三角形的外角应用

求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
B
80°
D
C
例题2：一个零件的形状如图所示，按规定
∠BAC=90°, ∠B=21°, ∠C=20°,检验工
人量得∠BDC=130°，就断定这个零件不
合格，你能运用所学的知识说出其中的道
理吗？
C
添加辅助线要构造出两个三角形。 D
A
B
提示：可以先计算出合格时∠BDC的度数，但是∠BDC与 ∠A 、∠B、 ∠C不在同一个三角形内，因而无法找到它们 之间的数量关系，因此需要添加辅助线。那如何添加辅助 线才能建立这几个角之间的联系呢？
3.∠ BFC是（ △BEF、 △ CDF ）的外角， 也是（ △BFC ） 的内角。
Ａ
、 △CDF
Ｅ ＦＤ
内内外外角角是是相相对对而而言言的的. .
ＢBaidu Nhomakorabea
Ｃ
A
1
外角
B
C
D
三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
1.三角形的一个外角与它相邻的内角之间有何关 系？
已知如图:∠ACD是△ABC的外角， 则 ∠ACD与∠ACB有何关系？并说明理由?
三什角么形都的没内有角呀是三角形内部的
角
只那要三你角添形上的一外笔部就呢精？彩了
α
外
角
那就 让我们
观察下面一组图形中∠ 1在各个图形中的位置，你能发现它们
的共同特征吗？
D
A
A 1
B
1 DB
CB
CA
1 CD
三个特征:1. ∠ 1的顶点在三角· 形的一个顶点上;
2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 （）
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凭
向
勤
效
奋
率
出
要
成
质
果
量
的内角和等于1800求出这三个外角的
和吗？
E A
B F
D C
议一议
A 1
B 2
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ? 从哪些途径探究这个结果
3 C
方法1 方法2
A 1
方法一
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
3 ∠2＋ ∠ABC=180°
B
∠3＋ ∠ACB=180°
C 三个式子相加得到 2
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
做 好 一 份 工作 计划， 有利于 提高工 作效率 ，更好 的完成 工作目 标。但 是计划 首 先 得 注 重 联系实 际，过 分夸大 的计划 相当于 是一个 空想， 根本没 有任何 意义， 所 以 让 我 们 的工作 从一份 贴切实 际的工 作计划 开始吧 。下面 是美文 网小编 整理的 酒 店 客 房 部 下半年 工作计 划，希 望对大 家有所 帮助！ 酒 店 客 房 部下半 年工作 计 划 (一 ) 2016年 在 欢 乐 中度 过，在 经过了 上半年 艰苦的 工作后 ，我们 酒店客
求下列各图中∠α的度数。
60º
30º
α
∠α=（ 90º）
120º
α
35º α
45º 50º
∠α=（ 85º） ∠α=（95º）
25º
123º
35º α
α
80º
∠α=（60º） ∠α=（43º）
α
35º
45º 20º
∠α=（30º）
学有所用
70°
例1:如图，D是△ABC的BC边上一点，
A
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.
有怎样的大小关系?
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
∴∠ACD﹥∠A
A
∠ACD﹥ ∠B
结论： B
C
D
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻 的内角。
D
三角形外角的性质：
A
性质1、三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的 B
C
和。 ∠B+∠C=∠CAD
性质2、三角形的一个外角大于任何
一个与它不相邻的内角。
归纳：
1、每一个三角形都有６个外角;
2、每一个顶点相对应的外角都有２个;
3、这6个外角中有3对外角相等。
趁热打铁:你能在下图中填出已知角是哪个三角形的外角或内角吗？
1.∠ BEF是（ △AEC ）的外角，也是（ △BEF、 △BEC ）的内角。
2.∠ BDC是（ △ABD ）的外角，也是（△BDC ）的内角。
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D. 无法确定
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等
于( )
B
A.120° B.115° C.110° D.105°
AD
F C
BE
3.如图所示,∠1=__1_2_0__°_.
80 ° 1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为
练一练
B
A
1 N3
C
P
F
2M
D E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360°.
判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
方法二： 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性 质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同 学证明一下。 （CE//BA）
A
E
1
三角B形的一个外角等于与C它不相邻的两D 个内 角的和
3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
三角形的外角和360°
方法二
利用平行线性质说理：
D 2 ﹁A
E
过点A作AE∥BC，
︶
因为AE∥BC
B
3
1
C
所以∠1=∠DAE, ∠3=∠BAE
又因为∠DAE+∠2+∠BAE=360°
所以∠1+∠2+∠3=360°
结论：三角形的外角和等于360°
3_0_或__7_5. °
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则
∠BDC=_1_2__0_°___.
A
D
B
C
6.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大 到小的顺序排列
∠1＞ ∠2 ＞ ∠3
课外拓展：你可以想出多少种方法计算： ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
A
E
D
C B
猜 小名在一个三角形花坛的外围走一圈，
一 在每一个拐弯的地方都转了一个角度，
猜
那么回到原来位
A
置时 ，一共转了
多少度?
B
东
C
揭谜 A
B
东
C
例3 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上一点,延长
BC到D,连接DE.
D
求证: ∠1>∠2.
2 C
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 3
B
C
图2
∠CAD=∠B+∠C
探究:
你能用推理的方法来论证∠ACD= ∠B+ ∠ A吗？你 能用几种方法呢？相信你一定能行！
A
B
CD
方法一: A
B 解：∵∠ACD+ ∠ACB=180°
C
D
（邻补角的定义）
∴∠ACD =180 ° －∠ACB 又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
（三角形内角和180 ° ）
A
答: ∠ACD与∠ACB互补。理
由如下：
解: ∵ ∠ACD是△ABC的外角，(已知)
∴ ∠ACD+∠ACB=180°(邻补角性质)
B
C
D 即： ∠ACD与∠ACB互补。
想一想：
2.三角形的一个外角与它不相邻的两个 内角之间有何关系？
动手长智慧：
在一张白纸上任意画一个三角形ABC， 如图2，把∠B、∠C剪下拼在一起，放到 D ∠CAD上，看看会出现什么结果？ A
所以∠BAC=∠ACE－∠ABC
=120°－70°=50°
答：两铁丝所成的角为50°
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是
△ABC的三个外角，你能利用三角形
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
判断题：
１、三角形的一个外角等于两个内角的和。 （）
２、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和。（ ）
３、三角形的一个外角大于任何一个内角。 （）
４、三角形的一个内角小于任何一个与它不 相邻的外角。（ ）
若一个三角形的一个外角小于与 它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
例题 如图，一根电线杆立于河水中，
两岸各用一根铁丝将其固定，现测得铁
丝分别与两岸地面成110°和120°的角.
求两铁丝所成的角.
解：因为∠ABC+∠ABD=180°
A
又因为∠ABD=110°
所以∠ABC =70°
110°
因为∠ACE是△ABC的外角D B
120°
CE
所以∠ACE=∠ABC＋∠BAC
的 方 面 坚 持 做下去 ，对于 存在的 不足， 我们有 深省的 认识并 加以改 进，并 在酒店 客 房 部 工 作 计划重 点做好 以下几 个方面 的工作 ： 一 、 培 养 员工 的观察 能力， 提 供 个 性 化 服务， 创服务 品牌随 着行业 发展， 饭店业 的经营 理念与 服务理 念在不 断 更 新 ， 仅 仅让顾 客满意 是不够 的，还 需让客 人难忘 。这就 要求在 规范服 务的基 础 上 ， 提 供 个性化 服务。 酒店服 务讲究 “想客 人之所 想，急 客人之 所急” 。服务
房 部 全 体 工 作人员 都得到 了应有 的回报 。回顾 上半年 以来我 们的工 作，可 以说， 我 们 一 直 做 的很好 ！之前 很多次 的努力 ，在今 天看来 也是值 得的。 2016年 酒店客 房 部 的 工 作 十分的 顺利， 得到了 上级领 导的赞 扬！做 完2016年 上半 年工作 总结， 我 们 对 2016年 下 半 年有了 更多的 期许， 希望一 年胜似 一年， 为此， 我们将 以前好
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大
于任何一个和 它不相邻的内角).
4
A
1 BF
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
课堂反馈:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这
个三角形是(c )
外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的 角 叫做三角形的外角.
画图并思考：
画一个△ABC ，延长三角形的各边，你能 找出它的所有外角吗？△ABC的外角共有几 个呢？这些外角中有几个外角相等？
归纳：
A 12
②每一个
①每一个
三角形都
顶点相对 应的外角 都有２ 个．
6 B5
3 4C
有６个外 角．
③六个外角中有3对外角相等.