2011-2012微积分及工科数学分析期末考试试卷A参考答案

北 京 交 通 大 学
2011-2012学年第一学期《工科数学分析》I 、《数学分析A 》I 期
末考试试卷（A ）
考试方式： 闭卷 任课教师：
学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________
请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1．=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+∞→x
x x 211lim 2e .
2. 设)
(x f 在a x =点可导,且2)(='a f ,则=--→h
a f h a f h )
()(lim
2-.
3. 设)()(x x f e f e y --=，其中函数)(x f 有连续的导函数，
则=dy ()
()()()''f x x x x e
f x f e e f e dx ----⎡⎤-+⎣⎦
. 4. 要使函数0(0),
ln(0,53cos 1)(3
2>⎪⎩⎪
⎨⎧≤->+-=a x x a x x x x
x f 为常数)连续，则=a 5. 设2sin x 为)(x f 的一个原函数，则=⎰
dx x f x )(2222
sin cos .x x x C ++
6.
⎰
-=++2
2
2
cos 1cos 1π
πdx x x
x . 7．设⎰
-=
x dt t y sin 0
3)1(,则
=dx
dy
()31sin cos x x -. 8. 曲线162
1312
3+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y .
9.
=
+⎰
∞+2
22x
dx
. 10. 双纽线θρ2cos 42
=所围图形的面积A 的定积分表达式为A ＝4
8cos 2d π
θθ⎰
.
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
1. 求极限⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11
lim 20.
解：
202
03
02
2
02201
1lim tan tan lim tan tan lim sec 1lim 3tan lim 313
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪⎝
⎭-=-=-===
2. 设xy xe y +=12，求
=x dx
dy .
解：2
xy xy dy dy e xe y x dx dx ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，所以0
1
2
x dy dx ==。

3. 求积分⎰
++dx x
x
x cos 1sin .
解：
2sin sin 1cos 1cos 1cos 1tan 22
cos 2
tan tan 22tan .
2
x x x x
dx dx dx
x x x x x dx dx x x x
xd dx
x x C +=++++=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4. 方程⎩
⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy
与2dx y d .
解：
()()
()()
'
''
2
2
'sin sin cos sin .
cos sin sin sin cos sin tan sin .cos sin y t dy t t t t t t t dx x t t
t t d y t t t
t t t t t dx x t t
-++===+===+
5． 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,
,1)(2
x e x x x f x ,求
⎰
-3
1
)2(dx x f .
解：
()()31
1
1
12
10(2)2=t 71
1.3t
f x dx x f t dt
t dt e dt e
-----=++=-⎰
⎰⎰⎰令
6．设)(x f 在),0[+∞上可导，0)0(=f ，其反函数为)(x g ，若
x x x f xe dt tx g =⎰
)(0
)(，求)(x f .
解：当0x ≠时，令,tx u =则
()
()()
()f x f x x x g u g tx dt du xe x
==⎰⎰
，即
()()20
.f x x g u du x e =⎰
求导得()'22x x xf x xe x e =+，即()'2x x f x e xe =+，所以().x x f x e xe C =++ 再由0)0(=f ，得() 1.x x f x e xe =+- 三、（本题满分8分）
已知 ,2,1,tan 4
==
⎰
n dx x u n n π
，证明：(1) 1+≥n n u u ；
(2) 当2>n 时，1
1
2-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明：（1）在0,
4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
中，tan 1x ≤，1
tan tan n n x x +≥，所以1+≥n n u u 。

（2）当2n >时，
()22420
240
tan 1tan 1tan tan .1
n n n n u u x x dx
xd x n π
π
---+=+==
-⎰⎰
（3）{}n u 单调下降，有下界0，所以收敛。

在1
1
2-=+-n u u n n 中取极限得极限为0. 四、（本题满分7分）
求函数3
2)
52()(x x x f -=在),(∞+-∞内的极值.
解：()f x 是连续函数，
)'
101()0x f x x -=≠。

在(),0-∞中，()'
0;f x >在()0,1中，()'
0;f
x <在()1,+∞中，()'0;f x >所以极大值()00f =，极小值()1 3.f =-
五、（本题满分7分）
在曲线2)1(-=x y 上点)1,2(处引该曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的图形记为D ，求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
解：法线方程为2.2
x
y =-
()2
2
4
4
121312.215x V x dx dx πππ⎛
⎫=-+-= ⎪⎝
⎭⎰⎰
六、（本题满分6分）
半径为5m ，深为2m 的圆锥形（锥顶向下）的蓄水池，盛满水，今将这一池水全部抽至离池面为5m 高的水塔内，问需作多少功？
解：以锥顶为原点，竖直向上为正方向作x 轴，建立坐标系。

对应[][]
,0,2x x dx +⊂的一层水的体积为2
2525.24dV x dx x dx ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
功元素为()225
7.4dW g x x dx ρπ=- 所以()()2202527572820767.43
W g x x dx g J πρπρ=-==⎰ 七、（本题满分6分）
设)(x f 在区间]1,0[上连续，在区间)1,0(内可导，且1
2
3
3()(0),f x dx f =⎰
证
明在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.
证明：由积分中值定理，存在2,13η⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，满足()()()2310,3f
f f ηη⎛⎫
-
== ⎪⎝⎭
在[]0,η上对()f x 应用罗尔定理，得存在()()0,0,1ξη∈⊂，满足()'0f ξ=。

以下为《微积分（B ）》I 改换的题目 七、（本题满分6分）
设)(x f 在区间]1,0[上连续，在区间)1,0(内可导，1)2/1(,0)1()0(===f f f ，证明在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使1)(='ξf .
证明：令x x f x H -=)()(，则1)1(,2/1)2/1(,0)0(-===H H H 由零点定理，存在0)()1,2/1(=∈ηηH 使，再用罗尔定理，得存在)1,0(),0(⊂∈ηξ，使得
01)()(=-'='ξξf H ，。