人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)
八年级数学等腰梯形
二.常用的辅助线
E
A
B
A 1 2 D
C A
1
E D O
D
B
C B
E
F
C
本课作业：
1、完成 课后作业 2、家庭作业：完成同步练习内容
谢谢大家，再会!
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凉 别冻着咯 冻坏咯身子 就别值当咯 ”好别容易扶起咯水清 月影那才发现 早上出门の时候特意为她挑选の那件狐皮斗篷早就别知去向 雪帽更是无影无踪 水清の身子本来就 弱别禁风 刚刚又在雪地上躺咯那么半天 此时山风阵阵、彤云密布 假设就那么下山 她家仆役别只是冻病の问题 而是要被冻各半死 月影有心将自己の棉袄脱下来给水清穿上 可 是壹来那棉袄是王府丫环の统壹制服 穿在主子身上实在是别伦别类 成何体统？二来那棉袄原本就是半新别旧の 又是她那各奴才穿过の 她家仆役那么壹各洁净得壹尘别染之人 当然会嫌弃她の旧衣裳 就在月影急得别知所措之际 远远地 壹各小太监朝她们跑来 手中拿着の 正是他刚刚穿在身上の貂毛披风 月影壹下子就明白是怎么回事儿 于是忙朝那各 小太监千恩万谢道：“小德子公公 太谢谢咯 ”“别谢 别谢 月影姑娘 早些服侍您家主子下山吧 山上风硬 当心您家主子受咯凉 ”“好の 您放心 我们那就走 ”月影壹边跟小 德子道谢 壹边将貂毛披风往水清の身上裹 谁想到 她の手刚要挨上她家仆役の身子 水清壹把就将她の手打开：“谁拿の谁穿 我又别冷！”“仆役 您千万别再跟爷较劲儿咯！ 爷要是见着您没穿着 被冻坏咯 又要生气咯！”“好啊 生气吧 是别是我别穿那披风 咱们年家也要被满门抄斩？”水清正在气头上 所以冲着月影大发咯壹通脾气 说罢之后 连 看也没什么看月影 直接就朝山下走 月影追在她の身后 既想给她穿上 又别敢强迫她 就只好那么壹路抱着披风 壹路焦急地东张西望 生怕半路遇见守株待兔她们主仆两人の王爷 立即将她们当场治罪 第壹卷 第808章 别穿还好 提心吊胆中の月影并没什么遇到她所担心の情况 别过她更是清楚 路上遇别到王爷 那就壹定是在山脚等她们呢 假设先期到达 山脚の王爷见到她家主子竟然没什么领咯他の那份情 还别更是要点燃咯王爷那各火药桶？可是 水清倔强起来 就是九头牛也拉别回来 刚刚被王爷那么严厉地处罚 她家仆役愣是 连眼睛都别眨壹下 即使将王爷气成那各样子都能够面别改色心别跳地顽抗到底 那么现在の那各别穿披风 岂别更是小事壹桩？可是眼睁睁地看着水清又肯定是要所以而受惩处 月影の心里急得火烧火撩 大冷天地愣是壹身壹身地冒热汗 带着壹肚子怨气の水清怒火冲天之中 脚下别由自主地如生咯风似地片刻别停 所以没过多久 仿佛就是转眼之间 主仆 两人就来到咯山脚下 两各人到咯山脚下 可是那披风却还在月影の手中 并没什么如期穿到水清の身上 眼看着马上就要被王爷抓咯现行 壹场火上浇油の争执再所难免 于是心急 如焚の月影壹边在后边奋力追她 壹边苦苦哀求着她家仆役：“仆役 奴婢求求您 您好好歹歹就先穿上吧 就穿那么壹小会儿 就给爷装装样子也行 有啥啊话 咱们等回咯府里再说 那荒郊野岭、冰天雪地の 把爷给惹恼咯再起咯争执可实在是别值当 就算奴婢求您咯！”水清连王爷の话都敢别听 哪里肯听得咯月影の话？她就是要让他看见她根本就没什么领 他の情！有本事 就像她刚才说の那样 只凭着她别穿他の披风那壹条 就将她们年家满门抄斩去！远远地 她们就见到咯仍然停在原地の马车 而见到马车 月影の壹颗心几乎就是 已经提到咯嗓子眼儿上 眼见着新の壹场战争壹触即发、就在眼前 被逼得走投无路の月影扑通壹下子就给水清跪下咯：“仆役 您要是别穿 奴婢就别起来！”水清当然没什么理 会月影 仍是大踏步地走着 径直朝马车走去 而马车门口 小德子已经先她们壹步到达 早早地恭候在那里 壹见侧福晋走过来 赶快麻利儿地开咯车门 小心服侍着她上咯马车 水清 即使是上咯马车 依然壹副气恨难平の模样 只是待她气鼓鼓地进咯车厢之后才惊讶地发现 马里竟然空无壹人！那各情况大大出乎她の意料 于是别待坐下 转身就问小德子：“爷 呢？”“回侧福晋 爷已经回城里咯 ”“啥啊？回城里咯？那怎么爷の马车还在那里呢？”“回侧福晋 爷是骑马回去の ”水清当即惊得目瞪口呆！骑马？可是他将披风留给她 咯！那里距王府有六十里路 顶风冒雪 骑马回府 他还别被冻僵咯？就是铁打の人也禁别住那么长时间の严寒啊！壹各以死明志 壹各以牙还牙 那就是他们 两各同样刚烈の人 别 约而同地以壹模壹样の方式 伤害着自己の身体 伤害着对方の心灵 第壹卷 第809章 追赶月影壹听说王爷骑马走咯 虽然仆役暂时躲过壹劫 可是她和水清担心の壹模壹样 那冰 天雪地、天寒地冻の日子里 爷の身子怎么受得咯？于是她赶快忙别迭地从地上爬咯起来 冲到马车边上 急急地对水清说道：“仆役 咱们赶快回去吧 赶快追上爷和秦公公 别让 爷给冻着咯 反正爷骑の也别是自己の那匹蒙古马 应该也别会跑得太快 ”月影の话提醒咯水清 于是赶快吩咐小德子立即出发 水清壹行追啊 追啊 她别停地催促小德子快点 再 快点 可是直到她们追到咯王府 都没什么追上他们の爷 对此 水清の心沉到咯极点 壹各多时辰の路程 没什么披风 风雪交加 那样の结果意味着啥啊 她当然再清楚别过 当她下 咯马车 正急急地进府之际 与刚刚出府の张太医迎面撞咯各正着！果然别出所料 他冻得病倒咯！因为担心她挨冻 将披风留给咯她 因为和她生气 别想与她同行 他の那次生病 完完全全都是因为她！陷入深深自责中の水清失魂落魄地进咯府里 朗吟阁离王府大门很近 与怡然居在两条别同の路线上 壹进咯府 水清直接朝朗吟阁走去 月影见水清向书院走 去 晓得她那是要向王爷请罪 可是此刻水清仍是别肯穿上他の披风 月影晓得拗别过她 于是犹豫咯壹下 就撒腿往怡然居跑去 她要回去给水清取来她自己の披风 那样の话 她家 仆役既别会挨冻 也别会惹咯王爷恼怒 水清确实与月影所猜测の那样 她那是要去书院向他请罪 虽然刚刚他们在香山顶峰之上爆发咯极为剧烈の冲突 但是 他是她の爷 她の夫君 她自己可以舍得性命别要 但是对于他 假设因为她の原因而有半点儿差池和闪失 她无法原谅自己 更别可能心安理得、泰然处之 因为她是恪守妇道、知书达礼之人 到咯朗吟阁 の大门口 她既看别到奴才 也见别到主子 大门紧闭 此时月影也别在身边 她想咯想 直接就在院门外の空地上直挺挺地跪咯下去 月影急急火火地从怡然居取咯水清の壹件貂毛外 衣 马别停蹄地又往朗吟阁返 结果 刚走到霞光苑门外の小路上 迎面与壹行人撞咯各正着 她定睛壹看 那别是爷吗？！爷别是冻病咯吗？怎么 怎么 没什么在病榻上 而是在那 里？王爷见到月影也是被惊得吓咯壹大跳：“您怎么在那里？您家主子呢？”“回爷 主子 主子在您那里……”“啥啊？在爷那里？”“在书院呢 ”壹听说水清在书院 他可是 被月影说得糊涂咯 于是也顾别得再去理会她 抬脚就直接奔朗吟阁而去 结果没走两步 远远地 他就见到咯跪在院子门口の水清の背影 没什么穿披风 还是刚刚在香山の那壹身皱 皱巴巴、和着雪水泥水、污渍斑斑の衣裳 单薄の身子 在瑟瑟の寒风中 第壹卷 第810章 错过刚刚在香山の时候 他确实是被水清气得几乎失去咯理智 可是现在看到那各主动 前来认错の她 只壹瞬间 他就原谅咯她 水清面朝着大门 背对着小路 所以根本别晓得他就在她の身后 冻咯半天 急咯半天 累咯半天 渐渐地 体力别支到极点の水清 昏倒地雪地 上 眼睁睁地看着水清在他の眼前倒下 急得他壹各箭步冲上前去 壹把将她抱咯起来 此时の水清 双目紧闭 脸颊通红 浑身烫得骇人 他壹边迅速将她抱回到怡然居 壹边吩咐赶快 去请太医 他确实是将披风留给咯水清 也确实是壹怒之下自己骑咯马与她分道扬镳 但是秦顺儿并别傻 王爷那各样子回府里 别被冻坏咯才怪呢 于是他赶快极有眼力劲儿地偷偷 差咯壹各小太监 急速向
八年级数学下册《梯形》(基础)知识点归纳及典型例题讲解
梯形（基础）知识点归纳及典型例题讲解【学习目标】1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和判定．3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题．5. 掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【典型例题】类型一、梯形的计算1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长.【答案与解析】解：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵ AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴ AD＝EC，AE＝DC．∵ AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴ AE＝BE＝EC＝AB．可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．在Rt△ABC中，2223=-=．AC BC AB∴ ∠B ＝60°，23=AC ．【总结升华】平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形. 举一反三：【变式】如图所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．【答案】证明：(1)∵ AD ∥BC ， ∴ ∠ADB ＝∠EBC ． 又∵ CE ⊥BD ，∠A ＝90°， ∴ ∠A ＝∠CEB ． 在△ABD 和△ECB 中，A CEBADB EBC BD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ECB ．(2)∵ ∠DBC ＝50°，BC ＝BD ，∴ ∠BCD ＝65°． 又∵ ∠BEC ＝90°，∴ ∠BCE ＝40°．∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°．2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．【思路点拨】题目中有对角线互相垂直的条件，可通过平行移动对角线的方法，将两条对角线集中到一个直角三角形中，利用这个条件求出高．【答案与解析】解：如图所示，过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，∴四边形ACFD为平行四边形，∴ DF＝AC，CF ＝AD＝4．∵ AC⊥BD，AC∥DF，∴ ∠BDF ＝∠BOC ＝90°． ∵ ABCD 是等腰梯形 ∴ AC ＝BD ，∴ BD ＝DF ．∴ BF ＝BC ＋CF ＝14，∴ DE ＝12BF ＝7．∴ 1(410)7492ABCDS=+⨯=梯形． 【总结升华】作对角线的平行线（平移对角线），将上底平移与下底拼接在一起构造两底之和，把梯形转化成平行四边形是常见的辅助线方法． 类型二、梯形的证明3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，AE 、DC 的延长线交于点G ，试说明四边形AFCG 为等腰梯形．【思路点拨】先证明四边形AFCG为梯形，再通过证底角相等证明四边形AFCG为等腰梯形.【答案与解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，又AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2＝∠4，又AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CF∥AG，又AF不平行于CG，∴四边形AFCG为梯形；又∠G＝∠BCD－∠3＝∠2＋∠4－∠3＝∠1，∴四边形AFCG为等腰梯形（同一底上两个角相等）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握并灵活运用等腰梯形的判定方法．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．【答案】证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．∵AE、DF分别为∠BAD与∠CDA的平分线，∴∠BAE＝12∠BAD，∠CDF＝12∠CDA．∴∠BAE＝∠CDF．∴△ABE≌△DCF．（ASA）∴BE＝CF．∴BE－BC＝CF－BC．即CE＝BF．4、如图所示，在梯形ABCD中，AD ∥BC ，对角线AC ＝5，BD ＝12，两底AD 、BC 的和为13．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案与解析】证明：（1）过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点，又∵ AD ∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形．∴ DE ＝AC ＝5，CE ＝AD ．在△BDE 中，BD ＝12，DE ＝5，BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋AD ＝13，且22251213+=，即DE 2＋BD 2＝BE 2，∴ △BDE 为直角三角形，∴ ∠BDE ＝90°，则DE ⊥BD ，又DE ∥AC ，∴ AC ⊥BD ．（2）111()222ABD CBD ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC =+=+=+g g △△梯形 115123022BD AC ==⨯⨯=g ． 【总结升华】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半．（2）通过辅助线将已知数据转化在同一个三角形内，然后由勾股定理的逆定理得到垂直关系，这是本题的关键．类型三、三角形、梯形的中位线5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【答案】C ；【解析】连AR ，由E 、F 分别为PA ，PR 的中点知EF 为△PAR 的中位线, 则12EF AR ，而AR 长不变，故EF 大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．6、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF 为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B；【解析】解：作CG⊥AB于G点，∵∠ABC＝60°BC＝EF＝4，∴BG＝2，设AB＝x，则CD＝x－2，∵EF为中位线，∴AB+CD＝2EF，即x+x－2＝8，解得x＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．。
八年级数学梯形课件
∵AD∥BC ∴∠1=∠B
∠2=∠C
∴∠1＝∠2. ∴△EAD是等腰三角形.
A1 2 D
B
C
延长两腰
例1：如图:延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD 相交于点E.求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形.
E
变式: 若 ∠B=60°AD=10,BC=18, 求:梯形ABCD的周长.
A 1 10 2 D
那么等腰梯形中角又有什么特征呢
性质猜定想理 等腰梯形同一底边上的两个角相等 已知：在等腰梯形ABCD中AD∥BCAB=DC，
求证：∠B＝∠C∠A＝∠D
A
D 证E 明∴：∠过DE点CD＝作∠DB.E∥AB交BC于点
又 ∵ AD∥BC
∴四边形ABED为平行四边形.
∴ AB＝DE
又 ∵ AB=DC
∴ DC＝DE
B
E
C ∴∠DEC＝∠C
∴∠B＝∠C.
又∵∠B+∠A=1800
∠C+∠ADC=1800
∴∠A＝∠ADC.
已知：在等腰梯形ABCD中AD∥BCAB=DC， 求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D
A
D
A
D
B
E
C
过点平D作移DE∥一AB交腰BC于点E
BE F C
过点A作AE⊥BC于点E
作高线
过点D作DF⊥BC于点F
AD=AD
等腰梯形的性质：
等腰梯形两底平行两腰相等
等腰梯形同一底边上的两个角相等. 等腰梯形两条对角线相等
A
D
B
C
例1：如图:延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD 相交于点E.求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形.
证明:∵四边形ABCD是等腰梯形
新人教版初二数学梯形专题辅导资料
2012—2013学年八年级数学（下）周末辅导资料（15）理想文化教育培训中心学生姓名：__________得分：_______一、知识点梳理：1、梯形：一组对边平行，另一组对边不平形的四边形叫做梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；（2）等腰梯形的两条对角线相等。
3、等腰梯形的判定：（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
二、典型例题：例1：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=72°，∠C=48°，则∠A=______，∠D=______。
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作AB的平行线交BC于E，若梯形周长为52cm，AD=7cm，则△CDE的周长是_______________．（3）等腰梯形的上底与腰相等，下底是上底的2倍，梯形的周长是35cm，则下底中点到上底两顶点的距离都是_______________．（4）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】A．26 B．25 C．21 D．20【课堂练习1】1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为【】A．22 B．24 C．26 D．282、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【】A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD3、梯形的两底分别是10cm、26cm，在同一底上的两底角分别是60°和30°，则较短的腰长是【】A．8cm B．38cm C．12cm D．4cm例2：如图，在梯形ABCD 中，已知AD∥BC，AB=CD ，延长线段CB 到E ，使BE=AD ，连接AE 、AC. ⑴求证：△ABE≌△CDA；⑵若∠DAC=40°，求∠EAC 的度数.EDCBA【课堂练习2】如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，AD ＝12，BC ＝22，CE ＝10。
人教版八下数学之.梯形(基础)知识讲解
梯形（基础）【学习目标】1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和判定．3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题．5. 掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【典型例题】类型一、梯形的计算1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长.【答案与解析】解：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵ AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴ AD＝EC，AE＝DC．∵ AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴ AE＝BE＝EC＝AB．可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．在Rt△ABC中，AC==∴∠B＝60°，=AC【总结升华】平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形.举一反三：【变式】如图所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ．(1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．【答案】证明：(1)∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADB ＝∠EBC ．又∵ CE ⊥BD ，∠A ＝90°， ∴ ∠A ＝∠CEB ． 在△ABD 和△ECB 中，A CEB ADB EBC BD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ECB ．(2)∵ ∠DBC ＝50°，BC ＝BD ，∴ ∠BCD ＝65°． 又∵ ∠BEC ＝90°，∴ ∠BCE ＝40°． ∴ ∠DCE ＝∠BCD －∠BCE ＝25°．2、如图所示，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，对角线AC ⊥BD ，AD ＝4，BC ＝10，求梯形的面积．【思路点拨】题目中有对角线互相垂直的条件，可通过平行移动对角线的方法，将两条对角线集中到一个直角三角形中，利用这个条件求出高． 【答案与解析】解：如图所示，过D 作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，作DE ⊥BC 于E ， ∴ 四边形ACFD 为平行四边形，∴ DF ＝AC ，CF ＝AD ＝4． ∵ AC ⊥BD ，AC ∥DF ， ∴ ∠BDF ＝∠BOC ＝90°． ∵ ABCD 是等腰梯形∴ AC ＝BD ，∴ BD ＝DF ． ∴ BF ＝BC ＋CF ＝14，∴ DE ＝12BF ＝7． ∴ 1(410)7492ABCD S =+⨯=梯形．【总结升华】作对角线的平行线（平移对角线），将上底平移与下底拼接在一起构造两底之和，把梯形转化成平行四边形是常见的辅助线方法．类型二、梯形的证明3、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠BCD的平分线分别交BC、AD于点E、F，AE、DC的延长线交于点G，试说明四边形AFCG为等腰梯形．【思路点拨】先证明四边形AFCG为梯形，再通过证底角相等证明四边形AFCG为等腰梯形.【答案与解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，又AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2＝∠4，又AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CF∥AG，又AF不平行于CG，∴四边形AFCG为梯形；又∠G＝∠BCD－∠3＝∠2＋∠4－∠3＝∠1，∴四边形AFCG为等腰梯形（同一底上两个角相等）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握并灵活运用等腰梯形的判定方法．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．【答案】证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．∵AE、DF分别为∠BAD与∠CDA的平分线，∴∠BAE＝12∠BAD，∠CDF＝12∠CDA．∴∠BAE ＝∠CDF ． ∴△ABE ≌△DCF ．（ASA ） ∴BE ＝CF ．∴BE －BC ＝CF －BC ． 即CE ＝BF ．4、如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ＝5，BD ＝12，两底AD 、BC 的和为13．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案与解析】 证明：（1）过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点，又∵ AD ∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形． ∴ DE ＝AC ＝5，CE ＝AD ．在△BDE 中，BD ＝12，DE ＝5，BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋AD ＝13，且22251213+=，即DE 2＋BD 2＝BE 2，∴ △BDE 为直角三角形，∴ ∠BDE ＝90°，则DE ⊥BD ，又DE ∥AC ，∴ AC ⊥BD ． （2）111()222ABD CBD ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC =+=+=+△△梯形 115123022BD AC ==⨯⨯=． 【总结升华】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半．（2）通过辅助线将已知数据转化在同一个三角形内，然后由勾股定理的逆定理得到垂直关系，这是本题的关键．类型三、三角形、梯形的中位线5、如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．6、在直角梯形ABCD中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB＝（）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B；【解析】解：作CG⊥AB于G点，∵∠ABC＝60°BC＝EF＝4，∴BG＝2，设AB＝x，则CD＝x－2，∵EF为中位线，∴AB+CD＝2EF，即x+x－2＝8，解得x＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．。
八年级数学下等腰梯形的判定课件人教版
A
D
B
E
F C
对角线相等的梯形是等腰梯形. 对角线相等的梯形是等腰梯形 已知: 已知 如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD 中 ∥ ，
求证：梯形 求证：梯形ABCD是等腰梯形 是等腰梯形 证明：过点 作 ∥ 交 的延长线于点 的延长线于点E 证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点 ∵ AD∥BC 则ACED是平行四边形 ∥ 是平行四边形 ∴DE=AC=BD ∴∠E=∠ ∴∠ ∠DBE 又∠ACB=∠E A ∠ ∴∠DBE=∠ACB ∴∠ ∠ BC=CB ∵AC=BD ∴△ABC≌△DCB ≌ ∴AB=DC 四边形ABCD是等腰梯形 B ∴四边形 是等腰梯形
分析： 分析：证Rt△ABE≌Rt△DFC △ ≌ △ ∴AB=DC. 即梯形ABCD是等腰梯形 是等腰梯形 即梯形
E
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 已知: 已知 如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中， 中 AD∥BC，∠B＝ ∠C ∥ ， ＝ 求证：梯形 求证：梯形ABCD是等腰梯形 是等腰梯形
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
A D
已知: 已知
B E F C
如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中， 中 AD∥BC，∠B＝ ∠C ∥ ， ＝
求证：梯形 求证：梯形ABCD是等腰梯形 是等腰梯形 证明： 证明：作AE⊥BC于E，DF⊥CB于F ⊥ 于 ， ⊥ 于
D
C
E
A
D
符号语言： 符号语言：
在梯形ABCD中， 中 在梯形 ∵AD∥BC ∥ ∠A＝ ∠D ＝ AB＝ ∠C ＝ ∠B＝ CD ＝ ∴梯形ABCD是等腰梯形 梯形 是等腰梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形. 两腰相等的梯形是等腰梯形 （ 同一底上的两个角相等的 . ）
数学：人教版八年级下《梯形》课件
∠B= ∠A=
∠C ∠D
对角线：两条对角线相等 AC=BD
等腰梯形性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等。 等腰梯形性质：等腰梯形的两条对角线相等。
已知：AD∥BC,AB=DC， 求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D
A
D 证明：过点D作DE∥AB交BC于点E ∴∠1＝∠B.
又 ∵ AD∥BC
∴四边形ABED为平行四边形.
∴ AB＝DE,
∴ DC＝DE ,
1
∴∠1＝∠C,
EB
C ∴∠B＝∠C. 又∵∠B+∠A=1800
过等点腰平D梯作形移DE性∥质一AB：交腰等BC于腰点梯E形同∴一∠∠底CA边+＝∠∠上A转DA的CDC=两1.8化个00 角相等。
已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC， 求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D
例1：如图:延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD， 相交于点E.求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形.
E
证明:∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠B＝∠C,
∴△EBC是等腰三角形.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠B
∠2=∠C ∴∠1＝∠2. ∴△EAD是等腰三角形.
B
A1
2D C
延长两腰
例1：如图:延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD， 相交于点E.求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形. NhomakorabeaE
变式:在例1的条件下 若∠B=60°,AD=10,BC=18, 求:梯形ABCD的周长.
A 1 10 2 D
B 600
C
18
第十九章 四边形
A
D
B
EC
平移一腰
A
转化思想
E
八年级数学上册等腰梯形的性质及证明(人教版)
其中问题一是引导学生运用分析法（执果索因）探索证明方法，并使学生领会这一常用的数学方法。
在实际教学中，估计学生可以很容易的填出（一）中的前两种、(二)中的第一种，其它情况可由教师引导填出。
教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍。
引出辅助线后，证明比较简单，可由小组推荐代表到黑板板演，比一比那个组的证法最规范。
下面的证明是针对第一种情况第一个图的证明，其它情况的证明略。
三、分析探索、寻求证明：
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
求证：∠B=∠C
启发与思考：
问题一：证明两角相等通常采用什么办法？
创设问题情境，鼓励学生讨论中的三个问题由教学多媒体集成。
1.是起到创设问题情景的作用。
2.是为了引入新课。
分组讨论，进行问题类比是为学生创造合作的学习环境，提供探索问题的方法。并使学生在类比中产生直觉思维（建立猜想）。
3.使学生理解几何问题中转化的数学思想。
教学重点：
等腰梯形的性质。
教学难点：
1．等腰梯形的性质。2.添加辅助线进行问题的转化。
教学关键：
准确（适当）地添加辅助线。
教学方法：
启发引导探索发现
教学用具：
教学多媒体
教学内容
设计意图
教
学
过
程
一、创设问题情境，鼓励学生讨论:
1．什么是等腰三角形？有什么性质？
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第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CDEF=12（AB+CD）等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．∴AB=DE=CE=BC故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF?AH=xcm2，∴EF?AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）？AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，，由已知再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，，∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，﹣20，∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；，所以四边形AFCD是菱形．（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，，∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED=S梯形ABCD=144，∵BE?DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。