中科院中科大量子2001考研试题
中科院量子力学题90-11
a 2
中国科学院研究生院 2010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 811 ） 试题名称：量子力学（ 试题名称：量子力学（811 811）
ˆ、B ˆ 与泡利算符对易，证明： 一、 （1）设 A ˆ )(σ ˆ ⋅B ˆ ⋅B ˆ) = A ˆ + iσ ˆ) ˆ⋅A ˆ ⋅B ˆ(A (σ ˆ、σ ˆ 为单位算符。 ˆ x + iσ ˆ y ) 2 表示成 I ˆ x、σ ˆ y、σ ˆ z 的线性叠加， I （2）试将 ( Iˆ + σ
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
0 ⎤ ⎡1 λ ⎢ ˆ 三、 在 H = ⎢λ 3 0 ⎥ 中的粒子的本征值， 设 λ ≪ 1， 利用微扰求其本征值 （精 ⎥ ⎢0 0 λ − 2⎦ ⎥ ⎣ ⎧ 0, 0 < ϕ < ϕ0 ，求粒 other ⎩∞,
确到二级近似） ，并与精确求解相比较。
⎡ cos θ e −iωt ⎤ ⎡1 ⎤ ℏ 四、两个自旋为 的粒子，两个粒子分别为 X 1 = ⎢ ⎥ , X 2 = ⎢ ，求系统处 − iωt ⎥ 2 ⎣0 ⎦ ⎣ sin θ e ⎦
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)
量子力学理论处理问题的思路① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点；④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤ 联系实际问题，应用所得结果。
有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动量算符ˆp和坐标算符ˆx 之间的关系是ˆx p i x∂=-∂，在动量表象中它们之间的关系为ˆˆx x i p ∂=∂，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。
这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。
所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。
第一部分 薛定谔方程与波函数在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。
中科院量子力学1990-2008(部分有答案)
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳， 而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个 六、 原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 。试求高能下 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。 三、 试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
(V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密
。 度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示）
试题名称：1990 量子力学（实验型）
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4
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率 密度与几率流密度的表达式。 二、 当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ， （ A 0, r0 0 为
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
中科院思考题
2000,2001,2002年中科大与中科院量子力学试题2000年(实验型)1. 在电子的双窄逢干涉理想实验中,什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释?为什么?2. 一个质量为的粒子在势场中运动.设t=0时,其归一化波函数.求1)时,测量能量所得的几率性的结果;(2)>0时的含时波函数以及时测量能量的结果.3. 设一维运动粒子的坐标和动量分别为和,c为常数.(1)求力学量和的对易关系.(2)若是算符的本征值,试证明也是的本征值.4. 对于单个电子的运动1)证明轨道角动量算符和动量算符对易.(2)论答:运动于球对称场中束缚态的力学量完全集合是什么?(不计自旋)(3)设,用测不准关系估算其基态能量.5. 设硼原子受到的微扰作用.在简并微扰一级近似下(1)论答:其价电子2p能级分裂为几个能级?(2)若已知其中一个能级移动值为A>0,则其余诸能级移动值各为多少?(3)求出各分裂能级对应的波函数(用原来的2p波函数表示)2000年(理论型)1一个质量为m的粒子被限制在一维区域运动.t=0时的波函数为其中A为常数.(1) 后来某一时刻t0的波函数是什么?(2) 体系在t=0和t=t0时的平均能量是多少?(3) 在t0时处于势井右半部分(即)发现粒子的几率是多少?2氢原子的基态能量为,其中为波尔半径,m为折合质量.(1) 写出电子偶素(氢原子中质子由正电子代替)的基态能量和半径.(2) 由于电子有自旋,电子偶素的基态的简并度是多少?写出具有确定总自旋值的可能波函数以及相应的本征值.(3) 电子偶素的基态会发生衰变,湮灭为光子.这个过程中释放的能量和角动量是多少?证明终态至少有两个光子.3设粒子处于状态，计算角动量的分量和分量的平均平方差，4记为泡利矩阵。
定义（1）计算（2）证明（为常数）（3）化简下面两式5设为一量子体系的能量算符，其本征态为。
若体系受到微扰作用，微扰算符为（为实数），为某一厄密算符，为另外的厄密算符，且。
2001中科院量子力学试题实验型
试题名称：2001 量子) 为 r 的单调上升函数 （即对任意 r ,
r0 2
dV (r ) 0） 。 试证明： 对任意给定的 r0 ， dr
2 V (r ) V 均有 R (r ) r dr 0 ，其中 R(r ) 的径向波函数。 0 五、（20 分）设一个质量为 m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象 2 2 中有 En Em xnm 2m n 其中 E 为能量， x 为坐标。 ˆ 为微扰，在由一组正交归 ˆ H ˆ H ˆ ，其中 H 六、（20 分）设一微观体系的哈密顿量 H 0
一函数作为基的表象中， 1 0 0 0 c 0 ˆ 0 3 0 , H ˆ c 0 0 H 0 0 0 2 0 0 c 其中为常数。 (1) 求 的精确本征值。 (2) 求 的准确到微扰的二级修正的本征值。 (3) 比较(1)和(2)的结果，指出期间的关系。
中国科学院－中国科技大学 2001 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
, x 0, x a 一、（10 分） 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱 V ( x) 中运动。 试用 0, 0 x a de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 二、（10 分）一个质量为 m 的粒子束沿正方向以能量 E 向 x 0 处的势垒运动， 0, x 0 V ( x) 3 ; E, x 0 4 试用量子力学观点回答：在 x 0 处被反射的反射系数 R 是多少？ 三、（20 分） ˆ 和动量算符 p ˆ ，并推导出其间的 (1) 在坐标表象中写出一维量子体系的坐标算符 q 对易关系。 (2) 在动量表象中做(1)所要求做的问题。 四、（20 分）一个微观粒子在球对称的中心势场 V ( x) 中运动，且处于一个能量和轨道 角动量的共同本征态。 (1) 在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式。写出势能 V ( x) 在此态中平均值 V 的表示式，并最后表示成径向积分的形式。
中国科学院2001年攻读硕士研究生入学试题
中国科学院2001年攻读硕士研究生入学试题《细胞生物学》AB卷生物类考研专业课资料2009-02-09 11:18:01 阅读229 评论0 字号：大中小一、名词解释(2/20)1、受体2、细胞培养3、信号转导4、细胞学说5、应力纤维6、磷脂转换蛋白7、ES细胞8、嵌合体9、交叉10、Hayflick界限二.是非题(1/20)1、亚显微结构就是超微结构。
2、光学显微镜和电子显微镜的差别在于后者的放大倍数远远大于前者,所以能看到更小的细胞结构。
3、细胞外基质的作用是为细胞提供支持的框架。
4、细胞与细胞间的粘连是由粘连蛋白介导的.粘连蛋白有的依赖Ca++,有的不依赖Ca++。
5、粘连分子的受体是整合素。
6、细胞间的通讯就是通过细胞间形成缝隙连接,是细胞质相互沟通而实现的。
7、细胞分裂时内质网要经历解体与重建的过程。
8、正常细胞发生癌变时游离的核糖体增多,而附着的核糖体和内质网的数目相应减少。
9、α-肌动蛋白见于所有肌肉细胞和非肌肉细胞胞质中。
10、从细胞内提取的分泌蛋白的分子量一般与分泌到细胞外的相应蛋白的分子量相同。
11、真核基因的转录是从第一个ATG开始的。
12、癌基因是有害的基因,因为它们的表达会导致肿瘤或癌。
13、转录因子是一类具有RNA聚合酶活性的蛋白质。
14、正常细胞在有丝分裂中期时,每条染色体的动粒均已分别结合来自纺锤体两极的微管。
15、端粒酶以端粒DNA为模板夫指出更多的端粒重复单元,以保证染色体末端的稳定性。
16、哺乳动物受精卵在发生卵裂到16细胞前,所有细胞都是全能细胞。
17、体内的多能干细胞是不会衰老的。
18、分化程度高的细胞由于细胞分裂能力的下降,发生改变的可能小于分化程度低的细胞。
19、细胞分化就是细胞内组织专一性基因或者奢侈基因选择性的表达的结果。
20、单细胞生物不存在细胞分化的现象。
三.选择题(1/20)1、原核细胞与真核细胞虽有许多不同,但都有: A。
核仁B。
核糖体C。
中国科技大学2001年考研物理化学试题及答案(文字版)
p1, H2 ( p ○ ) NaOH(a = 1) HgO(s) + Hg(l)
（2） 298.15K， p ○ 时，
H2
(
p
○
)
+
1 2
O2
(
p
○
)
=
H2O(l
)
∆
r
H
○ m
=
−285.84
kJimol-1
（3） 298.15K，下列各物质的摩尔熵值（ Sm○ ）为
-1-
考研——物理化学——2001
8. 已知某复杂反应历程为 2A k1 B ，A+C ⎯k⎯2 → D 。则 A 的浓度随时间的变化率为： k−1 （）
[A] k1[A] − k−1[B] + k2[A][C]
[B] −k1[A] + k−1[B] − k2[A][C]
[C] −k1[A]2 + k−1[B] − k2[A][C] [D] k1[A]2 − k−1[B] + k2[A][C]
9. 对弯曲液面（非平面）所产生的附加压力（ ）
[A]一定等于零 [B]一定不等于零
[C]一定大于零
[D]一定小于零
10. 对于电动电位（即 ζ 电位）的描述，哪一点是不正确的？（ ） [A] ζ 电位表示胶粒溶剂化层界面到均匀液相内的电位 [B] ζ 电位的绝对值总是大于热力学电位 φ [C] ζ 电位的值易随少量外加电解质而变化 [D]当双电层被压缩到与溶剂化层叠合时，ζ 电位以零为极限
为电位梯度，则有
γ H+
=
U
H
+
i
dE dl
普物历年试题
分析中科大中科院量子力学普通物理考研试题命题规律>一维势：06年第一题[—a,a]型.05年第三题[0，a]型.04第一题年[—a,a]型.00年[0，a]型.99年第三题.98 年第一题.> 一维势散射：03 年第二题.05 年第一题.01 年二题.> 定域电子受磁场作用：03 年第五题.99 年第四题.98 年第二题.97 年第二题.96 年第三题. > 泡利距阵结合δn: 06 年第四题.03 年第四题.00 年第四题.99 年（实验型）第四题. 97 年（实验型）第五题 .> 谐振子类谐振子结合微扰：05 年第二题第四题.04 第二题第四题.01 年第五题第六题.00 年第五题.99 年第二题第五题.98 年第三题.97 年第四题.> 下面总的分析一下普通物理，就近几年的试题来看：> （1）力学一般 3 个题目，60 分左右，占总分的40%。
> （2）电磁学3 个题目，60 分左右，占总分的40%。
> （3）原子物理 2 个题目，30 分左右，占总分的 20%。
下面分 3 部分分析一下普通物理：> （一）力学（三个题目）> 第一个题目一般考察简单物体的运动，运用运动学和牛顿运动定律就能解决，此题属于送分题目，地球人都会做。
> 第二个题目一般考察应用角动量守恒，动量定理，动量守恒，能量守恒以及圆周运动的知识解决实际问题，难度不大，但可能计算麻烦。
类型有天体运动，人造卫星运动，两个物体的相对运动，物体在外力作用下的运动等等。
> 第三个题目一般考察力矩，角速度，角加速度，角动量，转动惯量及它们之间的关系等，主要研究的是刚体的运动。
> （二）电磁学（三个题目）> 第一个题目一般考察带电体的电位分布，电场分布（有介质和无介质两种）。
属于送分题目。
> 第二个题目一般考察电流（包括无限长直电流和环行电流）产生的磁场（有介质和无介质两种）。
中科院量子力学历年详解(phileas)
v v vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 详解 2.1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
2 2
nLeabharlann ˆ n E n , H ˆ m E m ， En 与 Em 是能量本征值， 其中 为系统质量， 满足 H n m
五、一质量为 的粒子被势场 V (r ) V0 e
r a
(V0 a 0) 所散射，用一级玻恩近似计算微
分散射截面。
试题名称：1990 年 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 光电效应实验指出：当光照射到金属上， a) 只有当光频率大于一定值 0 时，才有光电子发射出； b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何 在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。 (2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ b) 如 1 和 2 是几率波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ (4) 如何知道电子存在自旋？ ˆ 二、一维谐振子的哈密顿量 H ˆ2 1 p m 2 x 2 ，基态波函数 2m 2 2 x2 2 m ( x) , e 。 设振子处于基态。 （1997 年（实验型Ⅰ）第五题） (1) 求 x 和 p ； (2) 写出本征能量 E ，并说明它反映微观粒子什么特征？
硕士学位研究生入学量子力学试卷
附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试卷名称：量子力学（理论型） 选做五题，毎题20分1、 一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。
（1） 后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2） 体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？ （3） 在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1） 计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-， （2） 证明（ξ为常数 ）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3） 化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。
5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。
中国科学院大学热力学与统计物理(中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷)2001年考研专业课初试真题
热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001 一、（20分）
导出
用T、v、k、β表示的表达式，并证明它对于van der Waals
气体是负的。
其中为
为等温压缩系数
为体胀系数
u为内能，v为体积。
二、（15分）
已知C x 为广义坐标X保持恒定时系统的热容量，C F 为广义力F保持恒定时系统的热容量，试证明：
并对气体及受拉力X作用的均匀杆（长为1）写出上式的具体表达式。
三、（15分）
⑴在温度小于简并温度的条件下，试求电子气体的。
计算时
时利用绝对零度时的μ值。
式中V为体积，N为粒子数。
⑵利用Gibbs工则分布，试证对理想气体而言有
四、（20分）
在什么样的温度下，Bose气体的化学为O？提示：
1。
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中国科学院——中国科技大学
2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（实验型）
一、（10分）
设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动
()()()
⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 00,0 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
二、（10分）
设一个质量为m 的粒子束沿正x 方向以能量E 向x=0处的势垒运动
()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=04
300x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x=0处被反射的反射系数是多少？
三、（20分）
1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q
ˆ和动量算符p ˆ，并推导其间的对易关系。
2、在动量表象中做1所要求做的问题。
四、（20分）
设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V 中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。
1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V 在此态中平均值〈V 〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。
2、设V(r)为r 的单调上升函数（即对任意r,0>dr
dV ）。
试证明：对任意给定的r 0，均有
()[]()022
<-⎰dr r r R V r V ro
o ，
其中R(r)是径向波函
五、（20分）
设一个质量为m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有
()m
h X E E
nm n m n 222=-∑ 其中E 为能量，x 为坐标。
六、（20分）
设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘，其中H ’为微扰。
在一个由正交归一函数作为基的表象中。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000201000H ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=c c c H 000000'
其中c 为常数
1、求H 的精确本征值
2、求H 的准确到微扰的二级修正的本征值
3、比较1和2的结果，指出其间关系。