网络流：最小费用最大流(最简单的算法)

网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。

可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。

zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。

先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。

最短路算法？为什么程序里没有SPFA？Dijkstra？且慢，先让我们回顾一下图论中最短路算法中的距离标号。

定义为点的距离标号，任何一个最短路算法保证，算法结束时对任意指向顶点、从顶点出发的边满足（条件1），且对于每个存在一个使得等号成立（条件2）。

换句话说，任何一个满足以上两个条件的算法都可以叫做最短路，而不仅仅是SPFA、Dijkstra，算法结束后，恰在最短路上的边满足。

在最小费用流的计算中，我们每次沿的路径增广后都不会破坏条件1，但是可能破坏了条件2。

不满足条件2 的后果是什么呢？使我们找不到每条边都满足新的增广路。

只好每次增广后使用Dijkstra，SPFA 等等算法重新计算新的满足条件 2 的距离标号。

这无疑是一种浪费。

KM 算法中我们可以修改不断修改可行顶标，不断扩大可行子图，这里也同样，我们可以在始终满足条件1 的距离标号上不断修改，直到可以继续增广（满足条件2）。

回顾一下KM 算法修改顶标的方法。

根据最后一次寻找交错路不成功的DFS，找到，左边的点增加，右边的点减少。

这里也一样，根据最后一次寻找增广路不成功的DFS，找到，所有访问过的点距离标号增加。

可以证明，这样不会破坏性质1，而且至少有一条新的边进入了的子图。

算法的步骤就是初始标号设为，不断增广，如果不能增广，修改标号继续增广，直到彻底不能增广：源点的标号已经被加到了。

这样我们得到了一个简单的算法，只需要增广，改标号，各自只有7 行，不需要BFS，队列，SPFA，编程复杂度很低。

由于实际的增广都是沿最短路进行的，所以理论时间复杂度与使用SPFA 等等方法的连续最短路算法一致，但节省了SPFA 或者Dijkstra 的运算时间。

实测发现这种算法常数很小，速度较快，employee 这道题所有数据加在一起耗时都在2s 之内最小费用流的各种转化不少同学认为消圈算法比增广路算法使用面广，可以有负边，负圈，每个点都能有盈余亏空等等。

实际上增广路算法也是一样的。

以下讨论中为盈余量，为费用，为容量。

1).最小费用(可行)流最小费用最大流建立超级源和超级汇，对顶点，若添加边，若添加边，之后求从到的最小费用最大流，如果流量等于，就存在可行流，残量网络已在原图上求出。

2).最小费用最大流最小费用(可行)流连边，所有点有，然后直接求。

3).最小费用(可行)流中负权边的消除直接将负权边满流。

4.)最小费用最大流中负权边的消除先连边，使用(3.)中的方法消除负权边，使用(1.)中的方法求出最小费用(可行)流，之后距离标号不变，再求最小费用最大流；注意此时增广费用不能机械使用源点的标号——应该是源点汇点标号之差。

p.s.评测说明，最小费用流简单算法中的方法速度比SPFA 的实现快好多，推荐大家竞赛时使用网络流：最小费用最大流(PASCAL代码)具体的参见我的网络流总结这里说一种简洁高效的算法，来自ZKW神牛的原创。

性价比高，适合在竞赛使用。

即采用距离标号法，若能增广则无限增广，反之更新距离标号，直到无法更新为止。

const maxn=501; maxm=240001;type gtp=record y,d,c,op,next:longint; end;//========================================================var n,m,tot,st,ed,ans:longint;g:array[0..maxm] of gtp;first,now,dis:array[0..maxn] of longint;v:array[0..maxn] of boolean;//========================================================function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b) else exit(a);end;//========================================================procedure add(x,y,d,c,t:longint); {存边表}begininc(tot);g[tot].y:=y; g[tot].d:=d; g[tot].c:=c;g[tot].op:=tot+t; g[tot].next:=first[x]; first[x]:=tot;end;//========================================================procedure init;var i,x,y,d,c:longint;beginfillchar(first,sizeof(first),0);readln(n,m); tot:=0; st:=1; ed:=n; ans:=0;for i:=1 to m dobeginreadln(x,y,d,c); {x点y点，容量，费用}add(x,y,d,c,1); add(y,x,0,-c,-1); {正反向都存}end;end;//========================================================function aug(x,flow:longint):longint; {寻找增广路}var y,t,tmp:longint;beginif x=ed then {找到增广路，增加流量}begininc(ans,flow*dis[st]);exit(flow);end;t:=now[x]; v[x]:=true;while t<>0 dobeginy:=g[t].y;if (g[t].d>0)and(not v[y])and(dis[x]=dis[y]+g[t].c) then {满足容量、未被访问（这里是一个优化）、距离标号关系}begintmp:=aug(y,min(g[t].d,flow)); {继续增广}if tmp>0 then {若增广成功}begindec(g[t].d,tmp); inc(g[g[t].op].d,tmp); {更新容量值}now[x]:=t; {更新当前弧}exit(tmp);end;end;t:=g[t].next;end;now[x]:=0; {小优化}exit(0);end;//========================================================function modlabel:boolean; {修改距离标号}var tmp,y,i,t:longint;begintmp:=maxlongint;for i:=1 to n doif v[i] then {若某边为true，则距离标号已经不合格}begint:=first[i];while t<>0 dobeginy:=g[t].y;if (g[t].d>0)and(not v[y])and(dis[y]+g[t].c-dis[i]<tmp) then tmp:=dis[y]+g[t].c-dis[i]; {取最小值}t:=g[t].next;end;end;if tmp=maxlongint then exit(true); {无法修复距离标号}for i:=1 to n do {若能修复，则修复距离标号}if v[i] thenbegininc(dis[i],tmp);v[i]:=false;end;exit(false);end;//========================================================procedure main;var i:longint;beginfillchar(dis,sizeof(dis),0);repeatfor i:=1 to n do now[i]:=first[i];while aug(st,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),false); {若能增广则无限增广} until modlabel; {直到无法修复距离标号}writeln(ans);end;//========================================================beginassign(input,'costflow.in'); reset(input);assign(output,'costflow.out'); rewrite(output);init;main;close(input); close(output); end.。