北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末数学试题

北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学

试卷

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.直线31y x =+的倾斜角为（）

A.30

B.60

C.120

D.150

2.某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）

A.高一学生被抽到的可能性最大

B.高二学生被抽到的可能性最大

C.高三学生被抽到的可能性最大

D.每位学生被抽到的可能性相等

3.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（）

A.

1

4B.13C.12D.1

4.已知向量(1,1)a = ，(2,)b x = ，若a b + 与42b a - 平行，则实数x 的值为（）

A.2-

B.0

C.1

D.2

5.先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A.1

8 B.3

8 C.5

8 D.7

8

6.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰或直角三角形

D.等腰直角三角形

7.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（）

A.5

B.3

C.1

D.1

-8.如图，向量AB a = ，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（）

A.a b c

+- B.a b c

-+ C.b a c

-+ D.b a c

-- 9.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n

⊥B.若//,//,//m n αβαβ，则//m n

C.若//,//m n αα，则//m n

D.若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ

⊥10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A.112 B.114 C.115 D.118

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．

11.在△ABC 中，3a =1b =，1c =，则A =_________．

12.某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带

租户业主已安装

6042未安装3662

则该小区已安装宽带的居民估计有______户．

13.已知点(2,5)A ，(3,2)B -，则向量AB=uuu r ______，与向量AB 同向的单位向量为_______.

14.已知直线:360l x +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.

15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP 的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______

三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.已知向量a ，b 满足：||2a = ，1b ||=，()(2)8a b a b +⋅-= ．

（Ⅰ）求a 与b 的夹角θ；

（Ⅱ）求||a b + ．17.在△ABC 中，若sin sin(3

b A a B π=+

．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，3b =，求△ABC 的面积．

18.2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10组：

[0,10)，[10,20)，[20,30)，…[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率；

（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；

（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.

（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；

（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；

（Ⅲ）求证：AF ⊥平面POD .

20.已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为23C 的面积小于13.

（1）求圆C的标准方程：

M的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.（2）设过点(0,3)

是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程：如果不存在，请说明理由.