一般形式的柯西不等式精品教案

一般形式的柯西不等式

【教学目标】

认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。

【教学重点】

会证明二维柯西不等式及三角不等式。

【教学难点】

理解几何意义。

【教学过程】

一、复习准备：

1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：及几种变式。

(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证

22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=

22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：

1． 柯西不等式：

① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。

22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）

222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。 （要点：展开→配方）

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+

证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。 ∴ …。。

m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则

22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。

22()()()f x ax c bx d =-+-

∴ ≤0，即…。。

22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

或

||ac bd ≥+

||||

ac bd ≥+ 。

ac bd ≥+④ 提出定理2：设是两个向量，则。

,αβu r u r

||||||αβαβ⋅≤u r u r u r u r 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）βu r

,

αβu r

u r

⑤ 练习：已知

A ．

B ．

C ．d 。

≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）

2

．教学三角不等式：出示定理3：设

1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若，则结合以上几112233,,,,,x y x y x y R ∈何意义，可得到怎样的三角不等式？

三、应用举例：

例1：已知a ，b 为实数，求证

2332244)())((b a b a b a +≥++说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数的最大值。

x x y 21015-+-=分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等

式求其最大值。（）

2222||d c b a bd ac +⋅+≤+解：函数的定义域为(1，5)，且y>0 3

6427)5()1()2(552152

222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x x y 当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值x x -⨯=-⨯551227127

=x 36课堂练习：1．证明： (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)2

2．求函数的最大值。

x x y -+-=6453

例3．设a ，b 是正实数，a+b=1，求证

411≥+b a 分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。)11)((11b a b a b

a ++=+)11)((

b a b a ++四、巩固练习：

1． 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式

2． 已知x+2y=1， 求x 2+y 2的最小值。

五、课堂小结：

二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）