第3章 线性规划技术
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划--基本概念
线性规划–基本概念简介线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化技术，用于寻找最佳解决方案。
它被广泛应用于工程、经济学、商业和其他领域，以帮助决策者做出最佳决策。
基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由一个目标函数和一组约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。
2. 决策变量决策变量是影响问题解决方案的变量。
在线性规划中，这些变量通常代表着可供决策者调整的资源或决策参数。
3. 目标函数目标函数是需要优化的线性函数。
在线性规划中，最常见的目标是最大化利润或最小化成本，目标函数通常用代数符号表示。
4. 约束条件约束条件是问题中必须满足的条件。
这些条件通常由一组线性不等式或等式组成，描述了决策变量的限制范围。
5. 最优解线性规划的目标是找到满足所有约束条件下使目标函数达到最小值或最大值的决策变量值。
这些决策变量值组成了最优解。
6. 可行解满足所有约束条件的解决方案被称为可行解。
线性规划求解过程中，需要找到一个可行解才能进行优化。
7. 线性可分线性规划要求问题中的目标函数和约束条件都是线性的。
这意味着这些函数和不等式都可以用直线表示，且在图形上相交于有限个点。
求解方法1. 单纯形法单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断移动目标函数的极值点来寻找最优解，直到无法再改进为止。
2. 内点法内点法是另一种常用的线性规划求解方法，它通过在内部点迭代来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法在大规模问题上具有更好的性能。
3. 混合整数线性规划混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）扩展了线性规划，允许决策变量为整数。
这种形式的问题更难求解，通常需要使用分支定界等复杂算法。
应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用：•生产计划：优化生产线的效率和成本。
•供应链管理：优化库存水平和运输成本。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，主要涉及到线性规划的概念、性质、解法以及在实际问题中的应用等方面。
下面将详细介绍高中线性规划的相关知识。
一、线性规划的概念和性质线性规划是数学规划的一种，它是在一组线性约束条件下，寻觅一个目标函数值最大或者最小的解的问题。
线性规划的基本形式可以表示为：Maximize（或者Minimize）目标函数Subject to 线性约束条件线性规划的性质包括可行域的闭性、目标函数的线性性质以及线性约束条件的可加性等。
可行域是指满足所有约束条件的解的集合，它是一个闭集。
目标函数是线性的，即目标函数的系数都是常数。
线性约束条件的可加性是指如果两个解都满足约束条件，那末它们的线性组合也满足约束条件。
二、线性规划的解法线性规划的求解方法主要有图解法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图解法适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到目标函数在可行域上的最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步逼近最优解。
对偶理论则是通过线性规划的对偶问题来求解原问题，两者的最优解是相等的。
三、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、投资组合等方面。
以下是几个典型的应用案例：1. 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，每单位所需生产时间为2小时；产品B每单位利润为150元，每单位所需生产时间为3小时。
假设产品A和B的生产量都是非负数，问如何安排生产才干使总利润最大化？2. 资源分配问题：某公司有两个项目，项目A和项目B，每一个项目需要的资源数量不同。
假设项目A需要2个工程师和3个技术人员，项目B需要3个工程师和2个技术人员。
公司现有10个工程师和12个技术人员，问如何分配资源才干使两个项目的需求都得到满足？3. 投资组合问题：某投资者有100万元可以投资于股票和债券两种资产。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。
例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。
决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。
已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。
同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。
现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。
以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解构成了可行域，即决策变量的取值范围。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的解称为最优解。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、模型建立1. 决策变量：线性规划的决策变量是问题中需要决策的量，通常表示为x₁、x₂、...、xₙ。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，确定目标函数的系数。
如果是最大化问题，系数一般为正；如果是最小化问题，系数一般为负。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
将约束条件表示为不等式形式，并确定各个约束条件的系数和常数。
4. 可行域：根据约束条件的线性不等式，确定决策变量的取值范围，即可行域。
三、求解方法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图解法求解。
将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，通过图形的交点确定最优解。
2. 单纯形法：对于高维问题，单纯形法是最常用的求解方法。
它通过迭代计算，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，增加了变量取整的限制条件。
四、应用案例1. 生产计划：某公司有限定的资源和订单需求，需要确定各个产品的生产数量，以最大化总利润为目标。
高中线性规划
高中线性规划一、概述线性规划是运筹学中的一种优化方法，通过建立数学模型，解决最大化或最小化目标函数的问题。
在高中数学中，线性规划是一种重要的内容，旨在培养学生的数学建模和解决实际问题的能力。
本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解题步骤和应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来寻找最优解。
目标函数通常是一个线性函数，可以表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列约束条件，通常表示为一组线性不等式或等式。
约束条件可以用不等式组的形式表示，如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，也可以用等式组的形式表示，如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
3. 变量：线性规划中的变量表示问题中需要求解的未知数，通常用x₁、x₂、...、xₙ表示。
三、解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数和约束条件，并将其转化为数学模型。
2. 确定可行域：将约束条件表示为几何图形，确定可行域，即满足所有约束条件的解集合。
3. 确定最优解：在可行域内，确定目标函数的最大值或最小值。
可以使用图形法、代入法或单纯形法等方法求解。
4. 检验最优解：将最优解代入原问题，验证是否满足所有约束条件。
四、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为5元，每单位产品B 的利润为8元。
公司的生产能力限制为每天生产A产品不超过1000个，B产品不超过800个。
另外，公司的销售部门预计每天销售A产品最多900个，B产品最多700个。
问如何安排生产，使得利润最大化？解题步骤如下：1. 建立数学模型：设x₁为生产的A产品数量，x₂为生产的B产品数量。
目标函数：z = 5x₁ + 8x₂（最大化利润）约束条件：- 生产能力限制：x₁ ≤ 1000，x₂ ≤ 800- 销售限制：x₁ ≤ 900，x₂ ≤ 700- 非负约束：x₁ ≥ 0，x₂ ≥ 02. 确定可行域：根据约束条件，绘制出可行域的图形。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
第3章 线性规划.ppt
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
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第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
线性规划知识点
线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、工程学、管理学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域等知识点。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标，通常是最大化或最小化某个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的解。
5. 最优解：在所有可行解中使目标函数达到最大或最小值的解。
三、模型建立1. 目标函数的建立：根据实际问题确定最大化或最小化的目标函数。
2. 约束条件的建立：根据实际问题确定决策变量的限制条件。
3. 可行域的确定：将约束条件表示为几何图形，确定可行域的范围。
四、求解方法1. 图形法：通过画出可行域的几何图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：对决策变量引入整数要求，求解整数线性规划问题。
4. 网络流方法：将线性规划问题转化为网络流问题，利用网络流算法求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或产量最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决物流运输中的最优路径问题，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，使得资源利用率最高。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定最佳的投资组合，使得收益最大化或风险最小化。
5. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的各个环节，实现供应链的高效运作。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于各个领域中。
掌握线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域，对于解决实际问题具有重要意义。
希望本文所介绍的知识点能够对您有所帮助。
如有任何疑问，请随时向我们提问。
第03章线性规划
第3章线性规划数学规划是系统工程中最重要的分析方法之一，是运筹学的主要分支。
它包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
30年代初出现的线性规划，1947年丹茨基（George B．Dantzig）发明单纯形法，理论上才得到完善。
随着电子计算机的发展，成千上万个约束条件和变量的大型线性规划问题都可以求解。
因此，无论从理论的成熟性看，还是从应用的广泛性看，线性规划都是运筹学的一个重要分支。
它在工业、农业、交通运输、军事和计划管理等各方面都愈来愈得到广泛地应用。
l 线性规划问题及其数学模型在生产过程中，要想提高工作效率和经济效益，一般有两条途径：一是进行技术改造，改进生产手段和条件。
（比如增添设备、改进工艺、挖掘潜力等）二是在生产手段和条件都不变的情况下，改善生产的组织和计划管理，作出最优安排，使生产手段和条件得到充分的利用。
线性规划方法就是解决后一类问题的工具。
后一类问题又可分为两个方面：一是在一定限制条件下，使得工作成果尽可能大；二是为完成既定任务，使资源消耗尽可能小。
例3一1 资源利用问题。
某工厂计划生产A、B两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。
已知该厂可利用的煤有360t，电力有200kw，劳动日有300个，生产每千克产品的资源消耗量和能获得的利润如表3—1所示。
问该厂应生产A，B两种产品各多少千克才能使总利润最大？解设生产A，B两种产品各为x1，x2kg，则该问题可归结为，求一组变量x l，x2满足下列条件：使得总利润f=7x1+12x2取得最大值。
例3－2 下料问题。
某工厂制造一种机床，每台机床需A、B、C三种不同长度的轴各一根，其毛坯长度；A为2.9m，B为2.1m，C为1.5m，它们用同一种圆钢来下料，每根圆钢长为7.4m。
要造100台机床，问如何下料最好？试建立其数学模型（不考虑下料截口损耗）。
”解将各种可能的下料方案排列如表3－2。
设所用圆钢总数为f根，第j种下料方案。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
第三讲：线性规划
线性规划问题的求解在理论上有单纯形法， 在实际建模中常用以下解法： 1. 图解法 2. LINGO 软件包； 3. Excel中的规划求解； 4. MATLAB软件包.
3.2 用MATLAB优化工具箱解线性规划
1. 模型：
min z=cX
s.t. AX b
命令：x=linprog（c, A, b）
优化模型的分类
实际问题中 min(或 max) z f ( x), x ( x1 ,, x n ) T 的优化模型 s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m x是决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)是目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0是约束条件
结果为： x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9个一级检验员.
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数.故它是
一个整数线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解， 求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数 规划的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不是整数， 将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数 规划应用专门的方法求解.
[2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束: Aeq X beq , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4. 命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
min z 13x1 9x2 10x3 11x4 12x5 8x6
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它通过建立数学模型来描述问题，并通过求解模型的最优解来得到问题的最优解。
线性规划中的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以使用线性代数和数学规划的方法来求解。
二、线性规划的基本要素1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，通常表示为:a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b1a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ b2...a1x1 + a2x2 + ... + anxn = bn这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法线性规划的求解方法有多种，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到最优解的几何位置。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算不断优化目标函数的值，直到找到最优解。
3. 内点法：适用于大规模线性规划问题，通过在可行域内搜索最优解的内部点，以加快计算速度。
四、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合、营销策略等。
以下是一些典型的应用场景：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最优的生产计划，以最大化产出或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以帮助确定最优的运输方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率。
4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
5. 营销策略：线性规划可以帮助确定最优的营销策略，以最大化销售额或最小化成本。
五、线性规划的局限性尽管线性规划在许多问题中具有广泛的应用，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在某些非线性问题上的应用。
第三讲 线性规划与非线性规划
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1 0 0
1 x1 2 x 2 x1 x 2
2 2
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
1．先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);
2．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];
3. 主程序fxx.m为: x0=[3;2.5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')
例 2
min z 6 x1 3 x 2 4 x 3 s .t . x 1 x 2 x 3 120 x1 30 0 x 2 50 x 3 20
min z ( 6
3
x1 4) x 2 x3
s .t .
(0
1
x1 0) x2 50 x 3 x1 1) x 2 120 x 3
1 2
2 x2
s.t.
线性规划教材教学课件
02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维 空间中寻找一个点，该点使得某 个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示， 通过观察图形可以直观地理解问 题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界 上。
大M法的优点是计算量较小， 可以快速找到一个近似解，但 解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要 求不高，但需要快速得到近似 解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分 解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问 题，得到一个初步的解；第二阶段是在 初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的 库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需 要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函 数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优 解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解， 而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称 为最优基解，它是线性规划问题的一 个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的 经典方法，通过不断迭代和寻找最优 解的过程，最终找到满足所有约束条 件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广 等优点，但也有计算量大、需要多次 迭代等缺点。
运筹学03-线性规划
500 / 10 = 50 元
说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就 可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。
21
假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域扩大 ，但最优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50 ，x2 = 250 。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。 解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余，因此增 加10千克值增加了库存，而不会增加利润。 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得 到改善（变好）； （2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受 到影响（变坏）； （3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。
C c1 c2 cn
价值向量
a1n a2n a mn
b1 b2 b b m
x1 x2 X x n
a11 a 21 A a m1
1
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
例1.
目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2
第3章 线性规划技术
第3章线性规划技术本章提要线性规划的一般模型的建立；图解法求解线性规划；线性规划问题的标准型及标准化；单纯形法、大M法和两阶段法。
在生产管理和经营活动中经常会遇到一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
线性规划（Linear programming，简记LP）是解决这类问题的常用方法。
线性规划是数学规划与运筹学的一个分支，是运筹学中最重要的一种数量方法。
主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。
为叙述简便，以后我们常把“线性规划”一词用其世界通用略语LP代替。
3.1 线性规划的一般模型3.1.1 线性规划问题举例【例 3.1】某化工厂根据一项合同要为用户生产一种用甲、乙两种原料混合配制而成的特殊产品。
甲、乙两种原料都含有A、B、C三种化学成分，其含量（%）是：甲为12,2,3；乙为3,3,15。
按合同规定，产品中三种化学成分的含量（%）不得低于4,2,5，甲、乙原料成本为每千克3,2元。
厂方希望总成本达到最小，则应如何配制该产品?解：设每千克该产品用x1千克甲原料和x2千克乙原料配制而成，每千克产品成本为Z 元。
则该问题的数学模型为：目标函数：min Z = 3x1+2x2约束条件：x1+ x2=1 配料平衡条件12121212x 3x =42x 3x 23x 15x 5+⎫⎪+⎬⎪+⎭≤成分约束条件≤ x 1，x 2≥0 变量约束条件【例3.2】 一艘货船分前、中、后三个舱位，它们的容积分别是4000、5400和1500立方米，最大允许载重量分别为2000、3000和1500吨。
现有三种货物待运，相关数据如下：问该货轮应装载A 、B 、C 各多少件，运费收入为最大？解：用i=1,2,3分别代表商品A,B,C ，用j=1,2,3分别代表前、中、后舱，设x ij 为第i 种商品装于j 舱位的的数量（件），则问题的线性规划模型为：目标函数：max Z=1000（x 11+x 12+x 13）+700（x 21+x 22+x 23）+（x 31+x 32+x 33）约束条件：1121311222321323338x 6x 5x 20008x 6x 5x 30008x 6x 5x 1500++⎫⎪++⎬⎪++⎭≤≤舱位载重限制≤ 11213112223213233310x 5x 7x 400010x 5x 7x 540010x 5x 7x 1500++⎫⎪++⎬⎪++⎭≤≤舱位体积限制≤ 112131122232132333x x x 600x x x 1000x x x 800++⎫⎪++⎬⎪++⎭≤≤商品数量限制≤ 思考：补充了下列条件后的模型有何变化？为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。
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第3章线性规划技术本章提要线性规划的一般模型的建立；图解法求解线性规划；线性规划问题的标准型及标准化；单纯形法、大M法和两阶段法。
在生产管理和经营活动中经常会遇到一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
线性规划（Linear programming，简记LP）是解决这类问题的常用方法。
线性规划是数学规划与运筹学的一个分支，是运筹学中最重要的一种数量方法。
主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。
为叙述简便，以后我们常把“线性规划”一词用其世界通用略语LP代替。
3.1 线性规划的一般模型3.1.1 线性规划问题举例【例 3.1】某化工厂根据一项合同要为用户生产一种用甲、乙两种原料混合配制而成的特殊产品。
甲、乙两种原料都含有A、B、C三种化学成分，其含量（%）是：甲为12,2,3；乙为3,3,15。
按合同规定，产品中三种化学成分的含量（%）不得低于4,2,5，甲、乙原料成本为每千克3,2元。
厂方希望总成本达到最小，则应如何配制该产品?解：设每千克该产品用x1千克甲原料和x2千克乙原料配制而成，每千克产品成本为Z 元。
则该问题的数学模型为：目标函数：min Z = 3x1+2x2约束条件：x1+ x2=1 配料平衡条件12121212x 3x =42x 3x 23x 15x 5+⎫⎪+⎬⎪+⎭≤成分约束条件≤ x 1，x 2≥0 变量约束条件【例3.2】 一艘货船分前、中、后三个舱位，它们的容积分别是4000、5400和1500立方米，最大允许载重量分别为2000、3000和1500吨。
现有三种货物待运，相关数据如下：问该货轮应装载A 、B 、C 各多少件，运费收入为最大？解：用i=1,2,3分别代表商品A,B,C ，用j=1,2,3分别代表前、中、后舱，设x ij 为第i 种商品装于j 舱位的的数量（件），则问题的线性规划模型为：目标函数：max Z=1000（x 11+x 12+x 13）+700（x 21+x 22+x 23）+（x 31+x 32+x 33）约束条件：1121311222321323338x 6x 5x 20008x 6x 5x 30008x 6x 5x 1500++⎫⎪++⎬⎪++⎭≤≤舱位载重限制≤ 11213112223213233310x 5x 7x 400010x 5x 7x 540010x 5x 7x 1500++⎫⎪++⎬⎪++⎭≤≤舱位体积限制≤ 112131122232132333x x x 600x x x 1000x x x 800++⎫⎪++⎬⎪++⎭≤≤商品数量限制≤ 思考：补充了下列条件后的模型有何变化？为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。
具体要求：在前、后舱分别与中舱之间载重量比例上，偏差不超过15%，前后舱之间不超过10%。
第3章 线性规划技术 55()()()()()()1121311222321323331222321121311323338x 6x 5x 2210.1510.1538x 6x 5x 38x 6x 5x 1110.1510.1528x 6x 5x 28x 6x 5x 4410.1010.1038x 6x 5x 3⎫++-+⎪++⎪⎪++⎪-+⎬++⎪⎪++-+⎪++⎪⎭≤≤≤≤平衡条件≤≤ 3.1.2 线性规划的一般模型从以上两例可以看出，它们都是属于一类优化问题。
它们的共同特征：（1）每一个问题都用一组决策变量（x 1,x 2,…,x n ）表示某一待定方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。
一般这些变量取值是非负的。
（2）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
（3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，按所考虑问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
其一般形式为： 目标函数：(1.1)x c ...x c x c max(min)Z n n 2211+++=)3.1( 0x ,... , x , x )bn,(x a ... x a x a (1.2).....................................................)b ,(x a ... x a x a )b ,(x a ... x a x a ..n 21nnn 2n21n12n 2n 2221211n 1n 212111⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++t s在线性规划的数学模型中，方程（1.1）称为目标函数；（1.2）、（1.3）称为约束条件；（1.3）也称为变量的非负约束条件。
其中：max 是英文maximize 最大化的缩写；min 是英文minimize 最小化的缩写；s ．t ．是英文subject to (受约束于)的缩写。
3.2 线性规划的图解法线性规划的图解法，就是借助几何图形来求解线性规划问题的一种方法。
图解法简单直观，还有助于了解线性规划问题求解的基本原理。
【例3.3】某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备台时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的台时数如表2-1所示表2-1 各产品的利润及占用台时解：设变量x i为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1,2）。
根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型：目标函数max Z = 2x1 + 3x2满足约束条件121 221 23x2x 65 (A)2x x 40 (B) s.t.3x75 (C)x x0 (D, E)+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤，≥图解法的步骤在以决策变量x1，x2为坐标向量的平面直角坐标系上对每个约束（包括非负约束）条件作出直线，并通过判断确定不等式所决定的半平面。
非负条件x1、x2≥0是指第一象限。
例1的每个约束条件都代表一个半平面。
各约束半平面交出来的区域即可行集或可行域，如图3.1阴影所示。
第3章线性规划技术57图3.1 可行域如约束条件3x1+2x2≤65是代表以直线3x1+2x2 = 65为边界的左下方的半平面，2x1+x2≤40是代表以直线2x1+x2 =40为边界的左下方的半平面，3x2≤75是代表以直线x2 =25为边界的下方的半平面，若同时满足x1，x2≥0的约束条件的点，必然落在由这五条直线围成的区域内。
由例1的所有约束条件为半平面交成的区域见图3.1中的阴影部分。
阴影区域中的每一个点（包括边界点）都是这个线性规划问题的解（称可行解），因而此区域是例3.3的线性规划问题的解集合，称它为可行域。
目标函数：Z= 2x1+3x2，在这坐标平面上，它可表示以Z为参数、-2/3为斜率的一族平行线x2 = -2/3x1+1/3 Z位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为“等值线”。
当Z值由小变大时，直线x2 = -2/3x1+1/3 Z沿其法线方向向右上方移动，当移动到Q点时，使Z值在可行域边界上实现最大化，这就得到了例1的最优解Q，Q点的坐标为（5,25）于是可计算出Z= 85。
这说明该厂的最优生产计划方案是：生产产品5件，生产产品II为25件，可得到最大利润为85千元。
上例中求解得到问题的最优解是唯一的，但对一般线性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：（1）无穷多最优解（多重解）。
若将例3中的目标函数变为求max Z =4x1+2x2，则表示目标函数中以参数Z的这族平行直线与约束条件2x1+x2≤40的边界线平行，当Z值由小变大时，将与线段Q2Q3重合（见图3.1）。
线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值，这个线性规划问题有无穷多最优解（多重解）。
（2）无界解。
对下述线性规划问题max Z= x1+x2-2x1 +x2 ≤16x1 - x2 ≤2x 1,x 2≥0用图解法求解结果见图3.2。
从图中可以看到，该问题可行域无界，目标函数值可以增大到无穷大。
称这种情况为无界解或无最优解，简称无解。
实际问题出现这种情况时，一般可断定数学模型中遗漏了某些必要的约束。
（3）无可行解。
如果在例3的数学模型中增加一个约束条件2x 1+3x 2≥4，该问题的可行域为空集，即无可行解，当然也不存在最优解了。
这种情况也称为无解。
实际问题出现这种情况，往往说明资源条件满足不了人们的要求。
从图解法中直观地见到，当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸多边形。
若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到；若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。
图解法虽然直观、简便，但仅适用于二维LP 问题（即问题只有2个决策变量），当变量数多于三个以上时，它就无能为力了，因此必须寻找其他解决办法。
单纯形法就是一种普遍适用的代数解法。
在介绍单纯形法之前，先介绍线性规划问题的标准形。
3.3 线性规划问题的标准形3.3.1 线性规划问题的标准形线性规划问题的标准形要求所有约束必须为等式约束，变量为非负变量，目标函数没有硬性规定，求最大和最小都可以。
形如：maxZ=c 1x 1+c 2x 2+．．．+c n x n ，1111221n n 12112222n n 2n11n22nn n n 12n 12n a x a x a x b a x a x a x b s.t.a x a x a x b x x x 0b b b 0+++⎧⎪+++⎪⎨+++⎪⎪⎩…＝…＝…＝，，…，≥；，，…，≥线性规划的标准形具有以下四个特征： （1）决策变量全部大于或等于零。
（2）约束条件全为线性等式。
图3.2 图解法求解第3章 线性规划技术 59（3）限定系数全部是非负值。
（4）目标函数值求最大（或最小）。
3.3.2 线性规划问题的标准化（非标准形过渡到标准形）如果线性规划问题不是标准形式，则可通过一系列的数学变形将其转化为标准形： （1）当约束条件为不等式时，转化为等式。
当“≤”时，在不等式的左端加上一个非负的松弛变量，可化为等式；当“≥”时，在不等式的左端减去一个非负的剩余变量，可化为等式。
（2）当决策变量x i 不满足非负条件时。
则增加两个新的非负决策变量x i ′≤0， x i 〞≤0，令x i =x i ′-x i 〞。
（3）若限定系数b i 不满足非负时，两端同时乘以（-1）得-b i ≤0 【例3.4】 将下列线性规划问题转化为标准形：minZ=-x 1+2x 2-3x 3， 123123123123x x x 7x x x 2s.t.3x x 2x 5x x 0x ++⎧⎪+⎪⎨++⎪⎪⎩≤，-≥，-＝，，≥，无约束。