北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末数学试题
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合，那么下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，解得x范围，可得即可判断出结论．【详解】解：由，解得，或．．可得0，1，，故选：D．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：，，则为，．故选：A．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】对赋值来排除。
【详解】当，时，A结论不成立。
当时，B结论不成立。
当时，C结论不成立。
故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。
4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，，代入计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式，属于基础题．5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、、、的值，由函数零点判定定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数，且，，，，则函数的零点所在区间是；故选：C．【点睛】本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．6.，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．【详解】解：由，，，在第一象限为增函数，．故得故选：D．【点睛】本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．7.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得，由得，得．则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.8.若实数x，y满足，则的最大值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可求出最大值．【详解】解：实数x，y满足，，，当，时取等号，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．9.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为1的周期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数的定义域为R，且当时，，则，当时，，即，即，则函数为周期为1的周期函数；则，当时，，则有，又由，则；故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.10.已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，；若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则2，4，；若3，，则4，．综上可得：有序集合对的个数为12．故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可. 【详解】解：故答案为【点睛】本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键.12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】且解不等式即可。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)1
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。
北京市朝阳区2018-2019学年高一上期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②④C．②③D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x 2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x 增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x ∈（0，1）时，y=﹣x 2+2x ，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B ．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b ＞c ＞a ．故选A ．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x ＞0时，其图象是指数函数y=a x 在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以是增函数的形状，当x ＜0时，其图象是函数y=﹣a x 在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以是减函数的形状， 比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C ．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，则∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}．所以A∩∁R B={x|3≤x≤5}．（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个某市年月日﹣月日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）． 当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k ]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2019年3月12日。
北京市2018-2019学年初一下学期期末试卷新定义专题
新定义北京2018-2019初一下学期期末专题汇编1、东城区28. 对于任意一点P和线段a.若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的内垂点.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0),B(2,0 ) ,C(0,2).（1）在点M（1，0），N（3，2），P（-1，-3）中，是线段AB的内垂点的是；（2）已知点D（-3，2），E（-3，4）.在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为Rt△CD E三边的内垂点；（3）已知直线m与x轴交于点B,与y轴交于点C,将直线m沿y轴平移3个单位长度得到直线n . 若存在点Q，使线段BQ的内垂点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标.备用图2、朝阳区28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形G 和点P ，给出如下定义：将图形G 沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次,平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的 图形记为G '，若点P 在图形G '上，则称点P 为图形G 的稳定点．例如，当图形G 为 点（―2，3）时，点M （―1，3），N （―2，3.5）都是图形G 的稳定点． （1）已知点A （―1，0），B （2，0）.① 在点P 1)0,2(-，P 2(40)，，P 3)21,1(，P 4)23,23(- 中，线段AB 的稳定点是 ．② 若将线段AB 向上平移t 个单位长度，使得点E (01)，或者点F (05)，为线段AB 的稳定点，写出t 的取值范围 ．（2）边长为a 的正方形，一个顶点是原点O ，相邻两边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G . 若以（0，2），（4，0）为端点的线段上的所有点都是这个图形G 的稳定点，直接写出a 的最小值 ．3、石景山区28．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，对于两个点P，Q和线段AB，给出如下定义：如果在线段AB上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是线段AB的一对关联点．（1）如图，在Q1，Q2，Q3这三个点中，与点P是线段AB的一对关联点的是_________；（2）直线l∥线段AB，且线段AB上的任意一点到直线l的距离都是1．若点E是直线l上一动点．．，且点E与点P是线段AB的一对关联点，请在图中画出点E的所有位置．4、丰台区26. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A,B，我们把A,B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫做A ，B 两点间的折线距离，记作d （A ,B ）． 即：如果A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），那么d （A ，B ）=. （1）已知A （2，1），B （－3，0），求出d （A ，B ）的值；（2）已知C （2，0），D （0，a ），且d （C ，D ）≤3，求a 的取值范围；（3）已知M （0，2），N （0，-3），动点P （x ，y ），若P ，M 两点间的折线距离与P ，N两点间的折线距离的差的绝对值是3，直接写出y 的值并画出所有符合条件的点P 组成的图形．5、顺义区30．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：40，42，44中，“迥异数”为 ；②计算：()23f = ；（2）如果一个“迥异数”的十位数字是k ，个位数字是，且，请求出“迥异数”．a a ()f a 12a =211233+=3311=3÷()12=3fb ()21k +()11f b =b（3）如果一个“迥异数”c ，满足()530c f c ->,请直接写出满足条件的c 的值．6、昌平区27. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释. 如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片. 用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为________；（2）若解释因式分解，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；2223(2)()a ab b a b a b ++=++C 类B 类A 类a ba baba baab图2图1图3aba b bb2234()(3)a ab b a b a b ++=++（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m 的值为________，将此多项式分解因式为________．7、平谷区26.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32﹣12，16=52﹣32，24=72﹣52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”． （1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是 ；（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续 奇数的和为 ；(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n -1和2n +1（其中n 取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确.225a mab b ++8、延庆区28．如果A，B都是由几个不同整数构成的集合，由属于A又属于B的所有整数构成的集合叫做A，B的交集，记作A∩B．例如，若A=｛1，2，3｝，B=｛3，4，5｝，则A∩B=｛3｝；若A=｛0，－62，37，2｝，B=｛2，－1，37，－5，0，19｝，则A∩B=｛37，0，2｝．（1）已知C=｛4，3｝，D=｛4，5，6｝，则C∩D=｛｝；（2）已知E=｛1，m，2｝，F=｛6，7｝，且E∩F=｛m｝，则m = ；（3）已知P=｛2m+1，2m－1｝，Q=｛n，n+2，n+4｝，且P∩Q=｛m，n｝，9、怀柔区29.在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a(a>0)和|x|＜a(a>0)的解集．小明同学的探究过程如下：先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集.确定|x|＞2的解集过程如下：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：所以，|x|＞2的解集是x＞2或①.再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：②所以，|x|＜2的解集为：③.经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a(a>0)的解集为④，|x|＜a(a>0)的解集为⑤.请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：(1)请将小明的探究过程补充完整；(2)求绝对值不等式2|x+1|-3＜5的解集．10、门头沟28. 定义一种新运算“a b ψ”的含义为：当a b ≥时，2a b b ψ=；当a b＜时，2a b a ψ=．例如：()()31212ψ-=⨯-=-，()()6(5)2612-ψ-=⨯-=-． （1）填空：3ψ=5 ；（2）如果()()()3225225x x x -ψ+=⨯+，求x 的取值范围；（3）如果：()()23216x x -ψ--=-，求x 的值11、大兴区27. 有这样一个问题：已知()22221,1,1ax bxy cy cx bxy ay a c x y ⎧++=⎪++=≠⎨⎪+=⎩，求a b c++的值小腾根据解二元一次方程组的经验，得到4a b c ++=．请你写出完整的解题过程.答案1、东城区28. (1)M , P ;------------------------------------------------------- 2分（2）如图，---------------------------------------------------------------------------5分2、朝阳区28.（1）① P 1，P 3． ………………………………………………………2分② 0≤t ≤2或4≤t ≤6. ……………………………6分（2）3．…………………………………………………………………………………7分3、石景山区28．解：（1）2Q ，3Q ；（2）4、丰台区26. 解：（1）(,)2(3)10516d A B =--+-=+=.（2）∵(,)23d A C a =+≤，∴1a ≤.∴11a -≤≤. ...................................................... 4分 （3）12y =-或， ....................................................... 6分如图. ................................................................... 7分5、顺义区30. （6分）（1）① 42 ② 5………………..……..……..……..…………………….……….…...…2分 （2）2(1)8k k ++=………………..……..……..……..…………………….……….…...…3分 2k = 2(1)6k +=∴26b =………………..……..……..……..…………………………………….…...4分 （3）满足条件的c 的值是71，81，82，91，92，93………..……...…..…………………6分6、昌平区27. 解：（1）2243()(3).a ab b a b a b ++=++ (2)分（2）如下图：⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分………………………………………4分（3） 6.m = ………………………………………5分 2256()(5).a ab b a b a b ++=++ ………………………………7分7、平谷区26.(1)32，80 (2)分（2）100 ……………………………………………3分（3）证明：22）1-n 2（-）1n 2（+ ……………………………………………4分 =）14n -n 4（-1n 4n 422+++ …………………………………5分 =）1-4n n 4-1n 4n 422+++=8n …………………………………6分∴结论成立. …………………8、延庆区28.（1）4 …………………… 2分（2）6或7 …………………… 2分（3）⎩⎨⎧-=-=31n m ,2012＜a ≤2013………………3分9、怀柔区29. (1)①x ＜-2.………………………………………………………………………1分a a abba②………………………………………………………………………………………………2分 ③-2＜x ＜2. ………………………………………………………………………………3分 ④x ＞a 或x ＜-a ；………………………………………………………………………………4分 ⑤-a ＜x ＜a . ……………………………………………………………………………………5分 (2) -5＜x ＜3. ……………………………………………………………………………………6分10、门头沟28．（本小题满分7分）解：（1）6； ……………………………………1分（2）由题意得 3225x x -+≥，………………………………………………………2分解得 7x ≥∴ x 的取值范围是7.x ≥………………………………………………………3分（3）当2321x x ---≥，即12x ≥时，由题意得 ()2216x ⨯--=-，解得 1.x =…………………………………………………………………………5分当2321x x ---＜，即12x ＜时，由题意得 ()2236x ⨯-=-， 解得 0x =∴ x 的值为1或0. …………………………………………………7分 说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分11、大兴区27. 解：()22221,1,1ax bxy cy cx bxy ay a c x y ⎧++=⎪++=≠⎨⎪+=⎩ ①② ③①—②，得22()()0a c x y --=……………………………………………………………….2分a c ≠220x y ∴-=………………………………………………………………………3分()()0x y x y ∴+-=Q 1x y +=…………………………………………………………………………4分0x y ∴-=由1,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩得。
北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2023.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则AB =（A ）(,2)-∞（B ）(1,)-+∞（C ）(1,1]- （D ）[1,2) （2）在下列函数中，为偶函数的是（A ）()cos f x x x =- （B ）()cos f x x x =（C ）()ln f x x = （D ）()f x =（3）在1()nx x+的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有 故宫的概率为（A ）111 （B ）19 （C ）311 （D ）13（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M ．若OMP △的面积为625，则sin2α= （A ）625（B ）1225 (C)1825（D ）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为（A ）（B ） （C ） （D ）（8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（A ）3(,[,)3-∞+∞ （B ）[（C ）5(,][,)22-∞-+∞ （D ）[,22- （10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， Q 是棱1DD 上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q ，使得11//C Q AC ； ②存在点Q ，使得11C Q AC ⊥；③对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离为定值； ④对于任意点Q ，△1ACQ 都不是锐角三角形. （A ）① ③ （B ）② ③ （C ）② ④ （D ）① ④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数z 满足(i)i 3z +=-，则____.z =（12）已知函数()cos f x x x =-，则()3f π= ；若将()f x 的图象向左平行移动6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为 . （13）经过抛物线22(0)ypx p =>焦点F 的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，则点B 的纵坐标B y 与点D 的纵坐标D y 的大小关系为B y D y .(用“>”“<”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩当0a =时，()f x 的值域为__________；若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是___________.（15）对于数列{}n a ，令11234(1)n n n T a a a a a +=-+-++-L ，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的n *∈N 都成立； ④若对任意的N n *∈，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。
北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末教学统一检测数学试题(含答案)
北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷本试卷共20个题目，满分100分．考试时间120分钟．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）直线1y =+的倾斜角为（ ）（A ）30 （B ）60 （C ）120 （D ）150（2）某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） （A ）高一学生被抽到的可能性最大 （B ）高二学生被抽到的可能性最大（C ）高三学生被抽到的可能性最大（D ）每位学生被抽到的可能性相等（3）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（ ）（A ）14（B ）13（C ）12（D ）1（4）已知向量(1,1)=a ，(2,)x =b ，若+a b 与42-b a 平行，则实数x 的值为（ ）（A ）2- （B ）0（C ）1（D ）2（5）先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（ ） （A ）18 （B ）38 （C ）58 （D ）78（6）在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则 △ABC 为（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰或直角三角形 （D ）等腰直角三角形（7）若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ）（A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）1-（8）如图，向量AB =a ，AC =b ，CD =c ，则向量BD 可以表示为（ ）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-+b a c （D ）--b a c（9）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）（A ）若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ （B ）若//,//,//m n αβαβ，则//m n （C ）若//,//m n αα，则//m n （D ）若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥（10）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如1073=+．在不超过30的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）（A ）112 （B ）114 （C ）115（D ）118第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．（11）在△ABC中，a =1b =，1c =，则A =_________．（12）某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．（13）已知点(2,5)A ，(3,2)B -，则向量AB=uu u r ______，与向量AB uu u r同向的单位向量为_______.（14）已知直线:60l x +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.（15）下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 ,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题7分）已知向量a ，b 满足：||2=a ，||1=b ，()(2)8+-=a b a b ． （Ⅰ）求a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）求||+a b ．（17）（本小题7分）在△ABC 中，若sin sin()3b A a B π=+． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =ABC 的面积．（18）（本小题9分）2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，…[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率； （Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄. （19）（本小题9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅲ）求证：AF ⊥平面POD .（20）（本小题8分）已知圆C 满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线 3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于13． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，以,OA OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）D （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）C 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）120 （12）10200 （13）(1,7)- 272(,)1010-（14）4 （15）①④⑤ 三、解答题（共5小题，共40分） （16）（共7分）解：（Ⅰ）因为()(2)8+-=a b a b ， 所以7+2cos 8θ=． 所以1cos 2θ=． 因为0180θ<<，所以=60θ． 3分（Ⅱ）因为2222||()2+=+=+⋅+a b a b a a b b ， 由已知||2=a ，||1=b ， 所以2||4217+=++=a b ．所以||+=a b 7分（17）（共7分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理可知，sin sin b A a B =， 所以sin sin()3a B a B π=+． 所以3B B π++=π． 即3B π=． 3分（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可知， 2222cos b a c ac B =+-． 所以2342c c =+-． 所以1c =．所以△ABC的面积1sin 2S ac B == 7分（18）（共9分）解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件A ,()0.1250.0650.040.0050.235P A =+++=所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率0.235. 3分（Ⅱ）年龄在[0,40)的累计频率为0.0750.0350.160.180.45+++=,0.050.014 3.6÷≈,所以估计中位数为40 3.643.6+=. 6分（Ⅲ）平均年龄为50.075150.035250.16350.18450.1450.17550.12550.06550.0450.00544+++++5+6+7+8+9⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=9分（19）（共9分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为CD AD ⊥，AD PA=A I ， 所以CD ⊥平面PAD . 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .3分（Ⅱ）取PD 中点G ，连结FG AG ，，因为F 为PC 的中点所以FG//CD ，且12FG=CD .因为E 为AB 的中点，底面ABCD 为正方形，所以AE//CD ，且12AE=CD . 所以FG//AE ，且FG=AE . 所以四边形AEFG 为平行四边形. 所以EF//AG .因为EF ⊄平面PAD 且AG ⊂平面PAD ，所以EF//平面PAD . 6分（Ⅲ）在正方形ABCD 中，OD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA OD ⊥. 因为ACPA A =，所以OD ⊥平面PAC . 所以OD AF ⊥.在△PAC 中，设PO 交AF 于H . 因为PA AC ⊥，且,O F 分别为,AC PC 的中点， 所以AF FC =.所以FAC FCA ∠=∠. 设1PA =，由已知PA AB =，所以AC =所以tan tan 2APO ACP ∠=∠=. 所以APO ACP ∠=∠.所以APO ACP ∠=∠，且AOP ∠为公共角， 所以△APO ∽△HAO . 所以90AHO ∠=. 所以AF PO ⊥. 因为PO OD=O I ，所以AF ⊥平面POD .9分（20）（共8分）解：（Ⅰ）设圆心C 为(,0)(0)a a >，半径为r ．因为圆C 与直线3470x y -+=相切， 所以|37|5a r +=，即375a r +=． ①又因为圆C 被y轴截得的弦长为 所以223a r +=．②由①，②得12a r =⎧⎨=⎩或138198a r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．因为圆C 的面积小于13， 所以1a =，2r =．所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．4分（Ⅱ）由(0,3),(1,0)M C 得(1,3)MC =-． 所以(,3)OD λλ=-，即(,3)D λλ-．在平行四边形OADB 中，设OD 与AB 交于E ． 则E 为OD ，AB 中点，CE AB ⊥． 所以3(,)22E λλ-． 所以336322ABk λλλλ++==--． 因为332212CEk λλλλ==--， 令1AB CE k k ⋅=-，即63312λλλλ+⋅=---． 解得85λ=-，此时34AB k =，直线l 的方程为334y x =+． 8分。
高一数学下学期期中试题(含解析)
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原式=
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【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
北京市东城区 2018-2019 学年度八年级上学期期末教学统一检测数学试题
2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣82．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数3．下列运算中，正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b4．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝66．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．7．已知a m＝2，a n＝3，则a3m+2n的值是（）A．6B．24C．36D．728．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC ＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．810．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（）A．B．或10C．10D．或二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11．分解因式：2ax2﹣8a＝．12．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝．13．当x＝时，分式的值为0．14．课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是．15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是；（2）若∠A≠36°，当∠A＝时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．18．计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20．解分式方程：+1＝．21．先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．26．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得＝；参照（二）式得＝；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC 于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7；故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．【解答】解：若分式有意义，则a﹣1≠0，即a≠1，故选：A．【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3．下列运算中，正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；B、a•a2＝a3，正确；C、3a6÷a3＝3a3，故此选项错误；D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝6【分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．【解答】解：∵4+4﹣＝6，∴选项A不符合题意；∵4+40+40＝6，∴选项B不符合题意；∵4+＝6，∴选项C不符合题意；∵4﹣1÷+4＝4，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、是最简二次根式，正确；B、不是最简二次根式，错误；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误；故选：A．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．7．已知a m＝2，a n＝3，则a3m+2n的值是（）A．6B．24C．36D．72【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m+2n＝（a m）3×（a n）2＝23×32＝72．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．8．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC ＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC．又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，则∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6．故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB＝60°是解题的关键．10．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（）A．B．或10C．10D．或【分析】分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．【解答】解：若5＞x，即x＜5时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（5﹣a）得：5＝2（5﹣x），解得：x＝，经检验：x＝是原方程的解，且＜5，即x＝符合题意，若5＜x，即x＞5时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（x﹣5）得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，且10＞5，即x＝10符合题意，故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，有理数的混合运算，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11．分解因式：2ax2﹣8a＝2a（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）．故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝12．【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，∴2m﹣24＝0，解得：m＝12，故答案为：12．【点评】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．13．当x＝﹣2时，分式的值为0．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：∵＝0，∴x＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．14．课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【分析】利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的定义，由CD垂直平分AB可得到△ABC就是等腰三角形．【解答】解：若CD垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC就是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为13．【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE＝BE，进而得到AE+CE＝BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．【解答】解：如图，连接BE，∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴AE+CE＝BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC＝5+8＝13，故答案为：13．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．16．已知在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是108°，36°；（2）若∠A≠36°，当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）当∠A＝90°或108°时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108°，36°；（2）当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形，故答案为：90°或108°．【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．三、解答题（本题共12小题，共56分）17．计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1﹣4＝0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2＝2x2+2xy＝2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2＝（x+y）2；方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x）．【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．20．解分式方程：+1＝．【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：方程两边同乘以2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，解得x＝，检验：当x＝时，2（x+3）≠0，∴x＝是分式方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验方程的根．21．先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．【分析】先去括号，然后化除法为乘法进行化简计算，最后代入求值即可．【解答】解：原式＝＝＝．当a＝0时，＝．【点评】考查了分式的化简求值，注意：如a取﹣2，2，3时，分式无意义．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（0，﹣1），△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．根据“行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列出方程并解答．【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．依题意，得．解方程，得x＝100．经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．【分析】结论：AE与AF的位置关系是垂直．想办法证明∠CAF+∠CAE＝90°即可．【解答】解：结论：AE与AF的位置关系是垂直．证明：∵AE是△ACD的角平分线，∴，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，又∵F为BC中点，∴，∵∠CAB+∠CAD＝180°，∴∠CAF+∠CAE＝90°，∴AE⊥AF．【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得＝﹣；参照（二）式得＝﹣；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．【分析】（一）（1）方法一：利用分母有理化化简；方法二：利用平方差公式把2写成两个数的平方差的形式，然后利用约分化简；（二）1．先把前面括号内的各二次根式分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；2．利用分母有理化得到原式＝（﹣1+﹣+…+﹣），然后合并即可．【解答】解：（1）＝＝﹣；＝＝﹣；故答案为﹣；﹣；（2）1.＝（﹣1+++﹣+…+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2019﹣1＝2018；2.+++…+＝（﹣1+﹣+…+﹣）＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC 于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为②（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的长；（2）过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的长；（3）过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的长．【解答】解：（1）如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；（2）1、补全的图形如下，过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为②．【点评】本题为三角形综合题，关键是通过作辅助线构建新的等边三角形，再通过证明三角形全等，确定边之间的关系，本题难度不大．28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）【分析】（1）点A关于y轴的对称点为D，求出∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，即可求解；（2）∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，求出∠BOD即可求解；（3）证明△AOP≌△ABQ（AAS），而EP为△DAQ的中位线，即可求解．【解答】解：（1）∵点A关于y轴的对称点为D，∴∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，∴△OAD为等边三角形，∴∠BOD＝120°，∴∠BDO＝＝30°；（2）如下图：∵∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，∴∠BOD＝360°﹣2α﹣60°＝300°﹣2α，∵BO＝BD，∴∠OBD＝∠ODB．∴（3）如上图，连接AP，过点A作AQ∥y轴，交DB的延长线于点Q，∠OBD＝∠BDO＝α﹣60°，∠ABQ＝180°﹣∠ABO﹣∠BDO＝180°﹣α，而∠AOP＝180°﹣∠AOE＝180°﹣α，∴∠ABQ＝∠AOP，∵AQ∥y轴，∴∠Q＝∠DPE＝∠APE，又AB＝AO，∴△AOP≌△ABQ（AAS），∴AP＝AQ，BQ＝PO，∠BAQ＝∠OAP，∴∠PAQ＝∠QAB+∠BAP＝∠BAP+∠PAO＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴AQ＝PQ＝PB+BQ＝PB+PO，∵AQ∥y轴，E为AD的中点，∴EP为△DAQ的中位线，∴AQ＝2EP，∴2PE＝BP+PO．【点评】本题是几何变换的综合题，涉及到三角形全等、中位线、等边三角形等知识，关键是通过正确画图，找出全等的三角形，确定线段间的关系．。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题含解析
北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线1y =+的倾斜角为（）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.60，故选B.【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.2.某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A. 高一学生被抽到的可能性最大B. 高二学生被抽到的可能性最大C. 高三学生被抽到的可能性最大D. 每位学生被抽到的可能性相等 【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.3.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（）A.14B. 13C. 12D. 1【答案】B【解析】【分析】根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.【详解】根据正方体的几何性质可知1D D ⊥平面A B C D ，所以11111111333D ABCD ABCD V S DD -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题.4.已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值为（）A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】分析】先求得a b +与42b a -，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值.【详解】依题意()3,1a b x +=+与()426,42b a x -=-，由于a b +与42b a -平行，所以()()342610x x ⨯--+=，126660x x ---=，解得2x =，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查两个向量平行的条件，属于基础题.5.先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（） A. 18 B. 38 C. 58 D. 78【答案】D【解析】【分析】先求得全是正面的概率，用1减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.【详解】基本事件的总数为2228⨯⨯=，全是正面的的事件数为1，故全是正面的概率为18，所以至少出现一次反面的概率为17188-=，故选D. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题.6.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（）A. 5B. 3C. 1D. 1-【答案】A【解析】【分析】求得圆的圆心，代入直线方程，由此求得a 的值.【详解】依题意可知，圆的圆心为()1,2-，代入直线方程得320a --+=，解得5a =，故选A.【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标，考查方程的思想，属于基础题.8.如图，向量AB a =，AC b =，CD c =，则向量BD 可以表示为（）A. a b c +-B. a b c -+C. b a c -+D. b a c --【答案】C【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的运算，求得BD 的线性表示.【详解】依题意BD AD AB AC CD AB =-=+-，即b D c B a -+=，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.9.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥B. 若//,//,//m n αβαβ，则//m nC. 若//,//m n αα，则//m nD. 若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A 选项错误.对于B 选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B 选项错误.对于C 选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们可能相交、异面或者平行，故C 选项错误.对于D 选项，根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D 选项命题正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. 112 B. 114 C. 115 D. 118【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.在△ABC 中，a =1b =，1c =，则A =_________． 【答案】120【解析】【分析】利用余弦定理求得cos A 的值，进而求得A 的大小. 【详解】由余弦定理得1131cos 2112A +-==-⨯⨯，由于()0,180A ∈，故120A =o . 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.12.某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．【答案】10200【解析】【分析】计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以总人数，求得小区已安装宽带的居民数.【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为604251200100+=，故小区已安装宽带的居民有512000010200100⨯=户. 【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题.13.已知点(2,5)A ，(3,2)B -，则向量AB=uu u r______，与向量AB 同向的单位向量为_______.【答案】 (1). (1,7)-(2). (1010- 【解析】【分析】先求得AB ，通过AB AB 求得AB 同方向的单位向量.【详解】依题意()1,7AB =-，故AB 同方向的单位向量为1,7,10101ABAB ⎛-==- +⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量同方向的单位向量的求法.14.已知直线:60l x +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.【答案】4【解析】【分析】联立直线l 的方程和圆的方程，求得,AB 两点的坐标，根据点斜式求得直线,AC BD 的方程，进而求得,C D 两点的坐标，由此求得||CD 的长.【详解】由226012x x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得((,A B ，直线l 的斜率为-,AC BD ，所以):,:3AC BD l y l y x -=-，令0y =，得()()2,0,2,0C D -，所以4CD =.故答案为4【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______【答案】①④⑤【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BA l D，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CB l D l内，所以MN 不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.已知向量a ，b 满足：||2a =，1b ||=，()(2)8a b a b +⋅-=．（Ⅰ）求a 与b 的夹角θ；（Ⅱ）求||a b +．【答案】（Ⅰ）=60θ【解析】【分析】（I ）利用向量数量积的运算，化简()(2)8a b a b +-=，得到cos θ，由此求得θ的大小.（II ）先利用向量的数量积运算，求得2||a b +的值，由此求得||a b +的值.【详解】解：（Ⅰ）因为()(2)8a b a b +-=，所以7+2cos 8θ=． 所以1cos 2θ=． 因为0θ180<<，所以=60θ．（Ⅱ）因为2222||()2a a b a b b a b +=+=+⋅+，由已知||2a =，1b ||=，所以2||4217a b =++=+． 所以||7a b =+．【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角计算，考查向量模的求法，属于基础题.17.在△ABC 中，若sin sin()3b A a B π=+．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）3B π=【解析】【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，由此求得B 的大小.（II ）利用余弦定理求得c 的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.【详解】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理可知，sin sin b A a B =， 所以sin sin()3a B a B π=+． 所以3B B ππ++=． 即3B π=．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可知，2222cos b a c ac B =+-．所以2342c c =+-．所以1c =．所以△ABC 的面积1sin 22S ac B ==． 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，…[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率；（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.【答案】（Ⅰ）0.235（Ⅱ）43.6（Ⅲ）44【解析】【分析】60,100之间的频率和，由此估计出年龄不小于60的概率.（II）从左往右，计（I）计算[]算出频率之和为0.5的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.【详解】解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件A,P A=+++=()0.1250.0650.040.0050.235所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为0.235.+++=,（Ⅱ）年龄在[0,40)的累计频率为0.0750.0350.160.180.45÷≈,0.050.014 3.6+=.所以估计中位数40 3.643.6（Ⅲ）平均年龄为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 50.075150.035250.16350.18450.14550.175650.125750.065850.04944=【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅲ）求证：AF ⊥平面POD .【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（I ）通过证明CD ⊥平面PAD 来证得平面PAD ⊥平面PCD .（II ）取PD 中点G ，连接,FG AG ，通过证明四边形AEFG 为平行四边形，证得//EF AG ，由此证得EF ∥平面PAD .（III ）通过证明OD ⊥平面PAC 证得OD AF ⊥，通过计算证明证得AF PO ⊥，由此证得AF ⊥平面POD .【详解】证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为CD AD ⊥，AD PA=A ⋂，所以CD ⊥平面PAD因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD⊥平面PCD.（Ⅱ）取PD中点G，连结FG AG，，因为F为PC的中点所以FG//CD，且1FG=CD2.因为E为AB的中点，底面ABCD为正方形，所以AE//CD，且1AE=CD2.所以FG//AE，且FG=AE.所以四边形AEFG为平行四边形.所以EF//AG.因为EF⊄平面PAD且AG⊂平面PAD，所以EF//平面PAD.（Ⅲ）在正方形ABCD中，OD AC⊥，因为PA⊥平面ABCD，所以PA OD⊥.因为AC PA A⋂=，所以OD⊥平面PAC.所以OD AF⊥在△PAC中，设PO交AF于H.因为PA AC⊥，且,O F 分别为,AC PC 的中点，所以AF FC =.所以FAC FCA ∠=∠.设1PA =，由已知PA AB =，所以AC =所以tan tan APO ACP ∠=∠=所以APO ACP ∠=∠.所以APO ACP ∠=∠，且AOP ∠为公共角，所以△APO ∽△HAO .所以90AHO ∠=.所以AF PO ⊥.因为PO OD=O ⋂，所以AF ⊥平面POD .【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为C 的面积小于13.（1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】(1) 22(1)4x y -+=.(2) 不存在这样的直线l .【解析】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知RR==，，解得a=1或a=138，3分又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4．6分（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l与圆C相交于不同的两点，联立223{(1)4y kxx y=+-+=，，消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，9分∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，解得13k<-或13k>+．x1+x2=2621kk--+，y1+ y2=k(x1+x2)+6=2261kk++，121211()()22OD OA OB x x y y=+=++，，(13)MC=-，，假设OD∥MC，则12123()x x y y-+=+，∴226226311k kk k-+⨯=++，解得3(1(1)4k=∉-∞⋃++∞，，假设不成立．∴不存在这样的直线l．13分考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
北京市东城区2024届高三下学期综合练习(一)(一模)数学试题(含答案与解析)_4942
北京市东城区2023~2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A 3B.13C. 3-D. 13-4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m8. 设等差数列{}n a 公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD所成的角为.的θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______. 13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试在判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，的(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð【答案】D 【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð. 故选：D.2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <【答案】C 【解析】【分析】举出反例即可判断ABD ，利用作差法即可判断C. 【详解】当2,1a b =-=时，11,lg >lg a b a b<，故AD 错误； 当2,1a b =-=-时，221ab b =>=，故B 错误；对于C ，因a b <，所以0a b -<，因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，为则()()()3322213024a b a b a ab ba b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33a b <，故C 正确. 故选：C.3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A. 3 B.13C. 3-D. 13-【答案】B 【解析】【详解】由双曲线221x my -=可得：2211,a b m==，2c e a ====，所以13m =，故选：B . 4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数()11ln f x x=+的定义域为()()0,11,+∞ ， 对于A ，()1111111221ln ln ln lnf x f x x x x x⎛⎫+=+++=++= ⎪-⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()111112111ln ln ln ln lnf x f x x x x x x⎛⎫-=+--=--=⎪-⎝⎭，故B 错误； 对于CD ，当e x =时，()11112,1011f x f x ⎛⎫=+==+= ⎪-⎝⎭，故CD 错误. 故选：A.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据周期性求出ω，根据最值求出t ，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】()()sin cos f x t x x x ωωωϕ=+=+，其中1tan tϕ=，因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，解得2ω=，，=1t =（1t =-舍去），所以()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数图象不关于直线π4x =-对称，也不关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故AB 错误；因为ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数图象关于直线π8x =对称，不关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确，D 错误.故选：C .6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+， 即2m =或4m =-. 故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A. 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m【答案】B 【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积22π1220π1020880πV =⨯⨯-⨯⨯=（3cm ） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500880π440000π⨯=（3cm ）， 又π 3.14≈，的的所以共需粘土的体积为约为31.3816m ， 故选：B.8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出na n，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列{}n a 的公差为d ，得1n a a d nd =-+，则1n a a d d n n-=+， 当10a d <<时，10a d -<，而111n n >+，则111a d a d n n --<+，因此11n n a a n n +<+，{}n a n为递增数列；当{}n a n为递增数列时，则11n n a a n n +<+，即有111a d a dn n --<+，整理得1a d <，不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】结合题意，可得1EO EC =1CO 在平面BCD 的投影为直线CE，借助正弦定理计算可得tan θ=tan θ的最大值即可得sin θ的最大值.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，1A E ，由三角形ABD 为正三角形，故1O 在线段1A E 上，且1113EO A E BD ===，即1EO EC =， 由题意可得BD EC ⊥，1BD A E ⊥，1A E 、EC ⊂平面1ECO ，1A E EC E = ， 故BD ⊥平面1ECO ，又1CO ⊂平面1ECO ，故直线1CO 在平面BCD 的投影为直线CE ， 即1ECO θ=∠，则有()111sin sin sin sin πEO EC CO E O EC θθθ===∠--∠，整理可得tan θ=()10,πO EC ∠∈，令()()0,πf x x =∈，()f x =='，故当cos x ⎛∈- ⎝时，()0fx '<，当cos x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0f x '>，令()00,πx ∈，且0cos x =，则0sin x ==， 则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，即()f x 有最大值()0f x ===即tan θ，则sin θ=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出θ与1O EC ∠的关系，通过导数计算出tan θ的最大值从而得到sin θ的最大值.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值【答案】D 【解析】【分析】首先理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后举反例设()f x x =可判断A 错误；设()2f x x =可得B 错误；设()sin f x x =可得C 错误；由函数单调性的定义可以判断D 正确. 【详解】函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R 表达的是函数()f x 图象上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率；所以对于A ：因为()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上单调递增， 所以设()f x x =，则()f a a =，此时()()()()1a f x f a x ag x a x ax a--===∈--R 为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A 错误； 对于B ：设()2f x x =，由图象可知，当x ∈R 时，随x 增大，点()(),x f x 与点()(),a f a 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但()f x 在R 不是单调函数，故B 错误；对于C ：因为对于任意实数a 存在实数10M >，使得()1f x M <，说明()f x 为有界函数，所以设()sin f x x =，但割线的斜率不一定有界，如图当0x +→时，割线的斜率趋于正无穷，故C 错误；对于D ：因为函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≥⇒--≥≠⎣⎦-，因为x a >，0x a ->，所以()()f x f a ≥； 同理，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≤⇒--≤≠⎣⎦-，因为x a <，0x a -<，所以()()f x f a ≥； 所以()f a 为()f x 的最小值，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()21111i i i z i i i i i++===-+=- ，因此，z ==..【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______.【答案】43-##113- 【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设,a b的夹角为θ，cos a b a b a b θ⋅== ，故cos 1θ=，又[]0,πθ∈，故0θ=，,a b方向相同， 又()()1,,3,4a m b ==- ，则43m -=，解得43m =-，满足题意.故答案为：43-.13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.【答案】 ①.π3（答案不唯一，符合题意即可） ②. π6（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】【分析】由角,αβ的终边关于直线y x =对称，可得π2π2k αβ+=+，再由()1sin 2αβ-=可得ππ6k β=+或ππ6k β=-+，即可求出答案. 【详解】因为角,αβ的终边关于直线y x =对称， 则π2π2k αβ+=+，Z k ∈，则π2π2k αβ=-+， 因为()1sin 2αβ-=，所以ππ1sin 2πsin 22πcos 2222k k ββββ⎛⎫⎛⎫-+-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所有π22π3k β=+或π22π3k β=-+，Z k ∈， 解得：ππ6k β=+或ππ6k β=-+，Z k ∈，取0k =，β的一个值可以为π6，α的一个值可以为π3.故答案为：π3（答案不唯一，符合题意即可）；π6（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.【答案】 ①. ()1,0 ②. 2【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出12,PF QF ，进而可得出PQ . 【详解】由抛物线21:4C y x =，可得()11,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则11221,2PF x QF x =+=+，故121211PF QF x x -=--=，所以122x x -=， 所以122PQ x x =-=.故答案为：()1,0；2.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】【分析】①直接取13c =-找矛盾；②通过21111111n n nn n n a a a a a a ++⇒=--=>-+，利用累加法求n a 的范围；③假设11a ≤找矛盾；④取2c =，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若11,0a c =<，则21211ca c a a =+=+，当13c =-时，223a =，与213a <矛盾，①错误；对于②：若1c =-，则210n n n a a a +=-+>，所以01n a <<，又2112a a a =-+，若12113a a <-+，该不等式恒成立，即2013a <<， 由()2111111*********n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++⇒=⇒=+⇒-=--=--+由于01n a <<，所以111na >-， 所以1111n n a a +->，所以3n ≥时，11232111111111nn n n a a a a a a ---⎧->⎪⎪⎪->⎪⎨⎪⎪⎪->⎪⎩ ，累加得2112n n a a ->-， 所以2112231n n n n a a >-+>-+=+，所以()131n a n n <≥+， 综合得()121n a n n <≥+，②正确； 对于③：若()1,2n c a n n =>≥，21n n n a a a +=+，假设11a ≤，则21122a a a =+≤，与22a >矛盾，故11a >，③正确；对于④：当11a =时，若2c =，则212n n n a a a +=+，此时2121232a a a =+=>，根据二次函数22y x x =+可得其在()0,∞+上单调递增，并增加得越来越快，但是函数y x =在()0,∞+上单调递增，但增加速度恒定，故在22a >的情况下，n a n >必成立，即存在实数c ，使得()2n a n n >≥，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值. 【答案】（1）π6； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin()cos A C B B +=，结合三角和为π及诱导公式可得cos B =，即可得答案；（2）在ABD △中，由正弦定理可求得π2BAD ∠=，从而可得AB =ABC 中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】解：因为cos cos cos a C c A B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos cos A C C A B B +=，即sin()cos A C B B +=，sin(π)sin cos B B B B -==， 又因为sin 0B ≠，所以1B =，解得cos B =，又因为(0,π)B ∈， 所以π6B =； 【小问2详解】解：因为D 为BC 边的中点，12a =， 所以6BD CD ==, 设BAD θ∠=,在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ADBθ=， 即6361sin 2θ==，解得sin 1θ=， 又因为(0,π)θ∈，所以π2θ=，在Rt △ABD 中，AB ===在ABC 中，π12,6AB BC B ===，由余弦定理可得：2222cos 1442721263AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以AC =即b =17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）600（2）分布列见解析，() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到X 的可能取值及其对应概率即可得，再计算期望即可； （3）借助期望计算公式计算即可得. 【小问1详解】()15000.003750.0010.0002580600⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人； 【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=， ()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=， ()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X12 3P0.008 0.0960.384 0.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=； 【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()3082310C C 5673C 12015P X ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=， 故()()E X E Y =.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面EFCD ，再利用线面平行的性质证明//AB EF ；（2）选①②：证明 EM ⊥平面ABCD ，建立以M 为原点的空间坐标系，求出平面ADE 的法向量，利用线面角公式求解 【小问1详解】证明：底面ABCD 为正方形,则//AB CD ，又AB ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， 则//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面EFBA EF =，AB ⊂平面EFBA ，故//AB EF . 【小问2详解】选①，取AD 中点G ,连接,EG MG ，因为ED EA =，所以EG AD ⊥， 易知GM 为梯形ABHD 的中位线，则MG AD ⊥，又,,MG EG G MG EG ⋂=⊂平面EGM ，故AD ⊥平面EGM ，EM ⊂平面EGM ，则,,AD EM EM BH ⊥⊥,AD BH ⊂平面ABCD ，且,AD BH 必相交，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===选②：取AD 中点G , 连接GM ，易知GM 为梯形ABHD 的中位线，3GM =，则AM =5AE =，EM =，则222AE EM AM =+，故,EM AM ⊥ 又,,,EM BH AM BH M AM BH ⊥⋂=⊂平面ABCD ，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 【答案】（1）24y x =-（2）2（3）2a = 【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解. 【小问1详解】()()()ln 111xf x x x x '=-+>-， 则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-； 【小问2详解】()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-， ()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---， 当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x ()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()min 22g x g ==； 【小问3详解】函数()f x 的定义域为()1,+∞， 当1a ≤时，0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-， 即()22a f x x -<-， 由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x →时，()h x →-∞， 因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意； 当1a >时，若x a >，则0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，在所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增， 所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<， 所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②， 由①②可得2a =， 综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，先求出,k m 的关系，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，进而可求得线段MN 的中点坐标，从而可求得点P 的坐标，再根据点P 在椭圆上，即可求得,k m ，再利用弦长公式求出MN ，即可得解.【小问1详解】由题意可得2222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22163x y +=； 【小问2详解】当圆的切线斜率不存在时，切线方程为1x =±， 当切线方程为1x =时，由椭圆的对称性可得()2,0P ， 因为4021633+=<，所以点()2,0P 不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为=1x -时，由椭圆的对称性可得()2,0P -， 因为4021633+=<，所以点()2,0P -不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为y kx m =+，1=，所以221m k =+①，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()()()22222222Δ16421261614212160k m k m k kk k ⎡⎤=-+-=+-++->⎣⎦，解得R k ∈，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++， 故()()221212222221422212121m k k m m y y k x x m k k k ++=++=-+=+++，所以线段MN 的中点坐标为222,2121km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为四边形OMPN 为平行四边形，所以2242,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为点P 在椭圆C 上， 所以()()22222221641621321k m m k k +=++②，将①代入②得()()()()222222281411321321k k kk k+++=++，解得k =，所以m =所以MN =====，所以12212OMPN OMN S S ==⨯=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >； （2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n 1-（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ≠时，有12i n i a a -++≥，当2ni =时，1221n na a ++≥，结合11i n i i n i a a a a -+-++≥+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q ()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>， (),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>， (),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>， (),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4； 【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，为又n a 为整数，故()1,1S n ≥，()2,11S n -≤-， 则()()11,2,12n S n S n a a --=+≥，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+≤-， 即有212n a a -+≥， 同理可得，当2ni ≠时，有12i n i a a -++≥， 即当2ni ≠时，有112i n i i n i a a a a -+-++≥+≥， 当2n i =时，122,1122n n n n S a a +⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，故()()12121122n n n n na a a a a a a a a -+⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()121122n n n na a a a a a -+⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭≥ 22112n n -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；【小问3详解】{}()*12,,,k A i i i k =∈N 时，当11i ≠时，()()()()2112111211211,k i i i i i i i S n a a a a a a a a a -++--+++=+++++++()()()22111312112112k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++ ，令m i A ∈且1m i A -∉，则有()1,0m S i n +>，(),0m S i n ≤， 又()1,0S n >，故()()1211,,0m m i S n S i n a a a --=+++> ， 即有11210i a a a -+++> ，1120k k i i n a a a -+++++> ，令1m i A +∈且11m i A +-∉，则有()11,0m S i n ++>，()1,0m S i n +≤， 则()()111211,,0m m m i m m i i S i n S i n a a a ++++-+-=+++> ，即有()()()112212311211211210k k k i i i i i i i i i a a a a a a a a a --++-++-++-++++++++++++> ，故()()121,0k i i i S n a a a -+++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ ， 当11i =时，()()()121211211,k i i i i i i S n a a a a a a ++--+++=+++()()()322111*********k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ 亦成立，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.。
高中数学-高一上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析72
2018-2019学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，集合，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，集合，根据集合的交集的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，，，，根据样本的频数分布估计，大于或等于的数据约占A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到大于或等于的频数，除以总数即可.【详解】由题意知，大于或等于的数据共有：则约占：本题正确选项：【点睛】考查统计中频数与总数的关系，属于基础题.3.秦九韶算法是中国古代求多项式的值的优秀算法，若，当时，用秦九韶算法求A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】通过将多项式化成秦九韶算法的形式，代入可得.【详解】由题意得：则：本题正确选项：【点睛】本题考查秦九韶算法的基本形式，属于基础题.4.下列四组函数中，不表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相同函数对定义域和解析式的要求，依次判断各个选项.【详解】相同函数要求：函数定义域相同，解析式相同三个选项均满足要求，因此是同一函数选项：定义域为；定义域为，因此不是同一函数本题正确选项：【点睛】本题考查相同函数的概念，关键在于明确相同函数要求定义域和解析式相同，从而可以判断结果.5.执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的A. 28B. 10C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】的变化遵循以为公差递减的等差数列的变化规律，到时结束，得到，然后代入解析式，输出结果.【详解】时，每次赋值均为可看作是以为首项，为公差的等差数列当时输出，所以，即即：，本题正确选项：【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合对数真数大于零，求出定义域；再求出在定义域内的单调递减区间，得到最终结果.【详解】或在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查求解复合函数的单调区间，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，易错点在于忽略了函数自身的定义域要求.7.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个质地、大小、颜色无差别小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定所有可能的基本事件总数，再列出标号和为的所有基本事件，根据古典概型可求得概率. 【详解】有放回的摸出两个小球共有：种情况用表示两次取出的数字编号标号之和为有：，，，四种情况所以，概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的相关知识，对于基本事件个数较少的情况，往往采用列举法来求解，属于基础题.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化成对数的形式，然后根据真数相同，底数不同的对数的大小关系，得到结果.【详解】由题意得：又本题正确选项：【点睛】本题考查对数大小比较问题，关键在于将对数化为同底或者同真数的对数，然后利用对数函数图像来比较.10.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，A.错误，令定义域为，由：，所以是非奇非偶函数；B错误，令定义域为，由：即：，所以是偶函数；C.错误.令定义域为，由：，所以为非奇非偶函数；D.正确.令定义域为，由，即，所以为偶函数，正确.综上，答案为D.考点：1.函数的奇偶性；2.奇偶函数的定义域.11.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在上是减函数，根据不等式在上恒成立，可得：在上恒成立，可得的范围.【详解】为偶函数且在上是增函数在上是减函数对任意都有恒成立等价于当时，取得两个最值本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.12.设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值.【详解】由题意得：，①当时，则，此时，，，则②当时，，，，.③当时，则，此时，，，则综上所述：的值域为本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，解题关键在于能够明确新定义运算的本质，易错点在于忽略与的彼此取值影响，单纯的考虑与整体的值域，造成求解错误.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是_______________【答案】【解析】由题要使函数有意义须满足14.小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______豆子大小可忽略不计【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15.若函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】【分析】为定义域上的偶函数，所以利用特殊值求出的值.【详解】是定义在上的偶函数即解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值，对于定义域明确的函数，常常采用赋值法来进行求解，相较于定义法，计算量要更小.16.已知函数，若存在实数a，b，c，满足，其中，则abc的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据解析式，画出的图像，可知函数与每段的交点位置，由此可得，再求出的范围后，可确定整体的取值范围.【详解】由解析式可知图像如下图所示：由图像可知：又且时，可知即又本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像及方程根的问题，关键在于能够通过函数图像得到的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.18.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件所以点落在区域内的概率为（2），表示如图的正方形区域，易得面积为若方程有两个不同实数根，即，解得为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为则方程有两个不同实数根的概率【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．19.计算：；若a，b分别是方程的两个实根，求的值．【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出；（2）根据题意，是方程的两个实根，由韦达定理得，，利用对数换底公式及其运算性质即可得出．【详解】（1）原式（2）根据题意，是方程的两个实根由韦达定理得，原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位：岁．国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼阿富汗59 巴基斯坦巴林阿联酋马来西亚朝鲜东帝汶孟加拉国韩国柬埔寨塞浦路斯老挝卡塔尔沙特阿拉伯蒙古科威特哈萨克斯坦缅甸菲律宾印度尼西亚日本黎巴嫩土库曼斯坦65吉尔吉斯斯泰国尼泊尔68坦乌兹别克斯约旦土耳其坦越南75 伊拉克也门中国以色列文莱伊朗74 新加坡叙利亚印度根据这40个国家的样本数据，得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：，，，，，请根据上述所提供的数据，求出频率分布直方图中的a，b；请根据统计思想，利用中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数保留一位小数．【答案】（1），；（2）平均寿命71.8，中位数71.4.【解析】【分析】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中，国民平均寿命在的频数是，频率是，由此能求出，同理可求；（2）由频率分布直方图能估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数．【详解】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中国民平均寿命在的频数是，频率是国民平均寿命在的频数是，频率是，计算得，由频率分布直方图可知，各个小矩形的面积各个区间内的频率转换为分数分别是：，，，，，以上所有样本国家的国民平均寿命约为：前三组频率和为中位数为根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为岁，寿命的中位数约为岁【点睛】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份年 1 2 3 4 5维护费万元Ⅰ求y关于t的线性回归方程；Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．参考公式：，【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.【解析】【分析】（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．【详解】（Ⅰ），，，，，所以回归方程为（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元）若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元）所以甲更有道理【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．22.已知，．求在上的最小值；若关于x的方程有正实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）得到，令，问题转化为在有实根，求出的范围即可．【详解】（1）当时，在上单调递减故最小值当时，是关于的二次函数，对称轴为当时，，此时在上单调递减故最小值当时，对称轴当，即时，在单调递减，在单调递增故最小值当时，即时，在上单调递减故最小值综上所述：（2）由题意化简得令，则方程变形为，根据题意，原方程有正实数根即关于的一元二次方程有大于的实数根而方程在有实根令，在上的值域为故【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想．关键是通过换元的方式将问题转化为二次函数在区间内有实根的问题，可以用二次函数成像处理，也可以利用分离变量的方式得到结果.。
2018-2019学年高二(下)期末数学试卷(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。
2018-2019学年北京市东城区高一上学期期末考试地理试题(答案+解析)
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共页。
第一部分选择题一、单项选择题(共40题，每题1.5分，共60分)火星是地球的近邻，表面大气稀薄，大气成分以CO2为主，昼夜长短接近地球，而昼夜温差却超过100℃。
几十年来人类对火星的探测一直没有停止过，北京时间2018年11月27日火星探测器“洞察号”在火星着陆，它携带的主要仪器有地震测量仪、热流和物理性质探测仪等。
下图为“太阳系示意图”。
读图，完成下列小题。
1. 地球在图中的位置可以描述为A. 是太阳系中的一颗行星B. 位于小行星带中C. 是银河系中的一颗恒星D. 与金星、木星相邻2. 当某颗行星恰好运行至地球与太阳之间时，地球上就会看到有一个黑点从太阳圆面通过，这种现象称为凌日。
该现象发生的最低一级天体系统是A. 地月系B. 太阳系C. 银河系D. 河外星系3. 为推测火星是否存在生命，需要寻找的最关键证据是火星A. 体积适中B. 质量恰当C. 温度适宜D. 有液态淡水4. 火星探测器“洞察号”A. 可利用太阳活动产生的能量进行发电B. 在探测的过程中穿越了厚厚的火星大气层C. 与地球间的通讯可能受到太阳辐射的干扰D. 将根据地震波来实现探索火星内部形态【答案】1. A 2.B 3.D 4. D【解析】地球围绕太阳转动，是太阳系中的一颗行星，A对，BC错；与金星、火星相邻，D错。
【2题详解】根据题目提示“当某颗行星恰好运行至地球与太阳之间时，地球上的观察者就会看到有一个黑点从太阳圆面通过，这种现象称为凌日”，再结合太阳与八大行星的相对位置，太阳、水、金、地、火、木、土星等，则只有水和金星可能位于地球与太阳之间，所以在在地球上可以观察到水星凌日，金星凌日，水星和金星属于太阳系，B对，CD错。
月球是卫星，A错。
【3题详解】水是生命之源，有液态水就意味着生命的存在，D对，其余选项可排除。
2018-2019学年下学期北京市东城区高一年级期末教学统一检测数学试卷
北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷本试卷共20个题目，满分100分．考试时间120分钟．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）直线1y =+的倾斜角为（ ）（A ）30 （B ）60 （C ）120 （D ）150（2）某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） （A ）高一学生被抽到的可能性最大 （B ）高二学生被抽到的可能性最大（C ）高三学生被抽到的可能性最大（D ）每位学生被抽到的可能性相等（3）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（ ）（A ）14（B ）13（C ）12（D ）1（4）已知向量(1,1)=a ，(2,)x =b ，若+a b 与42-b a 平行，则实数x 的值为（ ）（A ）2- （B ）0（C ）1（D ）2（5）先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（ ） （A ）18 （B ）38 （C ）58 （D ）78（6）在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则 △ABC 为（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰或直角三角形 （D ）等腰直角三角形（7）若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ）（A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）1-（8）如图，向量AB =a ，AC =b ，CD =c ，则向量BD 可以表示为（ ）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-+b a c （D ）--b a c（9）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）（A ）若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ （B ）若//,//,//m n αβαβ，则//m n （C ）若//,//m n αα，则//m n （D ）若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥（10）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如1073=+．在不超过30的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）（A ）112 （B ）114 （C ）115（D ）118第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．（11）在△ABC中，a =1b =，1c =，则A =_________．（12）某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．（13）已知点(2,5)A ，(3,2)B -，则向量AB=uu u r ______，与向量AB uu u r同向的单位向量为_______.（14）已知直线:60l x +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.（15）下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 ,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题7分）已知向量a ，b 满足：||2=a ，||1=b ，()(2)8+-=a b a b ． （Ⅰ）求a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）求||+a b ．（17）（本小题7分）在△ABC 中，若sin sin(3b A a B π=+． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =ABC 的面积．（18）（本小题9分）2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，…[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率； （Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.（19）（本小题9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅲ）求证：AF ⊥平面POD .（20）（本小题8分）已知圆C 满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线 3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为C 的面积小于13． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，以,OA OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）D （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）C 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）120 （12）10200 （13）(1,7)- (1010-（14）4 （15）①④⑤ 三、解答题（共5小题，共40分） （16）（共7分）解：（Ⅰ）因为()(2)8+-=a b a b ， 所以7+2cos 8θ=． 所以1cos 2θ=． 因为0180θ<<，所以=60θ． 3分（Ⅱ）因为2222||()2+=+=+⋅+a b a b a a b b ， 由已知||2=a ，||1=b ， 所以2||4217+=++=a b ．所以||+=a b 7分（17）（共7分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理可知，sin sin b A a B =， 所以sin sin(3a B a B π=+． 所以3B B π++=π． 即3B π=． 3分（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可知， 2222cos b a c ac B =+-． 所以2342c c =+-． 所以1c =．所以△ABC的面积1sin 22S ac B ==． 7分（18）（共9分）解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件A ,()0.1250.0650.040.0050.235P A =+++=所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率0.235. 3分（Ⅱ）年龄在[0,40)的累计频率为0.0750.0350.160.180.45+++=,0.050.014 3.6÷≈,所以估计中位数为40 3.643.6+=. 6分（Ⅲ）平均年龄为50.075150.035250.16350.18450.1450.17550.12550.06550.0450.00544+++++5+6+7+8+9⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=9分（19）（共9分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为CD AD ⊥，AD PA=A I ， 所以CD ⊥平面PAD . 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .3分（Ⅱ）取PD 中点G ，连结FG AG ，，因为F 为PC 的中点所以FG//CD ，且12FG=CD .因为E 为AB 的中点，底面ABCD 为正方形，所以AE//CD ，且12AE=CD . 所以FG//AE ，且FG=AE . 所以四边形AEFG 为平行四边形. 所以EF//AG .因为EF ⊄平面PAD 且AG ⊂平面PAD ，所以EF//平面PAD . 6分（Ⅲ）在正方形ABCD 中，OD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA OD ⊥. 因为ACPA A =，所以OD ⊥平面PAC . 所以OD AF ⊥.在△PAC 中，设PO 交AF 于H . 因为PA AC ⊥，且,O F 分别为,AC PC 的中点， 所以AF FC =.所以FAC FCA ∠=∠. 设1PA =，由已知PA AB =，所以AC =.所以tan tan 2APO ACP ∠=∠=. 所以APO ACP ∠=∠.所以APO ACP ∠=∠，且AOP ∠为公共角， 所以△APO ∽△HAO . 所以90AHO ∠=. 所以AF PO ⊥. 因为PO OD=O I ，所以AF ⊥平面POD .9分（20）（共8分）解：（Ⅰ）设圆心C 为(,0)(0)a a >，半径为r ．因为圆C 与直线3470x y -+=相切， 所以|37|5a r +=，即375a r +=． ①又因为圆C 被y轴截得的弦长为 所以223a r +=．②由①，②得12a r =⎧⎨=⎩或138198a r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．因为圆C 的面积小于13， 所以1a =，2r =．所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．4分（Ⅱ）由(0,3),(1,0)M C 得(1,3)MC =-． 所以(,3)OD λλ=-，即(,3)D λλ-．在平行四边形OADB 中，设OD 与AB 交于E ． 则E 为OD ，AB 中点，CE AB ⊥． 所以3(,)22E λλ-． 所以336322ABk λλλλ++==--． 因为332212CEk λλλλ==--， 令1AB CE k k ⋅=-，即63312λλλλ+⋅=---． 解得85λ=-，此时34AB k =，直线l 的方程为334y x =+． 8分。
北京市东城区普通校2024届高三期末调研测试数学试题
北京市东城区普通校2024届高三期末调研测试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|lg }M x y x ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)2．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 23．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12B ．22C ．32D ．334．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 6．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．3 C ．2D ．39．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =10．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．1111．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．433B ．43C ．233D ．2312．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，则A B =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2,3} C ．{1,3}- D ．{1,0,1,2,3}-【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】因为{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=， 所以{}0,1,2A B =. 故选：A2．不等式220x x -->的解集是（ ） A ．{2xx <-∣或1}x >- B ．{1xx <-∣或2}x > C ．{12}x x -<<∣D ．{21}xx -<<∣ 【答案】B【分析】直接解出不等式即可.【详解】220x x -->，解得2x >或1x <-，故解集为{1x x <-∣或2}x >， 故选：B.3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．y =B ．ln y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A 选项y =(0,)+∞单调递增，故A 错误， 对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增. 故选：C.4．命题“00,10x x ∃∈->R ”的否定是（ ）A ．,10x x ∀∈-≤RB ．00,10x x ∃∈-≤RC ．,10x x ∀∈-<RD ．00,10x x ∃∈-<R【答案】A【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反， 故其否定为,10x x ∀∈-≤R . 故选：A.5．已知0a >，则41a a++的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为0a >，所以4115a a ++≥=. 当且仅当4a a=，即2a =时等号成立. 所以41a a++的最小值为5. 故选：D6．函数3()f x x x =+的图象关于（ ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y x =对称【答案】C【分析】求出()()3f x x x -=-+，可知()()f x f x -=-，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数3()f x x x =+的定义域为R ，()()()33()f x x x x x -=-+-=-+，所以有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称. 故选：C.7．“sin sin A B =”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解. 【详解】sin sin A B =推不出A B =（举例，5sin sin66ππ=）， 而sin sin A B A B =⇒=,∴“sin sin A B =”是“A B =”的必要不充分条件，故选：B8．已知函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，则下面结论一定正确的是（ ） A ．0a b += B ．1ab = C ．0ab a b --= D ．0ab a b ++=【答案】D【分析】由对数函数的运算性质可知()()lg 1lg 1a b -+=+移项化简即可得. 【详解】因为函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =， 所以()()lg 1lg 1a b -+=+， 则()()lg 1lg 10a b +++= 所以()()lg 110a b ⎡⎤++=⎣⎦， 即()()111a b ++=， 解得0ab a b ++= 故选：D9．记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量2324π(kg)R M GT =.已知32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（ ） A ．30210kg ⨯ B ．292g 10k ⨯ C ．30310kg ⨯ D ．29310kg ⨯【答案】A【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT≈≈≈， 所以由2324πR M GT =得：2332224πlg lg lg 4l lg πg R R M GT GT ⎭+⎛⎫==+ ⎪⎝ 322lg 22lg π20.320.528.730.3lg R GT =≈+⨯+=++⨯，即30.3300.30.330lg 30.310101010M M +≈⇒≈==⨯， 又0.3lg 20.3102≈⇒≈， 所以30210kg M ≈⨯. 故选：A.10．已知实数12101210,,,,,,,a a a b b b 互不相同，对(1,2,,10)i a i ∀=满足()()()12102023i i i a b a b a b +++=，则对()()()1210(1,2,,10),i i i i b i a b a b a b ∀=+++=（ ）A ．2022B ．2022-C ．2023D ．2023-【答案】D【分析】根据代数基本定理进行求解即可.. 【详解】国为(1,2,,10)i a i ∀=满足()()()12102023i i i a b a b a b +++=，所以(1,2,,10)i a i =可以看成方程()()()121020230x b x b x b +++-=的10个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数x 都有以下恒等式，()()()1210123102023()()()()x b x b x b x a x a x a x a +++-=----，令12310,,,,x b b b b =----，于是有1112131102023()()()()b a b a b a b a -=--------，111213110()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=-，2122232102023()()()()b a b a b a b a -=--------，212223210()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=-3132333102023()()()()b a b a b a b a -=--------313233310()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=-，10110210310102023()()()()b a b a b a b a -=--------，1011021031010()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=-，所以()()()1210(1,2,,10),2023i i i i b i a b a b a b ∀=+++=-，故选：D【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.二、填空题11．函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，f x 的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.12．221log 42-⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】6【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.【详解】222221()log 42log 24262-+=+=+=.故答案为：613．若1cos 3θ=，()0,πθ∈，则tan θ=______．【答案】22【分析】由()0,πθ∈，可知sin 0θ>，再结合22sin 1cos θθ=-，及sin tan cos θθθ=，可求出答案. 【详解】因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，所以22122sin 1cos 133θθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，22sin 3tan 221cos 3θθθ===．故答案为：22.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题14．如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则cos α=__________；若πsin sin 3αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则角α的终边与单位圆交于点__________.（从1212,,,A A A 中选择，写出所有满足要求的点）【答案】 12- 39,A A【分析】求出终边经过i A 则对应的角α和i 的关系. 【详解】2ππ126=，所以终边经过i A 则π1112,Z 6i i i α 角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则2π3α=， 所以2ππ1cos coscos 332α==-=- πππsin sin sin sin cos cos sin 333ααααα⎛⎫=+∴=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，即1πsin sin cos tan 23ααααα=⋅+==或4π3α= 即ππ1112,Z 336i i i i 或4ππ1112,Z 936i i i i经过点39,A A故答案为：12-；39,A A15．已知函数22,()22,x x x x af x x a ⎧-≥=⎨-<⎩,①当1a =时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为__________； ②若()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】 1-； 0a ≤或12a <≤．【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数22y x x =-和22x y =-的图象，根据分段函数的定义可得参数范围． 【详解】①1a =，1x ≥时，2()2f x x x =-是增函数，min ()(1)1f x f ==-， 01x <<时，()22x f x =-是增函数，因此0()221f x >-=-，所以,()0x ∈+∞时，()f x 的最小值是1-；②作出函数22y x x =-和22x y =-的图象，它们与x 轴共有三个交点(0,0)，(1,0)，(2,0)， 由图象知()f x 有2个零点，则0a ≤或12a <≤．故答案为：1-；0a ≤或12a <≤．四、解答题16．已知函数π()sin cos 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)当π2π33x -≤≤时，求()f x 的值域. 【答案】3 (2)[]1,2-.【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求()f x 的值域.【详解】（1）因为π()sin cos 2cos 2f x x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以ππ2cos 366f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由(1) ()2cos f x x =，又π2π33x -≤≤，所以1cos 12x -≤≤，所以12cos 2x -≤≤，故当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2-.17．已知关于x 的不等式2(1)(2)288a x x x x -->-+的解集为A . (1)当1a =时，求集合A ；(2)若集合(,1)(2,)A =-∞-+∞，求a 的值； (3)若3A ∉，直接写出a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3)A =； (2)3a =； (3)1a ≤．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得1,2-是方程2(1)(2)288a x x x x --=-+的根，代入后可得a 值； （3）3x =代入后不等式不成立可得．【详解】（1）1a =时，不等式为2(1)(2)288x x x x -->-+，即2560x x -+<，23x <<， ∴(2,3)A =；（2）原不等式化为2(2)(38)280a x a x a ---+->，由题意(2)(38)2804(2)2(38)280a a a a a a -+-+-=⎧⎨---+-=⎩，解得3a =，3a =时原不等式化为220x x -->，1x <-或2x >，满足题意．所以3a =；（3）3A ∉，则218248a ≤-+，解得1a ≤．18．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+. (1)若(1)0f >，证明：(2)0f >；(2)若对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数； (3)若(1)0f =，直接写出一个满足已知条件的()f x 的解析式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析(3)()e e xf x =-，()0,x ∈+∞（答案不唯一）【分析】（1）赋值法得到()(2)210f f >>；（2）赋值法，令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，从而得到1212()()()0f x f x f x x ->->，证明出函数的单调性；（3）从任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明 【详解】（1）令1s t ==，则()(2)(1)(1)21f f f f >+=， 因为(1)0f >，所以()(2)210f f >>；（2）令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，则()120,t x x =-∈+∞，所以212212()()()f x x x f x f x x +->+-， 故1212()()()f x f x f x x ->-， 因为对(0,),()0x f x ∀∈+∞>， 所以()120f x x ->，故1212()()()0f x f x f x x ->->，即12()()f x f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数；（3）构造()e e xf x =-，()0,x ∈+∞，满足()10f =，且满足对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+，理由如下：()()e e e e e e e e e e e 1e 1e 1()()()s t s t s t s t s t f s t f s f t +++--===--+-+--+--+-，因为,(0,)s t ∈+∞，故e 10,e 10s t ->->，()()0()()()e 1e 1e 1s tf s t f s f t --++--->=，故对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+. 19．已知函数()22(0)x x f x a a -=+⋅≠. (1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a 的值构成集合A ，若A ≠∅，求A . 条件①：()f x 是增函数；条件②：对于,()0x f x ∀∈>R 恒成立； 条件③：0[1,1]x ∃∈-，使得()04f x ≤. 【答案】(1)1a =；(2)选①②，不存在A ；选①③，(,0)A =-∞；选②③，(0,4]A =．【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，a<0时，由复合函数单调性得()f x 是增函数，0a >时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在a<0时，由()0f x =有解，说明不满足②a 不存在；选①③，同选①②，由单调性得a<0，然后则函数的最大值不大于4得a 的范围，综合后得结论；选②③，先确定()0f x >恒成立时a 的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围． 【详解】（1）()f x 是偶函数，则()22()22x x x x f x a f x a --=+⋅==+⋅， (1)(220x x a ---=）恒成立，∴10a -=，即1a =；（2）若选①②，()22xxaf x =+（0a ≠）， 若a<0，则()f x 是增函数，由202xx a+=得4log ()x a =-，因此()0f x >不恒成立，不合题意， 若0a >，设2x t =，则0t >， ()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=， 120t t -<，当120t t <<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t 是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意． 故不存在a 满足题意； 若选①③，若a<0，则()22xxaf x =+是增函数， 若0a >，设2x t =，则0t >，()()a f x g t t t ==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=， 120t t -<，当120t t <<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t 是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意． 故不存在a 满足题意； 要满足①，则a<0，所以[1,1]x ∈-时，max ()(1)22af x f ==+，由242a +≤得4a ≤， 综上，a<0； 所以(,0)A =-∞． 若选②③，若a<0，则由4()20log ()2xx af x x a =+=⇔=-，()0f x >不恒成立， 只有0a >时，()202xx af x =+>恒成立，设2x t =，则0t >， 又0a >时，[1,1]x ∈-⇒12[,2]2xt =∈，()()a f x g t t t==+，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=， 120t t -<，当120t t <<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t 是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，a 取任意正数时，()g t 的最大值是1()2g 或(2)g ，要满足③，则11()2422g a =+≤或(2)242a g =+≤，74a ≤或4a ≤，所以04a <≤， 所以(0,4]A =．20．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =. (1)若{2,3,4,5}A =，求A T ； (2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i ij A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠，123A A A A =，求123A A A T T T ++的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++=，求n 的最大值. 【答案】(1)3A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A === (3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出； （2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i ij A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠，123A A A A =且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值. （3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==， 所以523A T M m =-=-=. （2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i ij A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠，123A A A A =，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=， 所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2，， 因为123,,,,n A A A A 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =, 则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =， 同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1n A T n =-，例如{1,2,3,,}n A n =，所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++-()1552n n -==， 解得11n =或10n =-（舍去）， 所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
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北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学
试卷
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.直线31y x =+的倾斜角为（）
A.30
B.60
C.120
D.150
2.某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）
A.高一学生被抽到的可能性最大
B.高二学生被抽到的可能性最大
C.高三学生被抽到的可能性最大
D.每位学生被抽到的可能性相等
3.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（）
A.
1
4B.13C.12D.1
4.已知向量(1,1)a = ，(2,)b x = ，若a b + 与42b a - 平行，则实数x 的值为（）
A.2-
B.0
C.1
D.2
5.先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A.1
8 B.3
8 C.5
8 D.7
8
6.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
7.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（）
A.5
B.3
C.1
D.1
-8.如图，向量AB a = ，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（）
A.a b c
+- B.a b c
-+ C.b a c
-+ D.b a c
-- 9.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n
⊥B.若//,//,//m n αβαβ，则//m n
C.若//,//m n αα，则//m n
D.若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ
⊥10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A.112 B.114 C.115 D.118
第二部分（非选择题共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11.在△ABC 中，3a =1b =，1c =，则A =_________．
12.某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带
租户业主已安装
6042未安装3662
则该小区已安装宽带的居民估计有______户．
13.已知点(2,5)A ，(3,2)B -，则向量AB=uuu r ______，与向量AB 同向的单位向量为_______.
14.已知直线:360l x +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.
15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP 的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.已知向量a ，b 满足：||2a = ，1b ||=，()(2)8a b a b +⋅-= ．
（Ⅰ）求a 与b 的夹角θ；
（Ⅱ）求||a b + ．17.在△ABC 中，若sin sin(3
b A a B π=+
．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，3b =，求△ABC 的面积．
18.2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10组：
[0,10)，[10,20)，[20,30)，…[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率；
（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；
（Ⅲ）求证：AF ⊥平面POD .
20.已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为23C 的面积小于13.
（1）求圆C的标准方程：
M的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.（2）设过点(0,3)
是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程：如果不存在，请说明理由.。