《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案.doc

第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题

1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？

2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？

3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？

4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？

5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？

6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意

义是什么？

7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为

求最小值），其经济意义是什么？

8．将i j j

i b

c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确

1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。

4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。

5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。

6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量

0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。

7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量

0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。

8．对于i

j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。

9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加

u k 。

10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0

++= （2）4321322max x x x x z +++=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤-+≤++0

,,9

237245

2321321321321x x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥+--=+-≤+++无约束43214313

214321,,0,31

3212x x x x x x x x x x x x x x ； （3）

32132min x x x z --= （4）3212min x x x z ++=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++-≥--≤+-无约束321321321321,0,1042742523x x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-+-=--≤++无约束321321321321,0,3453532722x x x x x x x x x x x x ； （5）321347max x x x z +-= （6）321345min x x x z +-= ⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥=+≥--≤-+无约束23132321221,0,030351546324624x x x x x x x x x x x ；

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=+≤-+≥+无约束1323232131

,0,306415458872x x x x x x x x x x 。

四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 （1）32123min

x x x Z ++= （2）321422max x x x z ++=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥-≤++0,,3463213231321x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤++≤++≥++0,,5643732

532321321321321x x x x x x x x x x x x ； （３）43211216812min x x x x z +++= （４）321425min x x x z ++=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥++≥++0,,,34222424321421321x x x x x x x x x x ；

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥++≥++0,,125367

23321321421x x x x x x x x x ；

五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时j c

与i b 的变化范围。 （１）1213max x x x z

++= （２）4211935089max x x x z x +++=

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,323222321321321x x x x x x x x x ； ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+++0,,,6418410234321434321x x x x x x x x x x ； （３）32134max x x x z ++= （４）432181026max x x x x z +++=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤++≤++0,,622422*********x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤--+0,,,1032425

8233204465432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．

六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，

问题的约束为 ≤ 形式