ANSYS非线性求解的理论基础

u
11
ANSYS非线性求解的理论基础
Quasi-Newton-Raphson（Q.N.R）
F
[G0 ] [G1 ] [G2 ]
`
{∆u3} {∆u2 } {∆F1}
{∆F3} {∆F2 }
{∆u1}
{∆F0 } {∆u0 }
[Gi ]{∆ui } = {∆Fi }
优缺点介于前两者之间。 u
12
ANSYS非线性求解的理论基础
缺省的收敛准则： 将不平衡力的范数与VALUE·TOLER进行比较， 来对力或者力矩进行收敛检查。VALUE的缺省值是 所加荷载（或位移）的范数和MINREF（缺省为1.0） 中的较大值。 如果定义了任何收敛准则，缺省准则将“失 效”！ 一般总要使用力的收敛准则！
22
ANSYS非线性求解的理论基础
25
ANSYS非线性求解的理论基础
自动步长法－－概述（ ） 自动步长法－－概述（1） －－概述
如前所述，非线性方程组的解法主要是增量 加迭代法，即外荷载是逐级施加的，每施加一级 荷载增量后进行平衡迭代直至解的结果满足允许 容差。 因此，荷载增量大小的控制对求解有很重要 的意义：增量过大，解难于收敛甚至发散，这一 点在接近极值点时特别明显；增量太小，意味着 求解次数过多，使计算工作量增大。
收敛准则－－ 中的应用（ ） 收敛准则－－ANSYS中的应用（3） －－ 中的应用
用户收敛准则：
CNVTOL, Lab, VALUE, TOLER, NORM, MINREF
使用严格的收敛准则将提高结果的精度，但以更 多的平衡迭代为代价。 一般情况下VALUE应使用默认值，而通过调整 TOLER改变收敛准则。 应当确保MINREF=1.0在分范围内有意义。
( j) r 1 ( j)
式中右上标为第 j 荷载步，右下标为第 i 次迭代。
R
=P
( j)
−F
( j)
－－第 j 荷载步初始不平衡力。
28
ANSYS非线性求解的理论基础
自动步长法－－控制位移法（ ） 自动步长法－－控制位移法（2） －－控制位移法
假定位移分量 ∆u2 在屈曲时反应明显，将其 u ˆ 选为人为的控制位移分量，令 ∆u2 = u2 ，ˆ2 为 给定值。由式（6）交换变量得：
δΠ = { P(u )} − { F } = [ K (u )]{u} − { F } = 0 公式（2）
[ K (u )] 是 {u} 的函数。
5
ANSYS非线性求解的理论基础
非线性方程组的解法－－增量法（ ） 非线性方程组的解法－－增量法（1） －－增量法
顾名思义，增量法就是将荷载分成一系列的荷 载增量，即ANSYS中的荷载步或荷载子步。 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进 行下一个荷载增量之前，调整刚度矩阵以反映结构 刚度的变化。
15
ANSYS非线性求解的理论基础
收敛准则－－位移准则 收敛准则－－位移准则 －－
{∆ui +1} ≤ α D {ui } + {∆ui +1}
α D －－位移收敛容差，一般取0.001～0.005之间；
{∆ui } －－某种范数，一般为二范数，即：
{∆ui }
1 N 2 = ∑ ∆uik N k =1
{∆ui } ({F } − {Pi }) ≤ α E {∆u1} ({F } − {P1})
T T
或者把上述内能增量与当前的总能量比较：
{∆ui } ({F } − {Pi }) ≤ α
T
' E
Ui
其中Ui为势能：
需要更多的计算！
1 T U i = U i −1 + {∆ui −1} ({ Pi } − { Pi −1} ) 2
2.
3.
4.
4
ANSYS非线性求解的理论基础
非线性方程组的解法－－概述（ ） 非线性方程组的解法－－概述（2） －－概述
求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构 的总位能的驻值问题。结构总位能Π ：
Π = U (u ) − {u}
T
{F }
公式（1）
用虚功原理使公式（1）变分为零即得到有 限元的平衡方程：
26
ANSYS非线性求解的理论基础
自动步长法－－概述（ ） 自动步长法－－概述（2） －－概述
在一个问题的求解过程中，没有必要采用等 荷载增量。对于非线性程度不高的阶段（一般是 荷载作用的初始阶段），步长可选得大些；对于 非线性程度较高的阶段（一般是加载后期）步长 需选得小些。 当荷载接近极值点时，很小的荷载增量都会 引起很大位移，此时可不再直接施加荷载，而是 改由控制其他参数使计算可以安全超过极值点， 人们仅给出一些控制参数，步长由算法控制，这 类方法就称为自动步长法。
—— 过极值点的方法
3
ANSYS非线性求解的理论基础
非线性方程组的解法－－概述（ ） 非线性方程组的解法－－概述（1） －－概述
1.
按照几何、材料、状态非线性理论建立的最后 方程都是非线性的。 在非线性分析中很难找到一种适合种类型非线 性及各种非线性程度的解法。 各种解法均有各自的适用范围，选择不当可能 引起收敛困难甚至发散。 因此一般通用的非线性有限元程序都提供几种 解法以备用户选用。
23
ANSYS非线性求解的理论基础
过极值点的方法－－非线性屈曲 过极值点的方法－－非线性屈曲 －－
非线性屈曲的主要难点： 当荷载增至极值（临界）荷载Fcr时，结构的 切线刚度趋于奇异，方程呈病态因而求解困难。 因此，如何求得尽可能接近于真实的临界荷载就 成为非线性屈曲研究的重点。 荷载的两种类别： 比例加载和非比例加载。
[ Ki ]T {∆ui +1} = {∆Fi +1} {ui +1} = {ui } + {∆ui +1}
公式（3） 公式（4）
6
ANSYS非线性求解的理论基础
非线性方程组的解法－－增量法（ ） 非线性方程组的解法－－增量法（2） －－增量法
增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对 于材料或几何非线性（特别是极限值屈曲分析） 十分有用。 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生 积累误差，导致荷载－位移曲线飘移。 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的 精度。现在应用最广的就是在每一级荷载增量 上用Newton-Raphson或其变形的迭代法。
−1 −1
公式（5）
割线刚度法： [ Ki ] = [ Ki ]F ，收敛性差，因此很 少应用。
− 切线刚度法： [ Ki ]−1 = [ Ki ]T1 ，令 ω Newton-Raphson迭代法。
= 1 则得到
9
ANSYS非线性求解的理论基础
Full Newton-Raphson（F.N.R）
NROPT，AUTO：程序基于非线性程度选用。 NROPT，FULL：如果自适应下降关闭（Adptky 为OFF），每次迭代均使用切线刚度；如果自适 应下降打开（Adptky为ON），则迭代保持稳定时 使用切线刚度，一旦程序在迭代中探测到发散倾 向，将使用切线刚度和割线刚度的加权组合。 NROPT，MODI：程序在每一个子步中修正切线 刚度。自适应下降不可用。 NROPT，INIT：程序在所有迭代中都使用初始刚 度。自适应下降不可用。
24
ANSYS非线性求解的理论基础
比例加载
对大多数静机械荷载或稳态温度情况，在荷 载施加的过程中它们的分布函数不变，而各点荷 载值是按比例增减。根据这一特点，可以把任一 时刻的平衡状态选为参考状态，结构外荷载矢量 为 {F r } ，其他时刻的荷载可以写为 {F t } = λ t {F r }， 求解极值荷载 {Fcr } 转化为求极值时的比例参数 λcr。 下面仅讨论比例加载情况下过极值点（过屈 曲）的方法：当前的主流方法是自动步长法。
27
ANSYS非线性求解的理论基础
自动步长法－－控制位移法（ ） 自动步长法－－控制位移法（1） －－控制位移法
控制位移法是将有限元中的荷载作为变量而 位移作为独立量，即给出位移增量，反求荷载增 量，就加载意义而言是一种自动步长法。 下面是具体的推导过程：
K11 K 21
( j)
F R1 K12 ∆u1 ( j) ∆u = ∆λi r + R （6） K 22 i 2 i F2 2 i
矢量，即：
{Pi } = [ Ki ]{ui }
不平衡力收敛准则有时不可靠！
18
ANSYS非线性求解的理论基础
不平衡力收敛准则有时不可靠！
F
∆F
∆u
u
很小的力的变化引起很大的位移变化！
19
ANSYS非线性求解的理论基础
收敛准则－－能量准则 收敛准则－－能量准则 －－
把每次迭代时内能的增量（不平衡力在位移增 量上做的功）与初始的内能比较：
K ( j) K 21
( j) 11
( ∆u1 R1 K12j ) −F ˆ = − ( j ) u2 （7） ( j) r − F2 i ∆λ i R2 i K 22 i r 1 ( j)
式（7）展开：
1 2
位移收敛准则有时不可靠！
16
ANSYS非线性求解的理论基础
位移收敛准则有时不可靠！ 位移收敛准则有时不可靠！
F ∆F
∆u
u
很小的位移变化引起很大的力的变化！
17
ANSYS非线性求解的理论基础
收敛准则－－不平衡力准则 收敛准则－－不平衡力准则 －－
{∆Fi } ≤ α F {F }
{∆Fi } = {F } − {Pi } －－不平衡力 {F } －－外荷载矢量 {Pi } －－第 i 次迭代完成时与内力相平衡的节点力