《固体物理学(黄昆)》课后习题答案(2)
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0 k 0 k
n x i x i na 2A n x sin e a = e a L
取 E E ， E E 0 (k ) Vn
Vn A Vn B, 得到A B
0 0 A k ( x) k ( x) L e
因此， 计算得到的 H 2 晶体的结合能为 2． 55KJ／mol， 远大于实验观察值 0.75lKJ／mo1． 对 于 H 2 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造 成理论和实验值之间巨大差别的原因． 4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中 点大 2 倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区 面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7 ＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 A 第一布里渊区如图所示
M 2 11C , C (10 e iKa ) C (eiKa 10), M 2 11C
=0，解出
M 2 4 22MC 2 20C 2 (1 conKa) 0
2
C 11 121 20 1 conKa . M
V ( x) V0
m
m 2 2b m 1 b m Vm cos x, Vm V x xdx V ( x) cos xdx ( ) cos 0 0 b 2b 2b 2b 2b
第一个禁带宽度Eg1 2 V1 ,以m 1代入上式,Eg1
利用积分公式 u cos mudu
1 1 1 ... n 2 2 3 4
2 n 2
4.3， 电子在周期场中的势能．
1 m 2 b 2 ( x na ) 2 , 2
当na b x na b 当(n-1)a+b x na b
V ( x)
0
，
其中 d＝4b， 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
12 12
6
1
6
A62 A12 6 1 du (r ) 6 r u N 0 2 0 0 A6 A12 2 r r
bcc u (r0 )bcc A2 A 12.252 / 9.11 ( 6 ) /( 6 ) 0.957 14.452 /12.13 fcc u (r0 ) fcc A12 A12
2.7． 对于 H 2 ， 从气体的测量得到 Lennard—Jones 参数为 50 10 J , 2.96 A . 计
6
算 fcc 结构的 H 2 的结合能[以 KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的 实验值为 0.751kJ／mo1，试与计算值比较． ＜解＞ 以 H 2 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard—Jones 势 相互作用，则晶体的总相互作用能为：
0
(b 2 x 2 ) cos
x
b
dx 再次利用积分公式有 E g2
2m 2
2
b2
3.3，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 c 和 10 c．令两种原子质 量相同，且最近邻间距为
a ．求在 vs 1 和 k 处的 ( k ) ．大略地画出色散关系．此问题模 a 2
(2)势能的平均值：由图可见， V ( x) 是个以 a 为周期的周期函数，所以
3
V ( x)
1 1 a 1 a b V ( x) V ( x) dx V ( x)dx L L a b a b
题设 a 4b ，故积分上限应为 a b 3b ，但由于在 b,3b 区间内 V ( x) 0 ，故只需在
将
M
us ueisKa e it , Vs VeisKa e it . 代入上式有
M 2u C 10 e ika V 11Cu , M 2V C eika 10 u 11CV ,
4
是 Fra Baidu bibliotek，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
所以 B / A 3
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由电子理
2 2 论，自由电子的能量为 K x2 K y K z2 ，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于 2m
4 点的内切球的体积
3
4 3
，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 a
2 2 2 2 Kx , 2m 2m a 2m a
2 2 2 2 2 2 2 2 B点能量 B K x K y 2 m 2 , 所以 B / A 2 2m a a 2m a
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 ri 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为
2[1 ...] 2 3 42 x x3 x 4 n (1 x) x ... x 3 4
当 X=1 时，有 1
1
1 1
当 K= / a 时
2 20C / M , 2 2C / M ,
当 K=0 时，
2 22C / M , 2 0,
2 与 K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如 H 2 )晶体
2.6，bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能之比值． ＜解＞ u ( r ) 4 ( ) ( ) , u ( r ) N (4 ) An ( ) Al ( ) r r r 2 r
0 0
0 * E (k ) E A Vn B 0 0 Vn A E k E B0
取 E E
带入上式，其中 E E 0 (k ) Vn V(x)<0, Vn 0 ,从上式得到 B= -A,于是
A ( x) ( x) A L
A
i
n x a
e
i
n x a
2A n x cos = a L
由教材可知， 及 均为驻波． 驻波因为电子波矢 k
在驻波状态下，电子的平均速度 (k ) 为零．产生
n 2 2a 时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，这 a k n
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
2
m 2 b
b
0
(b 2 x 2 ) cos
x
2b
dx
u 2 mu sin mu 2 cos mu 3 sin mu 得 2 m m
E g1
16m 2
3
b 2 第二个禁带宽度 Eg2 2 V2 ,以m 2代入上式,代入上式
b
Eg2
m 2 b
1.2
1.10——答案在王矜奉《固体物理概念题和习题指导》p10 第 17 题
3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为
1 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2
证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 E0 就是各振动
1
模零点能之和。 E0
m
0
E0 g d 将E0
a
状态简并微扰结果，求出与 E 及 E 相应的波函数 及 ?，并说明它们
2
*
的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设 Vn = Vn )。 ＜解＞令 k
a
， k
a
，简并微扰波函数为 A k ( x) B k ( x)
6 12 12 6 U 2N P ij ij P . R R j i
j
P 6 14.45392;
ij
i
P 12 12.13188,
ij
50 1016 erg , 2.96 A, N 6.022 1023 / mol.
拟如 H 2 这样的双原子分子晶体。 ＜解＞ a/2 C 10c
us 1 M vs 1
us
vs
us 1
vs 1
d 2us C Vs 1 us 10C Vs us ， dt 2 d 2Vs 10C us Vs C us 1 Vs , dt 2
2
2.1，马德隆常数的计算 ＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 取任一负离子作参考离 子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有
r
j
(1) 1 1 1 1 2[ ...] rij r 2r 3r 4r
5
将R 0 代入U 得到平衡时的晶体总能量为
12 6 2.96 2.96 U 2 6。 022 1028 / mol 50 1016 erg 12.13 14.45 2.55 KJ / mol. 3.16 3.16
1 3V 和 g 2 3 2 代入积分有 2 vs 2
E0
3V 9 9 m 4 N m ，由于 m k B D得E0 Nk B D 2 3 16 vs 8 8
2
一股晶体德拜温度为~ 10 K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能 相比拟． 4.1，根据 k
b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 A
第一布里渊区如图7—2所示．
2 a
ˆ 2 i, B a
ˆ 2 j, C a
ˆ k,
6
A点能量 A
2 ; 2m a
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B点能量 B K x K y K z 2 m 3 , 2m a a a 2m a
b, b 区间内积分．这时， n 0 ，于是
V
1 b m 2 b 2 m 2 2 V x dx b x dx ( ) ( ) a b 2a b 2a 2 b x
b b
1 x3 3
b b
1 2 6 mb 。
（3） ，势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
2 ˆ 2 ˆ i,B j a a
a
a
0
区边中点的波矢为K A 自由电子能量
ˆ ˆ ˆ i , 角顶B点的波矢为K B i j. a a a
2 K x2 K y2 K z2 , 2m
2 2
A点能量 A
n x i x i na 2A n x sin e a = e a L
取 E E ， E E 0 (k ) Vn
Vn A Vn B, 得到A B
0 0 A k ( x) k ( x) L e
因此， 计算得到的 H 2 晶体的结合能为 2． 55KJ／mol， 远大于实验观察值 0.75lKJ／mo1． 对 于 H 2 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造 成理论和实验值之间巨大差别的原因． 4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中 点大 2 倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区 面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7 ＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 A 第一布里渊区如图所示
M 2 11C , C (10 e iKa ) C (eiKa 10), M 2 11C
=0，解出
M 2 4 22MC 2 20C 2 (1 conKa) 0
2
C 11 121 20 1 conKa . M
V ( x) V0
m
m 2 2b m 1 b m Vm cos x, Vm V x xdx V ( x) cos xdx ( ) cos 0 0 b 2b 2b 2b 2b
第一个禁带宽度Eg1 2 V1 ,以m 1代入上式,Eg1
利用积分公式 u cos mudu
1 1 1 ... n 2 2 3 4
2 n 2
4.3， 电子在周期场中的势能．
1 m 2 b 2 ( x na ) 2 , 2
当na b x na b 当(n-1)a+b x na b
V ( x)
0
，
其中 d＝4b， 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
12 12
6
1
6
A62 A12 6 1 du (r ) 6 r u N 0 2 0 0 A6 A12 2 r r
bcc u (r0 )bcc A2 A 12.252 / 9.11 ( 6 ) /( 6 ) 0.957 14.452 /12.13 fcc u (r0 ) fcc A12 A12
2.7． 对于 H 2 ， 从气体的测量得到 Lennard—Jones 参数为 50 10 J , 2.96 A . 计
6
算 fcc 结构的 H 2 的结合能[以 KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的 实验值为 0.751kJ／mo1，试与计算值比较． ＜解＞ 以 H 2 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard—Jones 势 相互作用，则晶体的总相互作用能为：
0
(b 2 x 2 ) cos
x
b
dx 再次利用积分公式有 E g2
2m 2
2
b2
3.3，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 c 和 10 c．令两种原子质 量相同，且最近邻间距为
a ．求在 vs 1 和 k 处的 ( k ) ．大略地画出色散关系．此问题模 a 2
(2)势能的平均值：由图可见， V ( x) 是个以 a 为周期的周期函数，所以
3
V ( x)
1 1 a 1 a b V ( x) V ( x) dx V ( x)dx L L a b a b
题设 a 4b ，故积分上限应为 a b 3b ，但由于在 b,3b 区间内 V ( x) 0 ，故只需在
将
M
us ueisKa e it , Vs VeisKa e it . 代入上式有
M 2u C 10 e ika V 11Cu , M 2V C eika 10 u 11CV ,
4
是 Fra Baidu bibliotek，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
所以 B / A 3
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由电子理
2 2 论，自由电子的能量为 K x2 K y K z2 ，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于 2m
4 点的内切球的体积
3
4 3
，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 a
2 2 2 2 Kx , 2m 2m a 2m a
2 2 2 2 2 2 2 2 B点能量 B K x K y 2 m 2 , 所以 B / A 2 2m a a 2m a
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 ri 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为
2[1 ...] 2 3 42 x x3 x 4 n (1 x) x ... x 3 4
当 X=1 时，有 1
1
1 1
当 K= / a 时
2 20C / M , 2 2C / M ,
当 K=0 时，
2 22C / M , 2 0,
2 与 K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如 H 2 )晶体
2.6，bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能之比值． ＜解＞ u ( r ) 4 ( ) ( ) , u ( r ) N (4 ) An ( ) Al ( ) r r r 2 r
0 0
0 * E (k ) E A Vn B 0 0 Vn A E k E B0
取 E E
带入上式，其中 E E 0 (k ) Vn V(x)<0, Vn 0 ,从上式得到 B= -A,于是
A ( x) ( x) A L
A
i
n x a
e
i
n x a
2A n x cos = a L
由教材可知， 及 均为驻波． 驻波因为电子波矢 k
在驻波状态下，电子的平均速度 (k ) 为零．产生
n 2 2a 时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，这 a k n
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
2
m 2 b
b
0
(b 2 x 2 ) cos
x
2b
dx
u 2 mu sin mu 2 cos mu 3 sin mu 得 2 m m
E g1
16m 2
3
b 2 第二个禁带宽度 Eg2 2 V2 ,以m 2代入上式,代入上式
b
Eg2
m 2 b
1.2
1.10——答案在王矜奉《固体物理概念题和习题指导》p10 第 17 题
3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为
1 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2
证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 E0 就是各振动
1
模零点能之和。 E0
m
0
E0 g d 将E0
a
状态简并微扰结果，求出与 E 及 E 相应的波函数 及 ?，并说明它们
2
*
的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设 Vn = Vn )。 ＜解＞令 k
a
， k
a
，简并微扰波函数为 A k ( x) B k ( x)
6 12 12 6 U 2N P ij ij P . R R j i
j
P 6 14.45392;
ij
i
P 12 12.13188,
ij
50 1016 erg , 2.96 A, N 6.022 1023 / mol.
拟如 H 2 这样的双原子分子晶体。 ＜解＞ a/2 C 10c
us 1 M vs 1
us
vs
us 1
vs 1
d 2us C Vs 1 us 10C Vs us ， dt 2 d 2Vs 10C us Vs C us 1 Vs , dt 2
2
2.1，马德隆常数的计算 ＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 取任一负离子作参考离 子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有
r
j
(1) 1 1 1 1 2[ ...] rij r 2r 3r 4r
5
将R 0 代入U 得到平衡时的晶体总能量为
12 6 2.96 2.96 U 2 6。 022 1028 / mol 50 1016 erg 12.13 14.45 2.55 KJ / mol. 3.16 3.16
1 3V 和 g 2 3 2 代入积分有 2 vs 2
E0
3V 9 9 m 4 N m ，由于 m k B D得E0 Nk B D 2 3 16 vs 8 8
2
一股晶体德拜温度为~ 10 K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能 相比拟． 4.1，根据 k
b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 A
第一布里渊区如图7—2所示．
2 a
ˆ 2 i, B a
ˆ 2 j, C a
ˆ k,
6
A点能量 A
2 ; 2m a
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B点能量 B K x K y K z 2 m 3 , 2m a a a 2m a
b, b 区间内积分．这时， n 0 ，于是
V
1 b m 2 b 2 m 2 2 V x dx b x dx ( ) ( ) a b 2a b 2a 2 b x
b b
1 x3 3
b b
1 2 6 mb 。
（3） ，势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
2 ˆ 2 ˆ i,B j a a
a
a
0
区边中点的波矢为K A 自由电子能量
ˆ ˆ ˆ i , 角顶B点的波矢为K B i j. a a a
2 K x2 K y2 K z2 , 2m
2 2
A点能量 A