ( ) N0 | H ( ) |2 ， 0
这等效的限带白噪声带宽 e ←称为实际系统的“等效噪声带宽”。
通信原理2-8 随机信号通过线性系统
本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即
957信号与信息系统(二)考试大纲-2018年复旦大学硕士研究生入学
《信号与信息系统》专业课程考试大纲
第一部分通信原理
考试题型：选择题、概念问答题、计算题
总分：60分
一、基本概念
通信系统的基本构成单元；模拟与数字系统、模拟信号与数字信号基本概念；如何客观评价一个通信系统，通信系统性能与资源、复杂度等之间的折中。
二、随机过程
随机信号基本概念；随机信号统计特性；随机信号通过线性系统；高斯白噪声，窄带高斯白噪声。
三、连续波模拟调制
信号与系统基础知识；连续波幅度调制的四种方式（DSB-LC, DSB-SC, SSB, VSB）的调制解调原理，抗噪声性能；FM、PM的调制解调原理，抗噪声性能。
四、脉冲调制
抽样定理；均匀量化与非均匀量化；PCM与DM。
五、数字传输
数字传输的基本原理；数字基带传输与数字频带传输概念；
奈奎斯特第一准则；传输带宽与码速率、比特速率之间关系；
二进制数字调制解调原理；M-ASK, M-PSK, M-QAM调制解调原理；
数字频带信号的等效基带表示，信号空间与星座点；
最佳接收机，匹配滤波器与相关接收机形式，误码率计算；
信道容量概念及其与功率、带宽之间的关系。
第二部分数字信号处理
考试题型：选择题、计算题
总分：50分
一、离散时间信号及系统:
DSP系统的构成；采样与量化；序列及运算；线性移不变系统；常系数线性差分方程
二、z变换
Z变换；Z变换收敛域，稳定性(证明)；Z反变换；Z变换性质。
随机信号通过线性系统和非线性系统后会是什么样子的
随机信号通过线性系统和非线性系统后会是什么样子的实验一随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性测试1.实验目的⑴了解随机信号自身的特性，包括均值(数学期望)、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等。
⑵研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统受随机信号激励后的响应。
⑶掌握随机信号的分析方法。
⒉实验原理⑴随机信号的分析方法在信号系统中，我们可以把信号分成两大类--确知信号和随机信号。
确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性进行分析。
我们在这里引入了随机过程的概念。
所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。
随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。
如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。
如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。
我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。
随机过程的统计特性一般采用随机过程的分部函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整的描述。
但是由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。
以下算法都是一种估计算法，条件是N要足够大。
①随机过程的均值(数学期望)：均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。
基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
②随机过程的均方值：信号x(t)的均方值E[x2(t)]()，或称为平均功率，其表达式为：均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。
③随机信号的方差：信号x(t)的方差定义为：称为均方差或标准差。
随机信号 清华大学《现代信号处理》讲义 -张贤达
i = m +1
∑
M
q iH R x q i
约束条件：q iH q i = 1 拉格朗日乘子法： 代价函数 J (q i ) =
i = m +1
∑
M
q R xqi +
H i
i = m +1
∑
M
λi (1 q iH q i )
J (q i ) = R x q i λi q i = 0 * q i 特征值λi 和特征向量u i
课程特点及考核
课程特点 现代信号处理的主要理论、方法和应用 “与前沿接轨” 数学知识（矩阵分析、数理统计、最优化） 创新能力的培养 考核方式 习题（11%） 计算机仿真（实验3次，24%） 考试（65%）
第一章 随机信号
本章主要介绍随机信号的基本概念： 本章主要介绍随机信号的基本概念：相关 函数、功率谱密度、两个信号的正交、 函数、功率谱密度、两个信号的正交、统计不 相关和统计独立、 相关和统计独立、相干信号以及它们的几个典 型应用。 型应用。
R x q i = λi q i
Lagrange乘子λi 和基向量必须分别选取为自相关矩阵R x的
正交的两个典型应用( 正交的两个典型应用(续)
离散K-L变换 x = ∑ wi u i
i =1 m
若R x只有K 个大特征值，其余M K 个特征值可忽略，则 x = ∑ wi u i
i =1 K
正交的几何解释
1. 常数向量的正交(常数向量：元素为常量的向量)
夹角： cos θ = x, y x, x xH y = x y y, y
正交：
x, y = x H y = 0
两常数向量夹角为90°
《随机过程概论》课程复习提纲
哈尔滨工业大学 19
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性
• 1、严平稳与宽平稳定义、二者关系、判断 宽平稳的条件、联合平稳定义及判定 • 2、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
20
10
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性 • 3、各态历经性 • 定义、物理含义、判定条件（时间平均、统计 平均） • 平稳性与各态历经性的关系、 • 直流分量、直流功率、总平均功率、交流平均 功率
12
6
第2章 随机信号的基本概念
随机信号(Stochastic Signal)定义
定义1: 定义1: 设随机试验E的样本空间为 i ，对其每一个元素
i i 1, 2, 都以某种法则确定一个样本函数 X t , i xi t
,由全部元素
号 X t , ，简记为 X t 。
h t1
h t2
RYX t1 , t2
h t2
h
RYX
RXY
h
h
RY
RY
RXY t1 , t2
h t1
h
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
29
第5章 随机信号通过线性系统分析
H
2
H
H H 其它
H
0
P Y
H
PY
N 0 /2
1 2
H
PY d
H
0
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第5章
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ht
h
x tΒιβλιοθήκη dx h td
第五章 随机信号通过线性系统分析
显然， y(t)也是一个确定的时间函数。 对于随机信号
X(t)中的所有样本函数{xi(t)}(i=1, 2, …)， 通过线性系统 后可得到另一个随机信号Y(t)所有的样本函数{yi(t)}(i=1, 2, …)。 其中
yi
t
yt
0
h
x t
d
t
x
h t
d
(5-5)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号x(t)也是因果信号， 即当t<0时， 有x(t)=0， 上式可以写为
y
t
t
0
h
x
t
d
t
0
x
h
t
d
(5-6)
图5-3给出了线性时不变系统时域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-3 时域输入输出关系
(5-21)
若输入信号X(t)广义平稳， 且τ=|t2－t1|， 则式（5-
20）变为
RXY
h
RX
d
RX
h
(5-22)
第五章 随机信号通过线性系统分析
类似地， 式（5-21）变为
RYX(τ)=RX(τ)＊h(－τ)
(5-23)
根据以上分析， 我们可以得到重要的结论： 若输入
信号X(t)是平稳的， 则线性时不变系统输出Y(t)也是平稳的，
五. 随机信号通过线性系统的分析
22 2013-6-27
2.2 频域分析—系统输入为两个平稳随机信号
若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)的数学期望 均为0
RY ( ) RY1 ( ) RY2 ( )
输出功率谱密度
SY () SY1 () SY2 () H () [S X1 () S X 2 ()]
E[Y (t )] mY m X H (0)
对于物理可实现系统 mY E[Y (t )] mX 0 h( )d 系统输出随机信号的均值是常数
9 2013-6-27
2.1 时域分析—均方值
E[Y 2 (t )] E[Y (t )Y (t )] E[ h(v)X (t v)dv h(u )X (t u )du]
14 2013-6-27
2.1 时域分析—系统输入为随机过程与加性噪声
X1(t) X2(t) X(t)
线性系统h(t)
Y(t)
假设随机过程X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳的， 它们之和X(t)通过线性系统后，产生对应的两个随机 过程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可证得 (1) Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的； (2) X(t)和Y(t)也是联合平稳的。
N0 2 E[Y (t )] RY (0) H ( ) d 4
2
25 2013-6-27
3 白噪声通过线性系统——等效噪声带宽
若在保持平均功率 RY (0) 不变的条件下，把实际系统输出功率 谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。 若等效的功率谱密度的高度为 H (w) max 则这个带宽就定义为 等效噪声带宽 e
h( )x(t )d
F[ x(t )] X ( ), F[ y(t )] Y (), F[h(t )] H ()
随机信号通过线性系统和非线性系统后会是什么样子的
随机信号通过线性系统和非线性系统后会是什么样子的随机信号通过线性系统和非线性系统后会是什么样子的实验一随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性测试 1.实验目的⑴了解随机信号自身的特性，包括均值(数学期望)、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等。
⑵研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统受随机信号激励后的响应。
⑶掌握随机信号的分析方法。
⒉实验原理⑴随机信号的分析方法在信号系统中，我们可以把信号分成两大类--确知信号和随机信号。
确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性进行分析。
我们在这里引入了随机过程的概念。
所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。
随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。
如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。
如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。
我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。
随机过程的统计特性一般采用随机过程的分部函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整的描述。
但是由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。
以下算法都是一种估计算法，条件是N要足够大。
①随机过程的均值(数学期望)：均值E[_(t)]表示集合平均值或数学期望值。
基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
②随机过程的均方值：信号_(t)的均方值E[_2(t)]()，或称为平均功率，其表达式为：均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。
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Y (t ) X (t )h( )d h(t ) X (t )
13
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
Y (t ) X (t )h( )d h(t ) X (t )
•均值
mY (t ) mX (t )h( )d h(t ) mX (t )=mX H （j0）
w
设白噪声的物理谱
0
2
w
w
2
输出相关时间 输出的物理谱
32
GX () N0
白噪声通过理想低通线性系统
A H ( ) 0
A
/ 2
其它
输出平均功率 输出相关系数 输出的自相关函数
N0 A GY ( ) H ( ) GX ( ) 0 0
2
4
下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、 连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳 定系统。
连续与离散系统：
连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间 信号； 离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间 信号。 L[] 称作算子 线性时不变系统： （1）线性性： L[ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )]
H ( j 0) H ( j) 0 h(t )dt
14
RYX ( ) RX ( ) h( )
15
RXY ( ) RX ( ) h( )
16
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
z=τ+v
17
平稳性讨论
A
/ 2
其它
输出平均功率 输出相关系数
N 0 A2 E[Y 2 (t )] 4
输出的自相关函数
w
设白噪声的物理谱
0
2
w
w
2
输出相关时间 输出的物理谱
35
GX () N0
白噪声通过理想低通线性系统
A H ( ) 0
A
/ 2
其它
输出平均功率 输出相关系数
29
•低通型限带白噪声
1 RY ( ) 2
1 = 2
c
c
n0 j e d 2
c
c
n0 (cos ＋j sin )d 2
N0C sin C 2 C
k
c
时，R( )＝0
输出功率：
N 0C RY (0) 2
2 Y
1 2
/ 2
0
2
N 0 A 2 cos d
2
N0 A N 0 A sin 40 2 2 w
sin
2 2
2
w
w
2
输出相关时间 输出的物理谱
34
设白噪声的物理谱
GX () N0
白噪声通过理想低通线性系统
A H ( ) 0
2
w
2 0 / 2
其它
w
w
2
输出相关时间 输出的物理谱
33
设白噪声的物理谱
GX () N0
白噪声通过理想低通线性系统
A H ( ) 0
/ 2
其它
输出平均功率
1 RY ( ) 2
0
GY ( ) cos d
A
输出相关系数 输出的自相关函数
2
2 Y RY (0)
25
26
27
28
•低通型限带白噪声 1 -c
|H()|
c
1 C C | H ( ) | other 0
输出功率谱：
N0 N0 2 GY ( ) H ( ) 2 2 0
C C other
t
H ( )
j
1 / RC
23
mY (t ) mX H (0) mX
例1 如图所示的RC电路，输入为白噪声信号,求输出Y(t)的
自相关函数，输出的平均功率和输入输出的自相关函数。
R
X (t )
C
Y (t )
h(t ) e U (t )
N 0 RY ( ) e 4
2．频域分析
Y () H ()X()
x( ) x(t )e jt dt
H ( ) h(t )e jt dt
3. 物理可实现的稳定系统 如果当t 0 时， h(t ) 0 ，那么该系统称为因果系统。 9 所有实际的物理可实现系统都是因果的。
对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从-加
入(双侧随机信号) 则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；
mY (t ) mX h(u)du mX H (0)
0
RX ( ) RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( ) RY ( )
18
h( )
离散时不变线性系统的分析方法
1. 时域分析
y(n)
k
x(n k )h(k ) x(k )h(n k ) x(n) h(n)
k
2．频域分析
x(e j )
j j
Y (e ) X (e ) H (e )
j
j
n
x(n)e jn
冲击响应
系统传递函数
频谱法
11
x(t )
► 输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输 出为：
y(t ) h( ) x(t )d
0
一个确定性函数
一个确定性函数
系统的单位冲激响应
对于随机信号 X(t ) 任意一个样本函数均成立。 那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数， 这族样本函数构成随机过程
特点
冲击响应法
h(t)
频谱法
H( ) 平稳
平稳和非平稳 平稳和非平稳 运算繁琐
h(t)较简单时， 方法简单 较方便
21
时域（冲击响应法）
RXY ( ) h( ) RX ( )
频域（频谱法）
GXY ( ) H * ( )GX ( )
GYX ( ) H ( )GX ( )
K ( ) RY ( ) rY ( ) Y KY (0) RY (0)
sin
w
设白噪声的物理谱
0
2
2
输出的自相关函数
2
w
w
2
输出相关时间 输出的物理谱
36
GX () N0
白噪声通过理想低通线性系统 该式表明：输出随机信号的相关时间与
A H ( ) 0
RYX (t1 , t2 )
h( )
2. 频谱法
只适用于平稳随机过程的分析
RXY ( ) h( ) RX ( )
GXY ( ) H ( )GX ( )
*
RYX ( ) h( ) RX ( )
GYX ( ) H ( )GX ( )
RY ( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( ) h( ) RX ( )
A
系统的带宽成反比。这就是说，系统带 / 2 宽越宽，相关时间 越小，输出随机信 号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系 其它 统带宽越窄，则越大，输出随机信号随 输出平均功率 时间变化就越缓慢。 输出相关系数
2 d 1 0 rY ( )d 0 0 2f 2 0 w w ) sin( ax 2dx 2 a0 sin
30
RY ( )
c
c
0
低通型限带白噪声的相关函数 随机过程的采样定理：当采样频率等于或大于2倍带宽时，一 个限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。 31
白噪声通过理想低通线性系统
A H ( ) 0
A
/ 2
其它
输出平均功率 输出相关系数 输出的自相关函数
若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
7
什么是线性系统？
x(t) h(t) y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
若任意常数a, b, 输入信号x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
2
第5章 随机信号与线性系统
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5* 5.6* 线性时不变系统 平稳白噪声通过LTI系统 信号功率谱与带宽 噪声中的信号处理 平稳序列通过离散LTI系统 MATLAB模拟举例
3
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特 性，可以求出系统输出信号的统计特性
jn
H (e )
n
h ( n )e
3. 物理可实现的稳定系统 如果当 n 0时，h(n) 0 ，那么该系统称为因果系统。 10
X(t)
L
Y(t)
问题：给定输入和线性系统的特性，求输出。 求解：输出的统计特征。
线性系统的描述方法：
微分方程 微分方程法 冲击响应法
GY ( ) H ( )GXY ( ) H * ( )GYX ( )