第二章 年金
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30
小王是位热心于公益事业的人，自2005年12月底开始， 他每年年末都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿 童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读 完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小 王9年的捐款在2013年年底相当于多少钱？
【答案】 F＝A×（F/A，i，n） ＝1 000×（F/A, 2%, 9） ＝1 000×9.7546 ＝9 754.6（元）
第二章 货币时间价值
1
第一节 货币时间价值概念
The time value of money
2
问题的引入1：一诺千金的玫瑰花信誉
拿破仑1797年3月在卢森堡第一国立小学演讲时说了这样一番 话：“为了答谢贵校对我，尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待， 我不仅今天呈上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法 兰西存在一天，每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等 的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。”
终值点
AA
…
0 ０1 １2 ２ 3３ 4 4 5
AA 6 … n-1 nn
预付年金终值＝普通年金终值× (1+i)
F ＝A ×(F/A，i，n) × (1+i)
43
方法二：F＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
AA
…
0 ０1 １2 ２ 3３ 4 4 5
A AA 6 … n-1 nn n+1
预付年金终值＝A ×(F/A，i，n+1)-A
复利现值系数 PVIFi,n
例：系假数定你在复利2年现后值需系要数与10复0 利00终0元值，系那数互么为在倒利数息。率是 7%复关利系计息的条件下,你现在需要向银行存入多少钱?
Answer P=1000×PVIF7%,2=100 0000×0.873=87300元
20
货币时间价值运用
[例]某人拟购房，开发商提出两种方案： 1、现在一次性付80万元； 2、5年后付100万元 若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？
n
理解时间轴的两个要点：
16
三、计算
F 终值
现值
i 利息率（或称贴现率） 期数
这4个数据，只要任意已知3个就可以求出第4个。
17
1、复利终值的计算
F=P（1+i）n
复利终值系数 FVIFi,n
例.若将1000元以7%的利率存入银行，复利计息，则2年 后的本利和是多少?
Answer F=1000×FVIF7%,2=1000×1.145=1145元
3
问题引入2：
老王准备给儿子存钱供他以后上大学费用，假如 现在上大学的费用是6万元，并且假定三年以后， 也就是老王的儿子上大学时该费用不变，那么现 在的老王需要存入多少钱呢?
4
问题引入3：时间就是金钱
分ห้องสมุดไป่ตู้支付动画
先生，一次性支付房 款，可获房价优惠
5
一、货币时间价值概念
货币时间价值是不是就是银行的利息呢？ 银行的利息是货币时间价值的体现，但是货
F ＝A × [（F/A，i，n＋1）－1]
44
为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年 年初存入银行3 000元。若银行存款利率为5%，则 王先生在第6年年末能一次取出本利和多少钱？
45
[例] 从现在起每年年初存入银行20万元，在 7%的银行存款利率下，复利计息，5年后一次 性可取出多少钱？（不考虑扣税）
时过境迁，1984年底，卢森堡旧事重提，向法国提出违背 “赠送玫瑰花” 诺言案的索赔；要么从1797年起，用3路易作为 一束玫瑰花的本金，以5厘复利（即利滚利）计息全部清偿这笔 玫瑰案；要么法国政府在法国各大报刊上公开承认拿破仑是个言 而无信的小人。起初，法国政府准备不惜重金赎回拿破仑的声誉， 但却又被电脑算出的数字惊呆了；原本3路易的许诺，本息竟高 达1 375 596法郎。
AAA 6 … n-1 n
n年贴现
35
普通年金现值
普通年金现值——为在每期期末取得相等金额的款 项，现在需要投入的金额。计算公式为： P=A ×(P/A，i，n) (P/A，i，n) = 1-(1+i)-n ，称为普通年金现值系数
i
36
例6：某人出国3年，请你代付房租，每年末付租金 1000元，设银行存款利率为10%，他应当现在给 你在银行存入多少钱？
23
第三节 年金（Annuities）
每年获取的 一、概念、特征与分类 等额利息
年金是指间隔期相等的系列等额收B 付款。
具有每三年个支特付点的：
等额一保是险金额相等； A
C
二是时间间隔相等。
三是系列款项
零存整取 的零存额
每月支付的 E 等额按揭款
D
每月提取
的折旧额
24
3、年金的分类
1. 普通年金（后付年金） Ordinary Annuity 2. 即付年金（先付年金） Annuity Due 3. 递延年金（延期年金） Deferred Annuity 4. 永续年金（无限期年金）Perpetual
（1）不同时点的资金不能直接加减乘除或直 接比较。 （2）必须将不同时点的资金换算为同一时点 的资金价值才能加减乘除或比较。
明白！
11
对于今天的1000元和三年后的3000元，你会选择哪一个呢？
12
第二节 、复利终值与现值的计算
一、计息方式
单利
Simple interest
本金生息
Compound interest
31
[例]A、B两个项目未来的收益如下: A项目，5年末一次性收回110万元；
B项目，未来5年每年末收回20元。
若市场利率为7%，应如何选择哪个项目?
项目A收益的终值： F = 110（万元）
项目B收益的终值： F = 20×（F/A，7％，5） = 20 × 5.7507 = 115.014（万元）
已知P、i、n, 求A，A称为资本回收额；
(A/P,i,n)称为资本回收系数。
投资回收系数与普通年金现值互为倒数
39
甲企业向银行借款50万元，利率为6%，计划在三 年内等额偿还，则每年应还款金额为多少？
A=P(A/P,i,n) =50 × (A/P,6%,3) =50/2.6730 =18.7056
A=1000 i=10% n=3 P=A(P/A,i,n) P=1000(P/A,10%,3) P=1000×2.487 P=2487
37
[例]某人拟购房，开发商提出两种方案： 1、现在一次性付80万元； 2、从现在起每年末付20万元，连续支付5年。
若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？
方案一的现值：80（万元） 方案二的现值：
复利 利滚利
13
二、基础概念 终值 F（Future Value/Terminal Value）
若干期以后包括本金和利 息在内的未来价值。（本
利和）
现在
未来
14
现值 F（ Present Value ）
以后年份收入或支出资金 的现在价值。（贴现）
未来
现在
15
P
F(S)
０ １ ２ ３ ·····
方方案案二一的的现终值值：： F5 =P8=01000000000（0×1+（7%1）+75%=）1 -1522 080
方或 案二F5 的===118终000000值00000：000000（××F（（VIP0FV.7I7%，F1735%））,5 =）1 122 080 F5 =1=70103000000＜0 800000（方案一现值）
n+m
永续年金 每期期末发生的无限期定期等额系列收支
A A A A A…
A
０１２３ 4 5 … ∞
27
普通年金终值
普通年金终值——一定时期内每期期末等额收付款 项的复利终值之和。犹如零存整取的本利和。
计算公式为： F=A×(F/A，i，n)
式中(F/A，i，n)= (1+i)n-1 ，称为普通年金终值系数
25
普通年金 每期期末发生的定期等额收支（后付年金）
AA ０１２３
… 45
A 6 … n-1 n
预付年金 每期期初发生的定期等额收支（先付年金）
A AA ０１２３
… 45
A 6 … n-1 n
26
递延年金 前m年没有收支，从m年以后开始发生的定期等额系
列收支（延期年金）
AA …
A
０ １ ２ … m m+1 m+2 …
32
[例]某公司欲在5年后还款1 000 000元，如利率 为6％，则每年年末应等额在银行存入多少金额？
已知F=1 000 000 i=6 ％ n=5 求A?
A = F/(F/A，6%，5) = 1 000 000/5.6371 =177 396.18元
已知F、i、n, 求A，A称为偿债基金； （A/F，i，n）称为偿债基金系数。 偿债基金系数与普通年金终值系数互为倒数
33
李琳今年上高一，其父亲要在三年后为其准备上大 学的费用10万元，从现在开始每年年末等额存入银 行一笔款项，利率4%，李琳的父亲每年需要存入 多少元
A=F(A/F，i，n) =3.2
34
2、普通年金现值的计算
AA
０１２３
A(1+i)-1 1年贴现
A(1+i)-2
2年贴现
A(1+i)-n
… 45
＋ A（1＋i）n-2＋ A（1＋i）n-1
(1)
(1)两边同乘以（1+i），得：
F（1+i） ＝ A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3
＋…… ＋A（1＋i）n-1＋A（1＋i）n
(2)
（2）－（1）得：
F（1+i）－ F＝A（1＋i）n －A
年金终值：F ＝A (1 i)n 1，即： F ＝A ×(F/A，i，n)
i
28
二、普通年金（后付年金）（Ordinary Annuity）
1、普通年金终值的计算
AA
…
终值
AAA
点
０１２３ 4 5 n-1年复利
6 … n-1 n 无复利
A
1年复利 A(1+i)
2年复利
A ×(1+i)2
A(1+i)n-1
29
公式推导：
F ＝ A（1＋i）0＋ A（1＋i）1＋ A（1＋i）2＋……
币时间价值并不仅仅体现为银行的利息。
6
一、货币时间价值概念
是指货币的拥有者因放弃对货 币的使用而根据其时间的长短所获 得的报酬。
7
为什么货币具有时间价值？
西方学者的观点 投资者进行投资必须推迟消费，对投资者推 迟消费所给予的补偿。
我国学者的观点 货币的时间价值在于其周转使用所产生的价
值。
8
二、货币时间价值的实质
40
系数间的关系： 复利现值系数与复利终值系数互为倒数 年金终值系数与偿债基金系数互为倒数 年金现值系数与资本回收系数互为倒数
41
三、预付年金（先付年金）（Annuity Due）
1、预付年金终值
AA
…
０１２３ 4 5
n年复利
AA 6 … n-1 n
1年复利 2年复利
42
方法一：预付年金终值＝普通年金终值×（1＋i）
工具,则要6年左右(72/12),就我能们让用1元72钱法变则成. 2元钱。这个法则用在股
市上,就是一只股票连续涨停7天,股价会接近翻番。
22
72法则
近似：N = 72 / i
快捷方法! $5,000 按12%复利，需要多久成为 $10,000 (近似)?
72 / 12 = 6 年
[精确计算是 6.12 年]
结所论以：应按选现择值方比案较2。，仍是方案2较好
21
想使自己的财富倍增吗!!!
快捷方法! $5,000 按12%复利，需要多久成为 $10,000 (近似)?
其实所谓的“72法则”就是以1%的复利来计息,经过72年以后,本金会变 成原来的一倍。这个公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8% 年报酬率的投资工具,经过9年(72/8)本金就变成一倍;利用12%的投资
18
年利率8％的一1笔元$投1资,0单00利存与款复的利终的值终值
20000
年 15000
2 10000 20
200 5000
0 1年
计单利
1.16 2.60 17.00
计复利
10%单利
1.17 4.66 7%复利
4 838 949.59 10%复利
10年 20年 30年
19
2、复利现值的计算
P=F（1+i）-n
是资金周转使用所形成的增值额 是资金所有者让渡资金使用权而参与社会财富分配
的一种形式 相当于没有通货膨胀、风险条件下的社会平均资金
利润率——纯利率
注意：利率≠时间价值
9
时间价值是没有风险和 没有通货膨胀条件下的社 会平均资金利润率。
利率 （资金利润率）
时间价值
通货膨胀
风险报酬
10
三、货币时间价值运用意义
P=20 × （P/A，7%，5） =20 × （4.1002） =82（万元）
38
[例]某投资项目现投资额为1 000 000元，如企业资本 成本为6％，要求在四年内等额收回投资，每年至少应 收回多少金额？
已知P=1 000 000 i=6 ％ n=4 求A?
A = P/(P/A，6%，4)
= 1 000 000/3.465 =288 600.29元
30
小王是位热心于公益事业的人，自2005年12月底开始， 他每年年末都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿 童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读 完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小 王9年的捐款在2013年年底相当于多少钱？
【答案】 F＝A×（F/A，i，n） ＝1 000×（F/A, 2%, 9） ＝1 000×9.7546 ＝9 754.6（元）
第二章 货币时间价值
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第一节 货币时间价值概念
The time value of money
2
问题的引入1：一诺千金的玫瑰花信誉
拿破仑1797年3月在卢森堡第一国立小学演讲时说了这样一番 话：“为了答谢贵校对我，尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待， 我不仅今天呈上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法 兰西存在一天，每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等 的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。”
终值点
AA
…
0 ０1 １2 ２ 3３ 4 4 5
AA 6 … n-1 nn
预付年金终值＝普通年金终值× (1+i)
F ＝A ×(F/A，i，n) × (1+i)
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方法二：F＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
AA
…
0 ０1 １2 ２ 3３ 4 4 5
A AA 6 … n-1 nn n+1
预付年金终值＝A ×(F/A，i，n+1)-A
复利现值系数 PVIFi,n
例：系假数定你在复利2年现后值需系要数与10复0 利00终0元值，系那数互么为在倒利数息。率是 7%复关利系计息的条件下,你现在需要向银行存入多少钱?
Answer P=1000×PVIF7%,2=100 0000×0.873=87300元
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货币时间价值运用
[例]某人拟购房，开发商提出两种方案： 1、现在一次性付80万元； 2、5年后付100万元 若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？
n
理解时间轴的两个要点：
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三、计算
F 终值
现值
i 利息率（或称贴现率） 期数
这4个数据，只要任意已知3个就可以求出第4个。
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1、复利终值的计算
F=P（1+i）n
复利终值系数 FVIFi,n
例.若将1000元以7%的利率存入银行，复利计息，则2年 后的本利和是多少?
Answer F=1000×FVIF7%,2=1000×1.145=1145元
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问题引入2：
老王准备给儿子存钱供他以后上大学费用，假如 现在上大学的费用是6万元，并且假定三年以后， 也就是老王的儿子上大学时该费用不变，那么现 在的老王需要存入多少钱呢?
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问题引入3：时间就是金钱
分ห้องสมุดไป่ตู้支付动画
先生，一次性支付房 款，可获房价优惠
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一、货币时间价值概念
货币时间价值是不是就是银行的利息呢？ 银行的利息是货币时间价值的体现，但是货
F ＝A × [（F/A，i，n＋1）－1]
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为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年 年初存入银行3 000元。若银行存款利率为5%，则 王先生在第6年年末能一次取出本利和多少钱？
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[例] 从现在起每年年初存入银行20万元，在 7%的银行存款利率下，复利计息，5年后一次 性可取出多少钱？（不考虑扣税）
时过境迁，1984年底，卢森堡旧事重提，向法国提出违背 “赠送玫瑰花” 诺言案的索赔；要么从1797年起，用3路易作为 一束玫瑰花的本金，以5厘复利（即利滚利）计息全部清偿这笔 玫瑰案；要么法国政府在法国各大报刊上公开承认拿破仑是个言 而无信的小人。起初，法国政府准备不惜重金赎回拿破仑的声誉， 但却又被电脑算出的数字惊呆了；原本3路易的许诺，本息竟高 达1 375 596法郎。
AAA 6 … n-1 n
n年贴现
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普通年金现值
普通年金现值——为在每期期末取得相等金额的款 项，现在需要投入的金额。计算公式为： P=A ×(P/A，i，n) (P/A，i，n) = 1-(1+i)-n ，称为普通年金现值系数
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例6：某人出国3年，请你代付房租，每年末付租金 1000元，设银行存款利率为10%，他应当现在给 你在银行存入多少钱？
23
第三节 年金（Annuities）
每年获取的 一、概念、特征与分类 等额利息
年金是指间隔期相等的系列等额收B 付款。
具有每三年个支特付点的：
等额一保是险金额相等； A
C
二是时间间隔相等。
三是系列款项
零存整取 的零存额
每月支付的 E 等额按揭款
D
每月提取
的折旧额
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3、年金的分类
1. 普通年金（后付年金） Ordinary Annuity 2. 即付年金（先付年金） Annuity Due 3. 递延年金（延期年金） Deferred Annuity 4. 永续年金（无限期年金）Perpetual
（1）不同时点的资金不能直接加减乘除或直 接比较。 （2）必须将不同时点的资金换算为同一时点 的资金价值才能加减乘除或比较。
明白！
11
对于今天的1000元和三年后的3000元，你会选择哪一个呢？
12
第二节 、复利终值与现值的计算
一、计息方式
单利
Simple interest
本金生息
Compound interest
31
[例]A、B两个项目未来的收益如下: A项目，5年末一次性收回110万元；
B项目，未来5年每年末收回20元。
若市场利率为7%，应如何选择哪个项目?
项目A收益的终值： F = 110（万元）
项目B收益的终值： F = 20×（F/A，7％，5） = 20 × 5.7507 = 115.014（万元）
已知P、i、n, 求A，A称为资本回收额；
(A/P,i,n)称为资本回收系数。
投资回收系数与普通年金现值互为倒数
39
甲企业向银行借款50万元，利率为6%，计划在三 年内等额偿还，则每年应还款金额为多少？
A=P(A/P,i,n) =50 × (A/P,6%,3) =50/2.6730 =18.7056
A=1000 i=10% n=3 P=A(P/A,i,n) P=1000(P/A,10%,3) P=1000×2.487 P=2487
37
[例]某人拟购房，开发商提出两种方案： 1、现在一次性付80万元； 2、从现在起每年末付20万元，连续支付5年。
若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？
方案一的现值：80（万元） 方案二的现值：
复利 利滚利
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二、基础概念 终值 F（Future Value/Terminal Value）
若干期以后包括本金和利 息在内的未来价值。（本
利和）
现在
未来
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现值 F（ Present Value ）
以后年份收入或支出资金 的现在价值。（贴现）
未来
现在
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P
F(S)
０ １ ２ ３ ·····
方方案案二一的的现终值值：： F5 =P8=01000000000（0×1+（7%1）+75%=）1 -1522 080
方或 案二F5 的===118终000000值00000：000000（××F（（VIP0FV.7I7%，F1735%））,5 =）1 122 080 F5 =1=70103000000＜0 800000（方案一现值）
n+m
永续年金 每期期末发生的无限期定期等额系列收支
A A A A A…
A
０１２３ 4 5 … ∞
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普通年金终值
普通年金终值——一定时期内每期期末等额收付款 项的复利终值之和。犹如零存整取的本利和。
计算公式为： F=A×(F/A，i，n)
式中(F/A，i，n)= (1+i)n-1 ，称为普通年金终值系数
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普通年金 每期期末发生的定期等额收支（后付年金）
AA ０１２３
… 45
A 6 … n-1 n
预付年金 每期期初发生的定期等额收支（先付年金）
A AA ０１２３
… 45
A 6 … n-1 n
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递延年金 前m年没有收支，从m年以后开始发生的定期等额系
列收支（延期年金）
AA …
A
０ １ ２ … m m+1 m+2 …
32
[例]某公司欲在5年后还款1 000 000元，如利率 为6％，则每年年末应等额在银行存入多少金额？
已知F=1 000 000 i=6 ％ n=5 求A?
A = F/(F/A，6%，5) = 1 000 000/5.6371 =177 396.18元
已知F、i、n, 求A，A称为偿债基金； （A/F，i，n）称为偿债基金系数。 偿债基金系数与普通年金终值系数互为倒数
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李琳今年上高一，其父亲要在三年后为其准备上大 学的费用10万元，从现在开始每年年末等额存入银 行一笔款项，利率4%，李琳的父亲每年需要存入 多少元
A=F(A/F，i，n) =3.2
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2、普通年金现值的计算
AA
０１２３
A(1+i)-1 1年贴现
A(1+i)-2
2年贴现
A(1+i)-n
… 45
＋ A（1＋i）n-2＋ A（1＋i）n-1
(1)
(1)两边同乘以（1+i），得：
F（1+i） ＝ A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3
＋…… ＋A（1＋i）n-1＋A（1＋i）n
(2)
（2）－（1）得：
F（1+i）－ F＝A（1＋i）n －A
年金终值：F ＝A (1 i)n 1，即： F ＝A ×(F/A，i，n)
i
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二、普通年金（后付年金）（Ordinary Annuity）
1、普通年金终值的计算
AA
…
终值
AAA
点
０１２３ 4 5 n-1年复利
6 … n-1 n 无复利
A
1年复利 A(1+i)
2年复利
A ×(1+i)2
A(1+i)n-1
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公式推导：
F ＝ A（1＋i）0＋ A（1＋i）1＋ A（1＋i）2＋……
币时间价值并不仅仅体现为银行的利息。
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一、货币时间价值概念
是指货币的拥有者因放弃对货 币的使用而根据其时间的长短所获 得的报酬。
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为什么货币具有时间价值？
西方学者的观点 投资者进行投资必须推迟消费，对投资者推 迟消费所给予的补偿。
我国学者的观点 货币的时间价值在于其周转使用所产生的价
值。
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二、货币时间价值的实质
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系数间的关系： 复利现值系数与复利终值系数互为倒数 年金终值系数与偿债基金系数互为倒数 年金现值系数与资本回收系数互为倒数
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三、预付年金（先付年金）（Annuity Due）
1、预付年金终值
AA
…
０１２３ 4 5
n年复利
AA 6 … n-1 n
1年复利 2年复利
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方法一：预付年金终值＝普通年金终值×（1＋i）
工具,则要6年左右(72/12),就我能们让用1元72钱法变则成. 2元钱。这个法则用在股
市上,就是一只股票连续涨停7天,股价会接近翻番。
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72法则
近似：N = 72 / i
快捷方法! $5,000 按12%复利，需要多久成为 $10,000 (近似)?
72 / 12 = 6 年
[精确计算是 6.12 年]
结所论以：应按选现择值方比案较2。，仍是方案2较好
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想使自己的财富倍增吗!!!
快捷方法! $5,000 按12%复利，需要多久成为 $10,000 (近似)?
其实所谓的“72法则”就是以1%的复利来计息,经过72年以后,本金会变 成原来的一倍。这个公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8% 年报酬率的投资工具,经过9年(72/8)本金就变成一倍;利用12%的投资
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年利率8％的一1笔元$投1资,0单00利存与款复的利终的值终值
20000
年 15000
2 10000 20
200 5000
0 1年
计单利
1.16 2.60 17.00
计复利
10%单利
1.17 4.66 7%复利
4 838 949.59 10%复利
10年 20年 30年
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2、复利现值的计算
P=F（1+i）-n
是资金周转使用所形成的增值额 是资金所有者让渡资金使用权而参与社会财富分配
的一种形式 相当于没有通货膨胀、风险条件下的社会平均资金
利润率——纯利率
注意：利率≠时间价值
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时间价值是没有风险和 没有通货膨胀条件下的社 会平均资金利润率。
利率 （资金利润率）
时间价值
通货膨胀
风险报酬
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三、货币时间价值运用意义
P=20 × （P/A，7%，5） =20 × （4.1002） =82（万元）
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[例]某投资项目现投资额为1 000 000元，如企业资本 成本为6％，要求在四年内等额收回投资，每年至少应 收回多少金额？
已知P=1 000 000 i=6 ％ n=4 求A?
A = P/(P/A，6%，4)
= 1 000 000/3.465 =288 600.29元