2019届高三数学(理)人教版一轮课件：学科素养培优六 基本不等式求最值六技巧(17)
2019届高三数学(理)人教版一轮课件：学科素养培优五 数列题的求解技巧(19)
=
.
思路点拨:先根据an=f(n)+f(n+1)对求和式进行分组,再根据f(n)=n2cos(nπ) 进行分组求和,最后求得结果.
解析:a1+a2+…+a100=[f(1)+f(2)]+[f(2)+f(3)]+…+[f(99)+f(100)]+[f(100)+f(101)] =2[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)]-f(1)+f(101)=2(-11+22-32+42+…-992+1002)+1-1012
所以 c7=c4+3d=8,即 a7+b7=8.故选 B.
2019年4月28日
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3
反思归纳 根据等差数列、等比数列的定义,在解题中判断新数列的类别, 直接使用等差数列、等比数列的相关公式进行计算.
2019年4月28日
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4
技巧二 巧用项的性质减少计算
【例 2】 (2017·江西省五市八校二联)等差数列{an}的公差 d<0 且 a12 = a123 ,则数列{an} 的前 n 项和 Sn 有最大值,当 Sn 取得最大值时的项数 n 是( ) (A)6 (B)7 (C)5 或 6 (D)6 或 7
【例1】 (2017·河南省郑州一中高三三联)已知数列{an}和{bn}都是等差数列, 若a2+b2=3,a4+b4=5,则a7+b7等于( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10
思路点拨:两个等差数列的和组成的新数列还是等差数列.
解析:设 cn=an+bn,则{cn}也是等差数列,设公差为 d,则 d= c4 c2 =1, 2
2019高三一轮总复习文科数学课件：6-4基本不等式
3
考点疑难突破
利用基本不等式求最值
[题 组 训 练]
1．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( )
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
解析：f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2时取
等号，此时 x＝3，故选 C.
【答案】 (1)B (2)8
角度二 求参数值或取值范围
(1)(2017 届太原模拟)正数 a，b 满足a1＋b9＝1，若不等式 a＋b≥－x2＋
4x＋18－m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A．[3，＋∞)
B．(－∞，3]
C．(－∞，6]
D．[6，＋∞)
(2)若对任意 x>0，x2＋3xx＋1≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
考点频率 5年31考
命题趋势 1.从近五年的高考试题来看，利用基 本不等式求最值，是高考命题的热点 ，题型多样，难度为中低档．主要考 查最值、转化与化归思想． 2．命题情境不断创新，常以函数、 应用问题为载体考查．
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」
1．重要不等式 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
基本不等式的实际应用 [典 例 导 引]
(2017 届仙桃模拟)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝31x2＋10x(万元)．当年 产量不小于 80 千件时，C(x)＝51x＋10 x000－1 450(万元)．每件商品售价为 0.05 万 元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
高三理科数学一轮复习 第六章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件
1
考
考纲概述
查 热
考查频次
备考指导
点
基本不等式: ab ≤ a+2b(a≥0,b≥0). (1)了解基本不等式 的证明过程;
(2)会用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
求 最 值
综 合 应 用
★★★★★ 基本不等式是重要考点,常见题型是 利用基本不等式求函数最值,注意三 个条件“一正二定三相等”,且经常考查 三个条件中有一个条件不满足时,如
D.4
【解题思路】先利用线性规划得到 a,b 的关系,再利用基本不等式求解.不等式组对应
的平面区域是一个四边形区域(包含边界),当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)经过点(1,4)
时取得最大值 8,则 a+4b=8,又 a>0,b>0,所以 a+4b=8≥2 4������������ = 4 ������������,解得 ab≤4,当
A.1������
+
1有最大值
������
4
C. ������ + ������有最大值 2
C
【解析】因为1
������
+
1 ������
=
B. ������������有最小值14
D.a2+b2
有最小值
2 2
1 ������
+
1 ������
(������
+
������)
=
2
+
������ ������
4
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
2019年高三一轮总复习理科数学课件：6-4基本不等式
(2)∵x>0，a>0， ∴f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a， 当且仅当 4x＝ax， 即 4x2＝a 时，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在 x＝3 时取得最小值， ∴a＝4×32＝36. 答案：(1)－83，＋∞ (2)36
求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值 范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不 等式，体现了主元与次元的转化．
基本不等式的实际应用 [典 例 导 引]
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级污水处 理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价 为每米 100 元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)．
(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低； (2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过 14.5 米，那么此时污水处 理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．
要是利用不等式求最值，
式及其应 (1)了解基本不等式的证明 5 年 22 考 且常与函数、数列、解析
用 过程.
几何等知识结合在一起
(2)会用基本不等式解决简
进行考查.
单的最大(小)值问题.
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；(2)ab＋ba≥2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
2019届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第六节 数学归纳法课件 理
即可，即 Sk＝ka1＋kk2－1d. 答案：C
4．已知 f(n)＝n1＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12，则
()
A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13
B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
C．f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13
考点二 用数学归纳法证明不等式
利用数学归纳法证明不等式问题常与数列问题相结 合，题目难度较大.
[典题领悟] 已知函数 f(x)＝x－32x2，设 0＜a1＜12，an＋1＝f(an)，n∈N*， 证明：an＜n＋1 1. 证明：(1)当 n＝1 时，0＜a1＜12，显然结论成立． 因为当 x∈0，12时，0＜f(x)≤16， 所以 0＜a2＝f(a1)≤16＜13. 故 n＝2 时，原不等式也成立．
答案：C
3．用数学归纳法证明：首项是 a1，公差是 d 的等差数列的前 n
项和公式是 Sn＝na1＋nn2－1d 时，假设当 n＝k 时，公式成立，
则 Sk＝
()
A．a1＋(k－1)d
B.ka1＋ 2 ak
C．ka1＋kk2－1d
D．(k＋1)a1＋kk2＋1d
解析：假设当 n＝k 时，公式成立，只需把公式中的 n 换成 k
D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14 解析：由 f(n)可知，共有 n2－n＋1 项，且 n＝2 时，f(2)
＝12＋13＋14. 答案：D
5．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2时，当 n＝k＋1 时左端应在 n＝k 的基础上加上__________________． 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
2019-2020年高三数学人教版一轮课件：学科素养培优六 基本不等式求最值六技巧
=-2(y-1)2+2≤2.
答案:2
反思归纳 在含有两个以上变元的最值问题中,通过代换的方法减少变元,把 问题化为两个变元的问题使用基本不等式,或者把问题化为一个变元的问题 使用函数方法求解.
技巧六 建立求解目标的不等式
【例6】 已知x,y均为正实数,且xy=x+y+3,则xy的最小值为
.
思路点拨:利用 x+y≥2 xy ,把已知等式变换为不等式,抓住其中的基本量 xy ,解不 等式即得.
(C) a + b 有最大值 2 (D)a2+b2 有最小值 2 2
思路点拨:使用不等式 ab ≤ a b ≤ a2 b2 及其变形逐项分析判断.
2
2
解析:选项 A,因为正数 a,b 且 a+b=1,所以 1 + 1 =( 1 + 1 )(a+b)=2+ b + a ≥4,
ab ab
ab
当且仅当 a=b= 1 时等号成立;选项 B,ab≤( a b )2= 1 ,
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2
2
4
当且仅当 a=b= 1 时等号成立;选项 C,( 2
a+
b )2=a+b+2
ab ≤1+2
a
b 2 2
=2,
即 a + b ≤ 2 ,当且仅当 a=b= 1 时等号成立; 2
选项 D,a2+b2≥ a b2 = 1 ,当且仅当 a=b= 1 时等号成立.
22
2
高考数学一轮复习 第6章 不等式课件 理
－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(
)．
9
A．0
B．1
C.4
D．3
由 x2－3xy＋4y2－z＝0 可得 z＝x2－3xy＋4y2，
xy
xy
1
1
故
z
＝
x2－3xy＋4y2＝x 4y ≤ y＋ x －3
2
4－3＝1，当且仅
当xy＝4xy即 x＝2y 时等号成立，这时 z＝x2－3xy＋4y2＝2y2.
利用排除法，
设 x＝3.2，则[－x]＝[－3.2]＝－4，而－[x]＝－[3.2]
ab C．若c2<c2，则 a<b
D．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
由不等式的性质知 C 正确．
C
2．已知 x，y 都为正实数，且 3x＋y＝1，则 xy 的最大
值为( )．
1
1
A.12
B.3
C. 3
D．2 3
∵x，y 都为正实数，∴3x＋y＝1≥2 3x·y，得 xy
1 ≤12，故
xy
1 的最大值为12.
四、极值定理
1．若 x，y∈R＋，积 x·y＝p(定值)，则和 x＋y 有最小
值__2 p__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”；
2．若 x，y∈R＋，和 x＋y＝s(定值)，则积 x·y 有最大
值__s42__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”．
即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”．
a －b ＝ log36－ log510＝ 1＋ log32－ (1 ＋ log52) ＝ log32－log52＞0，∴a＞b.
b－c＝log510－log714＝1＋log52－(1＋log72)＝log52 －log72＞0，∴b＞c.∴a＞b＞c.
基本不等式求最值问题课件
参数法
总结词 详细描述
CHAPTER
常见题型及解题思路
选择题和填空题的解题思路
01
02
03
观察选项
运用基本不等式
求解最值
解答题的解题思路
建立数学模型
求解最值
明确题目要求
运用基本不等式
验证答案
CHAPTER
典型例题解析
算术平均数与几何平均数之间的关系的例题解析
总结词
利用算术平均数与几何平均数之 间的关系求最值。
基本不等式在数学中的应用
求解最值问题
解决优化问题
分析函数性质
CHAPTER
常见的基本不等式
算术平均数与几何平均数之间的关系
算术平均数 几何平均数 不等式关系
柯西不等式
定义：对于任意的正实数$a_1, a_2, ..., a_n$和实数$x_1, x_2, ..., x_n$， 有
应用：在求解最值问题时，柯西不等 式可以用来估计函数的取值范围。
基本不等式求最值问 题课 件
contents
目录
• 基本不等式概述 • 常见的基本不等式 • 利用基本不等式求最值的方法 • 常见题型及解题思路 • 典型例题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
基本不等式概述
不等式的定义与性质
不等式的定义 不等式的性质
基本不等式的分 类
算术平均数与几何平均数不等式 柯西不等式 排序不等式
$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \geq (a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n)^2$
2019版高考数学理高分计划一轮高分讲义：第6章 不等式 6-3 基本不等式 含解析 精品
6.3 基本不等式[知识梳理] 1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24(简记：和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．[诊断自测] 1．概念思辨(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修A5P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(2)(必修A5P 100A 组T 2)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．3．小题热身(1)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C.(2)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案 18解析 ∵2xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝14， ∴xy ≤18⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时取“＝”号.∴xy 的最大值为18.题型1 利用基本不等式求最值角度1 直接应用典例 (2018·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1b (a －b )的最小值． 直接应用基本不等式．解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2＝2，a ＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1b (a －b )的最小值是4.角度2 变号应用典例 求f (x )＝lg x ＋1lg x的值域． 注意分类讨论．解 f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 当0＜x ＜1时，lg x ＜0，∴－f (x )＝－lg x ＋1－lg x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝110时等号成立，即f (x )≤－2.当x ＞1时，lg x ＞0，f (x )＝lg x ＋1lg x ≥2(当且仅当x ＝10时等号成立)． 综上f (x )的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 角度3 寻求定值应用典例 求f (x )＝4x －2＋14x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <54的最大值． 配凑成积定的式子．解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度4 常量代换法求最值(多维探究)典例 (2015·福建高考)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5注意巧用1的代换．答案 C解析 因为直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.[条件探究] 将典例条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9y ＝1”，求x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝y y －9. ∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16. 方法技巧利用基本不等式求最值的方法1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．冲关针对训练1．已知a ＞0＞b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为( )A.3124B.3112C.3＋22D.3＋222答案 D解析 a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋(b ＋1)2－2(b ＋1)＋1b ＋1＝a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1，又a ＋b ＝1，a ＞0，b ＋1＞0，所以a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1＝2a ＋1b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＋12＝32＋b ＋1a ＋a 2(b ＋1)≥32＋2b ＋1a ·a 2(b ＋1)＝3＋222，当且仅当b ＋1a ＝a2(b ＋1)，即a ＝4－22，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为3＋222，故选D.2．(2018·广西三市调研)已知m ，n 为正实数，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，若a ∥b ，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 3＋2 2解析 ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1，又m ，n 为正实数，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝n m ＋2mn ＋3≥2n m ·2mn ＋3＝3＋22，当且仅当⎩⎨⎧n m ＝2m n，m ＋n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2－1，n ＝2－2时，取等号. 题型2 基本不等式的综合应用角度1 利用基本不等式比较大小典例 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ，若0＜a ＜b ，P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，Q ＝f (ab )，R ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，则( )A ．P ＜Q ＜RB ．P ＜R ＜QC ．R ＜Q ＜PD ．R ＜P ＜Q 用导数法．答案 D解析 f ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1(x ＞－1)，由f ′(x )>0解得－1<x <0，由f ′(x )<0解得x >0，所以f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜b 时，0＜ab ＜a ＋b2＜a 2＋b 22，∴Q ＝f (ab )＞P ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞R ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22.故选D. 角度2 利用基本不等式证明不等式典例已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8. 左边因式分别使用基本不等式．证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以 1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，① 1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8. 角度3 基本不等式中的恒成立问题典例(2018·太原模拟)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞) 用转化法．答案 D 解析a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.角度4 基本不等式与其他知识的综合问题典例 已知直线l ：x ＝my ＋2(m ∈R )与x 轴的交点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 的左焦点为F 1，是否存在m 使得△ABF 1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．解 (1)易知直线l ：x ＝my ＋2与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的一个焦点坐标为(2,0)，∴c ＝2，∴a 2＝c 2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1. (2)存在．将x ＝my ＋2代入x 25＋y 2＝1并整理得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0， Δ＝(4m )2－4(m 2＋5)×(－1)＝20m 2＋20>0， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4mm 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5，∴|AB |＝1＋m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m m 2＋52－－4m 2＋5＝1＋m 2·20m 2＋20(m 2＋5)2，∵椭圆C 的左焦点为F 1(－2,0)，∴F 1到直线l 的距离d ＝|－2－2|1＋m 2＝41＋m 2， ∴S △ABF 1＝12·1＋m 2·20m 2＋20(m 2＋5)2·41＋m 2＝45·m 2＋1(m 2＋5)2＝45·m 2＋1(m 2＋1)2＋8(m 2＋1)＋16＝45·1m 2＋1＋16m 2＋1＋8≤45·12(m 2＋1)·16m 2＋1＋8＝ 5.当且仅当m 2＋1＝16m 2＋1，即m ＝±3时，S △ABF 1取得最大值．∴存在m ＝±3使得△ABF 1的面积最大． 方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1典例，结合函数的单调性进行大小的比较．2．证明不等式的成立性，如角度2典例．3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如角度3典例．4．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4典例中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．冲关针对训练(2017·广西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. (2)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ， 同理，1＋1b ＝2＋ab ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 题型3 基本不等式在实际问题中的应用典例某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？由题意得出函数解析式，求最值时用基本不等式法．解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1.由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16xx －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．方法技巧利用基本不等式求解实际问题的求解策略1．根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 4．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．冲关针对训练某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1)．设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800 ＝900x ＋9x ＋10809≥2900x ·9x ＋10809＝10989， 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)． 由对勾函数的性质易知f (x )＝x ＋100x 在[10，＋∞)上单调递增，故当x ＝35时，y 2取得最小值，约为10069.7，此时y 1＞y 2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件．1.(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b ＞0，1b ＝1－1a ＞0， ∴b ＞1，a ＞1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立， ∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 2．(2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )得lg (ab )＝lg (a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.故选C.3．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x (万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元． 因为3600x ＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 4．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥2 4ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋2x 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 2答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.故选D.2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C.3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥15.故选A.4．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x ，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A.12B.13C.14D.18答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝12时，等号成立，故z 的最大值为14.故选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.故选C.6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m ，对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy ，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72C ．22＋12 D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (n ＋1)2＋8n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n的最小值是92.故选A.9．(2018·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， 若A ，B ，C 三点共线，则有AB→∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.10．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，且4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝ca －1，则t ≥0.当t ＞0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t ＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a ＋2c ＝0，故b 2a ＋2c 的最大值为6－2.故选B.二、填空题11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号)故该容器的最低总造价是160元．12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．答案 12解析 ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.13．(2018·泰安模拟)正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b ＝6，则4a＋5b 的最小值是________．答案 32解析 正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b ＝6，令a ＋2b ＝m,2a ＋b ＝n ，则正数m ，n 满足2m ＋1n ＝6，则4a ＋5b ＝2m ＋n ＝16(2m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ＋2m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22n m ·2m n ＝32，当且仅当2n m ＝2m n 即m ＝n ＝12时取等号，此时a ＝b ＝16，故4a ＋5b 的最小值为32.14．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋2y ≥0，2x －y －2≤0，且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则4a ＋2b 的最小值为________．答案 3＋2 2解析 画区域如图，易知目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2， 所以4a ＋2b ＝2(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·ab ＝3＋22， 当且仅当2b a ＝a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4－22，b ＝22－2时，取等号． 故4a ＋2b 的最小值为3＋2 2.三、解答题15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值．解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为100x 米，∴y ＝56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2·100x －2×200＝256x ＋40000x －400(x ＞0)． (2)由(1)得y ＝256x ＋40000x －400 ≥2256x ·40000x －400＝6000， 当且仅当256x ＝40000x 时，等号成立，即当x ＝252米时，y 取得最小值6000元．16．(2018·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1－p 1－(p ＋2)＝1， 故△ABC 中，A ＋B ＝π4，所以C ＝3π4.(2)由C ＝3π4，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得42＝a 2＋b 2－2ab ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 整理得16＝a 2＋b 2＋2ab ，即16－2ab ＝a 2＋b 2， 又a >0，b >0，所以16－2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，得ab ≤162＋2，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×ab ×22≤12×162＋2×22＝422＋2＝42－4， 所以△ABC 面积的取值范围为(0,42－4]．。
2019版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第35
不等式、推理与证明
第35讲 基本不等式
பைடு நூலகம்
考纲要求
考情分析
命题趋势
2016·江苏卷，14 对基本不等式的考查，主要
1.了解基本不等式的证明过程． 2015·全国卷Ⅰ，12 是利用不等式求最值，且常
2．会用基本不等式解决简单的 2015·福建卷，6 与函数、数列、解析几何等
最大(小)值问题.
分值：5分
4．若 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值为_____5__. 解析 x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5.当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号
成立． 5．若 x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则 z＝2x＋5y的最小值为___2____. 解析 由已知条件 lg x＋lg y＝1，可知 xy＝10.则2x＋5y≥2 1x0y＝2，故2x＋5ymin＝2，
知识结合在一起进行考查.
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1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0___. (2)等号成立的条件：当且仅当____a_＝__b___时取等号． 2．几个重要的不等式： (1)a2＋b2≥____2_a_b___(a，b∈R)． (2)ba＋ab≥____2___(a，b 同号)．
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)．
(4)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为____2____，几何平均数为___a__b__，基
本不等式可叙述为__两__个__正__数__的__算__术__平__均__数__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数___.
2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第6章 不等式 6.3 基本不等式
6.3 基本不等式[知识梳理]1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为，几何平均数为，a ＋b2ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2(简记：积定和最小)．p (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．p 24注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)．ba ab (3)ab ≤2(a ，b ∈R )．(a ＋b2)(4)2≤(a ，b ∈R )，(a ＋b 2)a 2＋b 222(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )．(5)≥≥ab (a ，b ∈R )．a 2＋b 22(a ＋b )24(6)≥≥≥(a >0，b >0)．a 2＋b 22a ＋b2ab 21a＋1b [诊断自测]1．概念思辨(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与≥成立的条件是相同a ＋b2ab 的．( )(2)函数y ＝x ＋的最小值是2.( )1x (3)函数f (x )＝sin x ＋的最小值为2.( )4sin x (4)x ＞0且y ＞0是＋≥2的充要条件．( )x y y x 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2⇔9≥⇔xy ≤81，当且xy xy 仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(2)(必修A5P 100A 组T 2)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝x ·(2y )≤2＝，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝1212(x ＋2y2)2252时取等号．1523．小题热身(1)下列不等式一定成立的是( )A ．lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.>1(x ∈R )1x 2＋1答案 C解析 取x ＝，则lg＝lg x ，故排除A ；取x ＝π，则12(x 2＋14)32sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则＝1，故排除D.应选C.1x 2＋1(2)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 18解析 ∵2xy ≤2＝，(2x ＋y 2)14∴xy ≤.∴xy 的最18(当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时取“＝”号)大值为.18题型1 利用基本不等式求最值角度1 直接应用 (2018·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋的最小典例1b (a －b )值．直接应用基本不等式．解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0.∴a 2＋≥a 2＋＝a 2＋≥2＝4，当且仅1b (a －b )1(b ＋a －b 2)24a 2a 2·4a 2当b ＝a －b ，a 2＝2，a ＞b ＞0，即a ＝，b ＝时取等号．222∴a 2＋的最小值是4.1b (a －b )角度2 变号应用 求f (x )＝lg x ＋的值域．典例1lgx 注意分类讨论．解 f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．当0＜x ＜1时，lg x ＜0，∴－f (x )＝－lg x ＋≥2，即f (x )1－lg x (当且仅当x ＝110时等号成立)≤－2.当x ＞1时，lg x ＞0，f (x )＝lg x ＋≥2(当且仅当x ＝10时等号成立)．1lg x 综上f (x )的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．角度3 寻求定值应用 求f (x )＝4x －2＋的最大值．典例14x －5(x <54)配凑成积定的式子．解 因为x ＜，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋＝－5414x －5＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝，即x ＝1(5－4x ＋15－4x )15－4x 时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋的最大值为1.14x －5角度4 常量代换法求最值(多维探究) (2015·福建高考)若直线＋＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，典例x a yb 则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5注意巧用1的代换．答案 C解析 因为直线＋＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，x a yb 所以＋＝1.1a 1b 所以a ＋b ＝(a ＋b )·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当(1a ＋1b )a b ba ab ·b a a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.[条件探究] 将典例条件变为“x ＞0，y ＞0且＋＝1”，求1x 9y x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝.yy －9∴x ＋y ＝＋y ＝y ＋y y －9y －9＋9y －9＝y ＋＋1＝(y －9)＋＋10.9y －99y －9∵y ＞9，∴y －9＞0.∴y －9＋＋10≥2＋10＝16.9y －9(y －9)·9y －9当且仅当y －9＝，即y ＝12时取等号．9y －9又＋＝1，则x ＝4.1x 9y ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法技巧利用基本不等式求最值的方法1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．冲关针对训练1．已知a ＞0＞b ＞－1，且a ＋b ＝1，则＋的最小值a 2＋2ab 2b ＋1为( )A. B. 31243112C.D.3＋223＋222答案 D 解析 ＋＝a ＋＋＝a ＋＋b ＋1－2＋a 2＋2ab 2b ＋12a (b ＋1)2－2(b ＋1)＋1b ＋12a 1b ＋1，又a ＋b ＝1，a ＞0，b ＋1＞0，所以a ＋＋b ＋1－2＋＝＋2a 1b ＋12a ＝·＝＋＋≥＋21b ＋1(2a ＋1b ＋1)(a2＋b ＋12)32b ＋1a a2(b ＋1)32b ＋1a·a 2(b ＋1)＝，当且仅当＝，即a ＝4－2，b ＝2－3时3＋222b ＋1a a2(b ＋1)22取等号，所以＋的最小值为，故选D.a 2＋2ab 2b ＋13＋2222．(2018·广西三市调研)已知m ，n 为正实数，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，若a ∥b ，则＋的最小值为________．1m 2n 答案 3＋22解析 ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1，又m ，n 为正实数，∴＋＝(m ＋n )＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，当1m 2n (1m ＋2n )n m 2mn n m ·2m n 2且仅当Error!即Error!时，取等号.题型2 基本不等式的综合应用角度1 利用基本不等式比较大小 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ，若典例0＜a ＜b ，P ＝f，Q ＝f ()，R ＝f ，则( )(a ＋b2)ab(a 2＋b 22)A ．P ＜Q ＜RB ．P ＜R ＜QC ．R ＜Q ＜PD ．R ＜P ＜Q 用导数法．答案 D解析 f ′(x )＝－1＝(x ＞－1)，由f ′(x )>0解得1x ＋1－xx ＋1－1<x <0，由f ′(x )<0解得x >0，所以f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜b 时，0＜＜＜，∴Q ＝f ()＞P ＝fab a ＋b2a 2＋b 22ab ＞R ＝f .故选D.(a ＋b2)(a 2＋b 22)角度2 利用基本不等式证明不等式 已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：典例>8.(1x －1)(1y －1)(1z －1)左边因式分别使用基本不等式．证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以－1＝＝>，①1x 1－x x y ＋z x 2yz x －1＝＝>，②1y 1－y y x ＋z y 2xz y －1＝＝>，③1z 1－zz x ＋y z 2xyz 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得·>8.(1x －1)(1y －1)(1z －1)角度3 基本不等式中的恒成立问题 (2018·太原模拟)正数a ，b 满足＋＝1，若不等式典例1a 9b a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)用转化法．答案 D解析 a ＋b ＝(a ＋b )＝10＋＋≥16Error!，故只需(1a ＋9b )b a 9ab －x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.角度4 基本不等式与其他知识的综合问题 已知直线l ：x ＝my ＋2(m ∈R )与x 轴的交点是椭圆C ：典例＋y 2＝1(a >0)的一个焦点．x 2a 2(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 的左焦点为F 1，是否存在m 使得△ABF 1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．解 (1)易知直线l ：x ＝my ＋2与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴椭圆C ：＋y 2＝1(a >0)的一个焦点坐标为(2,0)，x 2a 2∴c ＝2，∴a 2＝c 2＋1＝4＋1＝5.故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 25(2)存在．将x ＝my ＋2代入＋y 2＝1并整理得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0，x 25Δ＝(4m )2－4(m 2＋5)×(－1)＝20m 2＋20>0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，－4mm 2＋5y 1y 2＝，－1m 2＋5∴|AB |＝·＝·，1＋m 2(－4mm 2＋5)2－－4m 2＋51＋m 220m 2＋20(m 2＋5)2∵椭圆C 的左焦点为F 1(－2,0)，∴F 1到直线l 的距离d ＝＝，|－2－2|1＋m 241＋m 2∴S △ABF 1＝···＝4·＝4121＋m 220m 2＋20(m 2＋5)241＋m 25m 2＋1(m 2＋5)2·＝4·5m 2＋1(m 2＋1)2＋8(m 2＋1)＋1651m 2＋1＋16m 2＋1＋8≤4·＝.512(m 2＋1)·16m 2＋1＋85当且仅当m 2＋1＝，即m ＝±时，S △ABF 1取得最大16m 2＋13值．∴存在m ＝±使得△ABF 1的面积最大．3方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1典例，结合函数的单调性进行大小的比较．2．证明不等式的成立性，如角度2典例．3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如角度3典例．4．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4典例中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．冲关针对训练(2017·广西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.1a 1b 1ab (1＋1a )(1＋1b )证明 (1)＋＋＝＋＋＝2.1a 1b 1ab 1a 1b a ＋b ab (1a ＋1b )∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，1a 1b a ＋b a a ＋b b ab ba ∴＋＋≥8.1a 1b 1ab (当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)(2)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，1a a ＋b a b a 同理，1＋＝2＋，1b ab ∴＝(1＋1a )(1＋1b )(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2≥5＋4＝9.(b a ＋a b )∴≥9.(1＋1a )(1＋1b )(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)题型3 基本不等式在实际问题中的应用 某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产典例品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销km ＋1售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？由题意得出函数解析式，求最值时用基本不等式法．解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－.2m ＋1由题意可知每件产品的销售价格为1.5×(元)，8＋16xx∴2017年的利润y ＝1.5x ·－8－16x －m ＝－8＋16x x＋29(m ≥0)．[16m ＋1＋(m ＋1)](2)∵当m ≥0时，＋(m ＋1)≥2＝8，16m ＋116∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．16m ＋1故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．方法技巧利用基本不等式求解实际问题的求解策略1．根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．4．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．冲关针对训练某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1)．设每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]＋6×18001x ＝＋9x ＋10809≥2＋10809＝10989，900x 900x ·9x当且仅当9x ＝，即x ＝10时取等号．900x 所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝[9x (x ＋1)＋900]1x ＋6×1800×0.90＝＋9x ＋9729(x ≥35)．900x由对勾函数的性质易知f (x )＝x ＋在[10，＋∞)上单调递增，100x 故当x ＝35时，y 2取得最小值，约为10069.7，此时y 1＞y 2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件．1.(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足＋＝1，则1a 1b ＋的最小值为( )1a －19b －1A ．16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－＞0，＝1－＞0，1a 1b 1b 1a ∴b ＞1，a ＞1，则＋≥2＝2＝61a －19b －19(a －1)(b －1)9ab －(a ＋b )＋1，(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)∴＋的最小值为6.故选C.1a －19b －12．(2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )得lg (ab )＝lg (a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有＋＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )＝2＋＋≥2＋21a 1b (1a ＋1b )b a ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.b a ·ab 故选C.3．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×＝(万元)．600x 3600x 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为万元．(3600x＋4x)因为＋4x ≥2＝240，当且仅当＝4x ，即x ＝303600x 3600x ·4x3600x 时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．4．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则的最小a 4＋4b 4＋1ab值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴≥＝4ab ＋≥2＝4，a 4＋4b 4＋1ab4a 2b2＋1ab1ab 4ab ·1ab 当且仅当Error!即Error!时取得等号．故的最小值为4.a 4＋4b 4＋1ab[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋的最小值是( )2x A ．2 B ．4 C. D ．222答案 D解析 由基本不等式可得x ＋≥2＝2，当且仅当x ＝即2x x ·2x 22x x ＝时取等号，故最小值是2.故选D.222．若函数f (x )＝x ＋(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )1x －2A ．1＋ B ．1＋ 23C ．3 D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋＋2≥21x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝(x ＞2)，即x ＝3时取(x －2)×1x －21x －2等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C.3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1则a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．a ＞1515C ．a ＜ D ．a ≤1515答案 A解析 因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(x x 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥.故选A.154．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A. B. 1213C. D.1418答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤2＝，当且仅当x ＝时，等号成立，故z 的最大值为.故(x ＋1－x 2)141214选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋＋2的值域为ax (－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A. B. 1232C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋＋2≥2＋2，当且仅当x ＝时取等号；②当x <0时，f (x )ax a a ＝x ＋＋2≤－2＋2，当且仅当x ＝－时取等号．所以Error!解a x a a 得a ＝1.故选C.6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A. B. 23223C. D.33233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝，13(1x －x )∴x ＋y ＝＋≥2＝(当且仅当x ＝时等号成立)．故选2x313x 2922322B.7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·>m ，(a x ＋by )对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·＝a ＋b ＋(a x ＋by )＋≥a ＋b ＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ，＝，即ayx bxy ab ayx bxy a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则的最小值是( )Sn ＋8an A.B.9272C ．2＋D ．2－212212答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝，n (1＋n )2∴＝＝Sn ＋8an n (n ＋1)2＋8n 12(n ＋16n ＋1)≥＝，12(2n ·16n＋1)92当且仅当n ＝4时取等号．∴的最小值是.故选A.Sn ＋8an 929．(2018·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a ，－1)，OA → OB→ ＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则OC→＋的最小值是( )2a 1b A ．4 B. 92C ．8 D ．9答案 D解析 ∵＝－＝(a －1,1)，＝－＝(－b －1,2)，AB → OB → OA → AC→ OC → OA → 若A ，B ，C 三点共线，则有∥，AB→ AC → ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴＋＝·(2a ＋b )2a 1b (2a ＋1b )＝5＋＋≥5＋2＝9，2ba 2ab 2b a ·2ab 当且仅当Error!即a ＝b ＝时等号成立．故选D.1310．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则的最大b 2a 2＋2c 2值为( )A.＋2B.－2 66C ．2＋2 D ．2－222答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则≤＝，b 2a 2＋2c 24ac －4a 2a 2＋2c 24(ca －1)2(c a )2＋1且4ac －4a 2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t ＝－1，则ca ca ca t ≥0.当t ＞0时，≤＝≤＝－2b 2a 2＋2c 24t2t 2＋4t ＋342t ＋3t ＋4426＋46，当t ＝0时，＝0，故的(当且仅当t ＝62时等号成立)b 2a 2＋2c 2b 2a 2＋2c 2－2.故选B.6二、填空题11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号)xy 故该容器的最低总造价是160元．12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则＋的最小值为________．1a ＋11b ＋3答案 12解析 ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴＋1a ＋11b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]18(1a ＋1＋1b ＋3)＝18(2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3)≥(2＋2)＝，1812当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴＋的最小值为.1a ＋11b ＋31213．(2018·泰安模拟)正实数a 、b 满足＋＝6，则2a ＋2b 12a ＋b 4a ＋5b 的最小值是________．答案 32解析 正实数a 、b 满足＋＝6，2a ＋2b 12a ＋b 令a ＋2b ＝m,2a ＋b ＝n ，则正数m ，n 满足＋＝6，2m 1n 则4a ＋5b ＝2m ＋n ＝(2m ＋n )·16(2m ＋1n)＝≥＝，16(5＋2n m ＋2mn )16(5＋22n m ·2m n )32当且仅当＝即m ＝n ＝时取等号，2n m 2m n 12此时a ＝b ＝，故4a ＋5b 的最小值为.163214．已知x ，y 满足约束条件Error!且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则＋的最小值为________．4a 2b 答案 3＋22解析 画区域如图，易知目标函数在点A 处取得最大值，由Error!解得Error!所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋24a 2b 2(a ＋b )aa ＋b b 2ba ab 2ba ab ＝3＋2，2b a ·a b 2当且仅当＝，即Error!时，取等号．2b a ab 故＋的最小值为3＋2.4a 2b 2三、解答题15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值．解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为米，100x ∴y ＝56x ＋×200＝256x ＋－400(x ＞0)．(x ＋2·100x －2)40000x (2)由(1)得y ＝256x ＋－40040000x≥2－400＝6000，256x ·40000x当且仅当256x ＝时，等号成立，40000x即当x ＝米时，y 取得最小值6000元．25216．(2018·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝＝＝1，tan A ＋tan B1－tan A tan B －1－p1－(p ＋2)故△ABC 中，A ＋B ＝，所以C ＝.π43π4(2)由C ＝，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，3π4可得42＝a 2＋b 2－2ab ×，(－22)整理得16＝a 2＋b 2＋ab ，即16－ab ＝a 2＋b 2，22又a >0，b >0，所以16－ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，2得ab ≤，当且仅当a ＝b 时取等号，162＋2所以△ABC 的面积S ＝ab sin C ＝×ab ×≤××＝12122212162＋222＝4－4，422＋22所以△ABC 面积的取值范围为(0,4－4]．2。
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(A) 1 + 1 有最大值 4 ab
(B)ab 有最小值 1 4
(C) a + b 有最大值 2 (D)a2+b2 有最小值 2 2
思路点拨:使用不等式 ab ≤ a b ≤ a2 b2 及其变形逐项分析判断.
2
2
2019年4月28日
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解析:选项 A,因为正数 a,b 且 a+b=1,所以 1 + 1 =( 1 + 1 )(a+b)=2+ b + a ≥4,
所以 a + b 的最小值是 2 2 -2. a 2b a b
2019年4月28(配凑) a + b = a +1+ b +1-2 a 2b a b a 2b a b
= 2a b + a 2b -2
a 2b a b ≥2 2 -2, 当且仅当 a+2b= 2 (a+b)时等号成立, 所以 a + b 的最小值是 2 2 -2.
4
x2 y 1 4
x2 y 1
= 1 [5+ 4 y 1 + x 2 ]≥ 1 [5+2 4 y 1 x 2 ]= 9 ,
4
x2 y 1 4
x 2 y 1 4
当且仅当 x= 2 ,y= 1 时, 4 + 1 取最小值 9 .故选 C.
3 3 x2 y 1
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【例 2】 导学号 49612179 已知 a>0,b>0,a+b= 1 + 1 ,则 1 + 2 的最小值为( ) ab ab
(A)4 (B)2 2 (C)8 (D)16
思路点拨:变换已知条件得出ab=1.
解析:由 a+b= 1 + 1 = a b 有 ab=1,则 1 + 2 ≥2 1 2 =2 2 ,
4
反思归纳 通过常数代换,把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式 子,达到解题的目的.
2019年4月28日
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技巧四 配凑或者换元
【例 4】 已知 a,b 都是正实数,则 a + b 的最小值是
.
a 2b a b
思路点拨:a+2b=x,a+b=y换元后变换求解目标,或者直接配凑.
2019年4月28日
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技巧六 建立求解目标的不等式
【例6】 已知x,y均为正实数,且xy=x+y+3,则xy的最小值为
.
思路点拨:利用 x+y≥2 xy ,把已知等式变换为不等式,抓住其中的基本量 xy ,解不 等式即得.
2019年4月28日
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解析:因为 x,y 均为正实数, 所以 x+y≥2 xy ,xy=x+y+3 可化为 xy≥2 xy +3,
22
2
故选 C.
2019年4月28日
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4
反思归纳 对正实数 a,b 有不等式链 2ab ≤ ab ≤ a b ≤ a2 b2 ,解题中
ab
2
2
根据题目的已知和求解目标合理选用其中的不等式及其变形是使用基本不等式求
最值的基本技巧.
2019年4月28日
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技巧二 变换已知条件和求解目标
时,x+2y-z 的最大值为
.
思路点拨:利用已知得出z,代入求解目标后使用基本不等式求其最小值,以 及此时的x,y满足的条件,据此得出求解目标的函数,求该函数的最大值.
2019年4月28日
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解析:x2-3xy+4y2-z=0⇒ z=x2-3xy+4y2,①
所以 z = x2 3xy 4y2 = x + 4 y -3≥2 x 4y -3=1.
2019年4月28日
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解析:法一 (换元)设 a+2b=x,a+b=y, 则 a=2y-x,b=x-y,且 x,y 为正实数.
a + b = 2y x + x y
a 2b a b x
y
= 2 y + x -2≥2 2 -2, xy
当且仅当 x= 2 y 时等号成立,
a b ab
ab
ab
当且仅当 b=2a= 2 时等号成立.故选 B.
反思归纳 “变换”是数学解题过程中最基本的手段,在使用基本不等式 求最值时,通过合理的变换达到使用基本不等式的目的.
2019年4月28日
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技巧三 化常量为变量(常数代换法)
【例 3】 导学号 49612180 已知 x,y 都是正数,且 x+y=1,则 4 + 1 的最小值为 x2 y 1
xy
xy
yx
yx
等号成立条件为 x=2y,
代入到①可得 z=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2,
所以 x=2y,z=2y2,
所以 x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y2-2y)
=-2(y-1)2+2≤2.
答案:2
2019年4月28日
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反思归纳 在含有两个以上变元的最值问题中,通过代换的方法减少变元, 把问题化为两个变元的问题使用基本不等式,或者把问题化为一个变元的问 题使用函数方法求解.
()
(A) 13 15
(B)2
(C) 9 4
(D)3
思路点拨:变换已知条件为 x 2 y 1 =1 后使用常数代换法.
4
2019年4月28日
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解析:由题意知 x+2>0,y+1>0,(x+2)+(y+1)=4,
即 x 2 y 1 =1,则 4 + 1 = 1 [(x+2)+(y+1)]( 4 + 1 )
ab ab
ab
当且仅当 a=b= 1 时等号成立;选项 B,ab≤( a b )2= 1 ,
2
2
4
当且仅当 a=b= 1 时等号成立;选项 C,( 2
a+
b )2=a+b+2
ab ≤1+2
a b 2 2
=2,
即 a + b ≤ 2 ,当且仅当 a=b= 1 时等号成立; 2
选项 D,a2+b2≥ a b2 = 1 ,当且仅当 a=b= 1 时等号成立.
a 2b a b 答案:2 2 -2
反思归纳 配凑和换元的目的都是化求解目标为可以使用基本不等式求最 值的目的.
2019年4月28日
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技巧五 代换减元
【例 5】 导学号 49612182 设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 z 取得最小值 xy
即( xy -3)( xy +1)≥0,
所以 xy ≥3,xy≥9,
当且仅当 x=y 时,xy 取得最小值 9.
答案:9
反思归纳 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式,求出不等式的解集 即得求解目标的最值.
2019年4月28日
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2019年4月28日
学科素养培优六 基本不等式求最值六技巧
2019年4月28日
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1
基本不等式是求解多变元函数最值的基本工具,利用基本不等式求最值 具有一定的技巧,下面我们逐项论述.
2019年4月28日
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2
技巧一 合理选用基本不等式链中的不等式及其变形
【例1】 (2017·陕西咸阳月考)若正数a,b满足a+b=1,则( )