2018高考物理总复习专题圆周运动中的临界问题探究1水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析讲义
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
水平面上圆周运动的临界问题
水平面上圆周运动的临界问题在物理学里，有一些问题听起来可能很枯燥，但如果用生活中的例子来解释，就会变得有趣多了。
今天，我们聊聊“水平面上圆周运动的临界问题”。
听上去有点复杂，其实就是我们生活中经常见到的旋转现象，比如旋转木马上要掉下来的那一刻。
别急，慢慢来，我们一步一步搞明白。
1. 圆周运动是什么1.1 简单介绍圆周运动，说白了就是一个物体沿着圆形轨道转动。
比如，你在旋转木马上转来转去，或者在游乐场的旋转塔里转圈圈，这些都是圆周运动。
在这种运动中，物体总是朝着圆心的方向加速，但这加速是不断改变方向的。
1.2 水平面上的运动我们今天要说的是在水平面上的圆周运动。
也就是说，这种运动的轨道是平的，不像地球上的极地那样有倾斜度。
水平面的圆周运动中，我们主要关注两个方面：速度和向心力。
向心力就是让物体保持在圆形轨道上的力量，它一直指向圆心。
2. 临界问题是什么2.1 临界状态的定义“临界问题”这个词听起来很高深，其实就是描述一种“快到达极限”的情况。
比如，你在旋转木马上转得太快了，突然感觉到自己快要飞出去，这种状态就是“临界状态”。
在物理学上，这种状态是指物体刚好能保持在圆周轨道上，而不掉下来或者飞出去的那一刻。
2.2 关键点：临界速度我们要解决的就是如何确定这种“临界速度”。
如果你的速度超过这个临界值，你就会“飞”出去，反之则会掉下来。
这个速度的计算公式涉及到向心力和重力之间的关系。
你可以把它想象成骑自行车过弯的时候，速度太快了，车子就会倾斜，速度太慢了，就会摔倒。
3. 生活中的应用3.1 旋转木马上我们都知道，旋转木马上有时会很刺激。
如果旋转得太快，你会感觉到自己的身体往外推，甚至可能掉下来。
这就是因为当你旋转得太快时，离心力（向外推的力量）超过了向心力（保持你在圆圈里的力量）。
所以，旋转木上有时候会把你甩出去，这就是临界问题的实际表现。
3.2 过弯的车再比如，开车的时候，车子在转弯时的速度也要控制好。
2018高考物理总复习 专题 圆周运动中的临界问题探究1 水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析同步练习
水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析（答题时间：30分钟）1. 如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是（ ）A. 小球受重力、细绳的拉力和向心力作用B. 小球受重力、细绳的拉力的作用C. θ 越大，小球运动的线速度越大D. θ 越大，小球运动的线速度越小2. 如图所示，半径为R 的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为 （ ）A. R g μB. g μC. R gD. Rg μ 3. 冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度的最大值是（ ）A. gR kB. kgRC. kgR D. kgR 2 4. 用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如下图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是下图中的（ ）5. 在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1＝2m 2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如下图所示，此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为（ ）A. 1∶1B. 1∶2C. 2∶1D. 1∶26. 套着弹簧与小球P 的粗糙细杆固定在如图所示的装置上，弹簧的一端固定在装置的A 点，另一端连接一质量为m 的小球P ，当整个装置静止时，弹簧处于拉伸状态，小球P 离A 点的距离为4L ，离B 点的距离为2L ，那么当整个装置绕竖直中心轴O O '以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是（ ）A. 小球P 一定会更靠近B 点B. 小球P 可能相对B 点距离不变C. 小球P 受到的合力可能为L m 2ωD. 小球受到的静摩擦力一定变小7. 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。
2018高考物理总复习专题圆周运动中的临界问题探究1水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析讲义
水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析知识点考纲要求题型说明水平面内的匀速圆周运动中的临界问题1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；2. 会用极限法分析临界条件；3. 会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化选择题、计算题属于高频考点，是对弹力和静摩擦力被动性的进一步理解，同时也考查弹力和摩擦力的临界问题二、重难点提示：重点：1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；2. 会用极限法分析临界条件。
难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。
一、水平面内圆周运动临界产生原因1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。
2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。
二、水平面内圆周运动的两种模型1. 圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）提供小物块做圆周运动所需的向心力。
水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”。
临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝Rg，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。
下图均为平台转动类甲乙丙2. 火车拐弯类如图所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg 和轨道支持力N 的合力F 提供火车拐弯时所需的向心力。
圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”。
临界条件：若v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。
圆周运动中的临界问题专题(最新整理)
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界= （可理解为恰好转过Rg 或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg ②能过最高点的条件：v ≥，当v ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．Rg Rg ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最大高gR 310度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A 、一定可以表示为B 、可能为 g v 2203R C 、可能为R D 、可能为R 35【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥gr v 面不能对汽车产生拉力．（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，Rg F N 为支持力．③当v =时，F N ＝0Rg ④当v ＞时，F N 为拉力，F N随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心）Rg典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。
高考物理热点：圆周运动中的临界问题
2．与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好 为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其 上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
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2.典例剖析
典例 长 L＝0.5 m 质量可忽略的细杆，其一端可绕 O 点在竖直平面内转动， 另一端固定着一个小球 A。A 的质量为 m＝2 kg，当 A 通过最高点时，如图 7 所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：
ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动。
当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，
则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断
时的速度分别为(g取10 m/s2)( )
A．AC 5 m/s
B．BC 5 m/s
C．AC 5.24 m/s D．BC 5.24 m/s
转到解析
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4.备选训练
转到解析 扩展变式
审 1.当木块离圆心的距离很小时,随圆盘转动,木块会向圆心滑动？
【题备用2变.当式木】块对恰于好上不题向，里若滑木动块时转,木动块的受半力径情保况持如r=何0.?5遵m,从则什转么盘规转律动？的
角速度3范.若围使是木多块少半？径再增大,木块所受各力情况又会如何变化？
导 析
答4半.当案 径木增块大半4一r径a点d达，/s到随≤最圆ω大盘≤ 值的时2转，动6它r，a所木d/受块s 各将力如情何况运怎动样？？如果再使木块
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5.高考模拟演练
3．(2014·全国卷Ⅰ，20)(多选)如图 13，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可 视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴 OO′的距离为 l，b 与转轴的距离为 2l， 木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 ω 表示圆盘转动的角速度， 下列说法正确的是 ( )
(完整版)圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。
（2/10s m g =）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
匀速圆周运动临界问题专题教学内容
匀速圆周运动临界问题专题匀速圆周运动临界专题任务一：水平面内的圆周运动：物体在水平面内做的一般是匀速圆周运动．这样的物体在竖直方向上受力平衡，在水平方向上受的合外力提供它做圆周运动所需的向心力．（第1题）同学们通过下面的练习，体会下面在水平面内的匀速圆周运动特点。
1.如图所示，水平转盘上放一小木块。
转速为60rad/ min时，木块离轴8cm恰好与转盘无相对滑动，当转速增加到120rad/min时，为使小木块刚好与转盘保持相对静止，那么木块应放在离轴多远的地方？（注：汽车在水平面上转弯类．．．．．．．．．．．．．似这种情况．．．．．）．任务二：竖直平面内的圆周运动：物体在竖直面内作圆周运动的情况关键在于：最高点和最低点的状态分析。
依据物体在圆周最高点的受力状态可以大致分为：物体最高点无支撑力的情况（例：绳球模型）和物体最高点有支撑力的情况（例：杆球模型）同学们通过下面的练习，体会下面在水平面内的匀速圆周运动特点。
.o…图1绳球模型图2 圆环轨道图3轻杆模型图4圆管轨道1．如图1、2 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况○1临界条件○2能过最高点的条件，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○3不能过最高点的条件2．如图3、4所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。
对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。
○1能过最高点的条件，此时杆对球的作用力○2当0<V<gr时，杆对小球，其大小当v=gr时，杆对小球当v>gr时，杆对小球的力为其大小为____________讨论：绳与杆对小球的作用力有什么不同？例2．长度为L=0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图3所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，（g=10m/s2）则此时细杆受的力是（）A. 6.0N的拉力B. 6.0N的压力C.24N的压力D. 24N的拉力例3．如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则( )A．小球在最高点时所受向心力一定为重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率是gLD ．小球在圆周最低点时拉力可能等于重力例4．在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ．g mr mM + B．g mr m M + C ．g mr mM - D．mr Mg。
匀速圆周运动临界问题专题
匀速圆周运动临界专题任务一：水平面内的圆周运动：物体在水平面内做的一般是匀速圆周运动．这样的物体在竖直方向上受力平衡，在水平方向上受的合外力提供它做圆周运动所需的向心力．同学们通过下面的练习，体会下面在水平面内的匀速圆周运动特点。
1.如图所示，水平转盘上放一小木块。
转速为60rad/ min 时，木块离轴8cm 恰好与转盘无相对滑动，当转速增加到120rad/min 时，为使小木块刚好与转盘保持相对静止，那么木块应放在离轴多远的地方？（注：汽车在水平面上转弯类．．．．．．．．．．．．．似这种情况）．．．．．．任务二：竖直平面内的圆周运动：物体在竖直面内作圆周运动的情况关键在于：最高点和最低点的状态分析。
依据物体在圆周最高点的受力状态可以大致分为：物体最高点无支撑力的情况（例：绳球模型）和物体最高点有支撑力的情况（例：杆球模型）图1绳球模型 图3轻杆模型 图4圆管轨道1． 如图1、2 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况○1临界条件 ○2能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○3不能过最高点的条件 2． 如图3、4所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。
对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。
○1能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力 ○2当0<V<gr 时，杆对小球 ，其大小 当v=gr 时，杆对小球 当v>gr 时，杆对小球的力为 其大小为____________讨论：绳与杆对小球的作用力有什么不同？.o （第1题）r m 例2．长度为L=0.50m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m=3.0kg 的小球，如图3所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s ，（g=10m/s 2）则此时细杆受的力是（ ）A. 6.0N 的拉力B. 6.0N 的压力C.24N 的压力D. 24N 的拉力例3．如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则( )A ．小球在最高点时所受向心力一定为重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率是gLD ．小球在圆周最低点时拉力可能等于重力例4．在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ．g mr m M + B ．g mrm M + C ．g mr m M - D ．mr Mg。
高考物理 专题集锦(一)圆周运动实例分析与临界问题
圆周运动实例分析与临界问题圆周运动是高考命题的热点，命题点围绕弹力和摩擦力的临界态展开，具体表现为水平、竖直面和斜面内的圆周运动，命题中凸显学生对临界思想的理解和分析能力，有些问题还涉及图象，复习中要抓住热点，掌握解决的方法。
一、水平面内的圆周运动【例1】如图1所示，叠放在水平转台上的物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动,A 、B 、C 的质量分别为 3m 、2m 、m ，A 与B 、B 和C 与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B 、C 离转台中心的距离分别为r 、l.5r 。
设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 （ ） A.B 对A 的摩擦力一定为3μmg B.B 对A 的摩擦力一定为3m ω2rC.转台的角速度一定满足gr μω≤D.转台的角速度一定满足23grμω≤【解析】B 对A 的摩擦力是A 做圆周运动的向心力，所以23fBA F m r ω=，A 项错误，B 项正确;当滑块与转台间不发生相对运动，并随转台一起转动时,转台对滑块的静摩擦力提供向心力，所以当转速较大，滑块转动需要的向心力大于最大静摩擦力时，滑块将相对于转台滑动，对应的临界条件是静擦力提供向心力，即2mg m r μω=,g rμω=,所以，质量为m 、离转台中心距离为r 的滑块，能够随转台一起转动的条件是g rμω≤;对于本题，物体C 需要满足的条件23grμω≤，物体A 和B 需要满足的条件均是g rμω≤所以， 要使三个物体都能够随转台转动，转台的角速度一定满足23grμω≤, C 项错误,D 项正确。
【答案】BD【总结】水平面内的圆周运动主要涉及的问题是摩擦力临界。
常见问题如下(图中物体质量为m ，距离圆心为r ，转盘转动的角速度为ω,最大静摩擦力为F m ，绳的拉力为F T )：【例2】（2016 •山东临沂教学质检)质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的A 点和B 点，如图2所示,绳a 与水平方向夹角为θ， 绳b 沿水平方向且长为l ，当轻杆绕轴AB 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做勻速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）A.a 绳张力不可能为零B.a 绳的张力随角速度的增大而增大C.当角速度cos g lθω>，b 绳将出现弹力 D.若b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变【解析】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a 绳的张力不可能为零,故A 项正确;根据竖直方向上平衡得，sin a F mg θ=，解得/sin a F mg θ=，可知a 绳的拉力不变，故B 项错误;当b 绳拉力为零时，有2cot mg ml θω=，解得cot g lθω=，可知当角速度cot g lθω>时，b 绳出现弹力，故C 项错误；由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变，故D 项正确。
高考物理大一轮复习专题提升四圆周运动中的临界问题课件
突破一 水平面内的匀速圆周运动中的临界问题 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与 摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题. (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到
最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有 fm＝mrv2 ，静 摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力， 如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一 个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件， 分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和 沿半径指向圆心.
甲
乙
图 Z4-2
小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力 恰好提供向心力，即 mg＝mvr2，这时的速度是做圆周运动的最 小速度 vmin＝ gr.
(1)临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 mg＝mvR2⇒v ＝ 临界 Rg. (2)能过最高点的条件：v≥ Rg，当 v> Rg时，绳对球产生 拉力，轨道对球产生压力.
3.拱桥模型
图 Z4-4 如图 Z4-4 所示的小球在轨道的最高点时，如果 v≥ R g， 此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.
例 2：(2016 年山东烟台模拟)一轻杆一端固定质量为 m 的
小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R 的圆
周运动，如图 Z4-5 所示，则下列说法正确的是( )
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
专题七 圆周运动的临界问题
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零，故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力，即 ，因此外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 ，小球在最高点的速度大小为 ，其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时，在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示，相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时，物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大，一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒，选项A正确，B错误；设小球离开圆锥筒后，绳子的拉力为 ，绳子长度为 ，与竖直方向的夹角为 ，由 ， ，联立解得 ，而 ，为小球到圆锥筒顶点的高度，所以两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同，选项C正确；而细绳中拉力 ，即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同，选项D错误.
2018高考物理总复习 专题 圆周运动中的临界问题探究2 竖直面内无支撑物的圆周运动的临界问题探究讲义
竖直面内无支撑物的圆周运动的临界问题探究二、重难点提示：重点：掌握竖直面内无支撑物的物体做圆周运动向心力的来源及临界产生的根本原因。
难点：物体能够做圆周运动的临界条件的分析。
1. 轻绳模型无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”。
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力（圆圈轨道问题可归结为轻绳类），即只能沿某一个方向给物体力的作用，如上图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况。
2. 过最高点的临界条件由mg ＝rv m 2得v 临＝gr3. 讨论分析（1）过最高点时，v ≥gr ，F N ＋mg ＝rv m 2，绳或圆轨道对球产生弹力F N 。
（2）不能过最高点时，v <gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
4. 产生临界的本质原因：外界提供的合外力存在最小值mg ，故物体做圆周运动的速度存在最小值，即：mg ＝rv m 2。
【规律总结】处于临界状态的物体处于完全失重状态，加速度为g ，与重力有关的现象消失，水流星就是这个原理。
如图所示：一根绳子系者一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水不会流下来。
例题1 如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R 的光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切。
质量为m 的小球以大小为v 0的初速度经半圆槽轨道最低点B 滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C 后落回到水平面上的A 点。
（不计空气阻力，重力加速度为g ）求：（1）小球通过B 点时对半圆槽的压力大小； （2）A 、B 两点间的距离； （3）小球落到A 点时的速度方向。
思路分析：（1）在B 点小球做圆周运动，F N －mg ＝Rv m 2F N ＝mg ＋Rv m 20。
（2）在C 点小球恰能通过，故只有重力提供向心力，则mg ＝Rv m C2过C 点小球做平抛运动：x AB ＝v C th ＝221gt h ＝2R联立以上各式可得x AB ＝2R .。
圆周运动专题(一)《圆周运动中的临界问题》
圆周运动专题（一）圆周运动中的临界问题教学目的：理解圆周运动中的动力学特征；掌握圆周运动中临界问题的分析方法和解题；培养学生正确分析物理过程、建立正确的物理模型的能力。
教学重点：有关圆周运动中临界问题的分析 教学过程：一．描述圆周运动的物理量 1． 线速度 2． 角速度 3． 周期和频率 4． 向心加速度，5． 线速度、角速度、周期和频率、向心加速度的关系r f Tr v ωππ===22 v r T r f r r v a ωππω=====22222244 解圆周运动的运动学问题关键在于熟练掌握各物理量间的关系 二．圆周运动中的向心力1． 作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。
2． 大小：22224Tmr v m mr r v m ma F πωω===== 3． 产生：向心力是按效果来命名的，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一力提供，也可以由几个力的合力提供或是某一个力的分力提供，要根据物体受力的实际情况判定。
4． 特点：（1） 匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。
可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。
（2） 变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力大小都会发生变化，求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度。
在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时改变，其方向也不沿半径指向圆心。
合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
（3） 物体做圆周运动的条件，是提供的向心力（沿半径方向的合力）等于需要的向心力（F 供=F 需）。
当F 供>F 需时物体做近心运动，当F 供<F 需时物体做离心运动. 例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）A ．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。
专题：圆周运动中的临界问题探究1 水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析(同步练习)
（答题时间：30分钟）1. 如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是（ ）A. 小球受重力、细绳的拉力和向心力作用B. 小球受重力、细绳的拉力的作用C. θ 越大，小球运动的线速度越大D. θ 越大，小球运动的线速度越小2. 如图所示，半径为R 的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为，现要使A 不下落，则圆筒转动的角速度至少为 （ ）A. R g μB. g μC. R gD. Rg μ 3. 冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度的最大值是（ ）A. gR kB. kgRC. k gRD. kgR 24. 用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如下图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是下图中的（ ）5. 在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1＝2m 2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如下图所示，此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为（ ）A. 1∶1B. 1∶2C. 2∶1D. 1∶26. 套着弹簧与小球P 的粗糙细杆固定在如图所示的装置上，弹簧的一端固定在装置的A 点，另一端连接一质量为m 的小球P ，当整个装置静止时，弹簧处于拉伸状态，小球P 离A 点的距离为4L ，离B 点的距离为2L ，那么当整个装置绕竖直中心轴O O '以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是（ ）A. 小球P 一定会更靠近B 点B. 小球P 可能相对B 点距离不变C. 小球P 受到的合力可能为L m 2ωD. 小球受到的静摩擦力一定变小7. 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。
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水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析
二、重难点提示：
重点：
1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；
2. 会用极限法分析临界条件。
难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。
一、水平面内圆周运动临界产生原因
1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。
2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。
二、水平面内圆周运动的两种模型
1.圆台转动类
小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）提供小物块做圆周运动所需的向心力。
水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”。
临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相
对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。
下图均为平台转动类
甲乙丙
2. 火车拐弯类
如图所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力。
圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”。
临界条件：若v＝，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；
若v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v＜，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力。
火车转弯问题类变形：
1 2 3 4 5
【方法指导】临界问题解题思路
1.确定做圆周运动的物体作为研究对象。
2.确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。
3. 对研究对象进行受力分析。
哪些力存在临界？（摩擦力、弹力）
4.运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F。
5.根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。
例题1如图所示，半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两
点到球心的距离均为l。
当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a、b与杆在同一竖直平面内）。
求：
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆。
（2）小球离开竖直杆轻绳a的张力F a与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
思路分析：（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知sin α＝，r＝
沿半径：F a sin α＝mω2r
垂直半径：F a cos α＝mg
联立解得ω＝2
（2）由（1）可知小球恰离开竖直杆时，F a＝mg
若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r＝l sin β
沿半径：F a sin β＝mω2r
垂直半径：F a cos β＝mg
联立解得F a＝mω2l
当轻绳b恰伸直时，β＝60°，此时ω＝
故有F a＝mω2l，此时≤ω2≤
若角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r＝l sin 60°
沿半径：F a sin 60°＋F b sin 60°＝mω2r
垂直半径：F a cos 60°＝F b cos 60°＋mg
联立解得：F a＝mlω2＋mg，此时ω2≥
答案：（1）2（2）0≤ω2≤时，F a＝mg；≤ω2≤
时，F a＝mω2l；ω2≤时，F a＝mlω2＋mg
例题2如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径R A＝2R B，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。
若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（）
A. B. C. D. R B
思路分析：根据A和B靠摩擦转动可知，A和B边缘线速度大小相等，即R AωA＝R BωB，ωB＝2ωA，又根据在A轮边缘放置的小木块恰能相对静止得μmg＝mR A，设小木块放在B轮上相对B轮也静止时，距B轮转轴的最大距离为R B′，则有：μmg＝mR B′，解上面式子可
得R B′＝。
答案：C
【易错警示】
易错点：匀速圆周运动与非匀速圆周运动合外力方向的区别
满分训练：
如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。
当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（）
A. 当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c
B. 当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C. 当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a
D. 当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b
思路分析：圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力（摩擦力）提供圆周运动向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，故C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，故D错误。
答案：A。