高中数学必修三《几何概型》课后练习(含答案)

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《3.3 几何概型》(同步训练)高中数学必修3_人教A版_2024-2025学年

《3.3 几何概型》(同步训练)高中数学必修3_人教A版_2024-2025学年

《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题(本大题有8小题,每小题5分,共40分)1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中,事件A为“掷出的点数为偶数”,事件B 为“掷出的点数大于3”。

那么事件A与事件B的关系是:A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中,事件A:“至少掷出一个6点”与事件B:“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B),则下列结论正确的是()A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数,则该数大于1的概率是())A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里,随机取出2个球,取出的两个球颜色相同的概率是:A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针,圆盘的半径为10cm,针的长度为6cm,恰好针完全落在圆盘内的概率是多少?A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中,属于古典概型的是()A、抛掷一枚硬币,它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中,随机抽取一张,抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数,所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个,它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中,D为BC边上的中点,E为AD上的中点,F为CE的延长线与AB的交点,若AB=6,则AF与BF的比值是:A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中,随机取一点,该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是:A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题(本大题有3小题,每小题6分,共18分)1、在下列事件中,属于几何概型的是()A. 抛掷一枚均匀的硬币,出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张,抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数,这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个,抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点,将线段分为三段,若这三段可以构成三角形的概率为P,则P的值为:A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中,内角A的对边长度为8cm,现从顶点A向BC边引一高AD,并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。

最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》课后导练

最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》课后导练

课后导练基础达标1.小明往下面的靶子上投石子,最容易投中黑色区的是( )答案:B2.一只小狗在如图所示的方砖上走来走去,最终停在条形方砖上的概率是( )A.81 B.97 C.92 D.167 解析:小狗在方砖上走来走去可理解为随机,且停在每块小方砖上是等可能的, 所以μΩ=9,μA =2, ∴P=92. 答案:C3.如图,假设你在圆上随机撒一粒黄豆,则黄豆落在阴影部分的概率为( )A.π21 B.π1 C.π2 D.π3 解:设圆的半径为1,则S 圆=π,S 阴影=21×1×1=21,∴P=π21=圆阴影S S . 答案:A4.在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( ) A.31 B.21 C.32 D.97 答案:A5.取一根长为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( ) A.21 B.31 C.41D.不确定 解析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个,显然不能用古典概型计算,可考虑运用几何概型计算.如图,记剪得两段绳长都不小于1 m 为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,所以事件A 发生的概率P (A )=31.(本题在后面还有其他解法) 答案:B6.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.101 B.91 C.111 D.81解析:准确找出“两长度”,套用相应公式;试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110. 答案:A7.在区间[-1,1]上随机地任取两个数x 、y ,则满足x 2+y 2<41的概率是( ) A.16π B.8π C.4π D.2π 解:由条件知:-1≤x≤1,-1≤y≤1,∴点(x ,y)落在边长为2的正方形内部及边界上,即Ω={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},∴μΩ=4. 记事件A={(x,y)|x 2+y 2<41},则μa =4π,∴P(A)=16πμμ=ΩA . 答案:A8.如下图,在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形,向大正方形内随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是___________.解析:“随机”才具有“等可能性”,属于几何概型;由几何概型的计算公式得P=94=大正方形的面积小正方形的面积.答案:94 9.设有一均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的诸数字,另一半上均匀地刻上区间[1,3]上的数字,旋转它,当它停下时,其圆周上触及桌面的刻度位于[23,21]上的概率等于____________.解析:由题意,设事件A=“陀螺停止时,其圆周上触及桌面的刻度位于[23,21]”,它是几何概型,P (A )=83]3,1[]23,1[21]1,0[]1,21[21=∙+∙. 答案:83 10.如下图,在圆心角为90°的扇形中,以圆心O 为起点作射线OC ,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解析:记F ={作射线OC ,使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°},作射线OD 、OE 使∠AOD=30°,∠AOE=60°.当OC 在∠DOE 内时,使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°,则P(F)=319030=. 综合运用11.如右图,在直角坐标系内,射线OT 落在60°的终边上,任作一条射线OA ,则射线落在∠xOT 内的概率是____________.解析:根据射线OA 的任意性找出试验的全部结果构成的区域长度;记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”,因为∠xOT=60°,周角为360°,故P (A )=6136060=︒︒. 答案:61 12.如图,在半径为1的半圆内,放置一个边长为21的正方形ABCD ,向半圆内任投一点,该点落在正方形内的概率为___________.解析:几何概型问题的概率与形状、位置无关,本题只与面积有关;S 正=41)21(2=,S 半圆=21212ππ=⨯,由几何概型的计算公式得P=ππ21241==半圆正S S . 答案:π2113.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm ,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少? 解析:在该试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.如图所示,记“射中黄心”为事件B ,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.即射中黄心的概率是0.01.拓展探究14.在区间[0,1]上任取三个实数x,y,z ,事件A={(x,y,z)|x 2+y 2+z 2<1}. (1)构造出此随机事件对应的几何图形; (2)利用该图形求事件A 的概率. 解析:(1)如图所示,构造单位正方体为事件空间Ω,以O 为球心,以1为半径在第一卦限的81球即为事件A.(2)P (A )=611348133ππ=⨯⨯⨯.。

第三节《几何概型》课后练习-高中数学必修三第三章

第三节《几何概型》课后练习-高中数学必修三第三章

高中数学-必修三-第三章概率-第三节几何概型-课后练习单选题(选择一个正确的选项)1 、已知正棱锥S—ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得的概率是()A、B、C、D、2 、一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6:2:1:4,则指针停在红色或蓝色区域的概率为()A、B、C、D、3 、已知实数满足,则方程有实数解的概率为()A、B、C、D、4 、设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A、B、C、D、5、已知Ω={(x,y)||x≤1,|y|≤1},A是曲线围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为()A、B、C、D、6 、在棱长为1的正方体内任取一点P,则点P到点A的距离不大于1的概率为( )A、B、C、D、7、如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数y=(x>0)图象下方的区域(阴影部分),从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为()A、B、C、D、8 、在区间[0,6]上随机取一个数,的值介于0到2之间的概率为()A、B、C、D、9 、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:00~7:00之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上6:30~7:30之间,则你父亲在离开家前能得到报纸的概率是( ) A、B、C、D、10 、某人向一个半径为的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为( )A、B、C、D、11 、在长为12cm的线段AB上任取一点C.现做一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为()A、B、C、D、12 、设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A、B、C、D、13、甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面,先到的人等另外一个人20分钟方可离开,若他们在限时内到达目的地的时间是随机的,则甲、乙两人能会面的概率为()A、B、C、D、14、在区间[0,10]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,10]的概率为()A、B、C、D、15 、甲、乙两人相约在某地见面,没有安排确定的时间,但都要在晚上7点到8点之间到达,先到的人等待10分钟,若没有见到另一人则离开,那么他们能见面的概率是()A、B、C、D、16 、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A、B、C、D、17 、如右图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96颗,以此实验数据位依据可以估计出椭圆的面积约为( )A、7.68B、8.68C、16.32D、17.3218 、已知直线和与坐标轴围成一个矩形,现向该矩形内随机投一点(该点落在矩形内任何一点是等可能的),则所投的点恰好落在曲线与轴围成的区域内的概率为()A、B、C、D、19 、利用计算机在区间上产生两个随机数和,则方程有实根的概率为( )A、B、C、D、20、已知x∈[﹣1,1],y∈[0,2],则点P(x,y)落在区域内的概率为()A、B、C、D、参考答案单选题答案1. B2. B3. B4. D5. D6. D7. C8. C9. D10. B11. C12. D13. B14. B15. B16. B17. C18. D19. B20. B点击查看更多试题详细解析:/index/list/1/58#list。

高中数学必修三第三章几何概型-校本作业有答案-精校打印版

高中数学必修三第三章几何概型-校本作业有答案-精校打印版

编写人 审稿人 201 年 月 日XX 中学高一数学校本作业(12)几何概型班级:__________ 姓名:__________ 成绩:__________1(2012湖北文10)如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )(A)112-π (B)1π (C )21-π (D )2π2(2012北京文3)与(2012·北京高考理科·T2)相同设不等式组表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )(A )4π (B )22π- (C )6π (D )44π-3(2012辽宁文11)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2的概率为( ) (A)16 (B)13 (C)23 (D)454(2012辽宁理10)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形,领边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为( ) (A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 455(2013陕西理5)如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无.信号的概率是 ( )A . 14π- B. 12π- C . 22π- D. 4π 6 (2013湖南文9).已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为21,则AD AB=( ) A.12 B.14C.2D.47.(2012湖北理8)如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆。

_学年高中数学3.3.1几何概型课后作业新人教A版必修3

_学年高中数学3.3.1几何概型课后作业新人教A版必修3

3.3 几何概型3.3.1 几何概型1.面积为S的△ABC,D是BC的中点,向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为( )A. B.C. D.解析:向△ABC内部投一点的结果有无限个,属于几何概型.设点落在△ABD内为事件M,则P(M)=.答案:B2.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段长度都不小于2m的概率是( )A. B. C. D.不能确定解析:如图所示,拉直后的绳子看成线段AB,且C,D是线段AB上的点,AC=2m,BD=2m,由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置,属于几何概型.设剪得两段的长度都不小于2m为事件E,设M是事件E的一个剪断点,则M∈CD,则事件E构成线段CD,则P(E)=.答案:B3.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96颗,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32解析:矩形的面积S=6×4=24,设椭圆的面积为S1,在矩形内随机地撒黄豆,黄豆落在椭圆内为事件A,则P(A)=,解得S1=16.32.答案:C4.在区间上随机取一个数x,则事件“0≤sin x≤1”发生的概率为( )A. B. C. D.解析:由于x∈,若0≤sin x≤1,则0≤x≤.设“0≤sin x≤1”为事件A,则P(A)=.答案:C5.一个正方体的体积为27cm3,在正方体内任取一点,则这点到各面距离都大于1的概率为( )A. B. C. D.不确定解析:∵正方体的体积为27cm3,∴棱长为3cm.又∵在正方体内任取一点,则这点到各面的距离都大于1,∴这点在以正方体的中心为中心,1cm为棱长的小正方体内,∴P=.答案:A6.某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为x m的河流.该人不小心把一件物品丢在了途中,若掉在河里就找不到,否则就能找到,已知该物品能被找到的概率为,则河宽为.解析:由几何概型的概率计算公式得,解得x=100(m).答案:100m7.设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与A连接,则弦长超过半径的倍的概率为.解析:如图,圆O上一定点A,过圆心O作与OA垂直的直径BC,则|AB|=|AC|=r.要使圆周上的点与点A所连弦长超过半径r的倍,则所取动点范围在上,故弦长超过半径的倍的概率为.答案:8.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为.解析:因为正三角形ABC的边长为4,所以其面积为4.分别以A,B,C为圆心,1为半径在△ABC中作扇形,除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域, 其面积为4-3××12=4,故所求概率P==1-.答案:1-9.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min长的磁带上,从开始30s处起,有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?解:记“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”为事件A.则事件A应发生在前40秒内.所以所求事件的概率为P(A)=.10.一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解:如图,四边形ABCD是长30m、宽20 m的长方形.图中的阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过2m”.问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率.∵S长方形ABCD=30×20=600(m2),S长方形A'B'C'D'=(30-4)×(20-4)=416(m2),∴S阴影部分=S长方形ABCD-S长方形A'B'C'D'=600-416=184(m2),根据几何概型的概率公式,得P(A)=.。

人教A版高中数学必修三练习:第三章概率3.3几何概型含答案

人教A版高中数学必修三练习:第三章概率3.3几何概型含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.以下概率模型中 , 几何概型的个数为( B )①从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到1的概率;②从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率;③从区间 [-10,10]内任拿出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD内投一点 P, 求点 P 离中心不超出1 cm 的概率 .A.1B.2C.3D.42.两根电线杆相距 100 m, 若电线遭到雷击 , 且雷击点距电线杆 10 m 以内时 , 电线杆上的输电设施将受损 , 则遭到雷击时设施受损的概率为( B )3.在长为 10 厘米的线段 AB上任取一点 G,以 AG为半径作圆 , 则圆的面积介于 36π平方厘米到 64π平方厘米的概率是( D )A. B. C. D.4.用计算器或计算机产生 20 个[0,1] 之间的随机数 x, 可是基本领件都在区间 [-1,3]上,则需要经过的线性变换是( D )A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-15.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P, 使△APB的最大边是 AB”发生的概率为, 则=( D )A. B. C. D.6.有四个游戏盘 , 以以下图所示 , 假如撒一粒黄豆落在暗影部分 , 则可中奖, 小明希望中奖时机大 , 他应入选择的游戏盘为( A )7.如图 , 图 2 中实线围成的部分是长方体 ( 图 1) 的平面睁开图 , 此中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形 . 若向虚线围成的矩形内随意扔掷一质点, 它落在长方体的平面睁开图内的概率是, 则此长方体的体积是3 .8.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞翔 , 若蜜蜂在飞翔过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全 ; 若一直保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10, 则飞翔是安全的 , 假定蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一地点可能性同样, 那么蜜蜂飞翔是安全的概率是.9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取点 , 则该点落在三棱锥 A1-ABC内的概率是 .10.以下图 , 在直角坐标系内 , 射线 OT落在 60°角的终边上 , 任作一条射线 OA,则射线 OA落在∠ xOT内的概率是 .11.(1) 从区间 (0,5) 内随意选用一个实数x, 求事件“ 9x>27”发生的概率.(2) 从区间 (0,8) 内任取一个整数x, 求事件“ lo x>-2 ”发生的概率 .【分析】 (1) 由 9 x >27, 解得 x>log9 27,即x> .由几何概型可知 ,所求概率为 P1 ==.(2) 由 lo x>-2, 因此 0<x<4.则在区间 (0,8) 内知足不等式的整数为1,2,3 共 3 个.故由古典概型可知 ,所求概率为 P= .12.在正方体 ABCD-A1B1 C1 D1中, 棱长为 1, 在正方体内随机取一点 M,求使M-ABCD的体积小于的概率.【分析】设点 M 到面 ABCD 的距离为 h,则=·h=,即 h= .因此只需点 M 到面ABCD 的距离小于时,即知足条件.所有知足点 M 到面 ABCD 的距离小于的点构成以面ABCD为底,高为的长方体,其体积为.又由于正方体体积为1, 因此使四棱锥 M-ABCD的体积小于的概率为P= = .B组提高练( 建议用时 20 分钟)13.在区间 [-1,1] 上任取两数 x 和 y, 构成有序实数对 (x,y), 记事件 A为“ x2+y2<1”, 则 P(A) 等于 ( A )A. B. C.π D.2π14.球 O与棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切 , 如图 , 用平行于底面的平面截去长方体 A2B2C2D2-A 1B1C1D1, 获得截面 A2 B2C2D2, 且A2A= a, 现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆 , 则黄豆落在截面中的圆内的概率为( B )A. B. C. D.15.方程 x2+x+n=0(n∈(0,1)) 有实根的概率为 .16.有一个圆面 , 圆面内有一个内接正三角形 , 若随机向圆面上投一镖都中圆面 , 则镖落在三角形内的概率为.17.设有一个等边三角形网格 , 此中各个最小等边三角形的边长都是4cm, 现用直径等于 2 cm 的硬币扔掷到此网格上 , 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 .【分析】记 A={ 硬币落下后与格线没有公共点},如图 ,在边长为 4cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形 A ′B′C′的边长为4-2=2,当硬币的中心落在△ A ′B′C′内时,硬币与格线没有公共点 .由几何概率公式得 :P(A)== .18. 已知函数 f(x)=-x2+ax-b.(1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数 , 求上述函数有零点的概率 .(2)若 a,b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数 , 求 f(1)>0 建立的概率 .【分析】 (1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本领件总数为 N=5 ×5=25( 个).函数有零点的条件为=a 2 -4b ≥0,即 a2≥4b.由于事件“ a 2≥4b ”包括 (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.因此事件“ a2≥4b”的概率为P=.(2) 由于 a,b 都是从区间 [0,4] 上任取的一个数 ,f(1)=-1+a-b>0,因此a-b>1, 此为几何概型 ,因此事件“f(1)>0 ”的概率为 P==.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.如图 , 在一个边长为 a,b(a>b>0) 的矩形内画一个梯形 , 梯形上、下底分别为 a 与a, 高为 b, 向该矩形内随机投一点, 则所投的点落在梯形内部的概率为.20. 设对于 x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数 ,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数 , 求上述方程有实根的概率 ;(2)若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数 ,b 是从区间 [0,2] 任取的一个数 ,求上述方程有实根的概率.【分析】设事件 A 为“方程 x 2 +2ax+b 2 =0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是 a ≥b.(1) 全集Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共12个,此中第一个数表示 a 的取值 ,第二个数表示b的取值 ,事件A={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共9个,故 P(A)== .(2)试验的所有结果所构成的地区为 {(a,b)|0 ≤a ≤3,0 ≤b ≤2}, 而构成 A 的地区为 {(a,b)|0 ≤a≤3,0 ≤b ≤2,a ≥b}, 即以下图的暗影部分 ,因此 P(A)== .封闭 Word 文档返回原板块。

(人教b版)数学必修三练习:3.3.1几何概型(含答案)

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第三章 3.3 3.3.1一、选择题1.下面关于几何概型的说法错误的是( ) A .几何概型也是古典概型的一种B .几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C .几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D .几何概型中每个结果的发生具有等可能性 [答案] A[解析] 几何概型基本事件的个数是无限的,而古典概型要求基本事件有有限个,故几何概型不是古典概型,故选A.2.平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm ,把一枚半径为1 cm 硬币任意投掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A .14B .13C .12D .23[答案] B [解析] 如图,要使硬币不与平行直线l 1、l 4中任何一条相碰,则应使硬币的中心在两平行线l 2、l 3之间,故所求概率为P =13.3.一只小狗在图所示的方砖上走来走去,最终停在涂色方砖的概率为( )A .18B .79C .29D .716[答案] C[解析] 由题意知,这是一个与面积有关的几何概型题.这只小狗在任何一个区域的可能性一样,图中有大小相同的方砖共9块,显然小狗停在涂色方砖的概率为29.故选C.4.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A .14B .12C .34D .23[答案] C[解析] 如下图,在AB 边上取点P ′,使AP ′AB =34,则P 只能在AP ′内运动,则所求概率为P =AP ′AB =34.故选C.5.在1 000mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率( )A .0B .0.002C .0.004D .1[答案] B[解析] 由于取水样的随机性,所求事件A :“在取出的2mL 水样中有草履虫”,属于几何概型.∴P (A )=水样的体积总体积=21 000=0.002.6.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A .16B .13C .23D .45[答案] C[解析] 本题考查几何概型.设AC =x cm ,则BC =(12-x ) cm ,∴x (12-x )=20,解得x =2或x =10,故所求概率P =12-2-212=23.二、填空题7. (2014·福建文,13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.[答案] 0.18[解析] 由几何概型的概率可知,所求概率P =S 阴S 正=1801 000=0.18,∴.S 阴=0.188.设有一均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上区间 [0,1]上的数字,另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字,旋转它,则它停下时,其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎡⎦⎤12,32上的概率是____________.[答案] 38[解析] 由题意,记事件A 为“陀螺停止时,其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎡⎦⎤12,32”.设圆的周长为C ,则P (A )=12×12C +14×12C C =38.三、解答题9.某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖,求飞镖落在阴影部分内的概率.[解析] 由于是随机投掷飞镖,故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的,因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比,如图所示.记“飞镖落在阴影内”为事件A ,则P (A )= △ECD 的面积正方形的面积=14.一、选择题1.如图所示,设A 为圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与A 连接,则弦长超过半径2倍的概率是()A .34B .12C .13D .35[答案] B[解析] 由图可知,符合条件的点应在与点A 相对的另一半圆弧BC 上,BC圆O 周长=12.故选B.2.如图,A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A ′,连接AA ′,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为()A .12B .23C .32D .14[答案] B[解析] 如图所示,当AA ′长度等于半径时,A ′位于B 或C 点,此时∠BOC =120°,则优弧BC =43πR ,∴满足条件的概率P =43πR 2πR =23,故选B.3.已知直线y =x +b 在y 轴上的截距在区间[-2,3]内,则直线在y 轴上的截距b 大于1的概率是( )A .15B .25C .35D .45[答案] B[解析] 由几何概型的概率公式知,所求概率P =3-13-(-2)=25.4.设有一个正方形网络,其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )A .0B .1C .59D .49[答案] C[解析] 如图所示,硬币落下后与格线无公共点时,硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4 cm 的正方形)内,其概率为1636=49,故硬币落下后与格线有公共点的概率为1-49=59,故选C. 二、填空题5.如图所示,大正方形面积为13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形即阴影部分,较短的直角边长为2,向大正方形的投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为____________.[答案]113[解析] 阴影部分面积为1,故所求概率为113.6.(2014·重庆文,15)某校早上开始上课,假设该校学生小张与小王在早上~之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5min 到校的概率为________.(用数字作答)[答案]932[解析] 设小张到校时间是-任意时刻x ,小王到校时间是-任意时刻y ,则x 、y ∈[0,20]的任意实数,因为x 在该时间段的任何时刻到校是等可能的,故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min ”为事件A ,即y -x ≥5,如图所示Ω和事件对应测度为∴所求概率P (A )=12×15×1520×20=932.三、解答题7.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.[解析] ∵假设他在0分~60分钟这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.设事件A =“等待时间不多于10分钟”,事件A 发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,所以μA =60-50=10,μΩ=60.所以P (A )=μA μΩ=1060=16.8.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.[解析] 设事件A 为“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”,当a ≥0,b ≥0时,方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本事件,故事件A 发生的概率为 P (A )=912=34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}. 构成事件A 的区域为{(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2,a ≥b }即如右图的阴影区域所示,所以所求的概率为P (A )=3×2-12×223×2=23.。

高中数学必修三课时训练:3.3-几何概型(含答案)

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数学·必修3(苏教版)第3章 概率3.3 几何概型基础巩固 1.在(0,1)内任取一个数m ,能使方程x 2+2mx +12=0有两个不相等的实数根的概率为( )A.12B.14C.22D.2-22答案:D2.已知实数x ,y ,可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机取数,那么取出的数对(x ,y)满足(x -1)2+(y -1)2<1的概率是( ) A.π4 B.4πC.π2D.π3答案:A3.取一根长度为4 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段长都不少于1 m的概率是________.解析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,4]内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,4]上的均匀随机数,其中[1,3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,3]内,也就是剪得两段长都不小于1 m.这样[1,3]的几何度量与[0,4]的几何度量之比就是事件A发生的概率.答案:1 24.在圆心角为90°的扇形OAB中,以圆心O为起点作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________.解析:角的范围在0°到90°之间,作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足条件.答案:1 35.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为________.答案:1 3能力升级6.已知直线y=x+b,b∈[-2,3],则直线在y轴上的截距大于1的概率是________.解析:直线在y轴上截距范围长度为5,满足条件的截距长度为2,故所求概率为2 5.答案:2 57.在△ABC中,已知a∶b∶c=5∶12∶13,在边AB上任取一点M,则△AMC是钝角三角形的概率为________.解析:设a=5k,b=12k,c=13k(k>0),∵a2+b2=c2,∴∠ACB=90°,过C作CM⊥AB于M.由AC2=AM·AB得:AM=144 13k.∴△AMC 是钝角三角形的概率为:14413k 13k =144169. 答案:1441698.甲、乙两人相约10天之内在某地会面,约定先到的人等候另一个人,经过3天以后方可离开.若他们在限期内到达目的地是等可能的,求甲、乙两人会面的概率.解析:以x ,y 表示甲、乙两人到达会面地点的时间,两人能够会面的条件为|x -y |≤3,在平面上建立如下图所示的直角坐标系,则(x ,y )的所有可能结果是边长为10的正方形(用Ω表示)的面积,而可能会面的时间由图中阴影部分(用A 表示)面积表示,显然这是一个几何概型.所以P (A )=102-72102=51100=0.51. 即两人能够会面的概率为0.51.9.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm,现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.解析:如图,记“硬币落下后与格线无公共点”为事件M,则易得小等边三角形A′B′C′的边长为2 3.由三角形的面积之比等于边长比的平方,得P(M)=S△A′B′C′S△ABC=⎝⎛⎭⎪⎫B′C′BC2=⎝⎛⎭⎪⎫23432=14.10.甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间是2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解析:(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ,则0≤x ≤24,0≤y ≤24.且y -x ≥4或y -x ≤-4.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24,0≤y ≤24,y -x ≥4或y -x ≤-4表示的区域(如上图). 设“两船无需等待码头空出”为事件A ,则P (A )=2×12×20×2024×24=2536. (2)当甲船的停泊时间为4小时,两船不需等待码头空出,则满足y -x ≥4;当乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x -y ≥2.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24,0≤y ≤24,y -x ≥4或x -y ≥2.设满足上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域(如下图).P (B )=12×20×20+12×22×2224×24=442576=221288.。

2019-2020年高中数学 3.3.1几何概型课后习题新人教版必修3

2019-2020年高中数学 3.3.1几何概型课后习题新人教版必修3

2019-2020年高中数学 3.3.1几何概型课后习题新人教版必修31.如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的___,____成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式为__________________.3.古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是____,但古典概型要求基本事件有_____,几何概型要求基本事件有_______.4.某广播电台每当整点或半点时就会报时,某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台,问这人等待的时间不超过5min的概率是______.5.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为_.6.在线段上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.7.在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米)8.从区间内任取两个数,则这两个数的和小于的概率是( )A. B. C. D.9.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. B. C. D.10.已知集合A=,在平面直角坐标系中,点的坐标,点正好在第二象限的概率是( )A. B. C. D.11.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?12.在1万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?13.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.14.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率..。

苏教版高中数学必修三练习:3.3 几何概型(二)含答案

苏教版高中数学必修三练习:3.3 几何概型(二)含答案

3.3 几何概型(二)【新知导读】1.一个圆的所有内接三角形中,问是锐角三角形的概率是多少?2.某电台整点新闻节目都是播放15分钟,你随机地打开收音机刚好在播新闻的概率是多少?3.一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.【范例点睛】:上四节课,每节课50分钟,课间休息10分钟,家长看望学生只例1:某学校上午8:0011:50:之间随机来校.问这位家长一来就可以去见其子女能在课外时间,某学生家长上午8:0012:00的概率是多少?思路点拨:当选择的样本空间不一样时,几何概率也相等,所以选择样本空间可灵活处理,方法不惟一.一般时间,区域问题都可抽象成线段长度问题处理.:间任一时刻到学校是等可能的,考虑样本空间为方法点评:方法一:家长上午8:0012:00:,即4小时,事件发生的几何区域则是40分钟,符合几何概型,可以直接利用概率公8:0012:00:到学校的时刻的机会是均等的,他到学校等待见子女的时间不式.方法二:家长上午8:0012:00会超出一节课,每小时的情况相同,我们可以把样本空间看成是一个小时的情形,则其可以见子女的时间是10分钟,仍符合几何概型.例2:有一杯2升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.思路点拨:用取出水的体积除以总体积.方法点评:本题是与体积有关的几何概型问题,弄清事件A发生对应的体积与原体积之比是解题的关键.【课外链接】1.往一半径为50厘米的圆形桌面上随机地扔一半径为10厘米的质地均匀的小圆片,求圆片在桌面上与桌面圆周无交点的概率.【自我检测】1.两根电线杆相距100m ,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆距离为10m 之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为 ( )A.0.1B.0.2C.0.05D.0.52.水面直径为0.5米的金鱼缸的水面上飘着一块面积为20.02米的浮萍,则向缸里随机洒鱼食时,鱼食掉在浮萍上的概率约为 ( )A. 0.1019B.0.2038C.0.4076D.0.02553.函数2()2,[5,5]f x x x x =--∈-,那么任意0[5,5]x ∈-使0()0f x ≤的概率为( )A .0.1 B.23C .0.3D .0.4 4.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少? ( )A.0.04B.0.005C.0.004D.0.0255.向面积为S 的△ABC 内任投一点P,则△PBC 的面积小于2S 的概率为______________. 6.一只手表停了,某人看了一下表上的时间,其与实际时间相差不超过5分钟的概率为_____________.7.在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,则任意画弦,其长度大于R 的概率为___________.8.若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-,则点(,)x y 在圆面222x y +≤内的概率是多少?9.在线段AB 上任取三个不同点123,,x x x ,求2x 位于1x 与3x 之间的概率.3.3 几何概型(二)【新知导读】1. 以A 为起点,逆时针方向为正,B 至A 的弧长为x ,C 到A 的弧长为y ,则0,2x y r π≤≤对应的几何区域是边长为2r π的正方形,△ABC 为锐角三角形,则还要满足0x r r y r x πππ<<⎧⎨<<+⎩或2r x r x r y rππππ<<⎧⎨-<<⎩,∴P =14 2. 14 3. 22263464P ππ--==g 【范例点睛】例1. 设家长见子女为事件A,方法一: 401()46P A ==分钟小时; 方法二:101()6P A ==分钟1小时. 例2. 记”小杯水中含有这个细菌”为事件A,则事件A 的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型的条件.∵整个区域的几何度量为2μΩ=升,事件A 的几何度量为0.1A μ=升,∴由几何概型求概率的公式,得0.11()0.05220A P A μμΩ====. 【课外链接】1. 质地均匀的小圆片要丢在桌面上且与圆周无交点,则小圆片的圆心必须在圆面上且与圆桌面圆弧的距离要大于小圆片的半径,小圆片圆心位于圆桌面内任一点是等可能的,样本空间对应的几何区域D 是圆桌面所在的大圆面,事件发生对应的几何区域d 是与圆桌面同圆心,半径为50-10=40(cm )的圆,符合几何概型.∴2240165025P ππ⋅===⋅小圆O 的面积大圆O 的面积. 【自我检测】1.B2.A3.C4.C5.346. 1728P π== 9. 设1A 表示1x 在23,x x 之间, 2A 表示2x 在13,x x 之间, 3A 表示3x 在12,x x 之间,则123()()()P A P A P A ==,且123()()()1P A P A P A ++=,故21()3P A =. 10.14(提示:利用概率定义解题).。

高中数学 专题1.12 几何概型练习(含解析)新人教A版必

高中数学 专题1.12 几何概型练习(含解析)新人教A版必

几何概型1.在圆心角为90°的扇形中,以圆心O 为起点作射线OC ,则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A .13 B .23 C .14D .34【答案】 A【解析】 记M =“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”.如图所示,作射线OD ,OE 使∠AOD =30°,∠AOE =60°.当OC 在∠DOE 内时,使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°,此时的测度为度数30,所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )=3090=13.2.方程x 2+x +n =0(n ∈ (0,1))有实根的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.343.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A .14B .12C .34D .23【答案】 C【解析】 如右图所示,在边AB 上任取一点P ,因为△ABC 与△PBC 是等高的,所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |>14”.即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4=|PA ||BA |=34.4.(2012·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π-22 C.π6 D.4-π45.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________.6.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________. 【答案】1316【解析】 记事件A =“打篮球”,则P (A )=π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12=116. 记事件B =“在家看书”,则P (B )=π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12-P (A )=14-116=316.故P (B )=1-P (B )=1-316=1316.7.在区间[0,1]上随意选择两个实数x ,y ,则使x 2+y 2≤1成立的概率为________.8.一海豚在水池中自由游弋,水池为长30 m ,宽20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率.【解析】 如图,四边形ABCD 是长30 m 、宽20 m 的长方形.图中的阴影部分表示事件A :“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”.问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率. ∵S 长方形ABCD =30×20=600(m 2),S 长方形A ′B ′C ′D ′=(30-4)×(20-4)=416(m 2),∴S阴影部分=S长方形ABCD-S长方形A ′B ′C ′D ′=600-416=184(m 2),根据几何概型的概率公式,得P (A )=184600=2375≈0.31.。

人教A版数学必修三课后作业 3.3.1几何概型

人教A版数学必修三课后作业 3.3.1几何概型

课后提升作业二十几何概型(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·厦门高一检测)两根电线杆相距100m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆10m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为( ) A.0.1 B.0.2 C.0.05 D.0.5【解析】选B.如图,两根电线杆相距MN=100m,MP=10m,QN=10m,则当雷击点在MP或QN范围上时,设备受损,故P==0.2.2.将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】求出阴影部分的面积,利用几何概型求概率.【解析】选B.阴影部分的面积S阴=π×12=,长方形的面积S=2×1=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是==.3.(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=. 【补偿训练】如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得P(A)==,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选B.体积型几何概型问题.P==.5.如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 C.由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P= ==.6.如图所示,设M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长超过R的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 D.过圆心O作与OM垂直的直径CD,连接MD,MC,则MD=MC=R.当点N不在半圆弧上时,MN>R,故所求的概率P==.7.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为( )A.B.C.D.【解题指南】从角度方面考虑,注意和射线的区别.【解析】选B.由于直线向两端无限延伸,当直线绕点A旋转时,直线和线段BC相交的概率为=.【延伸探究】本题中若将直线改为射线,则结果如何呢?【解析】选C.由于射线不是向两端无限延伸的,所以当射线绕点A旋转时,射线和线段BC相交的概率为=.8.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则= ( )A. B. C. D.【解题指南】解本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件,首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD,最后分别以A,B为圆心以AB为半径作圆弧交CD于F,E,当EF=CD时满足题意.【解析】选D.如图,在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF 中,AD==,所以=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·山东高考改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为________.【解题指南】本题是以对数函数为背景的长度之比型几何概型的计算.【解析】由-1≤l o≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.答案:10.一个球形容器的半径为3cm,里面装有纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取1mL水(体积为1cm3),含有感冒病毒的概率为________.【解析】水的体积为πR3=π·33=36π(cm3)=36π(mL),则含感冒病毒的概率为P=.答案:三、解答题11.(10分)已知函数f(x)=-x2+ax-b.(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.(2)若a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,求f(1)>0成立时的概率. 【解题指南】准确判断概率模型是古典概型还是几何概型的关键是:基本事件是否只有有限个,每个基本事件发生是否等可能.【解析】(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25(个).函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.所以事件“a2≥4b”的概率为P=.(2)因为a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0,所以a-b>1,此为几何概型,所以事件“f(1)>0”的概率为P==.关闭Word文档返回原板块。

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几何概型课后练习题一:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm ,靶心直径为 cm .运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少题二:如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A .14B .13C .12D .23题三:在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ,则三棱锥P -SBC 的体积大于3V的概率是 .题四:一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,在包围该三棱锥的外接球内任取一点,该点落在三棱锥内部的概率为 .题五:已知P 是△ABC 所在平面内一点,PB u u u r +PC u u u r +2PA u u u r=0,现将一粒黄豆随机撒在△PBC内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A .14B .13C .23D .12题六:在区间(0, 1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于13的概率为( )A .1718B .79C .29D .118题七:若m ∈(0, 3),则直线(m +2)x +(3-m )y -3=0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________.题八:平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是( ) A .a -raB .a -r 2a C .2a -r2aD .a +r2a题九:在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ,则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________.题十:若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥-x2x -y -3≤0表示的平面区域为M ,x 2+y 2≤1所表示的平面区域为N ,现随机向区域M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域N 内的概率为________.题十一:在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( ). A .14B .13C .427D .415题十二:在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于S4的概率是( ).A .14B .12C .34D .23题十三:设有一个正方形网格,每个小正方形的边长为4,用直径等于1的硬币投掷到此网格倍,向方框中投掷硬币,题十四:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的2题十五:设点A为半径是1的圆O上一定点,在圆周上等可能地任取一点B.求弦AB的长超过圆半径的概率.题十六:已知AB是圆O的一条直径,CD是一条动弦且与AB垂直,假设CD与直径AB的交点题十七:下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布,共有队员40人,成绩分为1~5五个档次,例如表中所示跳高成绩为4分,跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起,任取一张,该卡片队员的跳高成绩为x分,跳远成绩为y分.(1)求m+n的值;(2)求x=4的概率及x ≥ 3且y = 5的概率.题十八:下表为某学年随机抽出的100名学生的数学及语文成绩,成绩分为1~5个档次,设x、y分别表示数学成绩和语文成绩,例如表中数学成绩为5分的共有2+6+2+0+2=12,语文成绩2分的共有0+10+18+0+2=30人.题十九:(1)求x≥3的概率及在x≥3的基础上,y=3的概率;题二十:(2)求x=2的概率及m+n的值.题二十一:几何概型 课后练习参考答案题一: .详解:如图,记“射中黄心”为事件B ,由于射中靶面随机地落在面积为41×π×1222cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π× cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P (B )=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=.题二: C .详解:点E 为边CD 的中点,故所求的概率P =△ABE 的面积矩形ABCD 的面积=12.题三:32. 详解:如图,由于三棱锥P -SBC 和三棱锥S -PBC 的体积相等,三棱锥S -PBC 与三棱锥S -ABC 等高, 故在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ,三棱锥P -SBC 的体积大于3V ,即在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于等于3S 即可.记事件A ={△PBC 的面积大于3S },基本事件空间是线段AB 的长度,(如图),因为3S S PBC>∆,则有AD BC PE BC ⋅⨯>⋅213121; 化简记得到:31>AD PE ,因为PE 平行AD 则由三角形的相似性31>AD PE ; 所以,事件A 的几何度量为线段AP 的长度, 因为AP 32=,所以△PBC 的面积大于3S 32=AB AP .题四:427π.详解:由题意可知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生的所有的事件对应着球的体积,满足条件的事件是对应三棱锥的体积,6=,题五: D .详解:由题意可知,点P 位于BC 边的中线的中点处. 记黄豆落在△PBC 内为事件D ,则P (D )=S △PBC S △ABC =12.题六: A .详解:设这两个实数分别为x ,y ,则⎩⎨⎧0<x <10<y <1,满足x +y >13的部分如图中阴影部分所示.所以这两个实数的和大于 13的概率为1-12×13×13=1718.题七: 23.详解:直线与两个坐标轴的交点分别为(3m +2,0),(0,33-m), 又当m ∈(0,3)时,3m +2>0,33-m >0,∴12·3m +2· 33-m <98, 解得0<m <2,∴P =2-03-0=23.题八: A .详解:∵硬币的半径为r ,∴当硬币的中心到直线的距离d >r 时,硬币与直线不相碰. ∴P =2(a -r )2a =a -r a .题九:36π. 详解:以A 、B 、C 为圆心,以1为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形,当P 落在其内时,符合要求.∴P =3×(12×π3×12)34×22=3π6.题十:π12.详解:如图,△AOB 为区域M ,扇形COD 为区域M 内的区域N ,A (3,3),B (1,-1),S △AOB =12×2×32=3,S 扇形COD =π4,所以豆子落在区域N 内的概率为P =S 扇形COD S △AOB =π12.题十一: A .详解:面积为36 cm 2时,边长AM =6 cm ;面积为81 cm 2时,边长AM =9 cm . ∴P =9-612=312=14.题十二: C .详解:如图,在AB 边上取点P ′,使AP ′AB =34,则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动, 则所求概率为AP ′AB =34.题十三:169. 详解:因为硬币的直径是1,所以半径是12,要使硬币下落后与网格线没有公共点,只需硬币下落在正中心的边长为3的正方形的内部∴所求概率为1694322=.题十四:π+324.详解:设硬币的直径为2cm ,正方形线框的边长为4.考虑圆心的运动情况.因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点,所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域,且四角为四分之圆弧;此时总面积为:4×4+4×4×1+π×12=32+π;完全落在最大的正方形内时,圆心的位置在2为边长的正方形内,其面积为:2×2=4;∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为:π+324.题十五:32.详解:在圆上其他位置任取一点B,圆半径为1,则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2π,其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为1232⨯⨯π,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率3221232=⨯⨯=ππP.题十六:23.详解:设弦CD长大于半径的概率是P,如图所示:E,F两点为CD长恰为半径时的位置,根据几何概型长度类型,可得:232232=⨯==R RABEFP .题十七:(1)m +n 的值为3;(2)x = 4的概率为409,x ≥ 3且y = 5的概率为101. 详解:(1)表中反映了队员的跳高、跳远的综合成绩,其中各单元格的数字之和等于40 即:1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m +6+0+n +0+0+1+1+3=40. 整理,得m +n +37=40,因此m +n =3.(2)∵x =4的人数为1+0+2+5+1=9,∴x =4的概率为:4091=P . 又∵x ≥3且y =5的人数为1+1+2=4,∴x ≥3且y =5的概率为1012=P .答:(1)m +n 的值为3;(2)x =4的概率为409,x ≥3且y =5的概率为101.题十八:(1)710,358;(2)651.详解:(1)当x =3时,共有4+2+0+18+6=30人;当x =4时,共有2+0+14+10+2=28人; 当x =5时,共有12人,故当x ≥3时:概率10710070100122830==++=P ,在x ≥3的基础上,y =3时有2+14+0=16人,故此时概率为3587016==P. (2)当x =1时,共有0+0+2+2+6=10人,故当x =2时,共有100-(10+70)=20人, (3)此时概率为5110020==P,∴2+m +12+0+n =20,∴m +n =6.。

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