8.1 由Fourier变换到小波变换

第八章 小波变换及其在图像处理中的应用参考书目[1] R.C. Gonzalez and R. E.Woods, Digital Image Processing (Second edition) (中译本: 阮秋琦等译, 数字图像处理(第二版),电子工业出版社,2003) [2] S.Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,1999.(中译本:杨力华等译, 信号处理的小波导引,机械工业出版社,2002[3] M. Vetterli and J. Kovacevic, Wavelets and Subband Coding, Pritice-Hall,NJ. 1995.[4] 杨福生, 小波变换的工程分析与应用, 科学出版社, 2000.8.1 从Fourier 变换到小波变换一、 引言● J.Worlet (法 地质学家)和A.Grossmann (物理学家) (1984)在处理地质数据时引入了小波的概念 ● Y.Meyer (法 数学家)(1986)构造了具有一定衰减特 性的光滑函数ψ，其二进伸缩平移系)2(2)(2,k t t jk j j -=ψψ构成)(2R L 的规范正交基。

著有专著《小波和算子》 ● S.Mallat (1987)提出多分辨率分析，给出了信号分 解和重构算法（Mallat ）算法。

● I.Daubechies (1990)在波士顿近郊的专题学术会议 上10次演讲（Ten Lecture on Wavelets ,1990） 应用领域：信号分析与重构；图像处理(数据压缩编 码，边缘检测，去噪声, 数据融合); 语音信号处理; 地质勘测数据处理; 物理学、天文学; 数值分析等。

小波前16种方法或算法，其中信号处理有4种： (1) Time-frequency atoms in speech signal processing(D. Gabor, 1946)(2) Subband coding (A.Croisier and D.Esteban, 1976) (3) Pyramid coding (P.J.Burt and E.H.Adelson, 1982) (4) Zero-crossings (D.Marr, 1980)● 记号：)(R L 2: 平方可积函数组成的集合)()(R L x f 2∈∞<⎰∞∞-dx x f 2)(内积: 若 )()(R L x f 2∈, )()(R L x g 2∈则 ⎰∞∞-*=〉〈dx x g x f x g x f )()()(),(〉〈==⎰∞∞-)(),()()(x f x f dx x f x f 221〉〈=)(),()(x f x f x f● 信号)(x f 的线性展开（P.251）)()(x x f i ii ϕα∑=, V x f ∈)(, V 是函数空间如果展开集)}({x i ϕ是linearly independent ,且对任何 V x f ∈)(, 均存在}{i α, 使 )()(x x f i ii ϕα∑=则称)}({x i ϕ构成V 的一个基(1) 标准正交基(Orthonormal basis)如果 ⎩⎨⎧≠===〉〈j i ji j i j i ,,,01δϕϕ则)}({x i ϕ构成V 的标准正交基, 这时〉〈=)(),(x x f i i ϕα(2) 双正交（Bi-orthogonal ）如果基函数)}({x i ϕ不是标准正交的, 但)}({x i ϕ和其对偶)}(~{x iϕ满足 j i j i δϕϕ=〉〈~,则基函数和其对偶是双正交的, 这时〉〈=)(~),(x x f ii ϕα (3) Redundant or Overcomplete展开集)}({x i ϕ不是linearly independent , 它不 是V 的一个基, 这时, 展开函数及其对偶是 redundant or overcomplete 。

● 窗函数 时间窗函数r (t )⎰∞∞-=dt t r t t r t 22*)()(12122*)()()(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆⎰∞∞-dtt r t t t r r (0*=t ,3s r =∆ )频率窗函数R (ω) ⎰∞∞-=ωωωωωd R R 22*)()(12122*)()()(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆⎰∞∞-ωωωωωd R R R (0*=ω , ∞=∆R )Heisenberg uncertainty principle21≥∆⋅∆R r二、由Fourier 变换到小波变 1. Fourier 变换设)()(R L x f 1∈, 其Fourier 变换定义为dx e x f fx i ⎰∞∞--=ωω)()(ˆ若)()(ˆR L f 1∈ω, 则ωωπωd e fx f x i ⎰∞∞-=)(ˆ)(21 ● 缺点2. 加窗Fourier 变换(Gabor, 1946) (短时Fourier 变换STFT )〉〈=-=⎰∞∞--u x i f g f dx e u x g x f u G ,,)()(),(ωωω)(,u x g eg xi u -=ωωωωπωd e u x g u G x f xi f)(),()(-=⎰∞∞-21)(u x g -：窗函数(高斯函数))(x f ： 被分析的信号，随着u 的变化，)(u x g - 所确定的窗口在时间轴(x 轴)上移动, ),(u G f ω反映了)(x f 在时刻u , 角频率为ω的信号成分的相对含量)(ˆ)()()(),(ωωωωfdx ex f dxdue u x g xf du u G xi x i f ==-=⎰⎰⎰⎰∞∞---∞∞-∞∞-∞∞-3. 时─频窗口时域： 中心为 0u , 窗宽为u σ2 频域： 中心为ω0, 频宽为ωσ2 在时─频二维相空间中，时─频窗口为],[],[0000ωωσωσωσσ+-⨯+-u u u u● 固定分辨率 (ωσσ,u 与时─频平面的位置无关)● Heisenberg uncertainty principle21≥⋅ωσσu● STFT 的缺点: 4. 小波变换定义1：设函数)()(R L x 2∈ψ, 满足允许条件∞<=⎰∞∞-ωωωψψd c 2)(ˆ则称)(x ψ为允许小波(admissible wavelet )或母小波， 按平移伸缩方式可以生成一组小波基函数)}({,x u s ψ)()(,s u x sx u s -=ψψ1 +∈∈R s R u ,)()(s u x su x s -=-ψψ1定义2：函数)()(R L x f 2∈的连续小波变换为〉〈=-⋅=⎰∞∞-)(),()()(),(,x x f dx s ux s x f u s W u s f ψψ1duds sx u s Wc x f u s f21)(),()(,ψψ⎰⎰∞∞-∞=● 由允许条件可知 000===)(ˆ)(ˆψωψω (带通滤波) ⎰∞∞-=0dx x )(ψ (小波)设 )()(x x s s -=-ψψ),()()()()(u s W dxu x x f dx x u x f f f ss s =-=-=*⎰⎰∞∞-∞∞---ψψψ(带通滤波))(1)(s xsx s ψψ=, )(ˆ)(ˆωψωψs s s = ● 时-频窗口例: )07.0()07.0(5cos 5.010cos )(++-++=t t t t t f δδππ二、 小波级数 连续小波 )()(,s u x sx u s -=ψψ1二进小波将S 离散化Z j s j∈=,21则 ))(()(,u x x jjuj -=222ψψ 将u 离散化 ,Z k k u j∈=,2则 )()(,k x x jj kj -=222ψψ 小波级数：如果ψ~是小波ψ的对偶,m k l j m l k j δδψψ=〉〈,,~, (双正交)则)()(R L x f 2∈可以展开为小波级数∑∑∈∈==Zk j k j k j Zk j k j k j x d x C x f ,,,,,,)(~)()(ψψ式中 〉〈=)(~),(,,x x f C k j k j ψ〉〈=)(),(,,x x f d k j k j ψ若ψψ=~, m k l j m l k j δδψψ=〉〈,,, (正交)则 )()(,,,x Cx f k j Zk j kj ψ∑∈=〉〈=)(),(,,x x f C k j k j ψ。