Integer Relation Detection (Poszukiwanie Relacji Calkowitoliczbowych)

Integer Relation Detection(Poszukiwanie Relacji Ca l kowitoliczbowych)Jaros l aw Paw l owski.pl/∼blaze/Faculty of Physics and Applied Computer Science,AGH,Krak´o w,PolandStreszczenie Artyku l ten dotyczy relacji ca l kowitoliczbowych ,metod ich poszukiwania.Na pocz atku staram si e wyja´s ni´c co to jest ,po czym przechodz e do opisu konkretnych algorytm´o w,by wreszcie skupi´c si e na wykorzystaniu poznanych wcze´s niej metod.Przed rozpoczeciem lektury chcia l bym by czytelnik odpowiedzia l na pytanie:Czy mo˙z liwy jest eksperyment w matematyce?Pod koniec artyku l u postaram si e odpowiedzie´c na to pytanie.Zapraszam.Spis tre´s ci1Wstep 31.1Co to jest relacja ca l kowitoliczbowa ?...............31.2Przyk l ady takich relacji .......................31.3Problem z t l umaczeniem .......................42Algorytmy 42.1Troch e historii ............................42.2PSLQ .................................53Wykorzystanie73.1Liczby algebraiczne ..........................73.2Funkcja Zeta Riemanna .......................73.3Pi ...................................83.4Szeregi .................................84Na zako´n czenie91Wstep 1.1Co to jest relacja ca l kowitoliczbowa ?We´z my na poczatek dowolny wektor liczb rzeczywistych a a ∈R n .M´o wimy,˙z e wektor c liczb ca l kowitychc ∈Z njest w relacji ca l kowitoliczbowej z a je˙z eli zachodzi relacja:c 1a 1+c 2a 2+···+c n a n =0,z przynajmniej jednym c i r´o ˙z nym od zera.1.2Przyk l ady takich relacjiCiekawym przykadem mo˙z e by´c wektor (1,x,x 2,...,x 16),gdzie x =314−214,kt´o ry posiada relacj e cal kowitoliczbow a postaci (1,0,0,0,−3860,0,0,0,−666,0,0,0,−20,0,0,0,1]co daje1−3860x 4−666x 8−20x 12+x 16=0.Jest to szczeg´o lny przypadek poszukiwania wielomianu stopnia n =rs posia-dajacego pierwiastki x =31r −21r [1].Innym przyk l adem bedzie ca l ka,a w l a´s ciwie metoda jej znalezienia:I = ∞0√x (ln x )5(1−x )5dx.Niekt´o re algorytmy ca l kowania numerycznego potrafi a znale´z ´c warto´s ´c I z do-brym przybli˙z eniem,podczas gdy inne nie.Poprawno´s ´c tego przybli˙z enia mo˙z e si ega´c kilkudziesieciu cyfr po przecinku:I ≈−16.6994737192290704961872434007...Za l ´o ˙z my jednak,˙z e wiemy z g´o ry jak wygl ada dok l adna warto´s ´c I .Jest ni a wymierna kombinacja liniowa pot eg liczby π,istniej a twierdzenia kt´o re tego dowodz a,wiecej informacji mo˙z na znale´z ´c w [3].Ponadto wiadomo,˙z e K jest maksymaln a pot eg a w tym wyra˙z eniu.Mo˙z emy wtedy postawi´c problem poszukiwania relacji ca l kowitoliczbowych:a 1=I,a 2,a 3,...,a n =1,π2,...,π2(n −2),K =2(n −2).W naszym przypadku K =10,co daje n =7.Znajduj ac relacj e,otrzymujemy,z du˙z a dok l adno´s cia:(c 1,c 2,...,c 7)=(24,0,120,140,−15,0,0).Dzieki temu mo˙z emy zapisa´c :I =524π2(3π4−28π2−24).Jest to warto´s ´c dok l adna I (sic!).Widzimy zatem,˙z e posiadaj ac numeryczn a (niedok l adn a)warto´s ´c ca l ki I ,oraz informacj e jak mo˙z e wygl ada´c jej warto´s ´c al-gebraiczna generujemy przy u˙z yciu metody relacji ca l kowitoliczbowych warto´s ´c dok l an a.Wydaje si e to by´c czym´s wspania l ym -metoda numeryczna znajduje warto´s ci algebraiczne (dok l adne).Nie zawsze jednak jest to takie l atwe i oczy-wiste.1.3Problem z t l umaczeniemNa zako´n czenie wst epu chcia l bym troch e uwagi po´s wi eci´c s l ownictwu w te-k´s cie,abstrahuj ac od tego,˙ze jest marne -ale nie o tym chcia l em.U˙z ywane,przez autora,sformuowanie relacje calkowitoliczbowe to wolne t l umaczenie an-gielskiego integer relations .Natomiast sformuowanie c jest w relacji ca l ko-witoliczbowej z a to t l umacznie sformuowania c is in an integer relation for a .Zanim zastanowimy si e do czego mo˙z e si e przyda´c poszukiwanie relacji ca l kowi-toliczbowej przyjrzyjmy si e bli˙z ej algorytmom wykonuj acym to zadanie.2AlgorytmyCelem algorytm´o w poszukuj acych relacji ca l kowitoliczbowych jest znalezienie niezerowego wektora liczb ca l kowitych,spelniaj acego wy˙z ej podan a relacj e.Dla przypomnienia:c 1a 1+c 2a 2+···+c n a n =0.O ile taki wektor istnieje.Jak si e przekonamy za chwil e algorytmy te maj a mn´o stwo r´o ˙z nych zastosowa´n (dwa z nich przytoczy l em we wstepie).2.1Troch e historiiProblem znajdywania relacji ca l kowitoliczbowych nie jest nowy.Pierwszy zajmowa l si e nim sam Euklides (IV wiek p.n.e.),jego metoda rozwi azywa l a go dla n =2.Warto doda´c ,˙z e przy pomocy algorytmu Eukldesa znajdujemy na-jwiekszy wsp´o lny dzielnik dw´o ch liczb.Uog´o lnieniem tego problemu dla n >2trudzili si e wielcy matematycy -Euler,Jacobi,Poincare,Minkowski i wielu in-nych [4],jednak bez wi ekszych rezultat´o w.Pierwszymi,kt´o rym si e to uda l o byli Ferguson i Forcade,w roku 1977.Od nich pochodzi pierwsza metoda rozwiazywania problemu -algorytm Fergusona-Farcade’a.Kolejne znalezionep´o ´z niej algorytmy to m.in.LLL,HJLS,PSOS i wreszcie PSLQ.Temu ostat-niemu chcia l bym si e przyjrze´c bli˙z ej.2.2PSLQWsp´o l cze´s nie najefektywniejszym i najpopularniejszym algorytmem poszu-kuj acym relacji ca l kowitoliczbowych jest algorytm PSLQ.W l asnie dlatego warto pozna´c go bli˙z ej.PSLQ zosta l wprowadzony przez Fergusona i Bailey’a w roku 1992.Charakteryzuje si e bardzo du˙z a stabilno´s ci a,ponadto,co bardzo wa˙z ne,jego z l o˙z ono´s ´c jest wielomianowa.PSLQ jest szybszy od wy˙z ej wymienionych al-gorytm´o w -Fergusona-Farcade’a czy LLL.Wynika to z zastosowania specjalnych technik,kt´o re sprawiaj a,˙z e arytmetyka maszynowa jest efektywniej wykorzys-tana.Cen a za to jest du˙z a komplikacja algorytmu.Nazwa pochodzi od u˙z ywanych cz e´s ciowych sum kwardat´o w sk l adowych wek-tora wej´s ciowego -(ang.)P artial Sum ,oraz faktoryzacji LQ ((ang.)lower-diagonal-orthogonal).Zajmijmy si e teraz przyk l adem prostej implementacji tego˙z algorytmu [5].Niech x b edzie wektorem wej´s ciowym o n wsp´o l rz ednych,nint ()natomiast funkcj a zwracaj ac a najbli˙z sz a warto´s ´c ca l kowit a ((ang.)Nearest Integer).Wy-bierzmy ponadto γ Inicjalizacja:taw macierze A ,B jako n x n ,jednostkowe.2.Oblicz wektor s o n wsp´o l rzednych,taki,˙z e s k :=n j =k x 2j taw t =1/s 1;for k :=1to n do {y k :=tx k ;s k :=ts k }.taw macierz H :for j :=1to n −1do {.for i :=1to j −1do {H ij :=0};.H jj :=s j +1/s j ;.for i :=j +1to n do {H ij :=−y i y j /(s j s j +1)};}5.Zredukuj macierz H :for i :=2to n do {for j :=i −1downto 1do {..t :=nint (H ij /H jj );..y j :=y j +ty i ;..for k :=1to j do {...H ik :=H ik −tH jk ;...A ik :=A ik −tA jk ;...B kj :=B kj +tB ki ;..}.}}.Iteracja.Powtarzaj nast epuj ace kroki,a˙z do wyczerpania precyzji albo znalezienia relacji:1.Wybierz takie m ,˙z e γi |H ii |jest maksymalne dla i =m .2.Zamie´n elementy y o indeksach m i m +1,r´o wnie˙z odpwiadajace wiersze A i H oraz kolumny B u´n r´o g przekatnej macierzy H :if m ≤n −2then {.t 0:=H 2mm +H 2m,m +1);.t 1:=H mm /t 0;.t 2:=H m,m +1/t 0;.for i :=m to n do {..t 3:=H im ;..t 4:=H i,m +1;..H im =t 1t 3+t 2t 4;..H i,m +1=−t 2t 3+t 1t 4;.}}.4.Zredukuj H :for i :=m +1to n do {.for j :=min(i −1,m +1)downto 1do {..t :=nint (H ij /H jj );..y j :=y j +ty i ;..for k :=1to j do {H ik :=H ik −tH jk };..for k :=1to n do {...A ik :=A ik −tA jk ;...B kj :=B kj +tB ki ;..}.}}.5.Wyznacz M :=1/max j |H jj |.Nie istnieje wektor relacji kt´o rego norma euklidesowa jest mniejsza ni˙z M .Kryteria zatrzymania:1.Je˙z eli najwiekszy element A przekroczy poziom numerycznej dok l adno´s ci,wtedy dok l adno´s ´c jest wyczerpana.2.Je˙z eli najmniejszy element wektora y jest mniejszy od zadanej dok l adno´s ci,wtedy relacja zosta l a znaleziona i znajduje si e w odpowiadaj acej kolum-nie macierzy B .Wa koniec warto doda´c ,˙z e dla wi ekszo´s ci problem´o w,w kt´o rych poszukujemy relacji ca l kowitoliczbowych,u˙z yte algorytmy (np.PSLQ)wymagaj a bardzo du˙z ej precyzji.U˙z ywaj ac standardowej 64-bitowej arytmetyki rozwi arzemy tylko niewielk a klas e zagadnie´n .Generalnie rzecz bior ac mo˙z na udowodni´c ,˙z e gdy poszukujemy relacji dla n elementowego wektora wej´s ciowego,przy wsp´o l -czynnikach b ed acychliczbami conajwy˙z ej d cyfrowymi,zar´o wno wektor wej´s ciowyjak i ca l a arytmetyka musi by´c conajmniej nd cyfrowa.W praktyce warto´s ´c ta musi by´c troch e wieksza.W´s r´o d wszystkich algorytm´o w PSLQ ma najmniejsze wymagania co do arytmetyki.3WykorzystaniePo rozwa˙z eniu algorytm´o w poszukuj acych relacji ca l kowitoliczbowych przej-d´z my,tak jak obiecywa l em,do przyk l ad´o w zastosowania tej metody.3.1Liczby algebraicznePierwszym przyk l adem niech b edzie problem dotycz acy teorii liczb.Mia-nowicie czy sta l a a ,kt´o rej warto´s ´c mo˙z emy poda´c z bardzo du˙z a precyzj a,jest liczb a algebraiczn a stopnia n .Liczba algebraiczna stopnia n to taka,kt´o ra jest pierwiastkiem wielomianu stopnia n o wsp´o l czynnikach wymiernych.Problem ten mo˙z emy rozwi aza´c konstruj ac wektor postaci:x =(1,a,a 2,...,a n ).Po czym zastosowa´c do niego jeden z algorytm´o w poszukuj acych relacji ca l ko-witoliczbowych,np.PSLQ.Je˙z eli relacja zostanie znaleziona,wraz z wek-torem liczb ca l kowitych j a spe l niaj acym,to kolejne wyrazy tego˙z wektora s a wsp´o l czynnikami wielomianu (przy kolejnych pot egach zmiennej)stopnia n ,kt´o -rego pierwiastkiem jest a .Je˙z eli relacja nie zostanie znaleziona oznacza to,˙z e nasza sta l a nie jest liczb a algebraiczn a stopnia n lub mniejszego,przynamniej w´s r´o d wielomian´o w kt´o rych wsp´o l czynniki s a mniejsze od zastosowanego w al-gorytmie zakresu.Co oczywiste sko´n czony komputer,ze sko´n czon a pami eci a,w sko´n czonym czasie mo˙z e przeszukiwa´c relacji tylko w bardzo du˙z ym,jednak sko´n czonym zakresie.Wiecej informacji mo˙z na znale´z ´c w [5].3.2Funkcja Zeta RiemannaKolejny przyk l ad dotyczy funkcji Zeta Riemanna ,kt´o r a definiujemy jako:ζ(s )=∞ n =1 1n s ,s >1.Jak si e okazuje mo˙z na wykaza´c ,czego dokona l Ap´e ry (1976):ζ(2)=3∞ n =11n 22n n,ζ(3)=52∞n =1(−1)n −1n 3 2n n ,ζ(4)=3617∞n =11n 4 2n n.Wyniki te sugeruj a,˙ze wyra˙z enie:Z 5=ζ(5)/∞ n =1(−1)n −1n 5 2n n ,powino by´c liczb a wymiern a b ad´z og´o lnie algebraiczn a.Jednak,jak sie okazuje,algorymy nie znajduj a wielomianu kt´o rego pierwiastkiem by l oby Z 5,przynajmniej w´s r´o d takich,kt´o rych stopie´n jest mniejszy lub r´o wny 25,wsp´o l -czynniki mniejsze ni˙z 2∗1037.Jak wida´c algorytmy poszukuj ace relacji ca l kowitoliczbowych mog a by´c po-mocne nie tylko przy znajdywaniu nowych relacji,ale r´o wnie˙z mog a sugerowa´c ,˙z e takie relacje nie istniej a.W naszym przyk l adzie mo˙z emy postulowa´c ,i˙z relacja:ζ(N ),N >4nie mo˙z e by´c przedstawiona w postaci prostej formu l y,tak jak to mia l o miejsce dla ζ(2),ζ(3),ζ(4).Reszta nale˙z y do matematyk´o w.Inne przyk l ady dotycz ace funkcji Zeta mo˙z na znale´z ´c na stronie [6].3.3PiZajmijny si e teraz metod a znajdywania warto´s ci liczby π.Matematycy przypuszczali,˙z e nie istnieje metoda znajdywania n -tej cyfry rozwini ecia bez znalezienia wszystkich n −1wcze´s niejszych.Wielkie zdziwienie wzbudzi l o za-tem odkrycie,w 1996roku,formu l y,dzi eki kt´o rej mo˙z emy obliczy´c dowoln a cyfr e rozwiniecia liczby πw systemie szestnastkowym π=∞ k =0116k 48k +1−28k +4−18k +5−18k +6.Odkrycia tego dokonano stosuj ac algorytm PSLQ.Wspania l e jest to,˙z e wykorzystuj ac t a formu l e,potrafimy obliczy´c milionow a cyfr e rozwini ecia na zwyk l ym komputerze klasy PC.Wcze´s niej takie obliczenia wymaga l y maszyn o wielkiej mocy obliczeniowej.Inna podobna formu l a to:π2=227∞k =01729k [243(12k +1)2−405(12k +2)2−81(12k +4)2−27(12k +5)2−72−9−9−5+1]3.4SzeregiNa pocz atku obliczamy numeryczn a warto´s ´c danej sta l ej.P´o ´z niej wykorzys-tuj ac algorytm poszukuj acy relacji ca l kowitoliczbowych sprawdzamy,czy ist-niej a takie relacje pomiedzy nasz a sta l a,a pewn a domnieman a formu l a.Je˙z eli tak,to otrzymujemy rozwini ecie tej˙z e sta l ej w szereg.Oczywi´s cie tak a relacjenale˙z y jeszcze udowodni´c .Bardzo wiele relacji,jak te przytoczone wy˙z ej,zosta l o znalezionych w podobny spos´o b.Ni˙z ej przytaczam kolejne przyk l ady.∞ k =11+12+···+1k2(k +1)−4=3722680π6−ζ2(3)∞ k =11+12+···+1k3(k +1)−6=ζ3(3)+19724ζ(9)+12π2ζ(7)−11π4ζ(5)−37π6ζ(3)∞ k =11−12+···+(−1)k +11k2(k +1)−3=4Li 5(12)−130ln 5(2)−1732ζ(5)−11720π4ln(2)+74ζ(3)ln 2(2)+118π2ln 3(2)−18π2ζ(3)Funkcj e Li definiujemy Li n (x )= ∞j =1x j j −n.Ostatni przyk l ad ma nas utwierdzi´c w tym,˙z e podana metoda jest wspania l a ,bo jak pisze autor w [6],znaleziona w ten spos´o b suman k =12n 2k 2 n −1i =1(4k 4+i 4) n i =1,i =k (k 4−i 4)= 2n n jest cudowna .4Na zako´n czenieJe˙z eli jaki´s czas temu,gdy nie s l ysza l em jeszcze o relacjach ca l kowitoliczbo-wych i metodach ich poszukiwa´n ,kto´s powiedzia l by mi o ekserymencie w matem-atyce wy´s mia l bym go.Matematyka to przecie˙z nauka stricte teoretyczna.Bo na czym by mial polega´c ten eksperyment,nie da si e udowadnia´c twierdze´n przy pomocy oscyloskopu,suwmiarki,czy m l otka (chocia˙z jak si e nie da inaczej to trzeba m l otkiem),argumentowa l bym.Teraz wiem,˙z e si e myli l em.Niech dowodem na to b ed azanlezione relacje opisane w artykule.Znalezione metodami eksperymentalnymi -masz pomys l na formu l e matematyczn a -sprawd´z eksperymentalnie czy jest ona w l a´s ciwa -u˙z yj algorytmu PSLQ.Matematyka mo´z e by´c nauk a eksperymentaln a,czemu nie.Wystarczy tylko znale´z ´c odpowiednie narzedzia.References1.-Integer Relation2.-PSLQ Algorithm3.Jonathan M.Borwein,Petr Lisonek,’Applications of Integer Relation Algorithms’,http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/IntegerRelations/4.David H.Bailey,’Integer Relation Detection and Lattice Reduction’/dhbailey/dhbpapers/5.David H.Bailey,David J.Broadhurst,’Parallel Integer Relation Detection:Techniques and Applications’,Draft2001-0501/dhbailey/dhbpapers/6./publication/Ercim News/enw50/borwein.html7.Jonathan Borwein,Simon Fraser University’What are Integer Relations’http://oldweb.cecm.sfu.ca/personal/jborwein/intrels.pdf8.Helaman R.P.Ferguson,David H.Bailey,Steve Arno,’Analysis of PSLQ,anInteger Relation Finding Algorithm’/。