全等三角形判定1)
全等三角形的判定(一)(人教版)(含答案)
全等三角形的判定（一）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，AB=AC，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是( )A.∠B=∠CB.∠AEB=∠ADCC.AE=ADD.BE=DC答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定2.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( )A.BC=EC，∠B=∠EB.BC=EC，AC=DCC.BC=DC，∠A=∠DD.∠B=∠E，∠A=∠D答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定3.能使两个直角三角形全等的条件是( )A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定4.下列说法中，正确的个数是( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定5.下列各组图形中，是全等图形的是( )A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质6.下列条件一定能推得△ABC与△DEF全等的是( )A.在△ABC与△DEF中，∠A=∠B，∠D=∠E，AB=DEB.在△ABC与△DEF中，AB=AC，∠A=∠F，FD=FEC.在△ABC与△DEF中，，∠B=∠ED.在△ABC与△DEF中，，∠B=∠E答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定7.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DEB.∠B=∠EC.EF=BCD.EF∥BC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，BD=DE=EF=FC，则图中全等三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定9.如图，有三棱锥ABCD和三棱锥EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70°，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50°，则下列叙述正确的是( )A.甲、乙全等，丙、丁全等B.甲、乙全等，丙、丁不全等C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定10.下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定。
直角三角形全等的判定(1)
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果
相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
； qq红包群 ；
求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
A
F
E
B
D
C
老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分 别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF (2)AB∥CD.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
两个三角形全等的识别方法：
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
全等三角形的判定(一)
14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。
2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。
数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。
问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。
情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。
【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。
【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。
【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。
“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。
【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。
2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。
教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。
全等三角形判定一(预习)
全等三角形判定一(预习)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11.什么叫全等三角形2.全等三角形有什么性质探索三角形全等的条件（1）只给定一个条件画三角形①只给一边：画出几个三角形，其中一边长为3cm .②只给一角：画出几个三角形，其中一个内角等于30 .结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（2）给出两个条件画三角形①给出两边：画出两个三角形，两边长分别为24cm cm ，.知识回顾探索问题1全等三角形判定②给出两角：画出两个三角形，两个内角分别为4560︒︒，.③给出一边和一角:画出两个三角形，一边长为3cm ，一个内角为60︒.结论：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（3）给出三个条件画三角形①给出三角：画出两个等边三角形.结论：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.②给出三边：ABC △三边分别为345cm cm cm ，，你会用刻度尺和圆规画这样的ABC △吗 画法：FE DC BAODCBA1、画线段3AB cm =。
2、以A 为圆心，以4cm 为半径画圆弧；以B 为圆心，以5cm 为半径画圆弧，两弧交于点C3、连结AC BC ，ABC △就是所求的三角形想一想，能画出几个这样的三角形他们全等吗为什么有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成 “边边边” 或“ SSS ” 用 数学语言表述：在ABC △和DEF 中 AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABC DEF SSS ≌△△判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
想一想：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立： 如图，在AOB △和DOC △中（已知） （已知） （已知）∴AOB DOC ≌△△()SSS【例】如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是中线求证：ABD ACD ≌△△ 新知学习________AO DO BO CO =⎧⎪⎨⎪=⎩分析：要证明ABD ACD ≌△△，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
全等三角形的判定(1)
13.3全等三角形的判定（1）一、教学目标：知识与技能：1.掌握“边边边”基本事实的内容.2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.3.了解三角形的稳定性.过程与方法：1.利用观察、猜想、操作,归纳获得数学结论.2.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考及简单的说理.3.使学生初步探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.情感态度与价值观：通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.二、教学重难点：【重点】1.经历对三角形全等条件的分析与画图验证的过程.2.能够应用“边边边”去判定两个三角形全等.3.了解三角形的稳定性.【难点】探索三角形全等的条件.三、教学准备【教师准备】课件1-8.【学生准备】复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.四、教学过程：1、新课导入：导入一:【提出问题】【课件1】(1)全等三角形相等,相等.(2)全等三角形有哪些性质?如图甲所示已知ΔAOC≌ΔBOD,则∠A=∠B,∠C=, =∠2,对应边AC=,=OB,=OD.(3)如图乙所示,已知ΔAOC≌ΔDOB,则∠A=∠D,∠C=,=∠2,对应边AC=,OC=,AO=.(4)如图丙所示,已知∠B=∠D,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=CD,AD=CB,则Δ≌Δ.(5)判定两个三角形全等,依定义必须满足()A.三边对应相等B.三角对应相等C.三边对应相等和三角对应相等D.不能确定[设计意图]通过复习,让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定方法打下基础.导入二:1.通过前面的学习,我们知道如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能少呢?一个条件行吗?两个条件呢?2.如果给出三个条件画三角形,有哪几种可能的情况?学生以小组为单位,分工合作,在经历画图的过程中,经过交流总结得出:(1)仅给出一个条件或两个条件时,能画出无数种符合条件的三角形.(2)仅给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.[设计意图]鼓励学生通过画图、比较、交流,在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论,由此引入课题.活动一:“边边边”基本事实的探究思考:三角形六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等吗?根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,汇总归纳.对学生的良好表现进行鼓励.(使学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望)出示探究1:【课件2】先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使ΔABC与ΔA'B'C'满足上述六个条件中的一个或两个,你画出的ΔA'B'C'与ΔABC一定全等吗?(1)三角形的两个角分别是30°,50°.(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.(3)三角形的一个角为30°,一条边为3cm.学生剪下按不同要求画出的三角形,比较三角形能否和原三角形重合.教师引导学生按条件画三角形,再通过画一画,剪一剪,比一比的方式得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.出示探究2:【课件3】已知ΔABC,再任意画出一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=C A.把画好的ΔA'B'C'剪下,放到ΔABC上,它们全等吗?让学生充分交流后,教师明确已知三边画三角形的方法,并作出ΔA'B'C',通过比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.强调在应用时的简写方法:“边边边”或“SSS”.[设计意图]学生通过动手操作、自主探索、交流,获得新知,增强了动手能力,同时也渗透了分类的思想.实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架和用四根木条钉成的四边形的框架,在拉动时,它的大小和形状是否发生变化?学生经过观察、思考、交流后,独立回答:(1)三角形具有稳定性,而四边形不具有.(2)由三角形全等的判定条件“SSS”可知,只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就确定了,因此三角形具有稳定性.想一想:你有什么办法可以使四边形框架在拉动时的形状不发生变化?可用一根木条连接不相邻的两个顶点.鼓励学生举出生活中三角形具有稳定性的例子.[设计意图]教学中让学生亲自进行操作,能让学生深刻地体会到三角形这一特殊的性质,使学生产生浓厚的学习兴趣,体验数学在生活中应用的广泛性.活动二:例题讲解【课件4】(补充例题)如图所示,ΔABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ΔABD≌ΔACD.〔解析〕要证ΔABD≌ΔACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.从例题可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.[知识拓展](1)有的题目可以直接从图中找到全等的条件,而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中,所以一定要认真读图,准确把握题意,找准所需的条件.(2)数形结合思想:将“数”与“形”结合起来进行分析、研究,这是解决问题的一种思想方法.[设计意图]培养学生的逻辑推理能力,学会用“SSS”条件判断三角形全等.教师引导学生回顾“作一个角等于已知角”.已知:∠AOB,求作∠A'O'B'=∠AOB.教师和学生一起操作.解:(1)如图所示,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D';(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.想一想,为什么这样作出的∠A'O'B'和∠AOB是相等的?讨论尺规作图的方法,作一个角等于已知角的理论依据是什么?[设计意图]通过复习一个角等于已知角的画法,拓展“边边边”的应用.3、课堂小结两个三角形如果三边对应相等,那么这两个三角形全等,称为“边边边”基本事实,从而可知三角形具有稳定性这一性质,利用两三角形全等,可进行一些相关的计算和证明.4、检测反馈：（1）如图所示,B,D,C,E在一条直线上,且BC=DE,AC=FD,AE=FB,则BD=,ΔACE ≌,理由是.（2）如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,BE=CF,请添加一个条件:,使ΔABC ≌ΔDEF(SSS).（3）如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定.(填序号)①ΔABD≌ΔACD;②ΔBDE≌ΔCDE;③ΔABE≌ΔACE.（4）如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证∠B=∠D.5、板书设计：第1课时活动一:“边边边”基本事实的探究三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”)活动二:例题讲解6、布置作业：【必做题】1.教材第40页练习第1,2题.2.教材第40页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第40页习题B组第1题.五、教学反思：1、成功之处：教学中教师引导学生观察、操作贯穿教学的始终,让学生感受“边边边”基本事实的得出过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等”这一判定方法.通过画一画、动一动、剪一剪等活动,极大地调动了学生学习的好奇心和积极性,有利于学生对知识的掌握和提高.在探究三角形的稳定性时,注重联系所学的知识让学生加以说明,提高了学生对知识的应用能力.2、不足之处：1.没能更大限度地给学生创造展示自己的空间,学生的思想的闪光点没有得到充分体现.2.没能更好地调动学生的积极性,使学生参与课堂学习的程度不够.3.对例题的讲解没有完全放手让学生自己去解决和操作.3、再教设计在学生操作的过程中,要让小组合作,用集体的合力去完成,及时展示,及时总结.对于问题的解决和探讨尽量让学生都参与进来,多提问学生.在例题的研究上,以现在学生的能力足可以将例题解决,如果再增加几个例题一起交给学生去研究,研究解决的方法和各个题的结构特点,由学生做一个简单的总结:每种情况应如何做?应注意什么问题?这样会给学生更大的思维空间,也有利于知识的理解和掌握.另外练习的方式、方法应多种多样,不仅可以编制题组进行训练,也可以总结题型之后,由学生自己进行编题,这样不仅能够让学生更加熟悉题型的结构,同时也有助于学生的思维能力的提高,从根本上改进计算不准确的不足,也能更好地调动学生参与的积极性.。
全等三角形的判定1
全等三角形的判定【知识归纳总结】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、全等三角形判定4——“边边边” 全等三角形判定4——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点五、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点六、全等三角形的证明格式： 在△ ABC 和△ A 'B 'C '中''()='''()AB A B A A AC A C =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩理由（理由）理由 ∴△ ABC ≌△ A ' B 'C '（S.A.S ）''BC B C ∴=（全等三角形的对应边相等）'B B ∠=∠（全等三角形的对应角相等）例1、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．练习：如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你 的结论．例2、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．练习：如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.例3、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．例4、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．练习：已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.练习：如图，AB⊥AC，AB=AC，AD⊥AE，AD=AE，求证：BE=CDA BCDE例4 如图，已知等腰△ABC 与△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，且∠BAC=∠DAE ，试说明△ABD ≌△ACE 。
全等三角形的判定(一)
13.3全等三角形的判定(一)
A
A'
B
C B'
C'
AB=A'B' BC=B'C'
∠A=∠A ' ∠ B=∠B'
CA=C'A'
∠C= ∠C'
思考一：当满足一个条件相等时，△ABC与△A'B'C' 一定全等吗？
思考二：当满足两个条件相等时，△ABC与△A'B'C' 一定全等吗？
(1)如图，已知AC=DB，要使△ABC ≌ △DCB只需 要增加一个条件，这个条件可以是____A_B_=_D__C____。
A
D
O
B
C
针对性训练一：
(2)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图
如下图，则说明∠A‘O‘B'=∠AOB 是因为图中两个 △ODC和△ O‘ D'C' 全等，那么判定这两个三角形全等
A
B
C
画图的过程和结果反映了什么规律？ 你能用文字语言概括吗？
问题一：已知：如图，AB=DB，AC=DC。 求证：△ABC ≌ △DBC
证明：在△ABC 和△DBC 中 B AB=DB (已知） BC=BC（公共边） AC=DC（已知）
∴ △ABC ห้องสมุดไป่ตู้ △DBC（SSS）
A C
D
针对性训练一：
A
B C
E
方法小结： 注意应用转化思想
D
课堂小结
1、“SSS”公理及其应用;
２、三角形具有稳定性; ３、证明角相等，可转化为证角所在的 三角形全等; ４、多边形的问题可通过添加辅助线， 转化为三角形问题来解决。
三角形全等的判定1——边边边
D
A B C
2.如课本图11.2-3，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是 连接点A与BC中点D的支架。求证：AD垂直于 BC。 .
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。
思考：你能用“边边边”解释三角形具 有稳定性吗？
例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， 求证：△AEB ≌ △ ADC。
三、教学目标设计
三、教学目标设计
1.知识与技能：
（1）掌握三角形全等的判定方法，能够用文字语言、图 形语言和符号语言分别表述三角形全等的四种判定方法 （2）通过自主探究，提高合情推理能力和表达能力。
2.过程与方法：
通过用几何画板探索三角形全等条件的过程， 提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感、态度、价值观：
A
B 方法构想
E
D
C
两个三角形中已经的两组边对应 相等,只需要再证第三条边对应相 等就行了.
小结归纳
1
全等三角形证明的基本步骤：
①分析已有条件,准备所缺条件：
证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： • 写出在哪两个三角形中 • 摆出三个条件用大括号括起来
• 写出全等结论
2、如图，AB=CD，AC=BD， 随堂练习 △ABC和△DCB是否全等？试 说明理由。 1、已知：如图，AB=AD，BC=CD， 解：△ABC与△DCB全等， 求证：△ABC≌ △ADC 理由如下：
证明：在△ABC与△ADC中 A AB=AD
BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC C B D
在△ABC与△DCB中 AB=CD
BC=CB
AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB
A
三角形的全等判定
三角形的全等判定
全等三角形的判定有以下五种方法：
1、全等三角形判定方法一，SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等；
2、全等三角形判定方法二，SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等；
3、全等三角形判定方法三，ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等；
4、全等三角形判定方法四，AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等；
5、全等三角形判定方法五，HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一全等三角形的判定有以下五种方法：
1、全等三角形判定方法一，SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等；
2、全等三角形判定方法二，SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，
且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等；
3、全等三角形判定方法三，ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等；
4、全等三角形判定方法四，AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等；
5、全等三角形判定方法五，HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定1
A B = A′B′ ∠B = ∠B′ B C = B′C′ ∴∆ABC≌∆A′B′C′(SAS)
例题1
已知：如图,AB和CD相交于点O,且AO=BO, CO=DO. 求证：△ACO≌△BDO.
A C O D B
在△ACO和△BDO中: 证明： AO=BO （已知） （对顶角相等） ∠AOC=∠BOD CO=DO （已知） ∴△ACO≌△BDO（SAS）
C
探究
由此可知，两个三角形，只要满足了这 三个条件（两边及其夹角对应相等），不论 它们的位置关系如何，通本事实
全等三角形的判定定理1：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
(简写成“边角边”或“SAS”). 边—S 角—A
基本事实
数学语言： 在 ∆ A B C和∆A′B′C′中
练习3
如图，BD、AC交于O,若OA=OD,OB=OC,用 “SAS”证∆AOB ≌ ∆DOC,还缺一个条 件∠AOB=∠COD ° 。理由是：
A O D
B
C
小明的设计方案：在岸上取一个能直接到达点A 和B的点C， 连结AC并延长至D点，使AC=DC， 连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结ED， 用米尺测出DE的长， 这个长度就等于A，B两点的 距离。 理由如下：
(3)△ABC和△A′B′C ′的位置关系如图:
C′
A (A ′) ( B′ )
A′ C
B
(C ′)
探究
在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′， ∠ABC=∠ A′B′C′， BC=B′C′ (4)△ABC和△A′B′C ′的位置关系如下图:
C′
A′ B A
A(A ′)
) B( B′ C (C ′)
全等三角形的判定(1)边角边
A
D
B
C
3、如图，AB=AC，其中E、F两点分别是AC、AB的中点。 小明说“线段BE和线段CF相等”，你认为他说得对吗？
A
Ｆ
Ｅ C
四、课堂小结：
B
1、本节课我们主要运用了平移、旋转和轴对称等知识推导出了判
定三角形全等的一种方法：边角边定理（SAS）；
2、边角边定理（SAS）：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SAS）
问题回顾
某校八年级一班的学生到野外活动，为了测量某池塘两端AB
两地之间的距离，设计了如下方案：如图，先在平地上取一个
可以直接到达A、B两地的点C，再连结AC、BC并分别延长至 点D和点E使DC=AC、EC=BC，则最后测得DE的距离就是AB 两地之间的距离。你认为这种方法是否可行？请说明理由。
则这两个三角形全等吗？
A A'
C'
变换演示：
变换演示：
思考：
B' B
．
C C'
A'
B'
能否通过图形的 平移和旋转试试
？
（图②）
三角形全等的判定方法（1）
这是一个公理。
边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 简记为SAS（或边角边）。 几何表示：
A B D C
在△ABC与△DEF中 AB=DE ∵ ∠B=∠E BC=EF
求证：△ACO ≌ △BDO。 分析： 在 △ ACO 和 △ BDO 中 ： A O = B O （已知） ∠AOC=∠BOD （对顶角相等） （从图上可知：它们是对顶角， C O = D O （已知） 且我们知道：对顶角相等。）
全等三角形的判定(1)
课题：全等三角形的判定（1）主备：黎虎 审核： 第12章 全等三角形 总第3课时学生姓名：学习目标：1、理解判定两个三角形全等一般需要三个条件；2、掌握“边边边”公理，并能熟练运用它证明两个三角形全等.一、自主学习：1、阅读教材35页上面的两段文字，思考：如果两个三角形满足三条边、三个角分别相等，这两个三角形全等吗？为什么？2、思考教材35页探究1中的问题（1）只给一个条件画三角形①画一个三角形，使它的一条边长为3cm，和同学画的比一比，它们是否一定全等.②画一个三角形，使它的一个内角为20°，和同学画的比一比，它们是否一定全等.（2）给出两个条件画三角形①使三角形一内角为30°，一条边为3cm．比一比，它们是否一定全等.②使三角形两内角分别为30°和50°．比一比，它们是否一定全等.③三角形两条边分别为4cm、6cm．比一比，它们是否一定全等.（3）通过上面的实验，你能得到怎样的结论？3、给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？_____________二、合作探究：探究2：任意画一个三角形ABC，再画一个三角形A′B′C′，使AB=A′B ′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，比一比，它们是否全等．画法：(1)画B′C′= BC;(2)分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC长为半径画弧,两弧相交于点A′(3)连接线段A′B′、A′C′1、根据上面的提示，先画一画，再比一比，看它们是否一定全等.2、通过上面的探究你能得到怎样的结论？你能用文字语言和符号语言来描述这个结论吗？文字语言：__________________________________________________________________符号语言：在△ABC和△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′( )_A_'三、展示交流：1、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．根据今天所学的判定，要证明这两个三角形全等，你应当找到哪些条件？2、阅读教材36页下面一段文字及37页上面的内容（1）请在下面作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB：（2）请说明为什么∠A′O′B′＝∠AOB？四、点评小结：1、判定两个三角形全等一般需要几个条件？2、怎样运用“SSS”证明两个三角形全等？五、达标检测：评价等级：批阅时间：1、1、教材43页第1题；2、教材44页第9题3、 如图，已知AB＝CD，AC＝BD，求证：∠B＝∠C ABCD。
全等三角形的判定1
A
D
B
C
E
F
已知： △ABC≌ △DEF 找出其中相等的边和角
△ABC≌ △DEF
AB=DE,BC=EF,CA=FD ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠ F
反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？
只给一个条件（一条边或一个角）
只给一条边时 如：
3cm
3cm
3cm
只给一个条件（一条边或一个角）
只给一个角时 如：
45°
45°
45°
给出两个条件时(一边及一角)
如果三角形的一条边为3cm,一个内角为30°
30° 3cm
30° 3cm
30° 3cm
给出两个条件时(已知两角)
如果三角形两个内角分别为30°,50°时
30° 50° 30° 50°
4 7 5
三边对应相等的两个三角形 全等，简写为“边边边”或“SSS”
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABD与 △ACD全等吗？为什么？ ∠B与什么关系∠C 解：△ABD≌△ACD，理由如下： 在△ABD与△ACD中， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD 又∵AB=AC，AD=AD， 根据SSS，∴△ABD≌△ACD ∴∠ B=∠C
30° 50°
给出两个条件时(已知两边)
如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm 6cm
1.给出三个角 已知一个三角形的三个内角 分别为400， 600，800，请画出这个三角形。
800
800
40
0
600
400
600
结论：三个内角对应相等的两个 三角形不一定全等.
12.2全等三角形的判定(一)
12.2三角形全等的判定(一)（SSS）教学内容本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS），•及利用全等三角形进行证明．教学目标1．知识与技能了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．2．过程与方法经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．3．情感、态度与价值观培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．重、难点与关键1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．3．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形．教具准备一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．(1) (2)教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．教学过程【活动1】设疑求解，操作感知【教师活动】（出示教具）问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1•的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，•剪下模板就可去割玻璃了．【理论认知】如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．•反之，•如果△ABC 与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA= C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：•只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．信不信？【作图验证】（用直尺和圆规）先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如课本图11．2-2所示）画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：1．画线段取B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；3．连接线段A′B′、A′C′．【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．规范证明三角形全等的步骤。
人教版初二数学上册：全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】【高清课堂：379109 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】 要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一）同步练习4】1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）． 即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、（2016•泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CE=CD ，BC=AC ，∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ECB=∠DCA ，在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量. 举一反三： 【变式】（2014•房县三模）如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．求证：△ACD ≌△BCE ．【答案】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ，∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ACD=∠ECD ，∠BCE=∠ECD ， ∴∠ACD=∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案与解析】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2014秋•兰州期末）如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．【思路点拨】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC.要证明角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．【答案与解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ADC=∠BDC，即DC为∠ADB的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决．举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？【答案】证明：在△OPE与△OPD中∵OE OD OP OP PE PD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OPE≌△OPD （SSS）∴∠EOP＝∠DOP(全等三角形对应角相等)∴ OP平分∠AOB.附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
三角形全等的判定(1)
11.2 三角形全等的判定（1）教学任务分析教学目标知识技能1．经历探索三角形全等的条件的过程．2．掌握探究问题的一般方法．3．初步掌握运用SSS、SAS判定两个三角形全等．数学思考使学生经历探索三角形全等的条件的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程．解决问题会运用SSS、SAS条件证明两个三角形全等，并体会多种方法证明结论．情感态度1．通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想的良好思维品质，以及发现问题的能力．2．使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识，并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中．重点通过观察和实验获得SSS、SAS，会运用SSS、SAS条件证明两个三角形全等．难点认识两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．学生活动需准备的材料直尺、圆规、三角板、量角器、剪刀、硬纸片．教学过程设计复习引入师生行为设计意图通过前面的学习，我们知道完全重合的两个三角形全等．已知△ABC ≌△DEF，你能得到哪些性质？（全等三角形的对应边、对应角相等．）满足什么条件的两个三角形全等？教师引导学生回答：对应边相等，对应角相等．AB=DE，BC=EF，CA=FD，∠A =∠D，∠B =∠E，∠C=∠F．使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等．1活动1问题两个三角形全等至少需要几个条件？活动2问题下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等．活动3问题你如何验证你的结论呢?（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）活动4问题三边确定的三角形唯一确定，如果我们去掉一条边，这个三角形还能唯一确定吗？那么你需要添加什么条件才能保证两个三角形全等？教师引导学生探究：通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合．提醒学生注意：已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．教师引导学生发现：我们去掉一条边，只有两条边确定的三角形，它的形状和大小无法确定．我们发现两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．1．提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．2．使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件．学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．通过观察和实验，我们得到一个规律：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．。
全等三角形的判定(一)
两边及其夹角
全等三角形的性质
两三角形全等， 则对应边相等，对应角相等
全等三角形的判定
对应边相等，对应角相等→两三角形全等 即 如果∠A=∠D ∠C=∠F ∠B=∠E AB=DE AC=DF BC=EF 那么△ABC≌△DEF
画三角形ABC，使AB=3cm，AC=2cm， ∠A=60°
{
公共角
∴△ABD≌△AEC（SA）
AD=AC（已知） ∠DAB=∠EAC（已 求） AB=AE（已知）
SAS判定运用
练1 如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证： △ABC≌△DEC
SAS判定运用
练2已知，如图，BC上有两点D、E，且BD=CE，AD=AE， ∠1=∠2，AB和AC相等吗？为什么？
SAS判定运用
练3已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE． 求 证：△ACD≌△CBE
Not until
③连接两边顶点 B
A
判定方法一
全等三角形的判定方法1
在两个三角形中，如果有两条 边及它们的夹角对应相等，那 么这两个三角形全等，简记 （S.A.S）
几何语言
已知AB=DE，AC=DF， ∠A=∠D，说明△ABC和 △DEF全等的理由
在△ABC和△DEF中，
{
AB=DE（已知） ∠A=∠D（已知） AC=DF（已知）
∴△ABC≌△DEF（S.A.S）
SAS判定运用
例1 如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE， AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC
∵∠BAC=∠DAE（已知） ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE（等式的性质） 即∠DAB=∠EAC 在△ABD和△AEC中，
三角形全等判定 (1)
B C
B＇
C＇
尺规作图: 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， B′C′=BC ，A′C′=AC 1画线段B′C′=BC 2 分别以B′,C′为圆心, 线段AB,AC为半径画 弧,两弧交于点A′; 3 连接线段A′B′, A C′
A
B
C
三边对应相等的两个三角形全 等．简写成“边边边”或“SSS”。
30°
30°
2cm
2cm
只给出一个条件不能保证两个三角形一定全等
两条边
2cm 3cm 2cm 3cm
30° 40°
3cm
40° 30°
3cm
只给出两个条件也不能保证两个三角形一定全等
满足三个条件
三条边
三个角
两角一边
两边一角
探究2
先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使A′B′=AB， B′C′=BC，C′A′=CA把画好的△A′B′C′剪下，放在 △ABC上，它们全等吗？
证明：∵ D是BC的中点 ∴BD＝CD 在△ABD和 △ ACD
A B D C
AB＝AC
BD＝CD AD＝AD
∴△ A BD≌ △ ACD﹙SSS﹚
我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知 角的方法。 例2：已知∠AOB 求作：∠A′O′B′=∠AOB
D O B A O′ D′ B′ A′
C C′ 作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB于点C、D； 2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； 4、过点D′画射线O′B′，则 ∠A′O′B′=∠AOB
三角形全等的条件（1）
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45°
D
D DE D E D E D ED D E E E E E B 4cm 4cm 4cm 4cm 4cm 4cm 4cm 4cm 4cm
结论： 在两个三角形中,如果有两条边及它们 的夹角对应相等，那么这两个三角形全 等（简记为S.A.S)
书写格式： 在△ABC和△A1B1C1中 A1B1 = AB （已知）， ∠B1 = ∠B （已知）， B1C1 = BC （已知）, 所以 △ABC ≌△A1B1C1 （S．A．S）.
SAS )
小结
全等三角形的判断方法一
Ａ Ｂ'
Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｃ'
复习练习：全等三角形的性质
若△AOC≌△BOD， 对应边: AC= BD ， AO= BO ， CO= DO ， 对应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC= ∠BOD ;
A O B
D
C
做 一 做
画一个三角形，使它的一个内角45° , 夹这个角的一条边为３厘米，另一条 边长为４厘米.
OA=OB, OC=OD.说明 △ OAD与 △ OBC全等的理由 解：在△OAD 和△OBC中
B
C
2
O A
OA = OB(已知）
∠1 =∠2（对顶角相等） OD = OC （已知）
1
D
∴△OAD≌△OBC (S.A.S)
基础练习（填空题） 1.如图, AB=EF,AC=DE,问△ABC≌△EFD 吗？
温馨 提示
步骤：1.画一线段AB,使它等于4cm 2.画∠ MAB= 45° 3.在射线AM上截 取AC=3cm 4.连结BC.
△ ABC就是所求做的三角形
你பைடு நூலகம்的三角形与同伴画的一定全等吗？
全等
F C 3cm 3cm A D F 3cm F 3cm F 3cm F F
实践 检验
F F F 3cm 3cm 3cm 3cm
如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则△ABC≌△ DEF ？ A 3㎝ B
300
D 3㎝
300
5㎝
CE
5㎝
F
如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=30°， BC=EF=5 ㎝
△ABC≌△ DEF ? A D 3㎝ B E
为什么？ A
40°
B
D
F
答:△ABC≌△EFD
C
E
证明:在△ABC和△EFD 中,
AB=___ EF ∠A=___ ∠E AC=DE ______ ∴△ABC≌△EFD( SAS ）
2.如图AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD，
A
B
O
D C
求证:△AOB≌△COD
证明: 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠ AOB=∠COD ______________ OB=OD ∴△AOB≌△COD(
S.A.S的证明:
如图在△ ABC 和△ A′B′C′ 中，已知 AB ＝ A′B′ ， ∠B＝∠B′， BC＝B′C′．
A A A A A A A A’ A A
B B B
B
B
CB C C B C B B’ BC
C
C
C’ C C
由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC， 使点A与点A′、点B与点B′重合；因为∠B＝ ∠B′，因此可以使∠B与∠B′的另一边BC与 B′C′重叠在一起，而BC＝B′C′，因此点C 与点C′重合．于是△ABC与△A′B′C′重合， 这就说明这两个三角形全等．
300
5㎝
C F
△ABC和△ DEF完全重合, 即△ABC≌△ DEF
巩 固 练 习
2. 如图所示 , 根据题目条件，判断下面 的三角形是否全等． （1） AC＝DF， ∠C＝∠F， BC＝EF； （2） BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
答案:
(1)全等
(2)全等
巩 固 练 习
１： 如图，已知AB和CD相交与O,