精品习题16

1．对万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2r 2，下列说法正确的是 ( )A ．公式中G 为常量，没有单位，是人为规定的B ．r 趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C ．两物块之间的万有引力总是大小相等，与m 1、m 2是否相等无关D ．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力 [解析] 引力常量G 为比例常数，由G ＝F r 2m 1m 2可得，G 的单位是一个推导单位，它的数值是由英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量比较准确地得出的，A 错；当r 趋近于零时，物体已经不能被看作质点，故不再适用万有引力定律的公式，因此，也就推不出万有引力趋近于无穷大的结论，故B 错；两物体之间的万有引力是作用力与反作用力，与m 1、m 2是否相等无关，故C 对，D 错．[答案] C2．原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的1k ，半径为地球半径的1q ，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( ) A.qk B.kq C.q 2kD.k 2q[解析] 根据黄金代换式g ＝Gm 星R 2，并利用题设条件，可求出C 项正确． [答案] C3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F .若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A ．2FB ．4FC ．8FD ．16F[解析] 小铁球之间的万有引力F ＝G mm (2r )2＝G m 24r 2.对小铁球和大铁球分别有m ＝ρV ＝ρ·43πr 3，M ＝ρV ′＝ρ·43π(2r )3＝8ρ(43πr 3)＝8m ，故两大铁球间的万有引力F ′＝G 8m ·8m (2×2r )2＝16G m 24r 2＝16F .[答案] D4．(2012·安徽期末)2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量( )A ．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径B ．该行星的自转周期与星体的半径C ．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径D ．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度[解析] 由万有引力定律和牛顿第二定律得卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G Mmr 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2；若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v 、可求得中心天体的质量为M ＝r v 2G ＝4π2r 3GT 2＝ω2r 3G ，所以选项CD 正确．[答案] CD5．(2012·武汉联考)如右图所示，地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现．这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年() A．2042年B．2052年C．2062年D．2072年[解析]根据开普勒第三定律有T彗T地＝(R彗R地)32＝1832＝76.4，又T地＝1年，所以T彗≈76年，彗星下次飞近地球的大致年份是1986＋76＝2062年．[答案] C6．(2012·浙江卷)如下图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．太阳对小行星的引力相同B．各小行星绕太阳运动的周期小于一年C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值[解析]根据行星运行模型，离地球越远，线速度越小，周期越大，角速度越小；向心加速度等于万有引力加速度，越远越小，各小行星所受万有引力大小与其质量有关，所以只有C项对．[答案] C7．(2011·浙江卷)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则()A．X星球的质量为M＝4π2r31 GT21B．X星球表面的重力加速度为gx＝4π2r1 T21C ．登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时的速度大小之比为v 1v 2＝m 1r 2m 2r 1 D ．登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动的周期为T 2＝T 1r 32r 31[解析] 由飞船环绕X 星球做圆周运动得G Mm r 21＝mr 1(2πT 1)2，得X 星的质量为M ＝4π2r 31GT 21，A 项正确；G Mm r 21＝mr 1(2πT 1)2＝mg ′，得g ′＝4π2r 1T 21，为飞船轨道所在处的重力加速度，B 项错误；由G Mmr 2＝m v 2r 得v ＝GMr ，与飞船质量无关，C项错误；由G Mm r 2＝mr (2πT )2，可得r 31T 21＝r 32T 22，D 项正确．[答案] AD8．(2012·北京海淀区期中统考)天宫一号于2011年9月29日成功发射，它将和随后发射的神舟飞船在空间完成交会对接，实现中国载入航天工程的一个新的跨越．天宫一号进入运行轨道后，其运行周期为T ，距地面的高度为h ，已知地球半径为R ，万有引力常量为G .若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，求：(1)地球质量M ； (2)地球的平均密度．[解析] (1)因为将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，万有引力充当向心力，即G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，解得地球的质量M ＝4π2(R ＋h )3GT 2. (2)由地球的质量M ＝4π2(R ＋h )3GT 2，地球的体积V ＝43πR 3， 可得地球的平均密度：ρ＝M 43πR3＝3π(R ＋h )3GT 2R 3. [答案] (1)4π2(R ＋h )3GT 2 (2)3π(R ＋h )3GT 2R 39.如右图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做同向匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，已知地球的运转周期为T .地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角(简称视角)．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．则此时行星绕太阳转动的角速度ω行与地球绕太阳转动的角速度ω地的比值ω行∶ω地为 ( )A.tan 3θB.cos 3θC.1sin 3θD.1tan 3θ[解析] 当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线与行星和太阳的连线垂直，三星球的连线构成直角三角形，有sin θ＝r 行r 地，据G Mmr 2＝mω2r ，得ω行ω地＝r 3地r 3行＝1sin 3θ，选项C 正确． [答案] C10．(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋dR C ．(R －d R )2D ．(R R －d)2[解析] 设位于矿井底部的小物体的质量为m ，有mg ′＝GM ′m(R －d )2；对位于地球表面的物体m 有mg ＝GMmR 2，根据质量分布均匀的物体的质量和体积成正比可得M ′M ＝(R －d )3R 3，由以上三式可得g ′g ＝1－d R .[答案] A11．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L .若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L .已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G .求该星球的质量M .[解析] 设第一次抛出速度为v 、高度为h ，根据题意可得下图：依图可得：⎩⎪⎨⎪⎧L 2＝h 2＋(v t )2(3L )2＝h 2＋(2v t )2h ＝12gt2解方程组得 g ＝23L3t 2质量为m 的物体在星球表面所受重力等于万有引力，得mg ＝G MmR 2 解得星球质量M ＝R 2g G ＝23LR 23Gt 2. [答案] 23LR 23Gt 212．(2012·湖北百所重点中学联考)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T 1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运动，其运动周期为T 2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T 1/T 2.[解析] 如下图所示，对于第一种形式：一个星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径为：r 1＝22a ，由万有引力定律和向心力公式得：G m 22a 2＋2G m 2a 2cos45°＝mr 14π2T 21，解得周期：T 1＝2πa2a(4＋2)Gm.对于第二种形式，其轨道半径为：r 2＝33a ，由万有引力定律和向心力公式得：G m 2r 22＋2G m 2a 2cos30°＝mr 24π2T 22. 解得周期：T 2＝2πa a 3(1＋3)Gm，解得：T 1T 2＝6＋634＋2. [答案] 6＋634＋2。