八年级数学上册梯形(人教版)
人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)
第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CDEF=12（AB+CD）等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．∴AB=DE=CE=BC故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF?AH=xcm2，∴EF?AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）？AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，，由已知再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，，∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，﹣20，∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；，所以四边形AFCD是菱形．（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，，∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED=S梯形ABCD=144，∵BE?DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。
人教版八年级数学上册同步练习13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。
八年级数学上册 第十一章 梯形知识点总结 (新版)新人教版
八年级数学上册第十一章梯形知识点总
结 (新版)新人教版
1. 梯形的定义
梯形是指有两条平行边的四边形。
其中，较长的两边叫做上底和下底，两条连接上底和下底的斜边叫做腰，而两条腰的交点叫做顶点。
2. 梯形的分类
根据上底和下底的长度关系，梯形可以分为以下几类：
- 等腰梯形：上底和下底长度相等的梯形。
- 直角梯形：腰和底边之间有直角的梯形。
- 一般梯形：除了等腰梯形和直角梯形以外的其他梯形。
3. 梯形的性质
- 梯形的对边平行：一条边和与之不共顶点的另一条边平行。
- 梯形的底角和顶角互补：底边的两个邻角和顶边的两个邻角互补，即它们的和为180度。
- 等腰梯形的性质：等腰梯形的底角相等，顶角相等，且底边中点连线与顶边中点连线平行。
4. 梯形的面积计算
梯形的面积可以用以下公式计算：
面积 = [(上底 + 下底) ×高] ÷ 2
5. 梯形的周长计算
梯形的周长可以用以下公式计算：
周长 = 上底 + 下底 + 两条腰的长度
以上是八年级数学上册第十一章梯形的基本知识点总结，希望对您的研究有所帮助！。
八年级数学下册《19.3 梯形(二)》教案 新人教版
19．3 梯形（二）一、教学目标：1．通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力． 3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．二、重点、难点1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用．2．难点：等腰梯形判定方法的运用．三、例题的意图分析本节课安排的例题与练习较多，可供老师们选用．．．例1是教材P119的例2，这是一道计算题，讲解时要让学生注意，已知中并没有给出等腰梯形的条件，它需要先判定梯形ABCD为等腰梯形，然后再用其性质得出结论．例2、例3、例4都是补充的题目．其中例2是一道文字题，这道题在进行证明时，可采用“平移对角线”或“作高”两种不同的方法，通过讲解例2，可以再次给学生介绍解决梯形问题时辅助线的添加方法．例3是一道证明等腰梯形的题，它需要先证明其四边形是梯形，即先证出EG∥AB，此时还要由AE，BG延长交于O，说明EG≠AB，才能得出四边形ABGE是梯形．然后再利用同底上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形．选讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方法．例4是一道作图题，新教材P119的练习4就是一道画梯形图的题，此例4与练习4相同．通过此题的讲解与练习，就是要加强学生对梯形概念的理解，并了解梯形作图的一般方法．让学生知道梯形的画图题，也常常是通过分析，找出需要添加的辅助线，先画出三角形或四边形，再根据它们之间的联系画出所要求的梯形．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？（2）等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．2．【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证．启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．求证：AB=CD．分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．证明方法1：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．∵AB∥DE，∴∠B=∠1，∵∠B=∠C，∴∠1=∠C．∴DE＝DC．又∵AD∥BC，∴DE＝AB=DC．证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．证明方法二：用常见的梯形辅助线方法：过点A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，垂足分别为E、F（见图一）．证明方法三：延长BA、CD相交于点E（见图二）．图一图二通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法等腰梯形判定方法在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．五、例、习题分析例1（教材P119的例2）例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又 AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴ DE=AC ．∵ AC=BD ，∴ DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又 AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴ AB=CD．∴ 梯形ABCD 是等腰梯形．说明：如果AC 、BD 交于点O ，那么由∠1=∠2可得OB=OC ，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥B C ，可证 Rt ΔABC≌R t ΔCAE ，得∠1=∠2．例3（补充） 已知：如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，CF⊥BE 交BD 于G ，F 是垂足．求证：四边形ABGE 是等腰梯形．分析：先证明OE ＝OG ，从而说明∠OEG ＝45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG≠AB．得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm 、12cm ，高为3cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成 AECD 的画图．画法：①画ΔABE ，使BE=12—4=8cm ．.②延长BE 到C 使EC=4cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE，AD 、CD 交于点D ．四边形ABCD 就是所求的等腰梯形．解：梯形ABCD 周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．．）（梯形224312421cm S ABCD =⨯+⨯= 答：梯形周长为26cm ，面积为242cm ．六、随堂练习1．下列说法中正确的是（ ）．（A ）等腰梯形两底角相等（B ）等腰梯形的一组对边相等且平行（C ）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度（D ）等腰梯形的四个内角中不可能有直角2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm 、8cm ，则腰长为_______cm ．3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．4．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB ＞DC ，∠1=∠2，AC=BD ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．（略证 BCDADC BDC ADC ∠=∠⇒∆≅∆，AD=BC ，CBA DAB ACB ADB ∠=∠⇒∆≅∆，∴ AB ∥DC ）5．已知，如图，E 、F 分别是梯形ABCD 的两底AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，求证：梯形ABCD 是等腰梯形．七、课后练习1．等腰梯形一底角60 ，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，高为______，面积是_________．2．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．3．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C ，AB 与CD 不平行，且AB=CD ．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．4．如图4.9-9，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，CE ⊥AB 于E ，若AC⊥BD 于G ．求证：CE=21（AB+CD ）．。
数学：19.3《梯形》达标训练(人教版八年级下)
数学：19.3《梯形》达标训练（人教版八年级下）基础·巩固1.如图19-3-16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）图19-3-16A.1对B.2对C.3对D.4对思路分析：根据等腰梯形的性质，结合全等三角形的判方法判断即可.△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA,△AOB≌△DOC,共3对答案：C2.如图19-3-17，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠A=60°，AB=9，CD=5，BC的长是（）图19-3-17A.3B.4C.5D.6思路分析：过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，可得到AD=CE.又因为AD=BC,所以CE=BC.因为∠A=60°，所以∠CEB=60°，△CEB是等边三角形，可求得BC的长.过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE,AE=CD=5.又∵AD=BC,∴CE=BC.∵∠A=60°，所以∠CEB=60°，即△CEB是等边三角形，∴BC=BE=AB-AE=9-5=4.答案：B3.如图19-3-18,在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数.图19-3-18思路分析：根据等腰梯形的知识，结合方程的思想，本题可易解得.解：∵AD=AB=DC，∴△ABD是等腰三角形，梯形ABCD是等腰梯形，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°.设∠ABD=x,则∠ADB=∠CBD=x,∠ADC=∠A=90+x.又∵∠A+∠ABC=180°，∴90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠C=∠ABC=2x=60°.综合·应用4．如图19-3-19，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6 cm，BC=15 cm.求CD的长.图19-3-19思路分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题.其方法是：平移一腰，过点A 作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC-EC=BC-AD=9 cm.解：（略）5.如图19-3-20，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O.求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE2.图19-3-20思路分析：点E、F分别是AB、AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF ∥BC.因为AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，所以BE=CF,可证得四边形EFCB是等腰梯形.（2）因为CE⊥BF于点O，四边形EFCB是等腰梯形，所以△OEF和△OBC都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可证得结论.证明：（1）在等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF∥BC，BE=CF,∴四边形EFCB是等腰梯形.（2）∵CE ⊥BF 于点O ，四边形EFCB 是等腰梯形，∴△OEF 和△OBC 都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可得： OE 2+OF 2=EF 2,OB 2+OC 2=BC 2, ∴EF 2+BC 2=2OE 2+2OB 2=2BE 2.6.如图19-3-21，上底AD=3，下底BC=5，P 为腰CD 上任意一点，当点P 在何处时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半.图19-3-21思路分析：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2.在直角梯形ABCD 中，∠C=45°，可得△CED 是等腰直角三角形，所以CE=DE=2,梯形ABED 的面积为21(AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8.当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半，我们可以求出三角形PBC 的高PF,从而确定出P 点所处的位置. 解：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2. ∵在直角梯形ABCD 中，∠C=45°， ∴△CED 是等腰直角三角形，∴CE=DE=2, 梯形ABED 的面积为21 (AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8. ∵当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半， △PBC 的面积为21BC ×PF=21×5×PF=4,解得PF=58.∵PF ∥DE,∴54258===CD CP DE PF ,即14=PD CP 时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半. 7.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19-3-22，梯形ABCD 中，对角线AC=BD. 求证：梯形ABCD 是等腰梯形.图19-3-22思路分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.在△ABC 和△DCB 中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证△ABC ≌△DCB 得到AB=DC.证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又 AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC.∵ AC=BD，∴ DE=BD，∴∠1=∠E.∵∠2=∠E，∴∠1=∠2.又AC=DB，BC=CE，∴△ABC≌△DCB.∴ AB=CD.∴梯形ABCD是等腰梯形.说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路.问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如右图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证Rt△ABC≌Rt△CAE，得∠1=∠2.8.已知：如图19-3-23，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠CAB=∠ABC，BE⊥AC于E.求证：BE=CD.图19-3-23思路分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD.证明：略另证：如题图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可.9.已知：如图19-3-24，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足.求证：四边形ABGE是等腰梯形.图19-3-24思路分析：先证明OE=OG ，从而说明∠OEG=45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG ≠AB.得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形. 证明：（略）10.画一等腰梯形，使它上、下底长分别为4 cm 、12 cm ，高为3 cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积. 思路分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形.解：如右图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成AECD 的画图.画法：①画△ABE ，使BE=12-4=8 cm. AB=AE=2234 =5 cm. ②延长BE 到C 使EC=4 cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D. 四边形ABCD 就是所求的等腰梯形. 解：梯形ABCD 周长=4＋12＋5×2=26 cm. S 梯形ABCD =21×(4+12)×3=24 cm 2. 答：梯形周长为26 cm ，面积为24 cm 2。
八年级数学上册等腰梯形(人教版)
猜想
张开想象的翅膀
猜想：请你通过以上操作，大胆猜想一下等腰梯形有些什么性质？
让学生通过上一步的操作，仔细观察，认真思考，大胆想象，找出自认为正确的结论。
性质
探讨：等腰梯形是轴对称图形
归纳：(定义)等腰梯形的两底平行，两腰相等
性质定理：
1、等腰梯形在同一底上的两个角相等；
教学步骤
教学内容
实施Hale Waihona Puke 法及说明引入拼图游戏：
请你把下列各们图片拼成一幅完整的图片
智力迁移：大坝为什么做成下宽上窄的梯形？
培养学生观察能力，提高学习兴趣。注意学科间的联系，引入新课。
复习
1、什么是梯形；什么是梯形中位线？
2、梯形中位线有何性质？
学生回答
操作
跟我做：动口不如动手，请大家跟我一起
操作。画等腰梯形，并裁剪下来对折
拓展训练学生课堂分析，课外完成。
小结
等腰梯形
本节课突出以任务驱动为主线，以学生自主探索学习为中心，发挥学生的学习积极性和主动性。堂设计充分体现“老师主导，学生主体”的原则。
2、等腰梯形的两条对角线相等；
讨论：以上两个定理的证明。
拓展训练(1)
让学生结合猜想进行归纳。鼓励学生用自己的话归纳并逐步完善。度用数学语言写出已知和结论。定理的证明分小组讨论，后请学生分析。(本节课的定理证明作为学习小组活动内容课后完成。)
拓展训练学生课堂分析，课外完成。
判定
探索：请你根据性质和判定的关系，结合前面研究几何图形常用的方法，你能探索出如何判定一个梯形是等腰梯形吗？
等腰梯形判定定理：
1、在同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；2、对角线相的梯形是等腰梯形。
第57讲：梯形-人教版八年级下册数学学案(学生版)(教育机构专用)
梯形教学目标1、知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念，掌握等腰梯形的性质；2、运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算；3、增强主动探索意识，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值．知识梳理1．直角梯形梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．角：有两个内角是直角．过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个____和________．这是常用的一种作辅助线的方法．2．等腰梯形的性质（1）等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（3）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成____和两个全等的________，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．3．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否_____，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．4．梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰_____的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积=中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．5．翻折变换（折叠问题）（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是________．（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．（3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．6．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移___，左移___；纵坐标，上移___，下移___．）典例讲练1.等腰梯形的性质．【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11练1.如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（）A．4 B． C．1 D．2练2.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC2.等腰梯形的性质；梯形中位线定理．【例2】如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（）A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5练3.如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．13 B．26 C．36 D．393. 直角梯形．【例3】如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC两腰中点的线段的长为．练4.如图，∠AOB=45°，过射线OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是S n= ．练5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是．4．等腰梯形的性质；平行四边形的判定．【例4】如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC．（1）四边形ABEC一定是什么四边形？（2）证明你在（1）中所得出的结论．练6.如下图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE 的周长l为．5．等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．练7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．当堂检测1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B． C．6 D．53．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 B．3 C．5 D．64．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．5．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．6．如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．当堂总结_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 家庭作业1．如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=．2．如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= ．3．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为．4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD=2，BC=8，梯形的高是3，则∠B的度数是．6．如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于．7．如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是边AB上的两点，且AE=BF，DE与CF相交于梯形ABDC内一点O．（1）求证：OE=OF；（2）如图②，当EF=CD时，请你连接DF、CE，判断四边形DCEF是什么样的四边形，并证明你的结论．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，已知AB=8，DC=5，DA=6，求△CEB的周长．9．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=10，BC=18，求梯形ABCD的周长．10．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．11．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE．求证：BE=CE．。
《梯形》(课件)-四年级上册数学人教版
只有一组对边互相平行。
新知探究
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
你知道梯形各部分的名称吗？
新知探究
看右图，说一说梯形各部分名称。
上底
什么是上底，什么是下底？
互相平行的那组对边，短的那
腰高
腰
边是上底，长的那边是下底。
什么是腰？ 不互相平行的那组对边，称为腰。
下底
什么是高？
从上底上的任意一点，向对边做垂线，点和垂足之间的垂 线称为高。
第五单元 平行四边形和梯形
6梯 形
人教版数学四年级上册
课堂目标
1. 认识和理解梯形的概念及特征，认识梯形的各部分名称， 会画梯形的高。
2. 了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。
பைடு நூலகம்
新知探究
你见过下面这样的图形吗？它们有什么共同点？
新知探究
你见过下面这样的图形吗？它们有什么共同点？
他们两组对边有一 组是互相平行，有 一组不是互相平行。
新知探究
这个梯形有什么特殊的呢？
两腰相等。
等腰梯形
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
新知探究
这个梯形有什么特殊的呢？
有一个直角。
直角梯形
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
新知探究
直角梯形是不是只有一个直角？
直角梯形有两 个直角。
直角梯形
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它 们的上底、下底和腰。
下底
腰
腰
高 下底 高 上底
上底
梯形
腰
梯形
上底
腰高
腰
下底
梯形
新知探究
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梯形
教学目标 1.知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等。
2.会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算。
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想。
教学模式问题解决教学
教学过程
想一想：
什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有哪些性质？学生回答后，教师板书以下关系图中的有关部分：
画一画：
画一个梯形，并指出梯形的上、下底，画出梯形的高。
问题教学
问题1：根据刚才的画图，请给梯形下一个定义，并说说梯形与平行四边形的区别和联系。
（说明与建议：（l）让学生自己给梯形下定义，有助于训练学生观察、概括和语言表述的能力。
如果学生定义时，遗漏了“另一组对边不平行”教师可举及例（2）对梯形的定义，还可以让学生讨论以下问题：一组对边平行且这组对边不相等的四边形是梯形吗？为什么？教师可用反证法的思想说理。
然后，板书完成“想一想”中的关系图，并结合图表指出：梯形和平行四边形的区别和联系。
（3）梯形的高是指夹在两底间的公垂线段，在计算面积时高即为上下两底（平行线）间的距离，也就是夹在两底间的公垂线段的长度。
画高时可以从上底任一点向下底作垂线段，一般常从上底的两端向下底作垂线段可方便地构造直角三角形，便于计算。
）
问题2：如图4.9-1，在(1)中：四边形ABCD的AD∥BC，AB CD，且CD⊥BC；在(2)中，四边形ABCD的AD∥BC，AB CD，且AB=CD。
请你给这两种四边形命名。
（说明与建
议：学生说出图（l）的四边形是直角梯形，图（2）是等腰梯形，通常不会有困难；教师应进一步引导学生讨论，在图(1)中CD⊥BC，那么CD⊥AD吗？（CD⊥AD，且指出：CD就是直角梯形的高)当CD⊥BC时，另一腰AB可以垂直BC吗？为什么？（若AB⊥BC，那么四边形ABCD就成为矩形了，不再是梯形。
）在图(2)中，上底AD与下底BC能相等吗？（不能，否则四边形ABCD成为平行四边形，不再是梯形。
）
练一练：课本例1后练习第l、2题。
问题3：观察图4.9－2中的等腰梯形ABCD，猜想它还可能具有哪些特殊性质。
并能证明你的猜想吗？
说明与建议：(l)教师要用微笑、点头、赞叹、激励的表情和话语来鼓励学生大胆猜想。
(2)学生可能提出以下猜想：∠B=∠C，∠A＝∠D，∠A＋∠B=，∠C＋∠D=，
是轴对称图形等等。
教师要引导学生关注等腰梯形特有的性质---等腰梯形的底角相等。
(3)如何证明这个猜想，可让学生自己思考、探索、交流，教师给以引导，鼓励证明多样化，如课本第174页的证法。
教师可提醒学生证明过程中用到了“夹在平行线间的平行线段相等”这一性质。
并指出：这种证法的实质是把一腰平移，从而构造出等腰三角形；对
于如图4.9-2（作AE⊥BC，DF⊥BC）所示的证法，教师可指出：通过作梯形的两条高，可以构造出两个全等的直三角形等。
问题4：如何证明等腰梯形是轴对称图形呢？（说明与建议：可让学生用折纸的方法，确认等腰梯形是轴对称图形；教学中，还可引导学生借助等腰三角形的轴对称性加以证明，如图4．9-3，延长等腰梯形两腰BA、CD相交于点E，易证△AED和△EBC都是等腰三角形。
EF⊥BC，则EF⊥AD，EF所在的直线是两个等腰三角形EAD、EBC的对称轴。
由轴对称图形可知，也是等腰梯形ABCD的对称轴。
因此，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，是过两底中点的直线。
）
例题解析（课本例1）说明:本例的结论，为学生在讨论“问题3”时已提及，则可由学生自已完成证明，并概括成为一个文字命题。
如学生讨论问题3时未提及，则可由教师引导学生猜想，然后再完成证明。
课堂练习 1.课本例1后练习第3题。
2.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积。
（方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm。
然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C
和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm。
）
小结
作业 1.课本习题4.6A组2、3、4题。
2.学有余力的学生可做课本习题4.6B组第1题。
说明：B组第1题较难，可作如下提示：如图4.9-5，平移对角线AC，构造ACED；然后，由AC⊥BD可知△BDE是等腰直角三角形，即可求出高DF。