第5章 利率

A A 1 PV = − r r (1 + r )n
附息债券实际上是年金和简易贷款的结合。因此 根据简易贷款和年金的现值和终值计算公式就可 以算出附息债券的现值和终值。 某基金经理购买了2000万元面值的15年期债券， 其息票率为10%，从1年后开始每年支付一次。如 果他将每年的利息按8%的年利率再投资，那么15 年后他将拥有多少终值？ 贴现债券现值与终值计算原理实际上与简易贷款 是一样的，不再赘述。
3．附息债券（coupon bond） 中长期国库券和公司债券通常采用这种形式。这 种金融工具的做法是：附息债券的发行人在到期 日之前每年向债券持有人定期支付固定数额的利 息，至债券期满日再按债券面值偿还。 4．贴现债券（discount bond） 美国短期国库券、储蓄债券以及所谓的零息债券 通常采用这种形式。这种金融工具的做法是：债 券发行人以低于债券面值的价格（折扣价格）出 售，在到期日按照债券面值偿付给债券持有人。
2、复利法 为了更精确地对不同周期的利率进行比较 ，可以用复利法把一种周期的利率折算为 另一种周期的利率。 例如我们可以把半年利率按下式折算为年 利率，这种利率称为实际年利率（Effective Annual Rate）: :
实际年利率= (1+半年利率 ) -1
2
如果年利率为r,一年计息无数次，则实际年 利率是多少呢？
C C C C P0 = + + +L+ 2 3 n 1 + y (1 + y ) (1 + y ) (1 + y )
将上面的方程中的y解出，就是我们所求的 到期收益率。
附息债券到期收益率的计算方法与年金大致相同 ：使来自于一笔附息债券的所有现金流的现值总 和等于该笔附息债券今天的价值。 附息债券的现值相当于所有息票利息的现值总和 再加上最终支付的债券面值的现值。
如果考虑通货膨胀对投资收益的影响，那么名义 利率并不能反映投资者所获得的实际收益率水平 的差异，而要用真实利率 (Real Interest Rate)， 即扣除了通货膨胀影响以后的利率。
所谓真实利率通常有两层含义：根据物价水平的实 际变化进行调整的利率称为事后真实利率；而根据 物价水平的预期变化进行调整的利率称为事前真实 利率。
y= P0
到期收益率概念有一个重要假定，就是所有现金流 可以按计算出来的到期收益率进行再投资。 到期收益率只是承诺的收益率（Promised Yield）， 它只有在以下两个条件都得到满足的条件下才会实 现： （1）投资未提前结束； （2）投资期内的所有现金流都按到期收益率进行 再投资。
如果投资提前结束，则会产生不可预见的 资本利得或损失（Capital Gain or Loss）， 从而影响实际收益率。而如果利率随时间 而改变，则现金流就无法按到期收益率进 行再投资，这就是再投资风险。 期限越长、中间的现金流越多，再投资风 险就越大。
某甲赢了一项博彩大奖，在以后的20年中每年将得 到5万元的奖金，一年以后开始领取。若市场的年 利率为8%，请问这个奖的现值是多少？这项大将 20年后的终值 又是多少呢？
当n趋于无穷大时，普通年金就变成普通永续年 金（Perpetuity），其现值公式为：
A PV = r
n n期普通年金就等于普通永续年金减去从n+1期 n+1 开始支付的永续年金。
哪些因素决定了这些变动或调整？ 投资者可以根据哪些因素来预期利率 水平的变动？ 一、可贷资金模型 二、流动性偏好模型
可贷资金模型根据债券市场的供求分析利 率水平的决定。 在其他经济变量保持不变的前提下，当债 券价格上升时，债券需求量减少而债券供 给量增加；当债券价格下降时，债券需求 量增加而债券供给量减少。 债券价格与按照到期收益率衡量的利率水 平负相关。
例如，一张面额为1000元的一年期国库券，其发行 价格为900元，一年后按照1000元的现值偿付。那 么，让这张债券的面值的现值等于其今天的价值， 即可计算出该债券的到期收益率： 1000 1000 − 900 900 = y= = 11.1% 1+ y 900 对于任何一年期贴现债券来讲，如果F代表债券面值 ，P0代表债券的购买价格。那么，债券到期收益率 的计算公式如下： F − P0
货币是有时间价值的。与货币的时间价值相联系 的是现值 (Present Value) 与终值 (Future Value) 概念。 终值的概念建立在这样一个事实基础上：现在投 入一元钱，投资者将来收到的本利和在数量上要 多于现在的一元钱； 现值的概念可以基于这样一个常识来理解，1年后 付给你1美元现金流的价值要小于现在付给你1美 元的价值。
FV = A (1 + r )
n −1
+ A (1 + r )
n
n−2
+ L + A (1 + r ) + A
n−2
= A + A (1 + r ) + L + A (1 + r )
+ A (1 + r )
n −1
1 − (1 + r ) A n =A = (1 + r ) − 1 1 − (1 + r ) r
第五章
第一节 利率概述 第二节 利率水平的决定 第三节 收益率曲线 第四节 利率期限结构
一、利率的含义 二、名义利率与真实利率 三、即期利率与远期利率
金融工具分类 为了计算各种不同金融工具的利率水平，我们首先 必须对金融工具进行简单的分类。在日常生活中， 我们经常可以接触到各种各样的金融工具，它们大 致可以分成以下四种类型： 1．简易贷款 2．年金 (Annuity) 3．附息债券 4．贴现债券
简单利率：用支付的利息额除以贷款额。 例如，某个企业从银行贷款100元，期限1年。贷 款期满以后，该企业偿还100元本金并支付10元 利息。那么，这笔贷款的利率(r)可以计算如下：
10 r= = 10% 100
从贷款人的观点来看，如果某个人发放100元的 贷款，第一年末他可以收回110元，或者说这 100元一年期贷款的终值是110元：
名义收益率与实际收益率之间的区别在于：没有扣 除通货膨胀因素的收益率是名义收益率；而从名义 收益率中扣除了通货膨胀因素以后的收益率即是实 际收益率。 实际收益率表明投资人持有债券可以购买到的额外 的商品和劳务。 π e 代表预期通货 如果r代表名义利率，r ' 真实利率， 膨胀率，那么真实利率、名义利率与预期通货膨胀 率之间的关系可以由下述费雪方程式给出：
其中, A表示普通年金，r表示利率，n表示年金持 续的时期数。 普通年金的终值计算公式为：
பைடு நூலகம்
(1 + r ) FV = A[
r
n
−1
]
A A A A PV = + + +L + n 2 3 1 + r (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) 1 n 1− ( ) A A 1 1 + r = 1 − = • n 1 1+ r 1− r (1 + r ) 1+ r
r = r′ + π e
⇒
r′ = r − π e
即期利率是指当前时点上无息债券的到期收益率。 如果投资者以 P1 的价格购买期限为n年的无息债券 ，在债券到期后可以从发行人那里获得的一次性现 金支付为 M n ，那么n年期即期利率rn的计算公式如 下：
P1 =
(1+rn )
Mn
n
对于期限较长的附息债券，即期利率的确定方式有所 不同。 如果某投资者以 的价格购买期限为2年、面值为F的 附息债券，每年的利息支付为C。在这种情况下，通 常用一年期无息债券来计算一年期即期利率r1 ， 那 么两年期即期利率r2的计算公式如下：
1、简易贷款（simple loan） 这种金融工具的做法是：贷款人在一定期限内，按 照事先商定的利率水平，向借款人提供一笔资金 （或称本金）；至贷款到期日，借款人除了向贷款 人偿还本金以外，还必须额外支付一定数额的利息。 2、年金（Annuity） 年金是指在一段固定时期内有规律地收入（或支付） 固定金额的现金流。 养老金、租赁费、抵押贷款等 通常都采用这种方式。 当第一次收（付）刚好在一期（如1年）之后，这 种年金称为普通年金（Ordinary Annuity）。
100 × (1 + 10% ) = 110
一般地，如果一笔简易贷款的利率为r，期限为n 年，本金 P 元。那么，第n年末贷款人可以收回 0 的本金和利息数额即相当于 P0元 n年期贷款的终 值(FV)：
FV = P0 × (1 + r )
n
所谓现值是从现在算起数年后能够收到的某笔收 入的贴现价值。如果r代表利率水平，PV代表现值， FV代表终值，n代表年限，那么计算公式如下：
CF 其中，P0 表示金融工具的当前市价， t 表示在第 t期的现金流，n表示时期数，y表示到期收益率。
对于简易贷款而言，利率水平等于到期收益 率。 如果以L代表贷款额，I代表利息支付额，n 代表贷款期限，y代表到期收益率，那么，
L+I L= (1 + y ) n
例如，一笔面额为1000元的抵押贷款，期限为25 年，要求每年支付126元。那么，我们可以按照下 面的公式计算这笔贷款的现值，并使之与贷款今天 的价值（1000元）相等，从而计算出这笔贷款的 到期收益率。
C C C C F P0 = + + +L+ + 2 3 n 1 + y (1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) n
(1) 当附息债券的购买价格与面值相等时，到期 收益率等于息票率。 (2) 当附息债券的价格低于面值时，到期收益率 大于息票率； (3)当附息债券的价格高于面值时，到期收益率则 低于息票率。 (4) 附息债券的价格与到期收益率负相关。