2017-2018学年湖南高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)10

高二第一学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y 2＝－12x 的准线方程是A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．y ＝3D ．y ＝－32．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33. 一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第6个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 3491 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 1206 76A .23B ．02C ．09D ．173．对于函数f(x)＝1－2x ，下列结论正确的是A . f(x)是增函数，其值域是[0，＋∞)B . f(x)是增函数，其值域是[0，1)C . f(x)是减函数，其值域是[0，＋∞)D . f(x)是减函数，其值域是[0，1)4．如图，在三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF→与AB→、CD →的关系是A .EF →＝12AB →＋12CD → B . EF →＝－12AB →＋12CD → C .EF →＝12AB →－12CD → D . EF →＝－12AB →－12CD → 5．已知命题p ： x 0＞0，x 0＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是A . (－∞，1)B . (－∞，1]C . (1，＋∞)D . [1，＋∞)6．设条件p ：函数f(x)＝(2－a)x在R 上单调递增；条件q ：方程x 2a ＋y 2＝1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则p 是q 的什么条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要7．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为N ＝r (mod m )，例如10＝2(mod4)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i 等于A ．4B ．8C ．16D ．328．在区间[0，1]内随机取两个数m 、n ，则关于x 的方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为A.18B.17C.16D.159．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0<φ<π2)，已知f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值．将函数f (x )的图象向左平移π2个单位得函数g (x )的图象，则下列结论正确的是A ．g (x )是奇函数，且在[0，3π]内单调递增B ．g (x )是奇函数，且在[0，3π]内单调递减C ．g (x )是偶函数，且在[0，3π]内单调递增D ．g (x )是偶函数，且在[0，3π]内单调递减10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 25＝1有相同的焦点F 1、F 2，点P 为双曲线与椭圆的一个交点，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的渐近线方程是A. y ＝±2xB. y ＝±3xC. y ＝±xD. y ＝±33x 11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥02x ＋3y ≤4y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ A. 2 B. 12 C. －2 D. －1212．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ B. [1，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[2，＋∞) 答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛，七位评委为某参赛选手给出的分数(满分：100分)如下茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，则余下5个分数的方差是__________.茎叶 75 84 4 6 4 79 314.已知一个空间几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是________．15．已知函数f(x)＝(m＋3)(x＋m＋1)(x＋m)，g(x)＝2x－2，若对任意x∈R，有f(x)＞0或g(x)＞0成立，则实数m的取值范围是__________．16．设点A(1，0)，B(－1，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，已知4S＝a2＋c2－b2.(Ⅰ)求角B的值；(Ⅱ)设m＝(3－1)a＋2c，若b＝2，求m的取值范围．18.(本小题满分12分)某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查．将样本中的“初中学生”和“高中学生”，按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40)小时内的总人数约是多少；(Ⅱ)从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(Ⅰ)求证：MN⊥平面A1BC；(Ⅱ)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．20.(本小题满分12分)设数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知4S n＝a2n＋1－4n－1(n∈N*)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若对任意给定的正整数m，集合{n|a n＋t≥2m}中的最小元素为m＋2，求实数t的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B为椭圆长轴的两个端点，F为椭圆的右焦点．已知椭圆的离心率为22，且|AF|·|BF|＝2.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x ＝3相交于点D，E，求|DE|的最小值．22.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，已知对任意x∈R，都有f(x)≥1－2x，且f(x)＝f(2－x)成立．令g(x)＝f(x)－|λx－1|，其中λ为常数．(Ⅰ)当λ＝1时，求函数g(x)的所有零点；(Ⅱ)当λ＞0时，求函数g(x)的最小值．数学(理科)参考答案一、选择题1．A 【解析】因为抛物线开口向左，且p ＝6，则准线方程为x ＝p 2＝3，选A.2.B 【解析】从数字35开始，从左向右读数，选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，所以选出的第6个红色球的编号为02，选B.3．D 【解析】由1－2x ≥0，得2x ≤1，即x ≤0，所以f (x )的定义域是(－∞，0]．因为y ＝2x 是增函数，则f (x )＝1－2x 是减函数．又0<2x ≤1，则0≤f (x )＜1，选D.4．C 【解析】取AC 的中点M ，连结EM ，FM .因为E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则ME →＝12CD →，MF →＝12AB →. 所以EF →＝MF →－ME →＝12AB →－12CD →，选C. 5．D 【解析】因为p 为假命题，则綈q 为真命题，即 x ＞0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，所以1－a ≤0，即a ≥1，选D.6．B 【解析】f (x )＝(2－a )x 在R 上单调递增 2－a ＞1，即a ＜1.方程x 2a ＋y 2＝1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆 0<a <1.所以p q ，选B.7．C 【解析】第一次执行循环体，得i ＝2，N ＝13，此时13≠2(mod 3)． 第二次执行循环体，得i ＝4，N ＝17，此时17＝2(mod 3)，但17≠1(mod 5)．第三次执行循环体，得i ＝8，N ＝25，此时25≠2(mod 3)．第四次执行循环体，得i ＝16，N ＝41，此时41＝2(mod 3)，且41＝1(mod 5)，退出循环. 所以输出i 的值为16，选C.8．A 【解析】方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根 Δ＝n －4m ≥0.如图，不等式组⎩⎨⎧n －4m ≥00≤m ≤10≤n ≤1表示的平面区域与正方形⎩⎨⎧0≤m ≤10≤n ≤1的面积之比即为所求的概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18，选A. 9．D 【解析】因为T ＝6π，则2πω＝6π，即ω＝13.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又0<φ<π2，则φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3.由题设，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π2＝2cos x 3，则g (x )为偶函数，当x ∈[0，3π]时，x 3∈[0，π]，则g (x )单调递减，选D.10．B 【解析】据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝6，又|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.据双曲线定义，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2，则a ＝1. 由椭圆方程知，c ＝2，从而b ＝ 3.所以双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，选B.11．A 【解析】作可行域，如图. 据题意，当直线l ：y ＝－ax ＋z 经过△AOB区域时，l 在y 轴上的最大截距为4，则点A (2，0)为最优解．因为x ＝2，y ＝0，z ＝4，则2a ＝4，即a ＝2，选A.12．C 【解析】因为焦点F (0，1)，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ＞0)，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k .因为M 为线段AB 的中点，则x 0＝x 1＋x 22＝2k . 因为点M 在直线l 上，则y 0＝kx 0＋1＝2k 2＋1.所以k OM ＝y 0x 0＝2k 2＋12k ＝k ＋12k ≥2k ·12k ＝2，当且仅当k ＝22时取等号，选C.二、填空题13．1.6 【解析】因为x －＝85，则方差s 2＝3×（85－84）2＋（85－86）2＋（85－87）25＝85＝1.6. 14．8π 【解析】由三视图可知，该空间几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的组合体．其中圆柱和圆锥的底半径为2，高为3.所以V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13×π×22×3＝8π. 15．(－3，－2) 【解析】由g (x )＞0，得2x >2，即x ＞1，则当x ≤1时，f (x )＞0恒成立．所以⎩⎨⎧m ＋3>0－m －1>1，即－3＜m ＜－2. 16．3 【解析】设点M (x ，y )，则y x －1·y x ＋1＝m ， 即y 2＝m (x 2－1)，即x 2－y 2m ＝1(x ≠±1)．因为点M 的轨迹是离心率为2的双曲线，则m >0，且a 2＝1，b 2＝m ，从而c 2＝1＋m . 由1＋m ＝2，得m ＝3.三、解答题17．【解析】(Ⅰ)因为S ＝12ac sin B ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，(2分) 则2ac sin B ＝2ac cos B ，即sin B ＝cos B ，即tan B ＝1.又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (4分) (Ⅱ)因为b ＝2，B ＝π4，则a sin A ＝c sin C ＝2sin 45°＝2， 得a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，且A ＋C ＝3π4.(6分) 所以m ＝2(3－1)sin A ＋22sin C＝2(3－1)sin A ＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2(3－1)sin A ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos A ＋22sin A ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.(8分) 因为A ，B ，C 都为锐角，则0<A <π2，且0<C ＝3π4－A <π2， 所以π4<A <π2.(9分) 从而5π12<A ＋π6<2π3，则32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 所以m ∈(23，4]．(10分)18．【解析】(Ⅰ)由直方图可知，初中生中课外阅读时间在[30，40)小时内的学生人数的频率为1－(0.005×2＋0.03＋0.04)×10＝0.2，则学生人数为1 800×0.2＝360.(2分) 高中生中课外阅读时间在[30，40)小时内的学生人数的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.035)×10＝0.3，则学生人数为1 200×0.3＝360.(4分)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40)小时内的总人数约是720人. (5分)(Ⅱ)因为抽样比例为1001 800＋1 200＝130，则初中生应抽取60人，高中生应抽取40人．(6分)所以在课外阅读时间不足10小时的样本学生中，初中生有0.005×10×60＝3人，记为a 1，a 2，a 3；高中生有0.005×10×40＝2人，记为b 1，b 2.(8分)从这5人中任取3人的所有可能结果为：{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，b 1}，{a 1，a 2，b 2}，{a 1，a 3，b 1}，{a 1，a 3，b 2}，{a 1，b 1，b 2}，{a 2，a 3，b 1}，{a 2，a 3，b 2}，{a 2，b 1，b 2}，{a 3，b 1，b 2}，共10个. (10分)其中至少有2个初中生的结果有：{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，b 1}，{a 1，a 2，b 2}，{a 1，a 3，b 1}，{a 1，a 3，b 2}，{a 2，a 3，b 1}，{a 2，a 3，b 2}，共7个．(11分)所以至少有2个初中生的概率P ＝710.(12分)19．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.连结AC 1，则BC ⊥AC 1.(2分)由已知，侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1.(3分)又BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC .(4分)因为侧面ABB 1A 1是矩形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1.故MN ⊥平面A 1BC .(6分)(Ⅱ)因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ，则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成角．(9分)设AC ＝BC ＝CC 1＝2，则C 1D ＝2，BC 1＝2 2.(10分)在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，则∠C 1BD ＝30°. 所以直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.(12分)解法二：(Ⅰ)据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．(1分)设AC ＝BC ＝CC 1＝2，则点B (0，2，0)，B 1(0，2，2)，A (2，0，0)，C (0，0，0)，C 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)．(3分)因为M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点，则点M (1，1，1)，N (0，1，2)．(4分)所以BA 1→＝(2，－2，2)，CA 1→＝(2，0，2)，MN →＝(－1，0，1)．(5分)于是MN →·BA 1→＝0，MN →·CA 1→＝0，则MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1.(6分) 又BA 1∩CA 1＝A 1，所以MN ⊥平面A 1BC .(7分)(Ⅱ)因为MN ⊥平面A 1BC ，则MN →为平面A 1BC 的法向量， 又BC 1→＝(0，－2，2)，(9分) 则cos BC 1→，MN → ＝BC 1→·MN →|BC 1→||MN →|＝222×2＝12， 所以 BC 1→，MN → ＝60°.(11分) 故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.(12分)20．【解析】(Ⅰ)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，则4S n －1＝a 2n －4n ＋3(n ≥2)，两式相减，得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，即a 2n ＋1＝(a n ＋2)2.(3分)因为a n ＞0，则a n ＋1＝a n ＋2，所以{a n }是公差为2的等差数列．(4分)又4S 1＝a 22－5，则4a 1＝(a 1＋2)2－5，即a 21＝1.因为a 1＞0，则a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(6分)(Ⅱ)由a n ＋t ≥2m ，得2n －1＋t ≥2m ，即n ≥m ＋1－t 2.(8分) 据题意，区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m ＋1－t 2，＋∞内的最小正整数为m ＋2，则m ＋1<m ＋1－t 2≤m ＋2.(10分)即1<1－t 2≤2，所以－3≤t ＜－1. 故实数t 的取值范围是[－3，－1)．(12分)21．【解析】(Ⅰ)设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c .因为e ＝22，则c a ＝22，即a ＝2c ， 所以a 2＝2c 2＝2(a 2－b 2)，得a 2＝2b 2.(2分)因为|AF |·|BF |＝2，则(a ＋c )(a －c )＝2，即a 2－c 2＝2，即b 2＝2.(4分)所以椭圆的标准方程是x 24＋y 22＝1.(5分) (Ⅱ)法一：由题设，点A (－2，0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)．联立x ＝3，得点D (3，5k )．(6分)将y ＝k (x ＋2)代入x 24＋y 22＝1，得x 2＋2k 2(x ＋2)2＝4，即 (2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(7分)设点M (x 0，y 0)，则x 0和－2是方程的两根，所以－2x 0＝8k 2－42k 2＋1，即x 0＝2－4k 22k 2＋1， 从而y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋2＝4k 2k 2＋1，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.(9分) 又点B (2，0)，则直线BM 的方程为y －04k 2k 2＋1－0＝x －22－4k 22k 2＋1－2， 即y ＝－12k(x －2)． 联立x ＝3，得点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12k .(10分) 所以|DE |＝5k ＋12k ≥25k ·12k＝10， 当且仅当5k ＝12k >0，即k ＝1010时取等号． 所以|DE |的最小值为10.(12分)法二：由题设，点A (－2，0)，点B (2，0)，设点M (x 0，y 0)， 则x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4. 所以(x 0－2)(x 0＋2)＝－2y 20，即y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－12， 所以k AM ·k BM ＝－12.(8分) 设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，则直线BM 的方程为y ＝－12k(x －2)． 分别联立x ＝3，得点D (3，5k )，点E (3，－12k)．(10分) 所以|DE |＝5k ＋12k ≥25k ·12k ＝10，当且仅当5k ＝12k>0， 即k ＝1010时取等号． 所以|DE |的最小值为10. (12分)22．【解析】(Ⅰ)因为f (x )≥1－2x 恒成立，则ax 2＋(b ＋2)x ≥0恒成立，所以⎩⎨⎧a >0Δ＝（b ＋2）2≤0， 即a ＞0，b ＝－2.(1分)因为f (x )＝f (2－x )，即 f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以－b 2a＝1， 即a ＝－b 2＝1，所以f (x )＝x 2－2x ＋1.(3分) 当λ＝1时，g (x )＝x 2－2x ＋1－|x －1|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≥1x 2－x ，x <1. 由x 2－3x ＋2＝0(x ≥1)，得x ＝1或x ＝2；由x 2－x ＝0(x <1)，得x ＝0.所以g (x )的所有零点为x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0.(5分)(Ⅱ)因为λ＞0，由λx －1≥0，得x ≥1λ，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（λ＋2）x ＋2，x ≥1λx 2＋（λ－2）x ，x <1λ. (6分) 因为2－λ2－1λ＝2λ－λ2－22λ＝－λ2－2λ＋22λ＝－（λ－1）2＋12λ<0， 则2－λ2<1λ.(7分) ①若λ＋22≤1λ，即0<λ≤3－1，则g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2－λ2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，＋∞上单调递增， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22＋(λ－2)·2－λ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22.(8分) ②若λ＋22>1λ，即λ>3－1，则在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2－λ2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，λ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，1λ和⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋22，＋∞上单调递增． 当x <1λ时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22； 当x ≥1λ时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222－(λ＋2)·λ＋22＋2 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222.(10分) 因为2－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22＝2－2λ＝2(1－λ)，则 当3－1<λ≤1时，2－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22， 所以g (x )min ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22； 当λ＞1时，2－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222<－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22，所以g (x )min ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222. 综合①②知，当0＜λ≤1时，g (x )min ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22； 当λ＞1时，g (x )min ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋222.(12分)。