人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)

第19讲梯形及等腰梯形

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初二，基础较好；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等

腰梯形。梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.

知识梳理

讲解用时：20分钟

梯形的认识

1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

（概念记清楚哦）

一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦

梯形的分类

2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

直角梯形等腰梯形

AB//CD AB//CD

AD≠BC AD=BC

AD⊥CD AD不平行BC

梯形的中位线

3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

你知道怎

么证明

吗？

EF//AB//CD

EF=1

2

（AB+CD）

等腰梯形的性质和判定

1、等腰梯形的性质定理

性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等

性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等

性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）

∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D

2、等腰梯形的判定定理

判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形

判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形

判定3：利用定义

课堂精讲精练

【例题1】

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．

【答案】10

【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．

解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，

∵AD∥BC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AD=EC=4，AE=CD，

∵AB=CD=6，

∴AE=AB=6，

∵∠B=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=6，

∴BC=6+4=10．

故答案为：10．

讲解用时：3分钟

解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．

教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017

【练习1.1】

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．

【答案】5

【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．

解：过点D作DE∥AB交BC于E，

∴∠DEC=∠B=30°．

又∵∠C=75°，

∴∠CDE=75°．

∴DE=CE．

∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD=BE=2．

﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．

∴AB=DE=CE=BC

故答案为：5．

讲解用时：3分钟

解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．

教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016

【例题2】

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．

【答案】2

【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：

则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，

AD==2．

故答案为：2．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．

教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016

【练习2.1】

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．

求证：（1）DE平分∠ADC；

（2）AD+BC=DC．

【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC

【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；

证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，

∵AD∥CF，

∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．

在△AED与△BEF中，

，

∴△AED≌△BEF，

∴AD=BF，DE=EF，

∵CE⊥DF，

∴∠CDF=∠F，

∵AD∥CF，

∴∠ADE=∠F，

∴∠ADE=∠CDF，

∴ED平分∠ADC．

（2）∵△AED≌△BEF，

∴AD=BF，DE=EF，

∵CE⊥DF，

∴CD=CF=BC+BF

，

∴AD+BC=DC．