第十五讲三角函数最值与值域
三角函数值域与最值
三角函数的值域与最值考纲要求：三角函数的值域与最值都是B 级要求学习目标：掌握三角函数的值域与最值常见方法.主要知识点：1.函数x y sin =的值域是____________；函数x y cos =的值域是__________； 函数x y tan =的值域是_____________.函数)0)(sin(>+=A x A y ϕω的值域是_________.2.求三角函数的值域与最值的常用方法：(1)化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；(2)将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图像法求解；(3)换元法；(4)借助直线斜率的关系用数形结合法求解．预习自测：1.已知函数()2sin()cos f x x x π=-,则()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为____________. 2.函数)0)(3cos(cos )(ππ≤≤++=x x x x f 的值域为 。
3.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为________ _____．4．函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域为____________. 5.当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ． 6.函数sin cos 2x y x =+)0(π<<x 的最大值为 。
7.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为____________.例题精讲：例1. 求函数θθ2sin 31sin 3+=y 的最大值:(1)()πθ，0∈；(2) ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈60πθ，．例2 .已知向量(),cos ,sin A A m =n =(3,1)-，⋅m 1=n ，且A 为锐角.(1)求角A 的大小； (2)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.例3.求下列函数的值域（1）sin cos sin cos y x x x x =⋅++)20(π≤≤x ，（2）x x x x y cos sin 1cos sin ++⋅=)20(π≤≤x 。
三角函数的最值与值域
返回 4.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为 -4，若实数a＞0，求a,b的值
【解题回顾】上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数. 此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间 [-1，1]上的最值问题解决.
延伸·拓展
返回
5.在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上． (1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q (2)当θ变化时求P/Q的最小值．
能力·思维·方法
1．已知△ABC中， tan A 2 3 ,求使 y 4 2 2 sin B sin 2 B 取最大值时∠C的大小. 6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)
若 3+2cosx＜0，则x的范围是
2kπ+5π/6<x<2kπ+7π/6，k∈Z ；
若tanx≤1,则x的范围是___来自____________________； Z kπ-π/2<x≤kπ+π/4，k∈ 若sin2x＞cos2x，则x的范围是__________________________ kπ+π/4<x<kπ+3π/4，k∈Z 2.函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6，π6]的值域是( D )
3 (A)[- ，3]
(B)[-2，2]
(C)[0，2] )
(D)[0， 3]
3.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( (A)1+√2 (B)√2-1 (C)2
三角函数的值域与解析式
三角函数的值域与解析式三角函数是高中数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的值域和解析式，以便能够正确地运用它们。
本文将重点探讨正弦函数和余弦函数的值域与解析式。
一、正弦函数的值域与解析式正弦函数的解析式为：y = sin(x)正弦函数的值域是[-1, 1]，即其取值范围在-1与1之间。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上是周期性的，在y轴上取值介于-1到1之间。
当x为0、π、2π及其整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2及其奇数倍时，正弦函数的值为1或-1；当x为π/4、3π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于0和1之间；当x为5π/4、7π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于-1和0之间。
根据这些特点，我们可以绘制出正弦函数的图像，并正确理解其值域。
二、余弦函数的值域与解析式余弦函数的解析式为：y = cos(x)余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
余弦函数的图像也是一条连续波浪线，但与正弦函数的图像相位差π/2，即余弦函数的图像在x轴上是正弦函数图像向左平移π/2个单位。
余弦函数的值域与正弦函数相同，当x为0、2π、4π及其整数倍时，余弦函数的值为1；当x为π、3π、5π及其奇数倍时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、5π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于0和-1之间；当x为3π/2、7π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于-1和0之间。
理解余弦函数的值域有助于正确应用该函数解决问题。
综上所述，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，但在特定的x取值时，它们的值会有所不同。
熟练掌握它们的值域和解析式是理解三角函数的重要一步，为应用三角函数解决实际问题打下基础。
我们可以通过反复练习和实际运用来加深对三角函数值域和解析式的理解，提高数学应用的能力。
三角函数的解析式与值域
三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。
一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。
正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。
三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。
然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。
对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。
反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。
五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。
也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。
正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。
六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。
正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。
七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。
另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。
总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。
- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。
三角函数最值问题求法
三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。
1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。
不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。
2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。
利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。
常见的周期为π或2π。
在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。
3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。
我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。
同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。
4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。
通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。
对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。
5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。
例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。
而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。
三角函数最值或值域地求法
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,xx这一有界性求最值。
例1：求函数xx ysin 21sin 的值域。
解：由xx ys in 21s in 变形为(1)si n 21y x y ，知1y ，则有21sin 1y xy，由21|sin |||11y x y22221||1(21)(1)1y yyy203y ，则此函数的值域是2[,0]3y类型二：x b x a y cos sin 型。
此类型通常可以可化为22sin cos ()y a x b x ab x求其最值（或值域）。
例2：求函数)3sin()6sin(xxy（R x）的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy ，∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β± cos αsin β解法2：xxycos 213sin 213∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析3：观察发现角)3(x 与角)6(x的差恰好为2，故将)6(x看成基本量，将函数化归为同一角)6(x的函数式。
解法3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2xy )12sin(2x∴函数的最大值为2，最小值为2。
类型三：)0(sin sin 2a c xb xa y型。
此类型可化为)0(2a c bt aty在区间]1,1[上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2x xy（R x）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
解：49)23(sin 1sin 3sin 122x x xy∴函数的最大值为49，最小值为4325例4：求函数1sin 3cos 2x a xy （R a，R x）的最大值。
解：1sin 3cos 2x a xy转化为2sin 3sin 2y xa x配方得：243)23(sin 22aa x y①当123a ，即332a 时，在sinx=1，即)(22z kk x时，13maxa y ②当123a时，即332a 时，在sinx=－1，即)(22z k k x时，13maxa y ③当1231a，即332332a时，在a x23sin ，即a kx 23arcsin 2或)(23arcsin2z ka k x 时，2432maxay 综上：2max2331()3323232()4332331()3a ay a aa a类型四：)0(cos sin sin 2ac xx b xa y 型。
三角函数最大值最小值
三角函数最大值最小值引言三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
其中一个重要的问题就是如何确定三角函数的最大值和最小值。
本文将详细介绍三角函数的最大最小值及其求解方法。
正弦函数(sin)的最大最小值正弦函数是一个周期函数，它表达了一个圆的边缘点在坐标系中的y坐标值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
可以通过以下推导来证明：首先，正弦函数在任意时刻的值都在-1和1之间，即 -1 ≤ sin(x) ≤ 1。
这是因为正弦函数是周期为2π的函数，而在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。
其次，为了找到正弦函数的最大值和最小值，我们需要找到函数在一个周期内的关键点。
正弦函数的关键点就是最大值和最小值所对应的点。
在一个周期内，正弦函数的最大值出现在x = π/2 + 2πn 的点，最小值出现在x = -π/2 + 2πn 的点，其中n为整数。
综上所述，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
余弦函数(cos)的最大最小值余弦函数是正弦函数的补函数，它也是一个周期函数，定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。
余弦函数的最大值和最小值与正弦函数相同。
可以通过以下推导来证明：余弦函数在任意时刻的值也都在-1和1之间，即 -1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这是因为余弦函数也是一个周期为2π的函数，在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。
与正弦函数类似，余弦函数的最大值出现在x = 2πn 的点，最小值出现在x = π + 2πn 的点，其中n为整数。
综上所述，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正切函数(tan)的最大最小值正切函数是一个非周期函数，定义域不包括π/2 + kπ (其中k为整数)，值域是全体实数。
正切函数并没有最大值和最小值。
可以通过以下推导来证明：首先，正切函数的定义域是除去一些特殊点的全体实数。
高考一轮数学复习理科课件人教版专题研究三角函数的值域与最值
CHAPTER
06
总结与展望
总结
三角函数值域与最值的定义和性 质
总结了三角函数值域与最值的定义，以及 相关的基本性质，如周期性、对称性等。
三角函数值域与最值的求法
归纳了几种常见的求三角函数值域与最值 的方法，如配方法、换元法、不等式法等 。
三角函数了三角函数值域与最值在解 决数学问题中的应用，如代数、几何等领 域。
解决实际问题
在实际问题中，如物理、工程等领域 ，常常需要求解三角函数的最值或值 域，以解决实际问题。
三角函数值域与最值的求解方法
代数法
通过代数运算，利用三角函数的 性质和公式，求出三角函数的最
值或值域。
几何法
将三角函数与几何图形相结合，利 用几何意义求出三角函数的最值或 值域。
导数法
利用导数求出函数的极值点，再结 合函数的单调性求出三角函数的最 值。
详细描述
反解法适用于一些难以直接观察的三角函数。通过反解，将 自变量表示为因变量的函数，然后利用函数的性质，如单调 性、奇偶性等，来求解函数的值域。反解法有时需要结合其 他方法一起使用，以简化求解过程。
CHAPTER
03
三角函数最值的求解方法
代数法
总结词
通过代数运算，将三角函数式转化为 更易于处理的形式，从而求得最值。
数形结合法
将三角函数与图像结合，利用 图像的直观性，得出函数的值
域或最值。
CHAPTER
05
三角函数值域与最值的应用实 例
在三角形中的应用
总结词
解决三角形问题
详细描述
三角函数在三角形问题中有着广泛的应用，尤其是在求解角度、边长等问题时。通过三角函数，我们可以利用已 知条件推导出未知量，从而解决三角形的问题。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数值域
三角函数值域三角函数是数学中常见的一个重要概念，描述了一个角度与其对应的正弦、余弦、正切等数值之间的关系。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要深入研究它们的值域。
三角函数的值域是指函数所有可能取到的值的集合。
在这篇文章中，我们将探讨三角函数的值域，并深入讨论正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的反函数。
首先，让我们来了解正弦函数的值域。
正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在-1和1之间，即[-1,1]。
这是因为正弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，而且它在区间内是连续的。
接下来，我们来探讨余弦函数的值域。
余弦函数也是一个周期函数，它的取值范围也在-1和1之间，即[-1,1]。
与正弦函数相似，余弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，并且也是连续的。
正切函数是三角函数中的另一个重要的函数。
它的定义域是所有实数除去所有的奇倍数π/2，值域是整个实数集。
这是因为正切函数在定义域内是连续的且无界的，可以取到正无穷和负无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有它们的反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
这些函数的取值范围与对应函数的定义域相同。
例如，反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
这是因为反正弦函数的作用是将正弦函数的值映射回[-π/2,π/2]的范围内。
总结起来，三角函数的值域可以归纳如下：- 正弦函数的值域是[-1,1]。
- 余弦函数的值域是[-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集。
- 反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是[0,π]。
- 反正切函数的值域是(-π/2,π/2)。
需要注意的是，这里提到的值域仅仅是三角函数单独的值域，而在实际问题中，多个函数可能组合使用，进而限制函数的取值范围。
综上所述，三角函数的值域对于研究三角函数的性质和应用非常重要。
通过深入了解值域的特点，我们能够更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
三角函数的最值与值域
三角函数的最值与值域[知识扫描]含三角的函数值域的常见类型和方法 （1） 复合型：“一次型”：b x a y +=sin “二次型”：c x b x a y ++=sin sin 2“指”型：xay sin =“对”型：xay sin log=“勾”型：)0(sin sin >+=a xa x y（2）分式型：dx c b x a y ++=sin sin （分离常量或反解）d x c b x a y ++=cos sin （引入辅助角）22221121tan tantan tan c x b x a c x b x a y ++++=（判别式法）（3）x b x a y cos sin +=（引入辅助角）（4）x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=（换元x x t cos sin +=）点拨：求含三角的函数值域时，能化简的先化简，将复杂的式子尽量转化为上述基本类型，变形时注意不改变函数的定义域，换元法求解时，注意新元的取值范围。
［典例精析］例1、 求下列各函数在相应定义域下的值域（1）2cos 4sin 3-+=x x y 若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]2,0[π，则值域为 。
（2）x x x x y 22cos3cos sin 2sin ++=若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]4,0[π，则值域为 。
（3）4sin 32cos -+=x x y 若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]6,0[π，则值域为 。
（4）已知αβαsin 2sin 2sin 322=+求βα22coscos+=y 的取值范围。
（5）1cos 2cos +=x x y（6）xx y cos 2sin 2--=（7）xx y sin 1sin +=（8）xx y 2sin 4)2sin 2(2+=（9）x xx x y 2sin cos sin 12sin +--=（10）xxx y sin 1cos sin 22+=（11）xxy sin 3sin 32log +-=例2、 求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
三角函数的值域和最值问题
三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值：（1）x x y cos sin 32⋅= （2）x y sin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y （4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈- 解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ） A ．212- B ．221+- C ．－1 D ．221- 3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π) 解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π ∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xxy sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y.（2）21sin3yxy+=-，而sinx∈[-1,1]于是－1≤213yy+-≤1所以－4≤y≤23即y的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
三角函数的值域(最值)
6
62
........ ........
f ( ) 3 ........................
62
6
可看出最大值为 y 3sin = 3，最小值为
因此，值域为 [ 2 , 2] 6 2
y 3sin( )=- 3，
62
33
1 小练习
正弦、余弦，正切
求下列三角函数的值域：
y cos(x ), x [ , ]
3
3
设x =，y cos , [2 , 4 ]
3
33
值域为[1, 3 ] 2
y 2sin(x ), x [0, ]
4
设x =，y 2sin , [ , 3 ]
4
44
值域为[ 2,1]
y tan(x ), x [ , ]
3
32
设x =，y tan , [0, ]
3
y cos x, x [ , ] 3
y tan x,
x [ , ]
3
....
........
值域为[1, 1] 2
y 2sin x, x [ , ] 3
值域为[ 3, 0]
........
y 2sin x,
x
[
,
]
3
......
值域为[0, 2]
与左边相反值域为[2，0]
2 三角函数
重点
非标准函数值域求解
3
解：
画出标准图 画图
标出范围
பைடு நூலகம்
标点
檫去多余图像
檫图
难
........
....................... f ( ) 1
2
三角函数的值域和最值
3.函数 的最小值为
4.已知（ ，则 的最大值是 （ ）
Ａ2Ｂ Ｃ1+ Ｄ2+
5已知 ，则 的最小值是 （ ）
Ａ Ｂ3Ｃ－4Ｄ0
6 的值域
7函数 的值域是
8.若 ，求 的最大值和最小值．
9若函数 （0 ）的最大值为负值，求 的取值范围．
10已知函数 的定义域是 ，值域是 ，求 的值．
姓名
班级
学号
时间
课题
三角函数的值域和最值
设计
一、方法点拨：(1)能根据正弦函数，余弦函数的有界性求函数的值域和最值，进一步巩
固求值域的一些常见方法．
(2)能运用化归思想通过换元转化为代数函数，求某一区间的值域和最值．
二、知能达标：
1.若Ａ为锐角△ＡＢＣ的锐角，则ｓｉｎＡ+ｃｏｓＡ的取值范围是
2.函数 的最大值是 （ ）
初中数学 如何求解三角函数的最大值和最小值
初中数学如何求解三角函数的最大值和最小值
要求解三角函数的最大值和最小值，我们可以使用代数方法或图像法。
下面将分别介绍这两种方法：
1. 代数方法：
代数方法是通过代数运算来求解三角函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：
-确定函数的定义域：首先，我们需要确定求解最大值和最小值的函数的定义域。
这可以通过观察函数图像或根据函数的周期性来确定。
-求导数：对三角函数进行求导，得到导函数。
-解导函数的方程：将导函数等于零，得到一个方程，求解这个方程可以得到驻点（导数为0的点）。
-计算函数值：将驻点和定义域的边界代入原函数，计算函数在这些点的值。
-比较函数值：比较函数值，找到最大值和最小值。
2. 图像法：
图像法是通过观察三角函数的图像来求解最大值和最小值。
具体步骤如下：
-绘制函数图像：使用数学绘图工具或在线图形绘制工具绘制三角函数的图像。
这样可以直观地观察函数的最大值和最小值。
-观察特点：观察图像，找到函数的极值点（最大值和最小值）。
这些点通常出现在函数的波峰和波谷处。
-确定最大值和最小值：根据函数的周期性和对称性，我们可以确定所有的最大值和最小值。
总结：
通过代数方法或图像法，我们可以求解三角函数的最大值和最小值。
代数方法适用于通过求导数和解方程来求解最大值和最小值，而图像法适用于通过观察图像来确定最大值和最小值。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，或结合两种方法进行求解，可以更准确地找到三角函数的最大值和最小值。
三角函数的最值
三角函数的最值知识要点梳理1.正弦函数、余弦函数的值域：都是[]1,1-。
2.正弦函数、余弦函数的最值：对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。
注意：正切函数y=tanx 在R 上的值域为R ，因此正切函数y=tanx 在R 上既没有最大值，也没有最小值。
3.求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如sin()y A x k ωϕ=++等，利用三角函数的有界性求解；（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基本不等式法等.疑难点、易错点剖析三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意正、余弦函数的有界性.特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正、余弦函数的有界性。
一、可转化为关于x 的正弦或余弦的二次函数的三角函数的最值例1求函数2cos 3cos 2++=x x y 的最值，并求取得最值时的x 值。
思路分析：函数式中既含有角x 的余弦的平方，又含有x 的余弦的一次项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。
解：45)23(cos 2cos 3cos 22++=++=x x x y[]1c o s 1,1,12x -≤≤∈- 且-， ∴当23cos -=x 时，即23x k ππ=±+时，m in 54=y13x π==+max 当cos ，即 x=2k 时，y变式：求函数2sin 2y x x =++的最值，并求取得最值时的x 值。
思路分析：函数式中既含有角x 的正弦的平方，又含有x 的余弦的项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。
三角函数最值或值域的求法
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。
解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，那么有21sin 1y x y +=+，由21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，那么此函数的值域是2[,0]3y ∈-类型二：x b x a y cos sin +=型。
此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值〔或值域〕。
例2：求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y 〔R x ∈〕的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β解法2：x x y cos 213sin 213-++=∴函数的最大值为2，最小值为2-。
分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6(π-x 看成根本量，将函数化归为同一角)6(π-x 的函数式。
解法3： 〔运用和差化积公式 〕)4cos()12sin(2ππ-+=x y )12sin(2π+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。
类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。
此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2++=x x y 〔R x ∈〕的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数〞的最值问题，用配方法。
三角函数值域与最值的求法
三角函数值域与最值的求法大家知道，求三角函数值域与最值问题主要包括：①给定自变量x 的取值范围，求三角函数的值域或最值；②自变量x 为任意实数，求三角函数的值域或最值两种类型。
那么到底如何解答求三角函数值域与最值问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(x ∈R)。
（1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)在区间〔8π,34π〕上的最大值和最小值； 【解析】【知识点】①二倍角公式及运用；②三角函数最小正周期的定义与求法；③辅助角公式及运用；④正弦函数的图像与性质。
【解题思路】（1）运用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化成f(x)= Asin(ϖx+ϕ)的形式，根据三角函数最小正周期的公式求出函数f(x)的最小正周期；（2）由x ∈〔8π,34π〕求出 2x+4π的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】（1）Q f(x)=2 sinx cosx-2cos 2sin(2x+ 4π)，∴T= 22π=π；（2）Q x ∈〔8π,34π〕，∴2x+4π∈〔2π,74π〕，⇒ -1≤sin (2x+ 4π)≤1，∴max ()f x ⨯，min ()f x ⨯（-1）2、已知函数y=Asin(ϖx+ϕ)(A ＞0, ϖ＞| ϕ|≤π)的一段图像如右图所示。
（1）求函数f(x)的解析式； （2）求这个函数的单调递增区间； （3）求函数在区间〔3π,2π【解析】【知识点】①三角函数的图像与性质；②三角函数最小正周期的公式及运用；③根据三角函数图像上的点确定ϕ的基本方法；④正弦函数的图像与性质。
【解题思路】（1）根据三角函数的图像确定A 和T 的值，运用公式T=2||πϖ求出ϖ的值，由点（-8π，2）在函数f(x)的图像上，求出ϕ的值，从而得到函数f(x)的解析式=；（2）运用正弦函数的性质得到不等式2k π- 2π ≤ 2x+ 4π≤ 2k π+ 2π，解这个不等式就可得出结果；（3）由x ∈〔3π,2π〕求出2x+ 4π的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。
三角函数的最值和值域
3、函数 的最大值是______
4、函数 的最小值是______
5、已知函数 .求函数 的值域
6、已知复数z1= ，z2= ，求|z1·z2|的最大值和最小值
7、向量 ， ，设函数 ，求函数 的最小正周期及 时的最大值
8、试讨论函数 的图象与直线 的交点个数情况
教学过程设计
教师
活动
学生
活动
设计பைடு நூலகம்
意图
一、课前练习
1、函数 的最大值为______此时x=_____
2、函数 的值域为______
3、函数 的最大值是______（2008秋）
4、函数 的最小值是______（2009秋）
5、已知函数 .
（1）若 ，求函数 的值；
（2）求函数 的值域（2006春)
布置课前练习让同学独立完成，课上对板演过程给出评价，引导学生反思解题总结思路方法。
本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，通过让学生完成课前练习，自己体会和总结求三角函数值域与最值的方法，提高解决此类问题的能力。
教学难点分析
根据已知条件，如何通过分析和思考将相关问题转化为三角函数的最值和值域问题是本节课的难点，为了突破难点，不妨采取“分析—思考—实践—反思”的解题策略，即在讲评练习和例题时，对每一道题目的条件和特点进行分析，引导学生找出方法，发现规律，通过学生的思考分析和实践，加深理解，从而化解难点。
（2）所求|z1·z2|中的复数的模是如何定义的？
根据题目的条件提出问题，引导学生思考分析题目条件，寻找解题思路
思考并回答，独立
完成解题过程
通过三角函数与复数、向量、几何等知识点的交汇和联系，运用转化思想，增强分析问题和解决问题能力，体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。学生通过回顾、总结求三角函数最值或值域的常见题型和解法，达到灵活运用的目的，体会转化、换元思想在数学中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十六讲 三角函数的值域与最值
一、给定区间内最值问题（整体换元）
特点：可化为sin()(cos())y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++或的形式
例1、求函数x y 3cos 21
-=，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈95,
4ππx 的值域。
变式练习 1、函数)3
cos(2π-=x y )3
26
(
ππ≤
≤x 的最
）
A 、-2
B 、3-
C 、-1
D 、1
2、若⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈3,6ππ
x 时，0)32tan(≤-+π
x k 恒成立，求实数k 的取值范围。
二、化为型如x b x a y cos sin +=引入辅助角法
特点：能够利用三角公式转化为同角正、余弦函数，并且是齐次式。
例1、 已知⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
∈2,
0πx ，求函数)12
5cos(
)12
cos(x x y +--=ππ的值域。
变式练习 已知函数()x x x f 2cos 3)4
(
sin 22
-
+=π，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
4ππx ，求函数()x f 的最大值和最小值
变式练习 1、已知函数1cos sin 2
3cos
2
12
+⋅+
=x x x y )127,3(⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈
ππx 的值域。
2、求22
cos cos 3sin y x x x x =--在02
x π≤≤条件下的最值, 并求出
取最值时的x 的值.
三、转化为二次函数配方法
特点：如果所给的函数可以化为同名不同次的采用此法.即： 例1、求函数4sin 6sin 32
-+=x x y ，⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的最大值和最小值。
例2、求函数2
32
1cos sin 2
-
-
+=a x a x y 的最大值为1时a 的值。
变式练习 1、函数x x y 2
sin
2cos 87--=的最大值为（ ）
A 5
B 15
C 19
D 20
2、函数2tan tan 1,2y x x x k k Z π
π⎛
⎫
=++≠+
∈ ⎪⎝⎭
的值域是_________. 3、已知函数()x x m x f 2cos sin 4-=()R x ∈若()x f 的最大值为3，求实数
m 的值。
四、换元法
特点：如果函数式中sin cos x x ±与sin cos x x 同时出现,可以采用此法 例1、已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈2,6ππx ，求函数)1)(cos 1(sin ++=x x y 的最大值和最小值。
变式练习 求函数sin 2sin cos y x x x =++的最值。