2020-2021高二数学上期中试题含答案(5)
2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。
2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣4＝0 4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（）A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x＝0D．y＝05．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣4＝0 7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（）A．4：3B．2：1C．3：2D．3：18．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．19．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．BC⊥平面APCB．BC⊥PC，AP⊥PCC．AP⊥PB，AP⊥PCD．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．012．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（共4小题）.13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2，则m＝．16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +(a -1)y +a 2-1=0平行，则a 等于（ ） A ．-1 B ．-1或2 C ．2 D ．12．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=03．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．36 B ．18 C ． D ．5．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知圆C ：x 2+y 2-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．32B ．43C ．53D ．54 7．过椭圆9x 2+25y 2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB 的长为（ ） A ．5 B ．6 C ．9017 D ．78．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1､F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（ ）A ．3倍B ．4倍C ．5倍D ．7倍 9．若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2，0)，则a =（ ）A B C D 10．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C ．13 D二、填空题11．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________ 12．如果x 2+y 2-2x +y +k =0是圆的方程，则实数k 的取值范围是_____.13．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .14．过直线:0l x y +-=上一点P 作圆：221x y +=的两条切线的夹角为60°，则点P 的坐标为__________．15．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________.16．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若Rt F 1PF 2，则点P 到x 轴的距离为_____.三、解答题17．在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90°，∠P AB =60°，AB =BC =CA ，平面P AB ⊥平面ABC . （1）求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）求二面角B -AP -C 的余弦值.18．已知直线x +y -1=0与椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x -2y =0上.（1）求此椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2+y 2=4上，求此椭圆C 的方程. 19．已知(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 取值范围. 20．已知直线l ：x =my +1过椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A ､B 两点，点A ､B 在直线G ：x =a 2上的射影依次为点D ､E .（1）若22113||e OF OA FA +=，其中O 为原点，A 2为右顶点，e 为离心率，求椭圆C 的方程；（2）连接AF ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE ，BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.参考答案1．A【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.【详解】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =- 故选：A .【点睛】本题考查两直线1111:+0l A x B y C +=与2222:+0l A x B y C +=平行时有12212112=A B A B B C B C ⎧⎨≠⎩， 易错点是忽略直线不能重合，造成增根.2．D【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.3．C【详解】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意， 当直线不经过原点时，设直线方程为1x y a b+=. 由题意得141,,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得33a b =-⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩综上，符合题意的直线共有3条.故选：C ．【点睛】首先明白直线的截距的概念，就是直线和坐标轴的交点的坐标，可正，可负，可0，截距不是距离．截距绝对值相等，截距互为相反数，横截距是纵截距的两倍，都要考虑过原点的情况．4．C【分析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【详解】圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为（2，2），半径为r =，圆心到到直线x+y-14=0=，所以圆上的点到直线的距离的最大值为d r +=d r -= 因此最大距离与最小距离的差是，故选C ．5．C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>， 所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>， 所以直线不过第三象限.故选：C6．B【分析】圆C 化成标准方程，得圆心为C （4，0）且半径r =1，根据题意可得C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k 的不等式，即可得到k 的最大值．【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x +15=0，∴整理得：（x ﹣4）2+y 2=1，可得圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线y =kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴点C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于22≤， 化简得：3k 2﹣4k ≤0，解之得0≤k ≤43， 可得k 的最大值是43． 故选：B7．C【分析】求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.【详解】由9x 2+25y 2=225得，221259x y +=，2225,9a b ==，所以216c =，右焦点坐标为(4,0)，直线AB 的方程为4y x =-，所以2241259y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2342001750x x -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以1212100175,1734x x x x +==，||AB ==9017==. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的弦长公式||AB =应用.8．D【分析】由已知得到焦点坐标，设(,)P x y ，根据中点坐标公式得到横坐标等于零得到P 点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案.【详解】由椭圆x 2+4y 2=12得，221123x y += ，2222212,3,9a b c a b ===-=， 所以1(3,0)F F （-3,0),，设(,)P x y ，则线段1PF 的中点坐标为3,22x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以302x -=，所以3x =，所以2231123y +=，解得y =P ⎛ ⎝⎭，1||PF ==2||2PF ==，所以12||7||PF PF =， 当3,2P ⎛- ⎝⎭，1||2PF ==，2||2PF ==，所以12||7||PF PF =， 故选：D.9．C【分析】方程化为椭圆的标准方程，根据焦点求解即可.【详解】 由原方程可得222y 112x a a-=， 因为椭圆焦点是(-2，0)， 所以2124a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得14a =±， 因为20a->，即0a <，所以14a =， 故选：C10．C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案.【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2ka k a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==， 故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.11．4250x y --=【解析】试题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式解：线段AB 的中点为(2，32)，垂直平分线的斜率 k=1AB k -=2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y-32=2（x-2），4x-2y-5=0，故答案为4250x y --=． 考点：直线方程点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．12．5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】根据2240D E F +->即可求解.【详解】由2240D E F +->即(-2)2+12-4k >0，解得k <54. 所以实数k 的取值范围是5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为：5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了圆的一般方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 13．22(3)4x y -+= 【详解】设圆心为(,0)a ，则圆心到直线10x y --=的距离为d =因为圆截直线所得的弦长根据半弦、半径、弦心距之间的关系有222(1)a +=-，即2(1)4a -=，所以3a =或1a =-（舍去），半径r=3-1=2所以圆C 的标准方程为22(3)4x y -+=14．【详解】 设切断为E 、F60EPF ∠=由切线的性质可知30OPF ∠=，因为,OE PE ⊥所以设，由故点P 的坐标为()2,2.【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，以及切线的性质．已知切线往往连接圆心与切点，借助图形构造直角三角形解决问题，培养了学生数形结合的思想，分析问题，解决问题的能力15．221259x y +=【解析】当点P 为椭圆的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大，此时△PF 1F 2的面积为S ＝12×8×b ＝12，解得b ＝3.又a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆方程为22259x y ＋＝1.16．165或163【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求y. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得29y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165．（2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，121211||||||||22PF PF F F y =， 6|1|3y ∴=， 由（1）（2）知：P 到x 轴的距离为165或163， 故答案为：165或163． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件. 17．（12【分析】(1)设AB 中点为D ，AD 中点为O ，连接,,OC OP CD ，可以证出∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.不妨设P A =2,则OD = 1 , OP AB =4，在Rt △OCP 中求解；（2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE ，可证明CED ∠就是二面角B -AP -C 的平面角，解三角求解即可. 【详解】（1）设AB 中点为D ，取AD 中点为O ，连接OC ，连接PD 、CD . 如图，因为∠APB =90°，∠P AB =60°，1,2AP AB AD PD AD ===, 所以PAD 为等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为平面P AB ⊥平面ABC ，AB 为交线， 所以PO ⊥平面ABC所以OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角 因为AB =BC =CA ，所以CD ⊥AB . 因为∠APB =90°，∠P AB =60°，不妨设P A =2，则OD =1，OP AB =4.所以，OC ==在Rt OCP 中，13tan OP O C C O P ===∠，所以sin 4OCP ∠=故直线PC 与平面ABC （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE . 如图，由已知可得，CD ⊥平面P AB. 根据三垂线定理可知，CE ⊥P A ，所以，CED ∠就是二面角B -AP -C 的平面角.由（1）知，DE 在Rt △CDE 中， tan 2CED CDDE==∠，所以cos CED ∠=故二面角B AP C --. 【点睛】求立体几何中空间的角，利用传统做法把握好两方面即可：一是要找到或作出所求角，并要适当证明，二是要把角放在合适的三角形中求解.18．（1）2（2）22184x y +=【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式解得线段AB 中点M 坐标，代入直线l 的方程，解得离心率；（2）利用方程组解得右焦点关于直线l 的对称点坐标，代入圆方程，结合（1）解得a ，b ,即可求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)，即22221x y a b+=，（1）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由2222101x y x y a b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222222220a b x a x a a b +-+-=． ()()()222222220aab a a b ∆=--+->，即221a b +>．x 1+ x 2=2222a a b+， y 1+ y 2＝-( x 1+ x 2)+2=2222b a b +，∴点M 的坐标为（222a a b +，222b a b +）． 又点M 在直线l 上，∴2222222a b a b a b -++=0， ∴()222222a b a c ==-，∴222a c =，∴c e a ==． （2）由（1）知b c =，设椭圆的右焦点F （b ，0）关于直线l ： 12y x =的对称点为（x 0，y 0），由000001121222y x b y x b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵22004x y +=，∴2234455b b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴24b =，222822b a c =∴==，显然有221a b +>．∴所求的椭圆的方程为22184x y +=．【点睛】解决此题的关键在于求出A ，B 两点的中点坐标，利用中点坐标在直线l ：x -2y =0上，建立关于,a b 的方程，结合222a b c =+，转化为关于,a c 的方程，求出椭圆的离心率e . 19．（1）3y =或34120x y +-=；（2）1205a . 【分析】（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上也在直线1y x =-上，求得圆心坐标，可得过A 的圆C 的切线方程.（2）设圆C 的方程为22()(24)1x a y a -+-+=，再设(,)M x y ，根据2MA MO =，求得圆22:(1)4D x y ++=，根据题意，圆C 和圆D 有交点，可得2112CD -+，即221(241)3a a +-+，由此求得a 的范围.【详解】解：（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上，若圆心C 也在直线1y x =-上，则由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，求得32x y =⎧⎨=⎩，可得圆心坐标为(3,2).设过(0,3)A 的圆C 的切线方程为3(0)y k x -=-，即30kx y -+=， 根据圆心到直线30kx y -+=的距离等于半径11=，求得0k =，或34k =-，故切线方程为3y =，或34120x y +-=.（2）根据圆心在直线:24=-l y x 上，可设圆的方程为22()(24)1x a y a -+-+=.若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，设(,)M x y ，2MA MO =，∴=化简可得22(1)4x y ++=，故点M 在以(0,1)D -为圆心、半径等于2的圆上.根据题意，点M 也在圆C 上，故圆C 和圆D 有交点，2112CD ∴-+，即221(241)3a a +-+，求得251280a a -+，且25120a a -，解得1205a . 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查学生的数学抽象能力与计算能力，属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）相较于定点5(2N ，0)，证明见解析.【分析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =，由已知等式可得e ，进而得到a ，b ，即可得到椭圆方程；（2）当0m =时，求得AE ，BD 的交点，猜想定点5(2N ，0)．当0m ≠时，分别设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，由题意可得1(4,)D y ，2(4,)E y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合三点共线的性质，计算直线BN ，DN 的斜率，可判断B ，N ，D 共线，同理可判断A ，E ，N 共线，即可得到定点N ．【详解】（1）椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =， 由22113||||||e OF OA FA +=，可得113ec a a c+=-， 即有113a ce c a -+-=，即14e e =，解得12e =，则2a =，b ==所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）当0m =时，直线AB 垂直于x 轴，可得四边形ABED 为矩形，直线AE ，BD 相交于点5(2，0)，猜想定点5(2N ，0)；当0m ≠时，分别设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，由题意可得1(4,)D y ，2(4,)E y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(43)690m y my ++-=， 122643m y y m+=-+，122943y y m =-+， 由2252BN y k x =-，1542DN y k =-， 由212235()2235()22BN DNy y x k k x ---=-，又212121222353369(1)()()()022224343m y y my y y my y m m m -+-=+-=---=++， 则0BN DN k k -=，即BN DN k k =，所以B ，D ，N 三点共线； 同理可得A ，E ，N 三点共线．则直线AE ，BD 相交于一定点5(2N ，0)．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题p：∃x∈R，2x+1＞0的否定为（）A．∀x∈R，2x+1＜0B．∃x∈R，2x+1≤0C．∀x∈R，2x+1＞0D．∀x∈R，2x+1≤02．下列各组数中方差最小的是（）A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2 3．已知直线过A（3，m+1），B（4，2m+1）两点且倾斜角为，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A．12B．﹣12C．±12D．5．已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（）米A．20B．25C．24D．236．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为（）A．2B．2.5C．3D．47．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A．B．C．D．8．已知动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，P是圆（x﹣3）2+y2＝5上的动点，则|PM|的最小值为（）A．B．C．2D．二、选择题（共4个小题）9．若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）≤1C．P（A∪B）＝1D．P（A∩B）＝010．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 6.57.0已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A．所支出的维修费用与使用年限正相关B．估计使用10年维修费用是12.38万元C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上11．下列命题为真命题的是（）A．“a，A，b成等差数列”的充要条件是“2A＝a+b”B．“a，A，b成等比数列”的充要条件是“A2＝ab”C．“a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件D．已知直线l过点（3，1），则“直线l的斜率为”是“直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的充分不必要条件12．已知数列{a n}的前n项和S n满足，下列说法正确的是（）A．若首项a1＝1，则数列{a n}的奇数项成等差数列B．若首项a1＝1，则数列{a n}的偶数项成等差数列C．若首项a1＝1，则S15＝477D．若首项a1＝a，若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）三、填空题（共4个小题）13．若“x≤a”是“x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为．14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为15．已知直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为，点（m，n）到原点的距离最小值为．16．长为的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，当△EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1）．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程．18．（12分）在①a2﹣2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．正项等差数列{a n}满足a1＝4，且______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300a学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a＞b的概率．20．（12分）已知命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立；命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数a的取值范围．21．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0．（1）证明：不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，设集合M＝{x|x＝|AB|且x∈N}，在集合M中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3a n﹣3，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，若数列{c n}为递增数列，求λ的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．命题p：∃x∈R，2x+1＞0的否定为（）A．∀x∈R，2x+1＜0B．∃x∈R，2x+1≤0C．∀x∈R，2x+1＞0D．∀x∈R，2x+1≤0解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，2x+1≤0，故选：D．2．下列各组数中方差最小的是（）A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2解：根据各个选项的数据，显然选项C的方差是0，方差最小，故选：C．3．已知直线过A（3，m+1），B（4，2m+1）两点且倾斜角为，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：根据题意，直线AB的倾斜角为，则其斜率k＝tan＝﹣，又由A（3，m+1），B（4，2m+1），则AB的斜率k＝＝m，则有m＝﹣，故选：C．4．一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A．12B．﹣12C．±12D．解：∵a3•a7＝8×18，∴a5＝±＝±＝±12，∵等比数列的奇数项的符号相同，∴a5＝12，故选：A．5．已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（）米A．20B．25C．24D．23解：设圆的半径为r，由题意可得弦心距为r﹣5，半弦长为15，故有152+（r﹣5）2＝r2，求得r＝25，故选：B．6．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为（）A．2B．2.5C．3D．4解：由频率分布直方图得：用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04，用水量在[0.5，1）的频率为0.16×0.5＝0.08，用水量在[1，1.5）的频率为0.30×0.5＝0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.44×0.5＝0.22，用水量在[2，2.5）的频率为0.50×0.5＝0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.28×0.5＝0.14，∵用水量在[0，2.5）的频率为：0.04+0.08+0.15+0.22+0.25＝0.74，用水量在[0，3）的频率为：0.04+0.08+0.15+0.22+0.25+0.14＝0.88．∴根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为3元．故选：C．7．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A．B．C．D．解：一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色．则两次摸球全是白球的概率为×＝，故两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为1﹣＝，故选：B．8．已知动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，P是圆（x﹣3）2+y2＝5上的动点，则|PM|的最小值为（）A．B．C．2D．解：由动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，得M在线段AB的垂直平分线上，∵AB的中点坐标为（﹣1，2），，∴AB的垂直平分线方程为y﹣2＝2（x+1），即2x﹣y+4＝0．P是圆C：（x﹣3）2+y2＝5上的动点，如图：∵圆心C到直线2x﹣y+4＝0的距离d＝，∴|PM|的最小值为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）≤1C．P（A∪B）＝1D．P（A∩B）＝0解：∵A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，∴P（A）+P（B）≤1，P（A∩B）＝0，故A错误，B正确，C错误，D正确．故选：BD．10．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 6.57.0已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A．所支出的维修费用与使用年限正相关B．估计使用10年维修费用是12.38万元C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上解：由线性回归方程为＝1.23x+0.08，回归系数为＞0，所支出的维修费用与使用年限正相关，选项A正确；x＝10时，＝1.23×10+0.08＝12.38，所以估计使用10年维修费用是12.38万元，选项B 正确；某设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（2.2+3.8+a+6.5+7.0）＝，代入回归直线方程＝1.23x+0.08中，得＝1.23×4+0.08，解得a＝5.5，所以根据回归方程可推断出模糊不清的数据值为5.5，选项C错误；样本中心点（4，5）在线性回归方程＝1.23x+0.08上，所以选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了运算求解与推理能力，是中档题．11．下列命题为真命题的是（）A．“a，A，b成等差数列”的充要条件是“2A＝a+b”B．“a，A，b成等比数列”的充要条件是“A2＝ab”C．“a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件D．已知直线l过点（3，1），则“直线l的斜率为”是“直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的充分不必要条件解：对于A：由2A＝a+b得A﹣a＝b﹣A，即a，A，c成等差数列，若a，A，b成等差数列，则A﹣a＝b﹣A，即“2A＝a+b“是“a，A，b成等差数列”的充要条件，故A正确；对于B：若a，A，b成等比数列，则A＝±（ab＞0），由A＝，可得a，A，b成等比数列，或“x＝0且a与b中至少一个为0”，属于a，A，b成等比数列”的必要条件是“A2＝ab”不对，故B错误；对于C：当a＝﹣时，代入方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0，可得k＝0，表示平行于x轴的直线”当示平行于x轴的直线时，可得6a2﹣a﹣2＝0，可得a＝﹣或a＝，所以a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件；故C正确；对于D：已知直线l过点（3，1），且直线l的斜率为”与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”，而过（3，1）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的直线l的斜率有两个值，所以是充分不必要条件，故D正确；故选：ACD．【点评】本题等差等比的性质应用和直线方程以及圆的切线问题，属于中档题．12．已知数列{a n}的前n项和S n满足，下列说法正确的是（）A．若首项a1＝1，则数列{a n}的奇数项成等差数列B．若首项a1＝1，则数列{a n}的偶数项成等差数列C．若首项a1＝1，则S15＝477D．若首项a1＝a，若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）解：数列{a n}的前n项和S n满足，所以，，当n＝1时，S1+S2＝4×4＝16，即2a1+a2＝16，当n＝2时，a3+2S2＝36，对于A：已知a1＝1，故a2＝14，a3＝6，所以a3﹣a1＝5≠8，故数列{a n}的奇数项不成等差数列，故A错误；对于B：故a n+1+a n＝4（2n+1），a n+a n﹣1＝4（2n﹣1），所以a n+1﹣a n﹣1＝8，故数列{a n}的偶数项成等差数列，故B正确；对于C：S15＝（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a14）＝1+6×+，故C正确；对于D：由a1＝a，知，所以a2＝16﹣2a，，解得a3＝4+2a，a4＝24﹣2a．若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，只需满足a1＜a2＜a3＜a4，即a＜16﹣2a＜4+2a＜24﹣2a，解得：3＜a＜5．故a的取值范围是（3，5），故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“x≤a”是“x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（2，+∞）．解：设P＝{x|x≤a}，Q＝{x|x≤2}，由条件知，“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则Q⫋P；∴a＞2，即则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义建立不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为解：在所有7位自然数中任取一个数，基本事件总数n＝9×106，其中头两位都是3包含的基本事件个数m＝105，则头两位都是3的概率p＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为（1，2），点（m，n）到原点的距离最小值为．解：联立，得，∵直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，这三条直线交于一点，∴交点坐标为（1，2），把（1，2）代入直线l1：mx+ny+5＝0得：m+2n+5＝0，即m＝﹣2n﹣5，点（m，n）到原点的距离：d＝＝＝＝，∴当n＝﹣2，m＝﹣1时，点（m，n）到原点的距离最小值为．故答案为：（1，2），．【点评】本题考查直线的交点坐标、两点间的距离的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．长为的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，当△EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为±解：设M点坐标为（x，y），则A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|＝2，得（2x﹣0）2+（0﹣2y）2＝8，化简得x2+y2＝2，所以曲线C的方程x2+y2＝2，由题知，直线l斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，△EOF的面积取到最大值时，OE⊥OF，圆心到直线的距离d＝1，∴d＝＝1，∴k＝±．故答案为：±．【点评】本题考查了点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，确定△AOB的面积取到最大值时，OA⊥OB是关键，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1）．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程．解：（1）∵A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1），故直线BC的方程为＝，即2x﹣y+3＝0．故点A到直线BC的距离d＝＝＝．（2）△ABC的外接圆的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，把A、B、C的坐标代入可得，求得，故△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y＝0．【点评】本题主要考查用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，用待定系数法求圆的方程，属于中档题．18．（12分）在①a2﹣2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．正项等差数列{a n}满足a1＝4，且______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．解：若选①：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：a32＝（a2﹣2）（a4+6），又a1＝4，∴（4+2d）2＝（4+d﹣2）（4+3d+6），解得：d＝2或d＝﹣2（舍），∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．若选②：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：2a5＝a3+a6+2，又a1＝4，∴2（4+4d）＝4+2d+4+5d+2，解得：d＝2，∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．若选③：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：（a4+2）2＝a2（a6+10），又a1＝4，∴（4+3d+2）2＝（4+d）（4+5d+10），解得：d＝2或d＝﹣（舍），∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．19．（12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300a学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a＞b的概率．解：（1）设高二年级总人数为n人，由题意可得＝，解得n＝1000，则a＝100﹣（91+9）﹣322﹣（300+200）＝78，（2）设所抽样本中有x人学习态度端正的学生，则由分层抽样可知＝，解得x＝3，因此抽取一个容量为5的样本中，由2个学习态度不端正，3个学习态度端正，分别记作a，b，A，B，C，从中任取2个的基本事件为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10个．至少含有11人学习不端正的基本事件有7个，（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），∴从中任取2人，至少有1人学习不端正的概率P＝；（3）记事件A为“a＞b“，因为平均分为104.5，则（90×3+100×4+110×3+2+a+b+5+6+8+3+6+7）＝104.5，解得a+b＝8，∴a和b的取值共有9种情况，它们是（0，8），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），其中a＞b有4种情况，它们是（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），故P（A）＝．20．（12分）已知命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立；命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数a的取值范围．解：命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立，即a＜在[2，3]上有解，又当2≤x≤3时，2≤x2﹣x≤6，所以，故a，命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立，所以，因为y＝（）x﹣x在[﹣1，2]上单调递减，故x1∈[﹣1，2]时，值域[﹣，3]，所以∃x2∈[1，2]，，即a＞＝x+在[1，2]上有解，因为y＝x+在[1，2]上先减后增，当x＝时取得最小值2，故a＞2，（1）若命题p为真，则a的范围{a|a}，（2）若命题p和命题q一真一假，当p真q假时，即a＜，当p假q真时，即a＞2，综上，实数a的取值范围{a|a＜或a＞2}．21．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0．（1）证明：不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，设集合M＝{x|x＝|AB|且x∈N}，在集合M中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率．【解答】（1）证明：化直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0为m（x+y+4）+2x+y+6＝0，由，解得，∴直线l过定点P（﹣2，﹣2），又（﹣2﹣1）2+（﹣2﹣1）2＝18＜25，∴点P在圆内，∴不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）解：设C到直线l的距离为d，∵|AB|＝，∴当d最大时|AB|最小，d最小时|AB|最大，又0≤d≤|CP|，即当l与直线CP垂直时，，∴．|AB|max＝10，即M＝{x|且x∈N}＝{6，7，8，9，10}，从6，7，8，9，10中任取两数的基本事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种，两数都不小于8的有（8，9），（8，10），（9，10）共3种．∴在集合M中任取两个数，这两个数都不小于8的概率为．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3a n﹣3，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，若数列{c n}为递增数列，求λ的取值范围．解：（1）∵S n＝3a n﹣3，∴S n﹣1＝3a n﹣1﹣3（n≥2），两式相减得：a n＝3a n﹣3a n﹣1，即a n＝a n﹣1，n≥2，又当n＝1时，有S1＝3a1﹣3，解得：a1＝，∴数列{a n}是首项、公比均为的等比数列，∴a n＝（）n，b n＝3log a n+1＝3n+1；（2）由（1）可得：＝（）n﹣λ（3n+1）2，∵数列{c n}为递增数列，∴c n+1﹣c n＝（）n+1﹣λ（3n+4）2﹣（）n+λ（3n+1）2＝×（）n﹣λ（18n+15）＞0对∀n∈N*恒成立，即λ＜对∀n∈N*恒成立，设f（n）＝，n∈N*，则＝×，由＞1解得：n＞，∴当n≥2时，f（n+1）＞f（n）；当n＝1时，f（n+1）＜f（n），∴f（n）min＝f（2）＝，∴λ＜，即λ的取值范围为（，+∞）．。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【答案】A【分析】画出图形即可判断. 【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限. 故选：A.2．已知椭圆22:14y C x +=，则椭圆C 的（ ）A ．焦距为25B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为4【答案】D【分析】根据椭圆的方程得焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，进而得焦距为23离心率为32e =，长轴长24a =. 【详解】解：因为椭圆C 的方程22:14y C x +=，所以椭圆是焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，所以3c =所以焦距为233e =24a =. 故选：D.3．下列说法正确的是（ ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 【答案】C【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案. 【详解】对于A ，直四棱柱的底面不一定是正方形，故A 不正确；对于B ，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故B 不正确； 对于C ，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故C 正确； 对于D ，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键. 4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=【答案】D【分析】根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.【详解】对于选项A ：22143x y -=中，24a =，23b =，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选项A 不正确；对于选项B ：22143y x -=中，24a =，23b =，渐近线方程为a y x x xb =±==，故选项B 不正确；对于选项C ：221169x y -=中，216a =，29b =，渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项C 不正确；对于选项D ：221169y x -=中，216a =，29b =，渐近线方程为43a y x x b =±=±，故选项D 正确， 故选：D5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．(1,3)-- B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)--【答案】B【分析】利用两直线垂直的公式求出1k =-，两直线联立求交点坐标即可. 【详解】由直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直， 可得220k +=， 即1k =-，所以直线20kx y +=的方程为：20x y -=；由2502201x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，得它们的交点坐标为(2,1)--. 故选：B.6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能 【答案】A【分析】根据题意直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，进而可得答案. 【详解】解：根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，由于点()1,0-在椭圆2212x y +=内，故直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是相交关系.故选：A.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，本题解题的关键在于根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，且该点在椭圆内，是基础题.7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ） A ．10米 B ．102米C ．66米D ．65米【答案】C【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解.【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，βn//，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【详解】由//,//m n αβ，且//αβ，得//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故A 错误； 由m α⊥，βn//，且αβ⊥，得//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m 在β 平面内，故C 错误； 由//,m m αβ⊥，得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】熟悉空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系是解题关键．9．已知(4,0)A -，B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点，点P 在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（ ） A ．9 B ．256+C ．10D ．12【答案】C【分析】求出C 的坐标，则点A ，A '是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得：||6PA PA ='+，推出'6'PA PB PA PB A C +=++≥即可.【详解】设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-， 由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知||||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''， 故选：C ．【点睛】方法点睛：（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.10．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ，且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）A ．B C D【答案】B【分析】先求出直线的方程，再利用椭圆的参数方程求得最值得解.【详解】由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设点,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：d ==≤， 故选B ．【点睛】椭圆上的点到直线的距离通常运用椭圆的参数方程转化为三角函数求得最值.11．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2D【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则以及数量积运算，再利用双曲线的定义即可得22223442a a c a PA PB ≥-=⋅=，即可得出结果.【详解】由题意知：()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ ()()PO OA PO OA =+⋅-22222344a a PO OA a =-≥-=， 所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=， 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．213- B ．273- C ．7 D ．1【答案】A【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案．【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上， 又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ， 且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即26h =，得163OO =，21631()3PO =-=，22213PS =-= 由N 在PS 上时，求得13NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值213-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；二、填空题13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1)，则m 的值是_______________． 【答案】2-【分析】由题可判断焦点在y 轴上，且21m-=，可求出. 【详解】双曲线2222mx my -=化为22112x y m m-=， 一个顶点是(0,1)，故焦点在y 轴上，且1a =，0m ∴<，且21m-=，解得2m =-. 故答案为：2-.14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________． 【答案】240x y --=【分析】利用圆系方程的求法，求解即可．【详解】设两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=的交点分别为,A B ， 则线段AB 是两个圆的公共弦．由224x y +=和22(2)(1)1x y -++=两式相减， 得4280x y --=， 即240x y --=，故线段AB 所在直线的方程为240x y --=； 故答案为：240x y --=.15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．【答案】52【分析】由题意知二十四等边体是棱长为2a的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为2221a a a+==，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去8个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为2）的体积即可求解.【详解】如图：设原正方体的棱长为2a22a a2a+=，21a=，所以2 a=所以正方体棱长为22a=22222=又截去的82，故截去体积为211222832223⎛⨯⨯⨯⨯=⎝⎭，所以24等边体的体积为2522233V==．故答案为：52 3【点睛】关键点点睛：本题的关键点是结合题意利用空间想象能力可知二十四等边体是正方体沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，利用二十四等边体棱长为1可以求出正方体的体积，以及三棱锥的体积，即可求该二十四等边体的体积.16．如图，已知P为椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>上的点，点A、B分别在直线12y x=与12y x=-上，点O为坐标原点，四边形OAPB为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．3【分析】方法一：首先设点()00,P x y，利用平行四边形的性质求直线PA和PB的方程，并接到点,A B的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到2214ba=，求椭圆的离心率；方法二：首先设()121200,,,,,22x xA xB x P x y⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行2AB，利用四边形性质边长平方和等于22AB OP+为定值，求椭圆的离心率.【详解】（法一）设()00,P x y，则直线PA的方程为0122xy x y=-++，直线PB方程为0122xy x y=-+，联立方程组12212xy x yy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得000,242x x yA y⎛⎫++⎪⎝⎭，联立方程组12212xy x yy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得000,242x x yB y⎛⎫--+⎪⎝⎭，则2222222200000000005524224282x x y x x yPA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为22005582x y +为定值，则22222213,,44b a b e e a a -====． 法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则120122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为220014x y +为定值，则22222213,,442b a b e e a a -====．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.三、解答题17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程.【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】关键点点睛：1、由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .2、()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =，直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1）已知点F 为PB 中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，证明//CG AE ，//FG PA ，推出//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ，然后证明平面//CFG 平面PAE ，得到//CF 平面PAE ．（2）PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，得到30PBA ∠=︒，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBD 的法向量，平面ABD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//CG AE ，//FG PA ， ∵CG ⊄面PAE ，AE ⊂面PAE ，FG ⊄面PAE ，PA ⊂面PAE ， ∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ， 又因为CG FG G ⋂=，,CG FG ⊂面CFG ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ，∴//CF 平面PAE ．（2）由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00z y z -=-=⎪⎩取3z =，则1,x y ==(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =，设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===．【点睛】本题考查了立体几何中的面面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）72t =±. 【分析】（1）根据离心率得到,,a b c 的关系，再代入点P 的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系12x x +，以及12y y +，并利用向量相等表示点E 的坐标，代入椭圆方程，求t . 【详解】解：（1）122=⇒=c a c a ，所以22224,3==a c b c ，所以椭圆方程为：22243x y c +=，过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y+=，（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277y y x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t x x t y y ⎛⎫=+=++=-⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：22264367494914342t t t t +=⇒=⇒=±． 20．已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称，与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点，求四边形PACB 面积的最小值． 【答案】（1）()()22139x y -+-=；（2. 【分析】（1）设圆C 标准方程，由垂径定理、圆与x 轴相切、关于直线3y x =对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程； （2）将四边形PACB 面积转化为23PABSPA =，只需求得PA 最小值即可；根据PC d ≥且PA =PA 最小值，代入可求得结果.【详解】（1）设圆C 的标准方程为：()()()2220,,0x a y b r a b -+-=>>， 圆C 关于直线3y x =对称，3b a ∴= 圆C 与x 轴相切：3r b a ∴==…① 点(),C a b 到y x =的距离为：d ===， 圆C 被直线y x =截得的弦长为，222r d ∴=+，结合①有：22927a a =+，21a ∴=， 又0a >，1a ，33r b a ===，∴圆C 的标准方程为：()()22139x y -+-=.（2）,PA PB 与圆C 相切，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，3CA CB ==由PAC PAB ≌得：12232PABPACB S SCA PA PA ==⨯⨯=四边形， 圆心C 到直线10x y ++=的距离1315222d ++==， PC d ∴≥，即522PC ≥（当PC l ⊥时取等号），又2229PA PC CA PC =-=-，23143392PACB S PA d ∴=≥-=四边形（当PC l ⊥时取等号）， ∴四边形PACB 面积的最小值为3142.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.21．如图，已知四棱柱ABCD A B C D ''''-的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证：BD A H '⊥； （2）若3BAD π∠=，在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60，若存在，求||MA AA '的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）先证明BD ⊥面A C H ''，进而得BD A H '⊥；（2）先证明A B '⊥面ABCD ，进而如图建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件并设()01AM AA λλ'=≤≤，再求两个平面的法向量，利用法向量求二面角即可得711λ-=或者711+，进而可得答案. 【详解】解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又由四棱柱ABCD A B C D ''''-得//AA CC ''，AA CC '='， 所以四边形ACC A ''为平行四边形，所以//AC A C ''， 所以BD A C ⊥''，又C H '⊥面ABCD ，所以C H BD '⊥， 因为A C C H C '''='⋂，所以BD ⊥面A C H ''，所以BD A H '⊥ （2）在HAD △中，1//,2CE AD CE AD =， 所以CE 为中位线，则C 为DH 中点，CD CH =， 所以AB CH =，又//AB CH ， 所以ABHC 为平行四边形， 所以,//BH AC BH AC =， 又ACC A ''为平行四边形， 所以BH A C =''，//BH A C ''， 所以BHC A ''为平行四边形 所以//,C H A B C H A B ''''= 又C H '⊥面ABCD ， 所以A B '⊥面ABCD ．在Rt C CH '中，4,2CC CH ='=，则C H '=， 三角形ABD 中，,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点，,BA BA '为,y z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设()()()0,2,23,01,0,223AM AA BM BA AM λλλλλλ==-≤≤=+'=-， 所以点(0,22,23)M λλ-，所以在面MBD 中：(3,1,0)BD →=，(0,22,23)BM λλ→=-，设法向量111(,,)n x y z →=00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则111130(22)230x y y z λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取13y λ=，则11,1x z λλ=-=-，所以(3,1)n λλλ→=-- 在平面BB C '中，()(3,1,0,0,2,23BC BB =-'=-，设法向量222(,,)m x y z →=，00m BC m BB '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222230230x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取23y 221,1x z ==，所以3,1)m →=若存在，则221cos 60254(1)m nm nλλ→→→→=+-⋅⋅︒==， 化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+-，整理有2111410λλ--=，所以721511λ-=或者721511+， 由721572150,1-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间向量解决立体即可中的存在性问题，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意证明A B '⊥面ABCD ，进而建立空间直角坐标系（如图），并假设存在M 满足条件，并设()01AM AA λλ'=≤≤，进而求两个平面的法向量，通过二面角求解.22．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F △面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=，求点P 的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）点P 的坐标为(6,1),(6,1),(6,6,1)--. 【分析】（1）由12PF F △面积的最大为4，得4cb =，由1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22222b ca=222a b c =+，解得22,2a b c ===，即可求得椭圆方程；（2）设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''，直线1PF 为：2x my =-，联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，利用弦长公式求得21||12PA m ⎫=-⎪+⎭，同理21||12PB n ⎫=-⎪+⎭，由||||PA PB +=，得出||2mn =，利用斜率公式知21211142y mn x ==±-，分类讨论求出点P 的坐标． 【详解】（1）当点P 是椭圆上的上顶点时，12PF F △面积的最大，即1242cb ⨯=，即4cb =当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为2122b c a ⨯⨯=2b ca=．又222a b c =+，解得2a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=（2）设直线1PF 为：2x my =-，直线2PF 为：2x ny =+联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，()()()22241623210m m m ∆=-++=+>，设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''由韦达定理得：12122244,22m y y y y m m -+==++则)2122211||122m PA y m m +⎫=-==-⎪++⎭同理可得：)2122211||122n PB y y n n +⎫=-==-⎪++⎭'，由||||PA PB +=，所以22111122m n ⎫-+-=⎪++⎭即2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=，又11111212ym xyn x⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则21211142ymn x==±-，若22211121112442yy xmn x==-⇒=--，又221128x y+=，有221148x x+-=，不成立；若22211121112442yy xmn x==⇒=--，又221128x y+=，所以211211611x xy y⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P的坐标为1)--．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相交求弦长，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.第 21 页共 21 页。
2020-2021学年福建省漳州三中高二期中考试数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省漳州三中高二期中考试数学试题一、单选题1．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）A ．14y x =B ．4y x =C ．12y x =D ．2y x =【答案】D【分析】由双曲线虚轴长是实轴长的2倍，得到2b a =，即可求解双曲线的一条渐近线方程，得到答案．【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，所以双曲线的一条渐近线方程为2by x a==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．给出两个命题：p ：函数21y x x =--有两个不同的零点；q ：若11x<，则1x >，那么在下列四个命题中，真命题是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】D【分析】首先分别判断出命题p 、q 的真假，然后可得答案.【详解】对于p ，函数对应的方程210x x --=的判别式()()214150∆=--⨯-=> 可知函数有两个不同的零点，故p 为真当0x <时，不等式11x<恒成立；当0x >时，不等式的解集为{}1x x >. 故不等式11x<的解集为()(),01,-∞⋃+∞，故命题q 为假命题 所以只有()()p q ⌝∨⌝为真 故选：D4．直线l 过点0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据直线l 的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线过双曲线222x y -=的右顶点，方程为x 满足题意；当直线l 的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线222x y -=有且仅有一个公共点.综上可得，满足条件的直线共有3条. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答． 【详解】由题意，1111112BM BC CC C M BC CC C A =++=++()111111122222BC CC AB BC AB BC CC a b c =+-+=-++=-++；故选：A ．6．已知椭圆222x y 9n +=1(n>0)与双曲线222x y 4m-=1(m>0)有相同的焦点,则动点P(n,m)的轨迹是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．圆的一部分【答案】D【分析】由椭圆和双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m 和n 的关系即可.【详解】：∵椭圆222x y 9n +＝1与双曲线222x y 4m-＝1有相同的焦点，∴9-n 2=4+m 2，即m 2+n 2=5（0＜n ＜3）这是圆的一部分，故选D【点睛】在用直接法探究轨迹方程时，可直接列出动点坐标所满足的关系式，但在将等式变形和化简过程中，要留心是否需要讨论，以及取值范围是否存在限制.7．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【分析】根据三棱柱111ABC A B C -的体积公式，求得OP =即可求解.【详解】的正三角形，可得1S sin 6024ABC =︒=△，设O 点是ABC 的中心，所以111944ABC A B C ABC V S OP OP -=⋅==△，解得OP =又由2123OA ==，在直角OAP △中，可得tan 1OP OAP OA ∠===， 又02OAP π<∠<，所以3OAP π∠=.故选：B.8．已知圆1C ：222x y b +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（ ）A ．23,22⎣⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32⎫⎪⎣⎭ D ．22⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】设两切点分别为A ，B ，利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质可得||OP ，结合隐含条件求得椭圆C 的离心率的取值范围．【详解】设两切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，90APB ∠=︒，∴四边形OAPB 为正方形，||2OP b ∴=，||b OP a ∴<，即2b b a <，222b a ∴，即2222()a c a -，222a c ∴，即22c e a =． 又01e <<，∴212e <，∴椭圆C 的离心率的取值范围是22，1)，故选：D ．【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、多选题9．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：若1x ≠，则2320x x -+≠B ．1x =是2320x x -+=的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥ 【答案】ABD【分析】利用四种命题的逆否关系判断A 的正误；充分条件、必要条件判断B 的正误；复合命题的真假判断C 的正误；特称命题的否定判断D 的正误；【详解】解：对于A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”， A ∴正确；对于B ：因为2320x x -+=解得1x =或2x =，故1x =是2320x x -+=的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：因为p q ∧为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故C 错误.对于D ：对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥满足特称命题的否定是全称命题，故D 正确． 故选：ABD10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．12PF PF +=B ．离心率2e =C ．12PF F ∆D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切【答案】AD【分析】根据椭圆的定义判断A 选项正确性，根据椭圆离心率判断B 选项正确性，求得12PF F ∆面积的最大值来判断C 选项的正确性，求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项的正确性.【详解】对于A 选项，由椭圆的定义可知122PF PF a +==，所以A 选项正确.对于B 选项，依题意1,1a b c ===，所以2c e a ===，所以B 选项不正确. 对于C 选项，1222F F c ==，当P 为椭圆短轴顶点时，12PFF ∆的面积取得最大值为1212c b c b ⋅⋅=⋅=，所以C 选项错误. 对于D 选项，线段12F F 为直径的圆圆心为()0,0，半径为1c =，圆心到直线0x y +=1=，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +-=相切，所以D 选项正确. 综上所述，正确的为AD. 故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.11．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，已知直角边AB =AC = ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -C ．二面角A BCD --的正切值是3D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114【答案】CD【分析】利用等体积法计算出三棱锥B ADC -的体积，考查判断出B 选项的正误；以D 为坐标原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断出A 、C 、D 选项的正误. 【详解】画出图象如下图所示，对于B 选项，由于AD BD ⊥，AD CD ⊥，故BDC ∠是二面角C AD B --的平面角， 则120BDC ∠=，BD CD D =，AD ∴⊥平面BCD ，过B 作BE CD ⊥交CD 的延长线于E ，AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AD BE ∴⊥，BE CD ⊥，AD CD D =，BE ∴⊥平面ACD ，故BE 是三棱锥B ACD -的高.在原图中，363BC =+=，3623AB AC AD BC ⋅⨯===，321BD =-=， 22622CD AC AD =-=-=，33sin 601BE BD =⨯=⨯=， 所以1113622326D ABC B ACD V V AD CD BE --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故B 错误； 对于A 选项，以D 为坐标原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，)A、10,,22B⎛-⎝⎭、()0,2,0C，1,22AB⎛=--⎝⎭，()2,0AC=，设平面ABC的法向量为(),,n x y z=，则1202220n AB y zn ACy⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取x=y=5z=，所以()6,3,5n=，平面ACD的一个法向量为()0,0,1m=，则50m n⋅=≠，所以，平面ACD与平面ABC不垂直，故A错误；对于C选项，平面BCD的一个法向量为()1,0,0a=，6cos,34n an an a⋅===⋅，2sin,1cos,1n a n a⎛<>=-<>=-=设二面角A BC D--的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则sin,14tan tan,3cos,17n an an aθ<>=<>===<>，故C 正确；对于D选项，50,,22BC⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，平面ACD的一个方法向量为()0,0,1m=，2cos,141m BCm BCm BC⋅<>===⨯⋅，因此，BC与平面ACD所成角的正弦值是14，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查立体几何的综合问题，考查利用等体积法计算三棱锥的体积、利用空间向量法计算二面角的正切值、线面角的正弦值以及判断面面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知点F是抛物线()220y px p=>的焦点，,AB CD是经过点F的弦且AB CD⊥，AB的斜率为k，且0k>，,C A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（）A ．1112AB CD p+= B ．若243AF BF p ⋅=，则3k =C ．OA OB OC OD ⋅=⋅ D ．四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC【分析】先由AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，得到1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由抛物线的焦点弦公式求出AB ，CD ，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k xk p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+则有1112AB CD p +=，所以A 正确； 221212121422⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p OA OB x x y y p k x x ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k无关，同理234⋅=-OC OD p ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 若243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p 得222222221(2)4223++=+=p k p p p p k k，解得k =B 错； 因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错； 故选AC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.三、填空题13．已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .【答案】54【分析】把点代入抛物线，求出抛物线的方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，即可求得答案.【详解】∵抛物线2y ax =过点1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭,∴2114a =⨯，解得4a =，抛物线的方程为24y x =，抛物线的准线方程为1x =-，焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义可得15144AF =+=,故答案为54. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14．若“12＜x ＜3”是“0≤x ≤m ”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】[3，+∞）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：若“132x <<”是“0x m ”的充分不必要条件， 则“132x <<”能推出“0x m ”成立，“0x m ”不能推出“132x <<”成立， 所以由题意可设1{|3}2A x x =<<，{|0}B x x m =；A B 即3m ，则实数m 的取值范围是[3，)+∞， 故答案为：[3，)+∞【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E ，要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F 的长为________.【答案】12【分析】设1B F x =，先由1AB ⊥平面1C DF ，得到1AB DF ⊥，设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ，根据题中数据求出23h =3DE =11111122DB FSB E DF DB B F =⋅=⋅列出方程，即可求出结果. 【详解】设1B F x =，因为1AB ⊥平面1C DF ，DF ⊂平面1C DF ， 所以1AB DF ⊥， 由已知可得112A B =设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ， 则12DE h =， 又1111111122AA B SA B AA AB h =⋅=⋅，即()2211222222h =+，所以23h =3DE =. 在1Rt DB E 中，221236236B E ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为11111122DB F S B E DF DB B F =⋅=⋅，所以221621226222x x ⎛⎫⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 解得12x =.故答案为：12.【点睛】本题主要考查空间几何体中的相关计算，根据线面垂直求线段长，熟记线面垂直的性质即可，属于常考题型.四、双空题16．动圆E 与圆21(1)4M x y -+=外切，并与直线12x =-相切，则动圆圆心E 的轨迹方程为__________，过点(1,2)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E 的轨迹相交于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为__________. 【答案】24y x = 1-【分析】由已知可得E 点到直线1x =-的距离等于到点()1,0M 的距离，即动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出,A B 的坐标，利用斜率公式，即可求得直线AB 的斜率．【详解】解：如图，由题意可知，1||||2NE ME =-，则1||||2NE ME +=， ∴E 点到直线1x =-的距离等于到点()1,0M 的距离，∴动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 则其轨迹方程为24y x =；点P 坐标为()1,2，设()()1122,,,A x y B x y ， 由已知设PA ：(2)1m y x -=-，即：21xmy m ，代入抛物线的方程得：2484y my m =-+，即24840y my m -+-=，则124y m +=，故142y m =-，设:(2)1PB m y x --=-，即21x my m =-++，代入抛物线的方程得：2484y my m =-++，即24840y my m +--=， 则：224y m +=-，故242y m =--，()()121212212148x x my m my m m y y m m -=-+--++=+-=-，直线AB 的斜率2121818AB k y y mx x m--===--，∴直线AB 的斜率为−1．故答案为：24y x =；−1．【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键，是中档题．五、解答题17．（1）求与双曲线2214y x -=有相同渐近线且过点()2,0A 的双曲线方程；（2.【答案】（1）221416x y -=；（2）当双曲线的焦点坐标在x 轴时，双曲线的渐近线方程为：y =；当双曲线的焦点坐标在y 轴时，双曲线的渐近线方程为：2y x =±. 【分析】（1）由条件设双曲线方程为2204y x λ-=≠，将点()2,0A 代入可得答案.(2)，可得ca=即b =，然后分焦点的位置进行分类讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意可设要求的双曲线方程为2204y x λ-=≠，把点()2,0A 代入可得4λ=.∴双曲线方程为：221416x y -=.（2，可得c a =2223a b a +=，所以b =，当双曲线的焦点坐标在x 轴时，双曲线的渐近线方程为：y =；当双曲线的焦点坐标在y 轴时，双曲线的渐近线方程为：2y x =±. 18．已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立.（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,1][3,)-∞-⋃+∞；（2）(][)1,02,3-.【分析】（1）先求出命题q 的等价条件，根据“q ⌝”是真命题，即可求出实数m 的取值范围．（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则,p q 只有一个为真命题，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立，所以244(23)0m m ∆=-+<，解得13m -<<，又“q ⌝”是真命题等价于“q ”是假命题．所以所求实数m 的取值范围是(][),13,-∞-+∞（2）方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，∴02m <<“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴,p q 一个为真命题，一个为假命题，当p 真q 假时， 则021,3m m m <<⎧⎨≤-≥⎩，此时无解．当p 假q 真时，则0,213m m m ≤≥⎧⎨-<<⎩，此时10m -<≤或23m ≤<综上所述，实数m 的取值范围是(][)1,02,3-【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．19．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，PA AD =，2AB =，2AD =.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ； （2）求异面直线PM 与BN 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）求出平面MPC 和平面PCD 的法向量，利用空间向量法可证明出平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求出向量PM 、BN ，利用空间向量法可求得异面直线PM 与BN 所成角的余弦值.【详解】PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.（1）()1,0,0M 、(2P 、()2,0C 、()2,0D 、22N ⎛⎝⎭、()2,0,0B ， 设平面MPC 的法向量为()111,,m x y z =，(2MP =-，()1,2,0MC =，由00m MP m MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11112020x z x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令12x =，则()2,1,1m =-，设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，()2,0,0DC =，(0,DP =，由00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222020x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，则()0,1,1n =，0110m n ⋅=-+=，因此，平面MPC ⊥平面PCD ；（2）(1,0,PM =，1,,22BN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，cos ,3PM BN PM BN PM BN⋅<>==-=-⋅，因此，异面直线PM 与BN . 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，5MF =．（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点F 且倾斜角为45︒的l 交抛物线于A B 、两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）先由题意得452pMF +==，求出2p =，即可得出抛物线方程； （2）先由题意，得到直线l 的方程为1y x =-，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.【详解】（1）由题意得452pMF +==， ∴2p =，故抛物线方程为24y x =．（2）直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，其两根为12,x x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.21．如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，点E 为AB 的中点.（1）求证：11D E A D ⊥；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角1D MC D --的大小为6π？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，32AM =. 【分析】（1）由条件可得可得1D D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出11D E DA ⋅，可证.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行运算求解.【详解】证明：由正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，可得1D D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,2,0B ，()1,1,0E .由题意得()11,1,1D E =-，()11,0,1DA =， ()()111,1,11,0,10D E DA ⋅=-⋅=，11D E DA ⊥，故11D E A D ⊥.（2）解：设()()001,,002M y y ≤≤， 因为()01,2,0MC y =--，()10,2,1D C =-， 设平面1D MC 的一个法向量为()1,,v x y z =，则1110v MC v D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得()02020x y y y z ⎧-+-=⎨-=⎩，取1y =，则()102,1,2v y =-是平面1D MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为()10,0,1v =，要使二面角1D MC D --的大小为6π，则()12122221203coscos ,62212v v v v v v y π⋅====-++， 解得()0032023y y =-≤≤. 所以当32AM =-时，二面角1D MC D --的大小为6π.【点睛】思路点睛：本题考查证明线线垂直和根据二面角的大小求 线段的长度，解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）、建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）、根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.(3)、利用数量积验证垂直或求平面的法向量. (4)、利用法向量求距离、线面角或二面角.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 在直线3y =-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线-0x y =和直线-0x y +=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，求AF BF CF DF +++的值;（3）若直线:l y x t =+与椭圆交于P ，Q 两点，试求OPQ △面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）8； （3）1；【分析】（1）根据题意得到椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点，从而求得c =结合离心率，求得a 的值，进而求得2b ，得到椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得到结果；（3）将直线方程和椭圆的方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离，利用面积公式写出三角形的面积，利用基本不等式求得最值，注意满足判别式大于零的条件.【详解】（1）椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点)，所以c =又离心率为2则2a =,1b =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）设椭圆的另一个焦点为1F , 由已知得:=AF BF CF DF +++ 112248AF BF a CF a DF a ++-+-==（3）联立直线:l y x t =+与椭圆方程得,()2258440*x tx t ++-=，令()()22845440t t ∆=-⨯->，得t <<()*的两根为12,x x ，则1285t x x +=-，212445t x x -=，由弦长公式得，PQ=O到直线l的距离d=()225121252OPQt tS PQ d-+==⨯=当且仅当225t t-=，即t=或t=t=或t=t<所以三角形OPQ面积的最大值为1.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆的定义，椭圆的性质，椭圆中三角形的面积最值的求解问题，属于中档题目.第 21 页共 21 页。
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解析：C
【解析】
【分析】
根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n值，再根据余弦函数的周期性计算即可.
【详解】
由程序框图知：第一次运行 ， ；
第二次运行 ， ， ，
第三次运行 ， ， ，
第四次运行 ， ， ，
第五次运行 ， ， ，
第六次运行 ， ， ，
直到 时，程序运行终止，
A． B．
C． D．
3．已知变量 之间满足线性相关关系 ，且 之间的相关数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
0.1
m
3.1
4
则实数 （ ）
A．0.8B．0.6C．1.6D．1.8
4．某商场为了了解毛衣的月销售量 （件）与月平均气温 （ ）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
附： ，若 ，则 ， ， .
22．画出解关于 的不等式 的程序框图，并用语句描述.
23．从2013年开始，国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行学生体质健康测试，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一(1)班学生根据《国家学生体质健康标准》的测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图.所示，已知[90，100]分数段的人数为2.
(1)求[70，80)分数段的人数；
(2)现根据预备测试成绩从成绩在80分以上(含80分)的学生中任意选出2人代表班级参加学校举行的一项体育比赛，求这2人的成绩一个在[80，90)分数段、一个在[90，100]分数段的概率．
24．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.
15．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则 =_____________.
16．若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
17．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重 ，得到频率分布直方图如图5所示：
满足条件 ，执行循环体， ；
满足条件 ，执行循环体， ；
…
观察规律可知，x的取值周期为3，由于 ，可得：
满足条件 ，执行循环体，
当 ,不满足条件 ，退出循环，输出x的值为2．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．
【详解】
， ，故 .
；
，故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.
3．D
解析：D
【解析】
分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： ， ，
线性回归方程过样本中心点，则： ，
解得： .
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
A． B． C． D．
7．已知不等式 的解集为 ，若 ，则“ ”的概率为（）．
A． B． C． D．
8．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量 ＝(m，n)， ＝(3,6)．则向量 与 共线的概率为( )
A． B． C． D．
9．如图所示是为了求出满足 的最小整数n， 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）
4．D
解析：D
【解析】
试题分析：由表格得 为： ，因为 在回归方程 上且 ， ，解得 ，当 时， ，故选D.
考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式 的解中最大自然数，即可求解.
【详解】
由算法语句知，
运行该程序实现求不等式 的解中最大自然数的功能，
【点睛】
本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
通过要求 时输出且框图中在“是”时输出确定“ ”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容．
【详解】
因为要求 时输出，且框图中在“是”时输出，
A． ？，输出 B． ？，输出n
C． ？，输出 D． ？，输出n
10．我国古代名著《庄子 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
因为 ，
，
所以 ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．
【详解】
解：模拟执行程序框图，可得
.
满足条件 ，执行循环体， ；
满足条件 ，执行循环体， ；
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
由将一枚骰子抛掷两次共有 种结果，再列举出向量 与 共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【详解】
由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有 种结果，
又由向量 共线，即 ，即 ，
满足这种条件的基本事件有： ，共有3种结果，
所以向量 与 共线的概率为 ，故选D。
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如下表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
19．某路公交车站早上在 准点发车，小明同学在 至 之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 分钟的概率是__________．
20．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线 上的概率为____的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为
解析：
【解析】
直线 的直角坐标方程为 ，点 的直角坐标为 ，所以点 到直线 的距离为 .
14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是
21．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 人的得分（满分： 分）数据，统计结果如下表所示．
组别
频数
（1）已知此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求 ；
所以“ ”内输入“ ？”，
又要求n为最小整数，
所以“ ”中可以填入输出 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出 的值，由此可得到结论.
【详解】
由题意，执行程序框图，可得：
2020-2021高二数学上期中试题含答案(5)
一、选择题
1．设样本数据 的均值和方差分别为1和4，若 为非零常数， ，则 的均值和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：
甲：7，8，8，8，9乙：6，6，7，7，10；
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用 表示，方差分别为 表示，则（）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
试题分析：因为样本数据 的平均数是 ,所以 的平均数是 ；根据 （ 为非零常数， ），以及数据 的方差为 可知数据 的方差为 ，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
计算 ， ， ， 得到答案.
第1次循环： ；
第2次循环： ；
第3次循环： ；
依次类推，第7次循环： ，
此时不满足条件，推出循环，
其中判断框①应填入的条件为： ，
执行框②应填入： ，③应填入： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，根据下列框图，输出S的值为
A．670B． C．671D．672
12．运行如图所示的程序框图，若输出 的值为129，则判断框内可填入的条件是（）
A． B． C． D．