2014年人教A版选修4-5教案 二 一般形式的柯西不等式
高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案
3.2 一般形式的柯西不等式【学习目标】1. 掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】1. 三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？2. 一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件3. 结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用. 【自主检测】1. 已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则222a b c ++的最小值为＿＿＿＿ A.1 B.4 C. 13 D. 142. 设12,,,,n a a a R ∈，则22212n a a a n+++与12na a a n+++的大小关系为＿＿＿3. 若111,,0,1a b c abc>++=，则a b c ++的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】例1. 已知,,0a b c >，求证：()1. 9b c a a b c a b c b c a ⎛⎫⎛⎫++++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()2222222.b c c a a b abc a b c++≥++例2.(1)已知12,,,n a a a R ∈.求证：2211n ni i i i a n a ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑（2）已知1212,,,0,1n n a a a a a a >+++=.求证：2222231121223341112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --+++++≥+++++（3）已知1212,,,,,,,0n n a a a R b b b ∈>.求证：()222221231212312n n n na a a a a a ab b b b b b b +++++++≥+++例3.（1）已知22222212121,1n n a a a x x x +++=+++=，求1122n n a x a x a x +++的最大值（2）设,,,1a b c R a b c +∈++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值（3）若19x y z ++=,求函数2224916u x y z =+++++的最小值【课堂检测】1. 设12,,,,n a a a R ∈，则12naa a P n+++=与12111nnQ a a a =+++的大小关系为( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤2. 设a,b,c ，d R +∈，且()1111P a b c d ab c d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭，则P 的最小值为3. 已知491x y z ++=，则222x y z ++的最小值为4. 把一条长为m 的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？【总结提升】1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.。
人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
2014年人教A版选修4-5课件 1.二维形式的柯西不等式
AD + DB = OC DC = AD DB . 2
A O C
D
B
下面我们讨论柯西不等式的几何意义.
在平面直角坐标系中设向量 a=(a, b), b=(c, d), a 与 b 之间的夹角为 q, 0≤q≤p. y b (c, d) a b = |a || b | cosq , |a b | = |a || b || cosq | |a || b |, a (a, b) 当 a , b 中有零向量, 或 |cosq|=1 时, 等号成立. x O 将坐标代入得 当 |cosq |=1 时, | (a, b)(c, d ) | a 2 + b2 c 2 + d 2 , a , b 共线 , 2 2 2 2 | ( ac + bd ) | a + b c + d , 即 则 ad=bc. 2≤(a2+b2)(c2+d2), ( ac + bd ) 两边平方得 即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (两向量模的积不小于积的模.)
还能得到什么样的不等式呢?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式就属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ≥(ac+bd)2. (这个不等式的结构形式有什么特点? 四个数形 成的大小关系是怎样的? 在什么情况下等号成立?)
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-5《32一般形式的柯西不等式》
【课标要求】 1．理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西
不等式的一般形式． 2．会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等
式和求函数的最值． 【核心扫描】 1．一般形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点． 2．常与不等式、最值等问题综合考查．(难点)
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或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n) 时，等号成立．
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想一想：在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为
ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ 提示 不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号 成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．
b＋1 c＋
c＋a·
1
2
c＋a
＝(1＋1＋1)2＝9.
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∴a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a≥a＋9b＋c. ∵a，b，c 互不相等， ∴等号不可能成立，从而原不等式成立．
规律方法 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到 利用柯西不等式的目的．
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自学导引
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2
.当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在
一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 时 ， 等 号 成
立．
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解 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1 ＝ 4a＋1·1＋ 4b＋1·1＋ 4c＋1·1 ≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)12(12＋12＋12)12 ＝ 7× 3＝ 21. 当且仅当 4a1＋1＝ 4b1＋1＝ 4c1＋1时取等号． 即 a＝b＝c＝13时，所求的最大值为 21.
高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。
高二数学人教A版选修4-5教案3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析
一般形式的柯西不等式一、教学目标．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排课时三、教学重点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数，，满足＋＋＝，求＝＋＋的最小值．【解】由柯西不等式得(＋＋)(＋＋)≥(＋＋).∵＋＋＝，∴(＋＋)≥，即＋＋≥.当且仅当＝＝＝，即＝，＝，＝时等号成立．故＋＋的最小值为. （二）讲授新课教材整理三维形式的柯西不等式设，，，，，∈，则(＋＋)·(＋＋)≥.当且仅当或存在一个数，使得＝(＝)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理一般形式的柯西不等式设，，，…，，，，，…，是实数，则(＋＋…＋)(＋＋…＋)≥.当且仅当＝(＝，…，)或存在一个数，使得＝(＝，…，)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例已知，，∈(，＋∞)，＋＋＝，求＋＋的最小值及取得最小值时，，的值．【精彩点拨】由于＋＋＝，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵，，∈(，＋∞)，∴·(＋＋)＝[＋＋][()＋()＋()]≥＝(＋＋)＝.又＋＋＝，∴＋＋≥，当且仅当＝＝＝时等号成立，综上，当＝＝＝时，＋＋取得最小值.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]。
人教A版高中数学选修4-5：第二讲 柯西不等式 教学案
第二讲 柯西不等式一、 内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。
学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。
学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。
二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。
目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。
目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。
三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？ 设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。
师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。
现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。
你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥； 即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。
人教A版选修4-5 3.2 一般形式的柯西不等式 学案
二一般形式的柯西不等式第10课时一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a 2b2＋a3b3)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b2n＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．知识点一三维形式的柯西不等式的应用1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( ) A．1 B. 3C．3 D．9解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)[(a)2＋(b)2＋(c)2]≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3(a＋b＋c)＝3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴a＋b＋c的最大值为 3.答案：B2．(2019·安徽合肥一中月考)设a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋4c2＝1，则a＋b＋2c的最大值为( )A．5 B.10 2C．8 D.13 2解析：由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫122(a ＋b ＋4c 2)≥(a ＋b ＋2c )2，∴a ＋b ＋2c ≤52，当且仅当a ＝25，b ＝25，c ＝510时，等号成立，∴a ＋b ＋2c 的最大值为102，故选B.答案：B3．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2](12＋12＋12)≥[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x ＋y ＋z ＋1)2＝4，故(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43等号成立，当且仅当x －1＝y ＋1＝z ＋1，而又因x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝－13，时等号成立z ＝－13.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：证法一：因为(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13，所以[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x －2＝y －1＝z －a ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ＋23，y ＝1－a ＋23，z ＝a －a ＋23时有[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2成立．所以(a ＋2)2≥1成立，所以有a ≤－3或a ≥－1.证法二：若a ≤－3或a ≥－1不成立，那么－3<a <－1成立，则(a ＋2)2<1，而[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]·(12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2左面等号成立，当且仅当x －2＝y －1＝z －a ，又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x －2＝y －1＝z －a ＝－a ＋23.故此时[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2<1，即(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2<13，与原命题矛盾．故假设错误，即a ≤－3或a ≥－1.知识点二 一般形式的柯西不等式的应用4．(2019·广东梅州检测)已知a ，b ，c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B＝a ＋b ＋c 3，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B解析：因为(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，又a ，b ，c 均大于0，所以a ＋b ＋c >0，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，即A ≥B ，故选B.答案：B5．实数a i (i ＝1,2,3,4,5,6)满足(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2＝1，则(a 5＋a 6)－(a 1＋a 4)的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 6D ．1解析：因为[(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a 2－a 1)×1＋(a 3－a 2)×1＋(a 4－a 3)×1＋(a 5－a 4)×2＋(a 6－a 5)×1]2＝[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2，所以[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2≤8，即(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)≤2 2.答案：B6．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证： 1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.证明：∵x 1，x 2，…，x n 都是正数， ∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n·1x n 2＝n 2， ∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.一、选择题1．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是( )A. 2 B．1C．3 D．9解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤2x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2，∴2x＋5y的最大值为 2.答案：A2．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为( )A．5 B．4C．4 5 D．－4 5解析：a·b＝(1,0，－2)·(x，y，z)＝x－2z，由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥[1×x＋0×y＋(－2)×z]2＝(x－2z)2，当a 与b共线时，等号成立．∴(x－2z)2≤5×16，∴－45≤x－2z≤45，即－45≤a·b≤4 5.∴a·b的最大值为4 5.答案：C3．若2x＋3y＋5z＝29，则函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值为( )A. 5 B．215C．230 D.30解析：由柯西不等式得u2＝(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2＝(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2≤(12＋12＋12)(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)＝3(2x ＋3y＋5z＋11)＝3×(29＋11)＝120，∴u≤230，故选C.答案：C4．(2019·山东武城期中)已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e的最大值为( )A．3 B．4C．5 D.16 5解析：因为(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，所以(8－e)2≤4(16－e2)，解得0≤e≤165，所以e的最大值为165，故选D.答案：D5．(2019·辽宁沈阳二阶考试)已知a2＋b2＋c2＝1，若a＋b＋2c≤|x ＋1|对任意实数a，b，c恒成立，则实数x的取值范围是( ) A．x≥1或x≤－3 B．－3≤x≤1C．x≥－1或x≤3 D．－1≤x≤3解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)[12＋12＋(2)2]≥(a＋b＋2c)2，∵a 2＋b 2＋c 2＝1，∴(a ＋b ＋2c )2≤4，∴a ＋b ＋2c ≤2，又a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，∴|x ＋1|≥2，解得x ≤－3或x ≥1，故选A. 答案：A 二、填空题6．设x ，y ，z 为正数，且x ＋2y ＋3z ＝7，则4x ＋2y ＋3z的最小值是__________．解析：∵(x ＋2y ＋3z )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2y ＋3z ≥(2＋2＋3)2＝49，∴4x ＋2y ＋3z ≥7.当x ＝2，y ＝z ＝1时取等号．答案：77．已知x 2＋y 2＋z 2＝14，则|x ＋2y ＋3z |的最大值是________． 解析：∵(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)＝142，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号．∴|x ＋2y ＋3z |≤14.答案：148．(2019·河北邢台训练)设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式知，25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36.当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取等号，∴a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)，即25＝36k 2，∴k ＝56，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k x ＋y ＋zx ＋y ＋z＝k ＝56.`答案：56三、解答题9．设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22≥⎝⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴|x ＋y ＋z |≤5，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5， 即x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(2019·皖江八校联考)若n 是不小于2的正整数，求证：47<1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n <22. 证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＋12n －2⎝ ⎛ 12＋14＋⎭⎪⎫ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 所求证不等式转化为47<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <22. 由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n )]≥n 2，所以1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n≥n 2n ＋1＋n ＋2＋ (2)＝n 2n 3n ＋12＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47.又由柯西不等式，得 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n < 12＋12＋…＋12]n 项⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋12＋1n ＋22＋…＋12n2) <n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. 综上所述，原不等式成立．。
【测控设计】高二数学人教A版选修4-5课件3.2 一般形式的柯西不等式
当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
1
2
做一做
设 a=(1,0,-2),b=(x,y,z),若 x2+y2+z2=16,则 a· b 的最大值 为 . 解析 :由题知 ,a· b=x-2z,由柯西不等式知 [12+02+(-2)2](x2+y 2+z2)≥(x+0-2z)2, 当且仅当向量 a 与 b 共线时 “=”成立 ,
������1 ������1
≥ ������1 ������1
������1 ������1
+…+
������������ ������������
2
������������ ������������
2
+ … + ������������ ������������
=(a1+…+an)2=右边 ,故原不等式成立 .
探究一
探究二
探究三
探究四
典型例题 1
已知 a+b+c=1,且 a,b,c 是正数,求证
2 2 2 + + ≥9. ������+������ ������+������ ������+������
思路分析 :9=(1+1+1)2,2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)的巧拆 ,给 我们运用柯西不等式提供了条件. 证明 :左边=[2(a+b+c)]
二
一般形式的柯西不等式
学习目标 1.掌握三维形式和多维形式 的柯西不等式. 2.会利用一般形式的柯西不 等式解决简单问题 .
2014年人教A版选修4-5教案 一 二维形式的柯西不等式
一 二维形式的柯西不等式（1）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++. 二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R +=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b ++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a b x y x y x y+=++=…. → 其它证法 ② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题。
2014年人教A版选修4-5课件 2.一般形式的柯西不等式
定理: (柯西不等式的一般形式) 则 设 a1, a2, a3, …, an, b1, b2, b3, …, bn 是实数,
2 2 2 2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn )2 .
当且仅当 bi=0 (i=1, 2, …, n) 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi (i=1, 2, …, n) 时, 等号成立.
2 2 2 2 2 a2 a3 b12 b2 b3 | a1b1 a2b2 a3b3 |, (2) a1 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 .
(问: 对照二维形式和三维形式的柯西不等式, 你 能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
问题1. 请将下列坐标代入柯西不等式的向量形式 |a||b|≥|a· b|, 得到的是什么样的不等式? (1) 在平面直角坐标系中, a=(a1, a2), b=(b1, b2); (2) 在空间直角坐标系中, a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3).
2 2 2 (1) a1 a2 b12 b2 | a1b1 a2b2 |, 2 2 2 (a1 a2 )(b12 b2 ) (a1b1 a2b2 )2 .
2 2 2 (1) a1 a2 b12 b2 | a1b1 a2b2 |, 2 2 2 (a1 a2 )(b12 b2 ) (a1b1 a2b2 )2 .
2 2 2 2 2 a2 a3 b12 b2 b3 | a1b1 a2b2 a3b3 |, (2) a1 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 . 当且仅当 a, b 共线时, 即 b=0, 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi (i=1, 2, 3) 时, 等号成立. 以上就是二维, 三维形式的柯西不等式.
数学人教A版选修4-5学案：第三讲二一般形式的柯西不等
二 一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥________________，当且仅当____________或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2,3)时等号成立．【做一做1－1】 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B.13C.12D ．3【做一做1－2】 若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．32C ．18D ．9 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥______________，当且仅当______________或存在一个数k ，使得a i ＝______(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做2】 若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：1．(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2 b i ＝0(i ＝1,2,3)【做一做1－1】 B 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z )2＝1.∴x 2＋y 2＋z 2≥13，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．【做一做1－2】 B 由柯西不等式得：(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．2．(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2 b i ＝0(i ＝1,2，…，n ) kb i 【做一做2】 C1．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题．2．正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见．题型一 三维形式的柯西不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋ac )≥9.分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab ，a 2＝b c ，a 3＝c a ，b 1＝b a ，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 反思：由a ，b ，c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出．题型二 多维形式的柯西不等式【例2】 已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1≥12.分析：已知条件中a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左边为a 1a 1＋a 2，a 2a 2＋a 3，…等数的平方和，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，应扩大2倍后再利用．本题还可以利用其他的方法证明． 反思：通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．题型三 柯西不等式的综合应用【例3】 设f (x )＝lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n xn ，若0≤a ≤1，n ∈N ＋且n ≥2，求证：f (2x )≥2f (x )．分析：由题目可获取以下主要信息：①已知f (x )的函数表达式．②变量的取值范围．③证明相关的不等式．解答本题的关键是将f (2x )≥2f (x )具体化，再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．反思：对于较为复杂的证明问题，可采用“分析法”进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征．题型四 易错辨析【例4】 已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝9，ax ＋by ＋cz ≤t ，求t 的最小值．错解：求t 的最小值，即求u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值． ax ≤a 2＋x 22，by ≤b 2＋y 22，cz ≤c 2＋z 22，三式相加得：ax ＋by ＋cz ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＋c 2＋z 22＝5，故u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值为5，从而t 的最小值为5.错因分析：基本不等式得到u ＝ax ＋by ＋cz ≤5是正确的，但这只是能说明u 的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u 的最大值一定是5.事实上，如果u 的最大值为5，错解中的三个不等式应同时取“＝”，于是a ＝x ，b ＝y ，c ＝z 从而得出a 2＋b 2＋c 2＝x 2＋y 2＋z 2，即t ＝5，这是不可能的．产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中的等号成立的条件掌握不牢．答案：【例1】 证明：由柯西不等式，知(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )＝[(a b )2＋(b c )2＋(c a)2]×[(b a)2＋(c b)2＋(a c)2] ≥(a b×b a＋b c×c b＋c a×a c)2 ＝(1＋1＋1)2＝9. ∴原不等式成立．【例2】 证法一：根据柯西不等式，得不等式左边＝a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×[(a 1a 1＋a 2)2＋(a 2a 2＋a 3)2＋(a 3a 3＋a 4)2＋…＋(a n －1a n －1＋a n )2＋(a n a n ＋a 1)2]×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n )2＋(a n ＋a 1)2]×[(a 1a 1＋a 2)2＋(a 2a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1a n －1＋a n )2＋(a n a n ＋a 1)2]×12≥[(a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3)＋…＋(a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n)＋(a n ＋a 1×a n a n ＋a 1)]2×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝不等式右边． ∴原不等式成立．证法三：因为a ∈R ＋，则a ＋1a ≥2，即a ≥2－1a .利用上面的结论，知a 21a 1＋a 2＝a 12×2a 1a 1＋a 2≥a 12(2－a 1＋a 22a 1)＝a 1－a 1＋a 24.同理，有a 22a 2＋a 3≥a 2－a 2＋a 34，…a 2n －1a n －1＋a n≥a n －1－a n －1＋a n 4，a 2na n ＋a 1≥a n －a n ＋a 14.以上式子相加整理，得a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )＝12.【例3】 解：∵f (2x )＝lg 12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2xn ，∴要证f (2x )≥2f (x )． 只要证lg 12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x n≥2lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n xn .即证12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2xn≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x n]2也即证n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ] ≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，(*)∵0≤a ≤1，∴a ≥a 2，根据柯西不等式得 n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥2222222(111){(1)(2)[(1)]()}x x x x n n a n ++++++-+⋅个……≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2， 即(*)式显然成立，故原不等式成立．【例4】 正解：求t 的最小值，即求u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值．由柯西不等式得： u 2＝(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝1×9＝9，u ＝ax ＋by ＋cz ≤3，故u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值为3，从而t 的最小值为3.1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1( ) A ．1B. 3C ．3D ．92．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3( )A ．3B ．13．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________． 4．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1的最大值为________．5．设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S .求证：2221212n n x x x S x S x S x +++---…≥1S n -.答案：1．B 由柯西不等式得[2＋2＋2](12＋12＋12)≥2，∴2≤3×1＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．2．D ∵(a 2＋b 2＋c 2)(1＋1＋1)≥(a ＋b ＋c )2＝9， ∴a 2＋b 2＋c 2≥3.a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．9 2x ＋2y ＋z ＋8＝02(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9. 考虑以下两组向量：u ＝(2,2,1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)， 由柯西不等式，得(u ·v )2≤|u |2·|v |2；即[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2≤(22＋22＋12)·[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2] 当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥2(9)9-＝9.由柯西不等式，得2＝(1＋1＋12 ≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝3[4(a ＋b ＋c )＋3]＝21. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．.5．分析：本题需要构造出S －x 1＋S －x 2＋…＋S －x n . 证法一：根据柯西不等式，得不等式左边＝211x S x -＋222x S x -＋…＋2n nx S x -＝[(S －x 1)＋(S －x 2)＋…＋(S －x n )]×1(1)n S -·(211x S x -＋222x S x -＋…＋2n nx S x -)＝1(1)n S -[2＋2＋…＋2]×[2＋2＋…＋2] ≥1(1)n S-[(×)＋(×)＋…＋(×2＝1(1)n S-(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝21(1)S n S⨯-＝1S n -＝不等式右边．∴原不等式成立． 证法三：∵a ∈R ＋，则a ＋1a≥2， ∴a ≥12a-. ∴2i i x S x -＝1i x n -×(1)i i n x S x --≥1i x n -×[2－(1)i i S x n x --]＝21i x n -－2(1)i S x n --.i ＝1,2，…，n .n 个式子相加，有211x S x -＋222x S x -＋…＋2n nx S x - ≥121x n -＋221x n -＋…＋21n x n -－[12(1)S x n --＋22(1)S x n --＋…＋2(1)n S x n --]＝21S n -－2(1)nS Sn --＝1S n -.∴原不等式成立．。
人教版高中数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》教案
《二维形式的柯西不等式》教课设计一、教课目的①认识二维形式的柯西不等式的三角形式②柯西不等式的一些简单应用二、教课要点：①认识二维形式的柯西不等式的几种形式②运用柯西不等式剖析解决一些简单问题，领会运用经典不等式的一般方法——发现详细问题与经典不等式之间的联系，经过适合变形，以经典不等式为依照得出详细问题中的不等关系三、教课难点：运用柯西不等式证明不等式四、教课过程：教课教学程序设计意图环节问题：上节课我们学习了二维形式的柯本节课其实是柯西不等式的一导西不等式，你能简要的归纳一下些简单应用，所以先让学生回首柯入吗？西不等式以及变形后的两个等价形（复习定理 1（二维形式的柯西不等式）式 :导入）若 a,b,c,d 都是实数 ,则a2b2c2d2ac bd(a 2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2当且仅当 ad=bc 时 ,等号建立 .a2b2c2d2ac | |bd ①察看：课本 P34 图 3.1-4①让学生经过察看得出二维形新在平面直角坐标系中，设点p1, p2式的三角不等式课x12 y12x22 y22(x1 x2)2 ( y1 y2 )2讲的坐标分别为 x1 , y1 , x1, y1，依据进而获得定理3（二维形式的授三角不等式）过△ Op1 p2的边长关系，你能发现②指引学生利用柯西不等式证程明定理 3，即以经典不等式为x1 , y1 , x2 , y2这四个实数蕴涵着何种大依照得出定理 3 中的不等关系，这是柯西不等式的一个小关系吗？简单的应用。
经过察看剖析推理后得出定理3③例 3的解决也是柯西不等式②以上是从几何的角度得出的结论，你的一个简单的应用，让学生引探可否利用柯西不等式，从代数的角度证领会柯西不等式的用途明这个不等式？④在解决问题的过程中，让学③解说例题（例3）生领会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决详细问题的方法。
④练习 P37 第7题第6题本节课其实是柯西不等式的一些小简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在此后的结证明某些不等式时有重要作用。
人教A版选修4-5 一般形式的柯西不等式 教案
章节：4.53 课时： 4 备课人；二次备课人课题名称第三讲一般形式的柯西不等式三维目标学习目标：1、认识一般柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、初步掌握二维形式的柯西不等式的证明，会用一般柯西不等式解决一些简单问题；3、体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系。
重点目标认识一般柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义难点目标初步掌握二维形式的柯西不等式的证明，会用一般柯西不等式解决一些简单问导入示标目标三导学做思一：自学探究问题1：推导柯西不等式的代数形式:设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。
学做思二问题2：推导柯西不等式的向量形式:设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
问题3：推导三角形不等式:设为任意实数，则：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|思考: 根据对比二维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？问题4：讨论一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：即:，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
学做思三技能提炼例1、设，试求之最小值。
例2、设x, y, z R，若，则之最小值为________，又此时________。
例3、设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为达标检测变式反馈1、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。
2、设空间向量的方向为α，β，γ，0 <α，β，γ<π，csc2α+ 9 csc2β+ 25 csc2γ的最小值为3、设x，y，z ∈ R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2+ (y + 2)2+ (z - 3)2之最小值为4、设x, y, z R，若，（1）求之范围为何？（2）当取最小值时，求x反思总结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验。
人教A版选修4-5 第三章 二 一般形式的柯西不等式 学案
二一般形式的柯西不等式1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，b i＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，3)时，等号成立．2设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( ) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( )(3)柯西不等式中的字母a ，b ，c ，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．( )(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B ．13C ．12D ．3答案：B3．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1B ． 3C ．3D ．9 答案：B4．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时，等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：12利用柯西不等式证明不等式(1)设a ，b ，c 为正数，求证a 2b ＋b 2c＋c 2a≥a ＋b ＋c . (2)设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 为正实数，求证：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n. 【证明】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c )2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b ＋c ＞0，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n (b 1＋b 2＋…＋b n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.因为b 1，b 2，…，b n 为正实数， 所以b 1＋b 2＋…＋b n >0.所以a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n.当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.1.已知正数a ，b ，c ，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明：构造两组数ab ，bc ，ca ；ca ，ab ，bc ， 则由柯西不等式得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2·c 2a 2＋a 2b 2＋b 2c 2≥ab ·ca ＋bc ·ab ＋ca ·bc ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .2．已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：|a ＋b ＋c |≤ 3.证明：由柯西不等式，得(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3. 所以－3≤a ＋b ＋c ≤3， 所以|a ＋b ＋c |≤ 3.用三维形式柯西不等式求最值设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．【解】 因为(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×3＋2b ×1＋3c ×132＝(3a ＋2b ＋c )2，所以(3a ＋2b ＋c )2≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＝1323.所以3a ＋2b ＋c ≤1333， 当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时，等号成立．又a ＋2b ＋3c ＝13，所以当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，(3a ＋2b ＋c )max ＝1333.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 解：根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2 ≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax ＝230.1．对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f (x )min ＝0⇔a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0⇔b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n. 【规范解答】 构造三维柯西不等式求最值(本题满分7分)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(3分) (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得(14a 2＋19b 2＋c 2)(4＋9＋1)≥(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. (5分)当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.(7分)(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f (x )的图象，利用数形结合思想方法求解．(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2，19b 2，c 2和(a ，b ，c )，因此需构造一组常数(4，9，1)才能符合三维柯西不等式的条件．1．若x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝1，求m ＝2x ＋2y ＋5z 的最大值． 解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x ＋2y ＋5z )2， 当且仅当x2＝y 2＝z5时，等号成立，所以－3≤2x ＋2y ＋5z ≤3， 因此m 的最大值为3.2．已知α1，α2，…，αn是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π.证明：由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn)(1α1＋1α2＋…＋1αn)≥(α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn·1αn)2＝n2.因为α1＋α2＋…＋αn＝(n－2)π，所以1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π，当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝n－2nπ时，等号成立．。
人教A版高中数学选修4-5第三讲二一般形式的柯西不等式上课课件
例3
已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
分析 由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的情势，联 系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32） 作为一个因式而解决问题.
解：
根据柯西不等式，得
x 2 y 2 z2 12 2 2 32 x 2 y 3z 2 1,
例1
已知a1 , a2，...,an为实数，
试证：1
n
a1 a2 ... an
2 a12 a22 ... an2 .
分析
用n乘要证的式子两边，能使式 子变成明显符合柯西不等式的情势.
证明
根据柯西不等式，有 (12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)
≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2,
证明
根据柯西不等式，有
a2 b2 c2 d 2 b2 c2 d 2 a2 ab c cd da 2
因为a, b, c, d 是不全相等的正数，所以等式
a b c d 不成立， bcd a
所以
a2 b2 c2 d 2
2
ab
bc
cd
da 2
,
即a2 b2 c2 d 2ab bc cd da
新课导入
回顾旧知
1.二维情势的柯西不等式的代数情势? 若a,b,c,d都是实数， 则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc时，等号成立.
2.二维情势的柯西不等式的向量情势？
设αβ是两个向量，则│α.β│≤│α││β│, 当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ 时，等号成立.
人教A版高中数学选修4-5课件第三讲二一般形式的柯西不等式
【错因】
(x2＋y2＋z2)(1＋2＋3)想构造出(x＋2y
＋3z)时，就不符号柯西不等式的结构特征，而
盲目构造x＋2y＋3z的形式，况且此时“＝”成
立的条件也不对．
方法感悟
一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四
维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比
二维形式的柯西不等式来总结，在使用时，关键是
例2
【名师点评】
通过寻找整体a＋b＋c＋d＝s与部
分a＋b＋c，b＋c＋d，c＋d＋a，d＋a＋b的关系． 先进行等价转化，使要证明Байду номын сангаас不等式简单化，易于 构造柯西不等式形式．
用柯西不等式求最值
例 3 b，c，d∈R＋，a＋b＋c＋d＝1，求 设 a，
a2＋b2＋c2＋d2的最小值．
【名师点评】
求最值就是寻找定值，故考虑a
＋b＋c＋d作为整体，出现常数．
误区警示 主要问题是不等式不符合柯西不等式的结构形式 而盲目硬套．
例 x＋2y＋3z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值． 已知
【错解】
∵x＋2y＋3z＝1，∴(x2＋y2＋z2)(1＋2
＋3)≥(x＋2y＋3z)2＝1，
当且仅当x＝2y＝3z时，取“＝”．
二
一般形式的柯西不等式
二 学习目标
一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的
证明；
2．会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等 式等一些问题．
课前自主学案
1．一般的三维形式的柯西不等式是 ________________________________________. 2．一般形式的柯西不等式是_______________ _______________________________________， bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k， 当且仅当_________________________________ 使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) ____________________________ 时等号成立．
数学人教A版选修4-5第3讲 2 一般形式的柯西不等式
二一般形式的柯西不等式学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一三维形式的柯西不等式思考1 类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则|α|＝a21＋a22＋a23，|β|＝b21＋b22＋b23.∵|α||β|≥|α·β|，∴a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，∴(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．知识点二一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.2．柯西不等式等号成立的条件当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时等号成立.类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用 例1 设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c. 证明 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ； 1a ＋b，1b ＋c ，1c ＋a ，则由柯西不等式得 (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c)⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .由柯西不等式知， ①中有等号成立⇔a ＋b 1a ＋b＝b ＋c 1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c. 因为题设中a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c.反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 证明 由柯西不等式知， 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b×b a＋b c×c b＋c a×a c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴原不等式成立．命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用例2 设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明 由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1(a 2＋a 3＋…＋a 1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，故a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2 已知a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2n a n ＋a 1≥12. 证明 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a 1)] ≥⎝⎛a 21a 1＋a 2·a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3·a 2＋a 3＋…⎭⎪⎫＋a 2n a n ＋a 1·a n ＋a 12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝1， ∴a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1≥12. 类型二 利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． (2)已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，则函数f(x)＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2的最小值是________． 答案 (1)a214(2) 2解析 (1)∵(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z)2＝a 2，当且仅当1x ＝2y ＝3z 时取等号，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，∴x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.(2)x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2≥[x －(x －1)]2＋[y －(y －1)]2＝2， 故f(x)的最小值为 2.反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解 (1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c ≥|(x ＋a)－(x －b)|＋c ＝|a ＋b|＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a ＞0，b ＞0， 所以|a ＋b|＝a ＋b ，所以f(x)的最小值为a ＋b ＋c ，又已知f(x)的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4， 由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c)2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87， 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.1．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27B ．23C ．4D ．5 答案 C解析 ∵(x ＋2y ＋3z)2＝(1·x ＋2·y ＋3·z)2≤[12＋22＋(3)2][(x)2＋(y)2＋(z)2] ＝8(x ＋y ＋z)＝16(当且仅当x ＝14y ＝13z ＝14时取等号)，∴x ＋2y ＋3z ≤4.2．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，则a ＋2b ＋3c 的最小值为( )A ．9B ．3C.3D ．6 答案 A解析 由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥(1＋1＋1)2＝9，∴a ＋2b ＋3c 的最小值为9.3．设a ，b ，c ，d 均为正实数，则(a ＋b ＋c ＋d)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d 的最小值为________． 答案 16解析 (a ＋b ＋c ＋d)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d ＝[(a)2＋(b)2＋(c)2＋(d)2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1d 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c ＋d ·1d 2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16， 当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时取等号．4．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13.证明 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以由柯西不等式得[(y ＋2z )2＋(z ＋2x )2＋(x ＋2y)2]·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z)2，当且仅当y ＋2z x ＝z ＋2x y ＝x ＋2y z ，即x ＝y ＝z ＝13时，等号成立，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )＝13.1．柯西不等式的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．2．要求ax ＋by ＋z 的最大值，利用柯西不等式(ax ＋by ＋z)2≤(a 2＋b 2＋12)(x 2＋y 2＋z 2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．一、选择题1．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x na n ＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.2．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25 D ．－25答案 B解析 (ab ＋bc ＋cd ＋da)2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25， 当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为－5.3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z 等于( )A.14B.13C.12D.34 答案 C解析 由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz)2＝400， 当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.4．已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( ) A ．3 B ．3 2 C ．18 D ．9答案 B解析 由柯西不等式，得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1) ＝3[3(a ＋b ＋c)＋3]． ∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．5．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．9答案 B6．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y)2的最小值是( ) A.16B.13C ．6D ．3 答案 B解析 ∵(12＋12＋12)[x 2＋y 2＋(1－x －y)2] ≥[x ＋y ＋(1－x －y)]2＝1， ∴x 2＋y 2＋(1－x －y)2≥13，当且仅当x ＝y ＝13时等号成立．二、填空题7．设a ，b ，c ∈R ＋，若(a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，则正数k 的最小值是________． 答案 9解析 因为(a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c ≥(1＋1＋k)2＝(2＋k)2，当且仅当a ＝b ＝c k时，等号成立，所以(a ＋b ＋c)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋kc 的最小值是(2＋k)2.由(a ＋b ＋c)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，得(2＋k)2≥25.又k ＞0，所以k ≥9，所以正数k 的最小值是9.8．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是________．答案 121解析 (a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c ＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k(k 为正实数)时，等号成立．9．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________． 答案 4 3解析 由柯西不等式，得(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3) ＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3， 即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立． 又a ＋b ＋c ＝6，∴当a ＝83，b ＝136，c ＝76时，2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3.10．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________． 答案 9解析 (22＋22＋12)[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2] ≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥9. 当且仅当x －12＝y ＋22＝z －31时，取等号．三、解答题11．已知定义在R 上的函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a ，又正数p ，q ，r 满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.证明 因为f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 即函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a ＝3， 所以p ＋q ＋r ＝3. 由柯西不等式得(p 2＋q 2＋r 2)(1＋1＋1)≥(p ＋q ＋r)2＝9， 于是p 2＋q 2＋r 2≥3.12．设a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1＞0.证明 为了运用柯西不等式，我们将a 1－a n ＋1写成a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)，于是 [(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1≥n 2＞1.即(a 1－a n ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＞1，所以1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＞1a 1－a n ＋1，故1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1＞0. 四、探究与拓展13．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c ，则s 与t 的大小关系是________． 答案 s ＜t解析 由已知得12absinC ＝14，csinC ＝2R ＝2，所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca)≥(b ＋c ＋a)2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c)2，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋ c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．又当等号成立时，面积S ＝34≠14， 故等号不成立．故s ＜t.14．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1.(1)若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，则x ，y ，z 的值分别为__________；(2)若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，则正数t 的取值范围为__________________．答案 (1)12，13，16(2)[6，＋∞) 解析 (1)∵(2x 2＋3y 2＋6z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(x ＋y ＋z)2＝1，当且仅当2x 12＝3y 13＝6z 16时，等号成立， ∴2x ＝3y ＝6z.又∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝12，y ＝13，z ＝16. (2)∵(2x 2＋3y 2＋tz 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1t ≥(x ＋y ＋z)2＝1， 当且仅当2x 12＝3y 13＝tz 1t时，等号成立， ∴(2x 2＋3y 2＋tz 2)min ＝156＋1t. ∵2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，∴156＋1t ≥1. 又t ＞0，∴t ≥6.。
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二 一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.
教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：
2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课：
1. 教学一般形式的柯西不等式：
① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？
② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,
,,,,,n n a a a b b b R ∈，则
222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++
讨论：什么时候取等号？（当且仅当
12
12
n
n
a a a
b b b ===
时取等号，假设0i b ≠） 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，
22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，
可联想到一些什么？
③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）
要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（
）（222
12()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.
又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，
[]2
2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++
22212()n b b b +++≤0
即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：222212121
()n n a a a a a a n
++
≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）
2. 教学柯西不等式的应用：
① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式： ② 练习：若,,x y z R +∈，且
1111x y z ++=，求23
y z
x ++的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：c
a c
b b a -≥-+-4
11. 要点：21111()(
)[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 三、巩固练习：
1. 练习：教材P 41 4题
2. 作业：教材P 41 5、6题。