05.01相交线平行线—相交线
平行线与相交线PPT课件
① 有 一 条 公 共 邻补
边
②另一条边互
为反向延长 线公共边
角互 补
练习：下列各图中∠1、∠2是 对顶角吗？为什么？
1 2 1 2 1 2
不是
不是
不是
两条直线相交，有
2
组对顶角。 6 组对顶角。
三条直线相交于一点，有
四条直线相交于一点，有
12
组对顶角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｎ条直线相交于一点，有 n（n-1） 组对顶角。
O
归纳小结
角的名称 对顶角 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 ① 有 一 个 公 共 对顶 ①都是两条 ①有无公共
顶点； ②角的两边互 为反向延长 线 角相 等 直线相交 边 而 成 的 ②两直线相 角； 交时， ②都有一个 对顶角只有 公共顶点； 一对 ③都是成对 邻补角有两 出现的 个
邻补角
变： ∠1=m
O O
变： ∠1=115
例1：如图，直线a、b相交，∠1=40 ， 求∠2， ∠3， ∠4的度数。
2 1 4 3
O
例2：如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD， O ∠BOC=∠BOD-30 ，求∠DOE的度数。 A
D F
O A E B D O
C B
E
C
练习：如图，直线AB、CD、EF相交于O点， O ∠AOF=2∠FOB，∠AOC=100 ，求∠EOC的度数。
5.1.1相交线
C 1 A
B 2 3 4 D
对顶角相等
2 1 4 3 ∠1，∠2，∠3，∠4
∠1与∠2 ∠1与∠3 ∠1与∠4 ∠2与∠3 ∠2与∠4 ∠3与∠4
是邻补角 是对顶角 是邻补角 是邻补角 是对顶角 是邻补角
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的基础概念，对于描述和解决与线段、角度以及图形形状相关的问题至关重要。
本文将介绍平行线和相交线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
简单地说，如果两条直线在平面上始终保持同样的方向，且没有交点，那么它们就是平行线。
2. 平行线的判定：有三种常见方法可以判定两条直线是否平行：- 同一直线外的一点和该直线上的两点连线所形成的两个角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线被一条横线相交，形成的内错角、外错角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线的斜率相等时，可以得出这两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：- 平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。
- 平行线的两侧任意一点到两条直线的距离之和相等。
- 平行线与同一个横线相交时，相交的内错角、外错角相等。
二、相交线的定义和性质1. 相交线的定义：相交线是指在同一个平面上有一个交点的两条直线。
当两条直线的交点不是无穷远处时，它们就是相交线。
2. 相交线的性质：- 相交线的交点是两条直线上对应的点之间与交点相连的线段。
- 相交线上的内角和、外角和都是相等的。
- 相交线可以分为内部区域和外部区域，两个相交线之间还可以形成许多角，如同位角、对顶角等。
三、平行线与相交线的应用平行线与相交线在几何学中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 平行四边形和矩形的性质：对于平行四边形来说，其对边相等且平行。
而矩形是一种特殊的平行四边形，其内角都是直角。
2. 三角形内角和：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形内角和为180度。
3. 平面切割：使用平行线和相交线可以将一个平面切割为多个区域，为解决复杂的几何问题提供了便利。
4. 平行线与比例：平行线的性质可用于解决比例问题。
当两条平行线被两条相交线所切割时，所形成的线段之间的比例是相等的。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和推导几何定理中起到重要的作用。
本文将从平行线和相交线的定义开始，探讨它们的性质和关系，并介绍一些常见的相关定理。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得到以下性质：1. 平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
2. 平行线之间的距离是恒定的：平行线之间的任意两条线段的距离相等。
3. 平行线有无穷多个共同的垂线：与平行线相交的直线中，与两条平行线都垂直的直线称为垂线。
平行线与相交线的垂线都是两条平行线的垂线。
4. 平行线的夹角为零：两条平行线之间的夹角是零度。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
根据相交线的定义，我们可以得到以下性质：1. 相交线的交点只有一个：相交线的两条直线只有一个交点。
2. 相交线的夹角为非零角：两条相交线之间的夹角不为零度。
3. 相交线的垂线也是两条相交线的垂线：与相交线相交且垂直于两条相交线的直线称为垂线。
4. 相交线的拓展：两条相交线可以通过延长线相交于无穷远处，形成一条直线。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间存在着一些重要的关系和定理。
1. 反证法证明两条线平行的方法：我们可以通过反证法来证明两条线是平行线。
假设两条线不平行，然后推导出矛盾的结论，从而得出两条线是平行线的结论。
2. 平行线与相交线的内角和性质：如果两条平行线被第三条线相交，那么相交线与平行线之间的内角和为180度。
3. 平行线与相交线的外角和性质：如果两条平行线被第三条线相交，那么相交线与平行线之间的外角和为180度。
4. 平行线与相交线的焦点性质：两条不相交的直线被一条直线相交时，互相垂直的两条平行线所包围的区域称为焦点。
5. 平行线与相交线的一些相关定理：如同位角定理、同旁内角定理、同旁外角定理等。
通过以上的探讨，我们对平行线与相交线的定义、性质以及它们之间的关系有了更深入的理解。
初中数学知识归纳平行线与相交线
初中数学知识归纳平行线与相交线平行线与相交线是初中数学中的基础概念，它们在几何学和代数学中都有重要应用。
了解这些概念，对于学习几何学和解决与直线相关的问题非常有帮助。
本文将对平行线和相交线的概念、性质和应用进行归纳总结。
一、平行线的定义和性质平行线指在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
平行线的定义可以从两个方面进行解释：点线距离相等和夹角相等。
1.1 点线距离相等如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，那么这两条直线是平行线。
1.2 夹角相等如果两条直线之间的夹角相等，那么这两条直线是平行线。
平行线的性质包括以下几点：1.3 平行线不会相交由于平行线的定义，它们在同一个平面内永远不会相交，即使无限延长也不会相交。
1.4 平行线与平面的关系在一个平面上，与给定直线平行的直线存在无数条。
1.5 平行线的判定常用的判定方法包括：点线距离相等、夹角相等、平行线的等价定义等。
二、相交线的定义和性质相交线指在同一个平面内相交的两条直线。
相交线的性质如下：2.1 直线交于一点根据直线的定义，一条直线与另一条直线一定相交于一个点。
2.2 夹角的特性两条相交直线之间会形成两对相对的夹角：相邻角和对顶角。
相邻角指的是两条直线之间有一个公共点，并且在该公共点上有一条共同的边的角，它们是相互独立的。
对顶角指的是两条直线之间有一个公共点，并且在该公共点上没有共同的边的角，它们是相等的。
2.3 相交线的性质相交线的性质还包括垂直线和角平分线。
垂直线是指两条直线的夹角为90度，垂直于另一条直线。
角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线。
三、平行线与相交线的应用平行线与相交线的概念在数学中有广泛的应用，特别是在几何学和代数学中。
3.1 平行线的应用在几何学中，平行线的性质用于证明和构造各种定理。
例如，平行线截割同一直线上的两个平行线段，可以得到相似三角形。
基于这一原理，我们可以用相似三角形的性质来解决各种问题。
此外，平行线还与平行四边形和直角梯形等特殊四边形的性质相关。
《平行线》相交线与平行线PPT课件
平行公理推论
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行 （平行线的传递性）
➢ 几何语言表达：
∵a//c , c//b（已知） ∴a∥b (如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)
a
b c
课堂总结
【平行线定义】 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【平行公理】 平面内经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
线平行。
A
B
P
注意： 人们在长期实践中总结出来的结论叫基本事实，也称为公理； 它可以作为以后推理的依据．
平行公理
如图：三条直线AB、CD、EF。
如果AB//EF ，CD//EF，那么直线AB与CD可能相交
吗？
A
B
P
C
D
E
F
因为AB//EF，CD//EF于是过点P就有两条直线AB和直线CD都与EF平行； 根据平行公理，这是不可能的 也就是说，AB与CD不能相交，只能平行。
几何语言
A
B
a
C
D
b
➢ 记作：AB∥CD ➢ 读作：直线AB平行于直线CD
➢ 记作：a∥b ➢ 读作：直线a平行于直线b
一般，我们用“∥”这个符号表示平行
1贴 2靠 3移 4画
平行线画法
平行公理探究
A
B
P
思考：过直线AB外一点P能画几条平行线？
平行公理
公理：平面内经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直
【公理推论】
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
第五章 相交线与平行线
平行线
-.
学习目标
1 了解并掌握平行线的概念
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中非常基础且重要的概念。
它们在很多几何证明和定理中都占据重要地位。
本文将对平行线与相交线的相关概念、性质和应用进行总结与归纳，帮助读者理解和掌握这些知识点。
一、平行线的概念和判定平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
平行线的概念可以通过以下方式进行判定：1. 法则一：两条直线被一条横截线所截，且内、外两侧交角相等，则这两条直线是平行线。
2. 法则二：两条直线被平行于它们的横截线所截，对应角相等，则这两条直线是平行线。
3. 法则三：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
二、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c 平行，那么直线a与直线c也平行。
2. 平行线具有对应角相等性质：当两条平行线被横截线所截时，对应角相等。
3. 平行线具有同位角相等性质：当两条平行线被平行于它们的横截线所截时，同位角相等。
三、相交线的概念和性质相交线是指在同一个平面内相互交叉或相交的直线。
相交线的性质如下：1. 相交线的交点称为顶点，顶点两侧的角分别称为锐角、钝角或直角。
2. 相交线形成的两组对应角相等，即共鸣。
3. 相交线形成的补角相等，即一个角是另一个角的补角，它们的和等于90°。
四、平行线与相交线的应用1. 平行线与相交线在平面几何证明中经常被应用。
例如，证明两条直线平行时常常使用平行线公理和对应角相等的性质。
2. 平行线与相交线在解决实际问题中也起到重要作用。
例如，在建筑工程中，通过平行线和相交线可以确定物体的垂直、水平方向，从而保证建筑结构的稳定性和安全性。
3. 平行线与相交线还与三角形的性质有密切关系。
在研究三角形的内部角度和边的关系时，平行线与相交线的性质常常用来辅助推导和证明。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
通过掌握平行线与相交线的概念、判定、性质和应用，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识，提高问题解决能力和证明能力。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
本文将详细介绍平行线和相交线的定义、性质和应用。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
具体地说，如果两条直线上的任意一对相邻角的对应角相等，则这两条直线是平行线。
平行线的性质如下：1. 平行线具有传递性，即如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c平行。
2. 平行线有唯一的平行线。
3. 平行线与同一条直线相交的两个直角互补角相等。
4. 平行线与同一条直线相交的内角、外角之和为180度。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面内，交于一点的两条直线。
具体地说，如果两条直线不平行，则它们必定相交于一点。
相交线的性质如下：1. 相交线的对应角相等：如果两条直线相交于一点，对应于同一边的相邻角相等。
2. 相交线的同位角互补：如果两条平行线被截搁，那么同位角互补。
3. 相交线的内错角互补：如果两条相交线所围成的四个角中，直线间的内错角相等。
4. 相交线的补角相等：同一直线上两个互补角相等。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线与三角形：在三角形中，平行线与相交线可以用来证明三角形的性质。
例如，通过平行线和相交线的构造，可以证明三角形的内角和等于180度，以及两条平行线被截搁形成的同位角互补。
2. 平行线与多边形：在多边形的研究中，平行线和相交线也发挥着重要的作用。
通过平行线的划分，我们可以得到平行线截取的线段比以及多边形内外角和的关系。
3. 平行线与平面几何：在平面几何学中，平行线与相交线的知识也常用于证明平行四边形、梯形和平行线的特性。
四、总结平行线与相交线是几何学中的基本概念，它们对于解决几何问题和证明定理至关重要。
本文简要介绍了平行线和相交线的定义、性质和应用，希望能够对读者加深对这两个概念的理解，以及在几何学中的实际应用提供帮助。
在实际问题中，我们常常需要利用平行线和相交线的性质进行推理和解决问题，因此对于这两个概念的掌握是非常重要的。
人教版相交线与平行线复习课件(2)
(2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线也互相平行。
4.同位角、内错角、同旁内角的概念
同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条 直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置 关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。
（2）有且只有一个公共点的两条直线是相交直线（ √ ）
（3）没有公共点的两条直线是平行线。( × ) （4）在同一平面内不相交的两条线段必平行。 （×）
（5）同一平面内的两条直线，必把这个平面分成四部分。
（×）
2、下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、 垂直、平行三种
1、如图，已知AC⊥AE， BD⊥BF，∠1=35°， ∠2=35°，AC与BD平行吗？ AE与BF平行吗？为什么？
2、如图，已知∠A＝∠1，∠C＝∠D，试 说明FD∥BC。
A
E
1 F
D 2
B
C
3、(2002.河南)如图所示，已知AB∥CD，A 直线EF分别交AB，CD于点E，点F，
EG平分∠BEF，若∠1=72°，则
应点，连接各组对应点的线
段平行且相等。
全章思维导图
基础大训练
1、在两同条一直线平的面位内置，关系有相交、平行。
C
12 B
4 O3
2、对顶角：顶点相同
A
角的两边互为反向延长线
D
3、邻补角：有一条公共边 另一边互为反向延长线
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
4、如图，直线AB，CD被直线EF所截，那么图中
方法2：内错角相等，两直线平行。
平行线与相交线
平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是两个重要的概念。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，而相交线则是指在同一个平面上相交的两条直线。
本文将详细介绍平行线与相交线的性质和特点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质1. 定义：平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
它们的方向是完全相同的，永远保持平行的关系。
2. 符号表示：通常用符号“||”来表示平行关系。
例如，若两条直线AB和CD平行，则可以表示为AB || CD。
3. 平行线的判定：a) 公理法：如果两条直线分别与第三条直线相交时，所成的内角和是180°，则这两条直线是平行的。
b) 等价判定法：- 如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
- 如果两条直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线是平行的。
二、相交线的性质1. 定义：相交线是指在同一个平面上相互交叉的两条直线。
相交线总是相交于一点，这个点称为交点。
2. 符号表示：通常用字母P表示交点。
例如，若直线AB与直线CD相交于点P，则可以表示为P = AB ∩ CD。
3. 相交线的性质：a) 相交线所成的相邻内角互补，即两角的和等于180°。
b) 相交线所成的对顶外角相等，即两角的度数相等。
c) 垂直相交线的特殊性质：如果两条相交线相互垂直，则其中一条线上任意一点到另一条线的垂足的线段长度是最短的。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线的应用：a) 建筑学中的平行线应用：借助平行线的特性，建筑师能够设计出具有平衡美观感的建筑物。
b) 数学推理中的平行线应用：平行线的性质经常被用于解决几何问题，例如通过证明两条直线平行，可推导出其他性质。
2. 相交线的应用：a) 交通规划中的相交线应用：交叉路口的设计需要合理规划相交线，以确保交通安全和交通流畅。
b) 几何图形的划分应用：在几何图形中，相交线的划分可以将图形分为不同的区域，让问题更易于解决。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
平行线与相交线知识点
平行线与相交线知识点平行线和相交线都是几何学中重要的知识点，它们有着自己的特点和性质。
下面将详细介绍平行线和相交线的相关知识点。
1.平行线的定义和性质：平行线是指在同一个平面内，永不相交的直线。
平行线有以下性质：-平行线具有相同的斜率：如果两条线的斜率相同，那么它们是平行线。
-平行线的交角为0度或180度：两条平行线之间的夹角为0度或180度。
-平行线可以表示为向量的线性组合：如果表示平行线的两个向量是平行或反平行的，那么它们所定义的直线是平行线。
-平行线的平行关系具有传递性：如果直线A与直线B平行，直线B与直线C平行，那么直线A与直线C也平行。
2.相交线的定义和性质：相交线是指在同一个平面内，有一个交点的直线。
相交线有以下性质：-相交线的交点是它们的公共点：两条直线的交点是它们共享的一个点，这个点既在第一条直线上，也在第二条直线上。
-相交线的夹角为90度：两条相交线之间的夹角为90度。
-相交线具有对称性：如果直线A与直线B相交，那么直线B与直线A也相交。
-相交线可以表示为向量的线性组合：如果表示相交线的两个向量相互独立，那么它们所定义的直线是相交线。
3.平行线和相交线的关系：平行线和相交线在一些特殊情况下可以相互转化：-如果两条直线平行，那么它们永远不会相交。
-如果两条直线相交，那么它们永远不会平行。
4.平行线和相交线的应用：平行线和相交线在几何学中有着广泛的应用，例如：-平行线和相交线常用于解决角度和证明问题。
-平行线和相交线可以用于构造几何图形，如平行四边形和三角形等。
-平行线和相交线在地理学和建筑学中也有重要的应用，如绘制地图和设计建筑物的平面布置等。
总结：平行线和相交线是几何学中的重要概念，它们具有独特的定义和性质。
熟练掌握平行线和相交线的性质和应用，对于解决几何问题和理解空间关系具有重要的帮助。
因此，对于平行线和相交线的理解和应用是学习的关键。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题中起着关键作用。
以下是对平行线与相交线相关知识点的总结与归纳。
一、平行线与相交线的定义平行线：在一个平面内，如果两条直线没有交点，且在这个平面内无论延长多长都不会相交，那么这两条直线称为平行线。
相交线：在一个平面内，如果两条直线在某一点相交，那么这两条直线称为相交线。
二、平行线的性质1. 平行线之间的距离相等：平行线在任意两点之间的距离都相等。
2. 平行线的倾斜角相等：如果两条直线分别与一条横线交于两个平行线上的点，那么这两条平行线的倾斜角相等。
3. 平行线与平面的交点：如果一直线与两条平行线在同一平面内相交，那么它将与这两条平行线在同侧的点分别成比例。
三、平行线与角度的关系1. 同位角：当两条平行线被一条相交线切割时，同位角的对应角是相等的。
即形成的对应角、内错角、同位角互相相等。
2. 内错角：当两条平行线被一条相交线切割时，内错角的对应角是相等的。
3. 全等三角形与平行线：如果两个三角形的对应边相等，且它们的其中一边平行，那么这两个三角形全等。
因此，对应角也相等。
四、平行线的证明方法1. 使用基本等式：例如，利用垂直线与平行线的性质，可以通过等式推导来证明平行线的存在。
2. 利用反证法：即通过假设给定的命题不成立，然后推导出矛盾来证明平行线的存在。
五、平行线与相交线的应用1. 证明几何定理：平行线与相交线常用于证明几何定理，如平行线分割三角形、平行线夹角定理等。
2. 结合实际问题：平行线与相交线的概念也可以在日常生活与工作中得到应用，如建筑设计、地理测量、交通规划等。
综上所述，平行线与相交线是几何学中的重要概念，掌握了这些知识点，我们可以更好地解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题。
在学习与应用过程中，我们还可以采用不同的证明方法，灵活运用平行线与相交线的性质，丰富几何学的研究与实践。
平行线与相交线
平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是研究直线之间关系的基本概念。
平行线指的是在一个平面上永远不会相交的两条直线，而相交线则是和其他直线相交的直线。
本文将介绍平行线与相交线的定义、性质以及应用，帮助读者更好地理解这些概念。
一、平行线的定义与性质1. 平行线的定义：平行线是在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
2. 平行线的性质：a) 平行线具有相同的斜率。
斜率是两条线相对于x轴的倾斜程度的度量，当两条线的斜率相同时，它们是平行线。
b) 平行线具有相同的内角和外角。
当两条平行线被一条横截线切割时，内角和外角分别相等。
c) 平行线的平行关系是传递性的。
即如果直线l与m平行，直线m与n平行，则直线l与n也平行。
二、相交线的定义与性质1. 相交线的定义：相交线是和其他直线有交点的直线。
2. 相交线的性质：a) 相交线与平行线之间的关系是互补的。
如果一条直线与一组平行线相交，它将与这组平行线的每一条线都有交点。
b) 相交线的交点称为相交点。
相交点是由两条或多条直线的交叉形成的点。
三、平行线与相交线的应用平行线与相交线的概念广泛应用于各个领域，并在几何学、物理学和工程学等学科中发挥着重要的作用。
以下是其中一些应用的例子：1. 平行线与角度测量：在测量角度时，常常使用平行线与相交线的性质。
例如，在测量一条直线与水平线之间的夹角时，我们可以找到两条平行线与相交线，然后利用内角和外角的性质来计算所需的角度。
2. 平行线与等距离：平行线还可以用来描述等距离关系。
如果在平行线上取两个点，然后在另一条平行线上找到与之对应的点，那么这些点之间的距离将保持相等。
这一性质在建筑和工程设计中非常重要。
3. 平行线与平面图形：平行线的概念也被广泛应用于平面图形的构造和分析中。
例如，在绘制平行四边形时，我们需要利用平行线的性质来确定对边的位置关系。
总结：平行线与相交线是几何学中重要的概念，对于直线之间的关系有着深远的影响。
平行线具有相同的斜率和内角和外角，它们的平行关系是传递的；相交线与平行线之间的关系是互补的，它们的交点称为相交点。
平行线与相交线初中数学知识点之平行线与相交线的性质与判断
平行线与相交线初中数学知识点之平行线与相交线的性质与判断在初中数学中，平行线与相交线是一个重要的知识点。
学生需要掌握平行线与相交线的性质以及判断方法。
本文将针对这一主题进行详细的介绍和讲解。
一、平行线的性质和判断1. 定义：平行线是指在同一平面上，永远不会相交的两条直线。
2. 性质一：如果两条直线分别与一条第三条直线相交，使得同侧内角之和为180度，则这两条直线是平行线。
这一性质被称为同位角对应定理。
例如，在图1中，直线AB与直线CD分别与直线EF相交，且∠A+∠D=180度，则可以判断线AB和线CD是平行线。
3. 性质二：如果两条直线被一组平行线所截断，则被截断的对应线段成比例。
这一性质被称为等角定理。
例如，在图2中，直线AB与直线CD被平行线EF截断，那么AB/CD = AE/CF = BE/DE。
4. 判断方法一：通过角度判断行线。
例如，在图3中，∠A = ∠D，则可以判断线AB与线CD是平行线。
5. 判断方法二：通过辅助线判断如果可以找到一条辅助线将两条直线划分为两组内角和为180度的情况，那么可以判断这两条直线是平行线。
例如，在图4中，引入直线EF，并且∠A + ∠D = 180度，则可以判断线AB与线CD是平行线。
二、相交线的性质和判断1. 定义：相交线是指在同一平面上，会相交的两条直线。
2. 性质一：相交线的对应角相等。
这一性质被称为对应角定理。
例如，在图5中，∠A = ∠D，∠B = ∠C，则可以判断线AB与线CD是相交线。
3. 性质二：相交线的内错角互补，即内错角之和等于180度。
这一性质被称为内错角互补定理。
例如，在图5中，∠A + ∠D = 180度，∠B + ∠C = 180度。
4. 判断方法一：通过角度判断交线。
例如，在图5中，∠A = ∠D，则可以判断线AB与线CD是相交线。
5. 判断方法二：通过辅助线判断如果可以找到一条辅助线将两条直线划分为内错角和等于180度的情况，那么可以判断这两条直线是相交线。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线和相交线是几何学中常见的概念。
它们在不同的情境下有着不同的特性和应用。
本文将深入探讨平行线和相交线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
它们的性质如下：1. 平行线具有恒定的互相平行的特性，无论它们的长度有多长，其方向始终保持不变。
2. 平行线之间的距离始终相等，即平行线的两侧的任意两条线段的长度相等。
3. 平行线可以用符号 || 表示，例如线段AB || 线段CD表示AB和CD是平行的。
4. 平行线可以有不同的方向，可以是水平、垂直或倾斜的。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面上，交叉或相遇的两条直线。
它们的性质如下：1. 相交线在交点处形成四个角，这四个角被称为相交角。
2. 相交线的相交角可以分为内角和外角，内角是指相交线夹角的两个角，外角是指相交线射线与其余两条线段射线构成的角。
3. 相交线的交点被称为交点，这个点同时属于两条相交线。
4. 相交线可以有各种不同的交点形式，例如两条直线的交点、直线与射线的交点等。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间存在一些重要的关系：1. 平行线与相交线的交点角度为180度，被称为补角。
补角的两条边线段分别位于两条平行线之间。
2. 平行线与相交线的交点角度为90度，被称为直角。
直角是几何学中常见的角度，具有特定的数学性质和应用。
3. 平行线和相交线可以通过构造垂直线来判断它们之间的关系。
如果一条线段与平行线的两个线段都垂直，则这条线段也是平行线。
四、平行线与相交线的应用平行线和相交线在几何学中有着广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1. 平行线和相交线的性质可以用于求解几何图形的面积、周长和角度等问题。
2. 平行线和相交线的关系被广泛应用于建筑设计、城市规划和交通规划等领域，以确保建筑物和道路的平行和垂直关系。
3. 平行线和相交线的概念在数学中被应用于线性代数、解析几何和向量分析等高级数学学科中。
平行线与相交线
平行线与相交线相交线和平行线是几何学中的基本概念，它们在我们的日常生活中以及各个领域都有广泛的应用。
本文将从解释平行线和相交线的定义开始，探讨它们的性质以及它们之间的关系。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出一些性质：1. 平行线上的任意两点与另一条直线的相交点之间的连线是平行于这两条平行线的。
2. 平行线上的任意两点与另一条平行线之间的连线是平行于这两条平行线的。
3. 平行线上的任意两点之间的线段与另一条平行线的交点之间的线段长度相等。
二、相交线的定义与性质相交线是指在同一个平面上相交的两条直线。
针对相交线，我们可以得出一些性质：1. 相交线上的任意两点与另一条直线的相交点之间的连线不平行于这两条相交线。
2. 相交线上的任意两点与另一条相交线之间的连线不平行于这两条相交线。
3. 相交线上的任意两点之间的线段与另一条相交线的交点之间的线段长度不相等。
三、平行线与相交线的关系1. 如果一条直线与另外两条直线相交，且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也是平行的。
2. 如果一条直线与另外两条直线相交，且这两条直线不平行，则这两条直线也相交。
根据上述几点，平行线和相交线都是由直线组成。
它们之间的关系主要体现在它们的相交情况上。
如果两条平行线被一条第三条直线相交，则称这两条平行线是相交线的对偶。
除了几何学中的应用外，平行线和相交线在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要利用平行线的性质进行测量和建模。
而在交通规划中，我们需要考虑相交线的位置和角度，以确保交通流畅和安全。
总结起来，平行线和相交线是几何学中的基本概念，它们具有不同的定义和性质。
平行线永不相交，而相交线则在同一个平面上相交。
它们之间的关系可以通过相交线的对偶进行描述。
在实际生活中，平行线和相交线有着广泛的应用，是我们了解和应用空间结构的重要基础。
初中数学平行线与相交线
初中数学平行线与相交线平行线与相交线是初中数学中的重要概念，在几何学的学习中起着关键的作用。
本文将对平行线和相交线的定义、性质以及相关应用进行详细介绍。
一、平行线与相交线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
记作∥。
相交线是指在同一个平面上，有一个公共点的两条直线。
记作⊥。
二、平行线的性质1. 如果两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也平行。
2. 如果两条直线被一条平行于它们的直线所截断，则这两条直线的截断线段互相平行。
3. 平面上的两条平行线分别与一条直线相交，则所形成的内错角、内错角相等。
三、相交线的性质1. 在同一平面上，两条互相垂直的直线称为相交线。
2. 相交线的交点称为垂足。
3. 在一个三角形内，高交于底边上的一点，这条高与底边的垂线相等。
四、平行线与相交线的应用1. 平行线在建筑设计中的应用：建筑工程中常常使用平行线来保证建筑结构的牢固和稳定。
2. 相交线在交通规划中的应用：交叉路口中的线路交叉又称为相交线，交通规划中需要合理设计相交线的交叉方式，以确保交通的流畅和安全。
五、实例分析以一道典型的应用题为例，来展示平行线与相交线的解题思路。
题目：如图，已知AB∥CD，AE⊥CD，且AC=15cm，BD=12cm，DE=9cm，求BE的长度。
解析：根据已知条件，在平行线AB和CD之间可以得到∠ADE和∠DCE为直角，因此∠ADE≌∠DCE。
由于两直角三边全等，则∆ADE≌∆DCE。
根据全等定理可知，AE=CE，由此可得AC=AE+EC=2AE。
又已知AC=15cm，因此AE=15/2=7.5cm。
根据直角三角形的性质，可以得到BE=√(EC^2+AE^2)=√(15^2+7.5^2)=√(225+56.25)=√281.25≈16.77cm。
六、总结平行线与相交线是初中数学中的重要内容，通过对平行线和相交线的定义、性质以及应用的学习，可以帮助我们更好地理解几何学中的相关知识。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中一个基本概念，对于理解空间中的图形关系和解决几何问题起着重要的作用。
本文将对平行线与相交线的概念及性质进行介绍，以及相关应用举例。
一、平行线的概念与性质平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
平行线有以下几个基本性质：1. 平行线的特征：任何一条直线与平行线平面上的一条线平行，则它与平行线上的另一条线也平行。
2. 平行线的判定：若两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
3. 平行线的性质：平行线之间的距离始终保持相等，且平行线上的任意两条直线之间的夹角相等。
二、相交线的概念与性质相交线是指在同一个平面上，有一个公共点的两条直线。
相交线有以下几个基本性质：1. 相交线的特征：如果两条直线有一个公共点，并且在这个公共点的两侧，每一侧上各取一点，这四点不在同一条直线上，则这两条直线相交。
2. 相交线的判定：若两条直线的斜率不相等，则它们一定相交。
3. 相交线的性质：两条相交线之间的夹角可以通过计算得到，并且两条相交线通过公共点的连线上的任意两个点，与两条相交线分别构成一对共线点。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间存在着一些重要的关系：1. 钝角与钝角：当两条平行线被一条斜线交叉时，两个相对的内角分别是钝角。
2. 对顶角与对顶角：当两条平行线被一条斜线交叉时，两个对顶角之间的关系是对顶角。
3. 同位角与同位角：当两条平行线被一条斜线交叉时，两个同位角之间具有相等的关系。
四、应用举例1. 证明三角形内角和为180度：通过构建一对平行线，其中一条线与三角形的一边平行，另一条线与三角形的另一边平行，可以推出三角形内角和为180度。
2. 求解平行线之间的距离：通过计算平行线任选一对相对的直线之间的距离，可以获得平行线之间的距离。
3. 解决平行线相关的几何问题：在几何问题中，平行线与相交线是常见的概念，根据这些性质可以解决衡量线段、角度等几何关系的问题。
总结：通过对平行线与相交线的概念、性质以及应用的介绍，可以发现它们在几何学中的重要性。
初中数学 平行线与相交线PPT
§5.1 相交线
一、相交线
两直线相交，有一个交点，形成四个角
还有哪些是对顶角 ？邻补角呢？
4
3
1
2
对顶角： 有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线 如：∠1与∠3
邻补角： 有一条公共边， 并且另一边互为反向延长线 如：∠1与∠4
【范例1】
1、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 ( C )
E B
5、平面内三条直线的交点个数是（ D ）
A．1个或3个 C．1个或2个或3个
B．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
二、垂线
C
A
O
B
D
符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O
垂线的画法：
两种情况： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或 射线的垂线，即画它们 所在直线的垂线； ②过一点作线段的垂线 ，垂足可在线段上，也 可以在线段的延长线上
画法：
⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上
⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上
⑶三画：沿着这条直角边画线
垂线的性质:
⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短
6、下列说法中正确的是（ C ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线。 B．互相垂直的两条直线一定相交。 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。 D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是 3cm，则点A到直线c的距离是3cm。
P
A
OB
8、下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（ A ）
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C
A
画已知线段、射线 的垂线其实就是经过已 知点作已知线段、射线
B
A
C
B
A
所在的直线的垂线.
B
巩固练习
2、如图所示：直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度 数.
C E
A
O D
B
巩固练习
如图所示：一辆汽车在直线形公路AB上由A 地开往B地， M、N是分别位于公路两侧的村庄. ①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距 离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近， 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位
A
1 2
B
3
C
E
5
1
5 2
2
A
D B
8
“内”的涵 义? 二直线之内; “旁”的涵 义: 第三直线的同侧
2 ∠ 7 与 ∠ 是 内错角;与 ∠ 5 ∠ 4 是内 错角; ∠2 与 ∠5 是同旁内 角; ∠7 与 ∠4 是同旁内 角;
F
6
1、如图4所示中的同位角，内错角，同旁内角：
同位角有__________ 内错角有__________ 同旁内角有________ 2、如图所示：下列说法错误的是 （ ） A、∠A和∠B是同旁内角 B、∠1和∠3是同位角 C、∠2和∠B是同位角
2、两条直线相交，有两组对顶角
（ ）√ （ ）√
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是
直角，那么其余的三个角也是直角 二、选择（每题10分）
1、如右图中直线AB、CD交于O，OE是∠BOC
的平分线且∠BOE=50度，那么∠AOE=（ C ）
（A）80 （B）100 （C）130 （D）150
2、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，
2 6
A
8
F
两直线被第三直线所截,构成的八个角中
同位角:
位于
C
4
3 7 2
E
5
两直线同一方、且在 第三直线同一侧的两 个角，叫做同位角
1
A
D B
8
F
6
如：∠1和∠2为同位角
同位角是 F 形状
C
7
4
3
E
1 5 2
D B
同位角是
F
形状
A
图2--6
8 F 6 3
左上 左下
2
1
右上
7
5
右下
4
②
①8 ③6 ④来自那么（ C ）A、∠AOC和∠BOE是对顶角；
B、∠COE和∠AOD是对顶角； C、∠BOC和∠AOD是对顶角；
A D、∠AOE和∠DOE是对顶角。 C
D O
E B
三、填空（每空3分）
如图所示：直线AB、CD交
E 1 G A 2 3 H C ） 对顶角相等 已知 ） 4 F B D
EF于G、H，∠2=∠3，∠1=70
（D） （4）
巩固练习
1、如图所示：直线a、b相交，∠1=40°，
求∠2、∠3、∠4的度数？
b 1 a
2
O 4
3
巩固练习
2、如图所示：∠1等于90°时，∠2、∠3、
∠4等于多少度？
b 1 a
2
O 4
3
巩固练习
3、如图是一个对顶角量角器，你能说明它
度量角度的原理吗？
巩固练习
4、找出图中∠AOE的对顶角及邻补角，若
如图1所示：∠1与∠2是同位角的有（ C A．①、② C．②、③ B．①、③ D．②、④
）
两直线被第三直线所截,构成的八个角中
内错角: 位于
C
7 4 2 6 3
E
1 5
两直线的内部且在第 三直线的两侧的两个 角叫做 内错角
A
8
D B
F
如：∠2和∠7为内错角
内错角是 Z 形状
内错角
C
7
3
E
1 5
几何无王者之道！——欧几里德
7/10/2013 10:59 PM
1
本章知识结构图： 相 交 线 与 平 行 线
相 交 线 平 行 线
补角、余角、对顶角
探索直线平 行的条件 探索直线平 行的特征 同位角 内错角 同旁内角
第 五 章
尺规作图
作一条线段等于已知线段， 作一个角等于已知角。
相交线、平行线
C
D A
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
B
直线垂直.
探究活动
如何挖渠能使渠道最短？从上述探究过程中你能
如图所示：在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，
发现什么结论？
C
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短. 即，垂线段最短.
A
B
巩固练习
1、如何画一条线段或一条射线的垂线？
O
B
解：∵∠AOC=50°（已知）
∴∠AOD=180°-∠AOC=130°（邻补角的定
义）
∴∠DOE=
1 ∵OE平分∠AOD（已知） 2
∠AOD=65°（角平分线的定义）
回顾 & 思考 1 概念，性质填空：
直 两个角的和是_____，称这两个角互为余角。 角 两个角的和是平角，称这两个角互为_____。 补角 有公共顶点，两边互为反向延长线的两个
角叫做_______。 对顶角 •____ _____的余角相等； 同角或等角
•同角或等角的____相等； 补角 •对顶角_____。 相等
同位角 内错角 同旁内角
若两条直线被第三条直线所截，形成几个角?
C
3 7
1 5
E D B
三条直线构成的八 个角之间除对顶角、
4
邻补角的关系外，
还有什么样的关系？
度。求∠4的度数。 解：∵∠2=∠ 1 （ ∠1=70 ° （
∴∠2= 70° （等量代换） 又∵ ∠2=∠3（已知）∴∠3= 70 （ 等量代换 ） ° 3 110 ° 邻补角 ∴∠4=180°-∠ = （ 的定义）
四、解答题（每一步5分） 如图所示：直线AB、CD交于点 A
E D
O，OE是∠AOD的平分线，已知 C ∠AOC=50°，求∠DOE的度数。
没有请画出.
E D A
O
C B
探究活动
观察：两直线相交形成4个角，若固定木条a，旋 转木条b，当b位置发生变化时，a、b所成的角也 会随之变化，其中有一个特殊的位置： ＝90° .
探究活动
现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C 和直线上一点D，画AB的垂线，你有几种画法？
从中你能发现什么结论？
条 射线分成的两个角。由此可知，邻补角
不但是指两个角的大小关系：∠1+∠2=180 度；而且指两个角的位置关系： C 1
不但有一个公共顶点，
而且有一条公共边。 A 2
O
B
我们知道邻补角
是互补的，那么
对顶角有什么样
的关系呢？
解： ∵∠3=∠1 （对顶角相等） ∠1=68°（ ） 已知 （等量代换） ∴∠3=68° （邻补角的定义） ∴∠2=180°-∠1=112° ∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）
图形中的相交线 问题：找出图中的相交线、平行线
认识邻补角和对顶角 问题：一把张开的剪刀，你能联想出什么样 的几何图形？
观察这些角有什么位置关系？
A 1 4 3 C 2
D
O
B
如右图中直线AB和CD交于点O，得到了 四个角是： ∠1、∠2、∠3、∠4
对顶角： 有公共顶点，一个角的两边分别是
另一个角两边的反向延长线的两个
D
4
2 6
B
A
8
F
“内”的涵义： 两直线的内部(两直线之间);
第三直线的两侧 “错”的涵义：
两直线被第三直线所截,构成的八个角中
同旁内角： 位
C
7 4 2 6 3
E
1 5
于两直线的内部且在 第三直线的同侧的两 个角叫做同旁内角
A
D
B
8
F
如：∠2和∠5为内错角
同旁内角是 U 形状
同
7
旁
内
角
C
4
3
7
角互为对顶角 A 图中还有这样的角吗？
1 4 3 C
D
O
2
B
如右图中直线AB和CD交于点O，得到了 四个角是： ∠1、∠2、∠3、∠4
邻补角： 有公共顶点、一条公共边且另一边
互为反向延长线的两个角称为邻补
角 图中还有这样的角吗？
A 1 4 3 C 2
D
O
B
如图所示：∠1和∠2是 邻补角 ，可以看 成是一条直线被经过直线上一点的一
置.
M A B
巩固练习
如图所示：一辆汽车在直线形公路AB上由A 地开往B地， M、N是分别位于公路两侧的村庄. ②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪
一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上
距离村庄N越来越近，而离M越来越远？
M
A
B
一、判断（每题10分） 达标测试 1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角（ × ）