人教A版高中数学 高三一轮 第二章 函数与倒数 2-13 定积分与微积分基本定理素材考向归纳 精品

定积分与微积分基本定理 考向归纳

考向1定积分的计算

1.(2014·江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0

1f (x )d x ＝( )

A ．－1

B ．－1

3

C.1

3

D ．1

【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛0

1f (x )d x ，

∴⎠

⎛0

1f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f x x ⎪⎪⎪

1

＝1

3＋2⎠

⎛0

1f (x )d x ， ∴⎠

⎛0

1f (x )d x ＝－1

3.

【答案】 B

2．若⎠⎛0

1(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．－1

【解析】 ⎠⎛0

1(2x ＋λ)d x ＝(x 2

＋λx )⎪⎪⎪

1

0＝1＋λ＝2，所以λ＝1.

【答案】 B

3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈

，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )

A.3

4 B.4

5 C.56

D.67

【解析】 ⎠⎛0

2f (x )d x ＝⎠⎛0

1x 2d x ＋⎠

⎛1

2(2－x )d x

＝13x 3⎪⎪⎪

1

0＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪

2

1 ＝1

3＋⎝⎛⎭⎫4－12×4－⎝⎛⎭⎫2－12 ＝56

.

【答案】 C

计算定积分的步骤

1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．

考向2定积分在物理中的应用

(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋

251＋t

(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )

A ．1＋25ln 5

B ．8＋25ln

113

C ．4＋25ln 5

D ．4＋50ln 2

(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2

＋1且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J.

【解析】 (1)由v (t )＝7－3t ＋25

1＋t

＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，

此期间行驶的距离为⎠⎛0

4v (t )d t ＝⎠⎛0

4⎝

⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －3

2t 2＋t ＋

⎪⎪⎪

4

＝4＋25ln 5.

(2)W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2

＋1)d x

＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪

10

1

＝342 J.

【答案】 (1)C (2)342

定积分在物理中的两个应用

1．求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛a

b v (t )d t .

2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠

⎛a

b F (x )d x .当力的方向与位移方向不一致时，应求出和位移方向

同向的分力，再求其所做的功．

[变式训练]

1．一物体作变速直线运动，速度和时间关系为v (t )＝(4－t 2)m/s ，则物体从0秒到4秒运动经过的路程为( )

A.16

3 m B ．－16

3 m

C ．16 m

D ．－16 m

【解析】 s ＝⎠⎛0

4v (t )d t ＝⎠

⎛0

4(4－t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t －13t 3⎪⎪⎪

4

0＝16－643＝－163 m. 【答案】 B

2．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )

A. 3 J

B.23

3 J

C.43

3

J D ．2 3 J

【解析】 依题意可知， ⎠⎛1

2(F (x )×cos 30°)d x ＝⎠⎛12⎣

⎡⎦

⎤－x 2

32d x ＝⎣⎡⎦⎤⎝

⎛⎭⎫5x －13x 3×32⎪⎪⎪

2

1＝433，

∴F (x )做的功为4

3 3 J.

【答案】 C

考向3利用定积分计算平面图形的面积

●命题角度1 求平面图形的面积

1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．

【解析】 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为⎝⎛⎭⎫

13，3.由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，

由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为⎠⎛11

3⎝⎛

⎭⎫3－1x d x ＋⎠

⎛1

3(3－x )d x ＝(3x －