24.1.4圆周角
人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。
24.1.4 圆周角
8.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长 DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE 是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°, ∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE, ∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.
综合应用
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角 三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE 方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x° ，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
拓展延伸
10.如图，BC为半圆O的直径，点F是B⌒C上一动 点(点F不与B、C重合)，A是B⌒F上的中点，设
∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并
给予证明.
C
解：(1)连接OA，交BF于点M. ∵A是B⌒F上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=
1 2
∠AOB=
1 2
×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°-
等，也可能互补.
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
所对应的圆心角为 180°， 则对应的圆周角为 90°.
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例4 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，
ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
24.1.4圆周角
O B
C O B E
A
B
O2 O1
C D
E
A
C
O F G
C
A
A
8. 已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60度
O
圆周角为 30 度 或 150 度。
A
B
A
9.如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，∠AOC=100°则 130° 50° ∠B=______∠D=______
已知： CO 是△ABC
1 且CO= 2 AB 的AB边上的中线，
求证： △ABC 为直角三角形. 证明： 以AB为直径作⊙O，
1 ∵AO=BO，CO= AB, 2
C
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径, ∴∠ACB= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
合作交流
如图，如何确定一个圆形纸片的圆心吗？交流一下．
练一练
6.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
练一练
7. 如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点, 若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40°
B
C
6.如图:A、P、B、C是圆O上的四点 ， ∠APC= ∠CPB=60度，判断三角 形ABC的形状并证明你的结论。
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD. ∠DAB= 1 ∠DOB 2
1 ∠DAC= 2∠DOC ∠DAC-∠DAB= 1 （∠DOC-∠DOB） 2 1 ∠BAC= 2 ∠BOC
A O D C B
A O B C B
A
O C
24.1.4圆周角(人教新课标九年级上)
C O
B A
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有
怎样的关系？为什么？
A
Qp O
B
小结：
本节课你学会了什么?
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用； 4、圆内接多边形的定义； 5、圆内接四边形的性质。
一、圆周角概念
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两 边都与圆相交的角叫做圆周角。
图中的∠ACB、∠ADB 和∠AEB是圆周角 C
D A
O·
E
B
课本P88-1判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？ 并说明理由。
P
PPຫໍສະໝຸດ PP不是 不是
顶点不 顶点不 在圆上。 在圆上。
是
不是
顶点在圆 上，两边 和圆相交。
两边不和 圆相交。
24.1.4 圆周角
教学目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算。 3.能推导和理解 圆 周 角 定理的两个推论，并能利用这两个推论解决 相关的计算和证明等问题。 4.知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形 都有外接圆。 5.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算 和证明等问题。 6.经历观察、类比、猜想、合作交流等数学活动，体会运用分类讨 论、转化、完全归纳法等数学思想方确法解决问题,培养学生分析问题和 解决问题的能力。
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接OD
∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
24.1.4-圆周角-教案-新人教版
24.1.4圆周角教学时间课题课型 新授教 学 目 标知识和 能力1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题．过程和 方法1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 2．通过观察图形，提高学生的识图能力．3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．情感态度价值观 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点 探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．教学难点发现并论证圆周角定理．问题与情境师生行为二次备课 [活动1 ]演示课件或图片：问题1 如图：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，他们的视角（AOB ∠和ACB ∠）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ，他们的视角（ADB ∠和AEB ∠）和同学乙的视角相同吗？教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB 观看窗内的海洋动物．教师结合示意图，给出圆周角的定义．［活动2］问题1同弧（弧AB ）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 的大小关系是怎样的？ 问题2 同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？ O BACBO AC D E教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论． 在活动中，教师应关注：1．学生是否积极参与活动；2．学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．［活动3］问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．［活动4］问题1半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）A O BC 1C 2C 3问题2 90°的圆周角所对的弦是什么? 问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ 问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所学生独立思考，回答问题，教师讲评．问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数． 问题2提出后，教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径．问题3提出后，教师关注： 学生能否得出正确的结论，并能说明理由． 问题4提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等．问题5提出后，教师关注： 学生是否准确找出同弧所对的圆对的弧一定相等吗？为什么？问题5如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？问题6如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．周角．［活动5］问题通过本节课的学习你有哪些收获？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．作业设计必做教科书P87：4、5、6选做教科书P89：13、14、15教学反思。
24.1.4圆周角
C
B
P
A
C B
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上 时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关 系.
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B A O C
1 即∠A= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
提示：作射线AO交⊙O于D。转 化为第1种情况 A O B D C
知识回顾
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
A
B
探 究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？ C
D
8 7
解： ∠1＝∠4 ∠3＝∠6
∠2＝∠7 ∠5＝∠8
A
1 2 3 4 6 5
B
C
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1
A
C2
C3 B
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是 直角，那么∠AOB是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周角 所对的弦是直径。
证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ ∠ BOD 2 1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线AO交⊙O于D。
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是人民教育出版社九年级数学上册第24章《圆》的第四节内容。
本节主要让学生通过探究圆周角的性质，掌握圆周角定理及其推论，并能在实际问题中运用。
圆周角定理是圆的内接四边形定理的重要组成部分，对于学生理解圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但学生对于圆周角的理解和应用还不够深入，需要通过本节内容的学习，进一步巩固和提高。
同时，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，需要在教学过程中加强引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆周角定理及其推论，能运用圆周角定理解决简单问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：圆周角定理及其推论。
2.难点：圆周角定理的证明和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、推理，从而得出圆周角定理。
2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，运用圆周角定理解决问题。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和图片，以便于学生观察和分析。
2.准备一些实际问题，供学生练习和应用。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与圆有关的实际问题，引导学生思考圆周角的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示圆周角定理的内容，让学生初步了解圆周角定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，通过观察、分析、推理，证明圆周角定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生运用圆周角定理解决一些实际问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生进一步探索圆周角定理的推论，了解圆周角定理在几何中的应用。
24.1.4 圆周角
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
新课导入
教学目标
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
8. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
圆周角定理
要点归纳
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
∴∠BAC=∠BDC
答：相等.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
24.1.4圆周角定理
作课类别课题24.1.4圆周角定理课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.体会分类思想.过程方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？教师联系上节课所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫学生以射门游戏为情境，通过寻找共同特点，总结一类角的特点，引出圆周角的定义学生比较圆周角与圆心角，进一步理解圆周角定义从具体生活情境出发，通过学生观察，发现圆周角的特点深化理解定义得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 分析定义：○1圆周角需要满足两个条件；○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？②同弧所对的圆周角的度数有何关系？③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？2.分情况进行几何证明①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，那么∠ABC=12∠AOC吗？②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=12∠AOC吗？③当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图⑶，∠ABC=12∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．教师提出问题，引导学生思考，大胆猜想.得到：1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出按照圆周角在圆中的位置特点分情况进行探究的方案.学生尝试叙述，达到共识学生尝试证明学生根据同弧与等弧的概念思考教师提出的问题，师生归纳出定理让学生明白该定理的前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.教师试让学生将上节课定理与归纳的定理进行综合，思考，便于综合运用圆的性质定理..教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论学生按照教师布置阅读课激发学生求知欲，为探究圆周角定理做铺垫.培养学生全面分析问题的能力，尝试运用分类讨论思想方法，培养学生发散思维能力.为继续探究其推论奠定基础.感受类比思想，类比中全面透彻地理解和掌握定理，让学生感受相关知识的内在联系，形成知识系统.使学生运用定理解决特殊性问题，从而得到推论培养学生的阅读能力，自学能力.学生初步运用圆周角定理进行证明，同时发现圆内接四边形性质培养学生解决问题的意识和能力运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（三）圆内接多边形与多边形的内接圆1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）2.圆内接四边形性质这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？（四）定理应用1.课本例22. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？请证明.三、课堂训练完成课本86页练习四、小结归纳1．圆周角的概念及定理和推论2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质3. 应用本节定理解决相关问题．五、作业设计本85—86页，理解圆内接多边形与多边形的内接圆学生运用圆周角定理尝试证明学生审题，理清题中的数量关系，由本节课知识思考解决方法.教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总进一步理解，培养学生的应用意识和能力归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做.板书设计课题圆周角定理推论圆内接四边形性质例题归纳教学反思。
数学人教版九年级上册24.1.4圆周角及其定理和推理
24.1．4圆周角及其定理和推理一、学习目标：（一）、知识技能1、理解和识别圆周角概念，理解掌握圆周角定理及其推理2、会运用圆周角定理及其推理定理进行简单的论证和计算。
（二）、数学思考：1、通过定理的证明探讨过程，促进观察，分析、概括能力，进一步提高应用和思维能力。
（三）、问题解决1、在解决几何问题时，会添加辅助线，能建构基本几何图形，运用相关性质定理及其推理解决问题。
（四）、情感态度1、培养科学的思维方法和数学品质，欣赏数学的变化美和逻辑美，进一步发现数学的乐趣。
2、学会交流合作，并能与他人交流思维的过程和结果，形成严谨求实科学态度和感受解决问题的愉悦。
二、重难点：重点：圆周角定理及其推理理解和应用。
难点：圆周角定理及其推理的证明。
三、教学过程：（一）复习旧知：(1)什么是圆心角？（特点：顶点在圆心上）(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？（知一推三）（二）引入新知------圆周角定义1、由圆心角定义引入圆周角定义：（1）圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。
（2）一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.2、学生游戏--分组回答，巩固对圆周角定义的理解（三）探究新知------圆周角定理1、问题引入：同弧（或等弧）所对的圆周角和圆心角有怎样的数量关系? （1）、教师：我们先来研究同弧的情况，从下面三个方面来考虑：（2）①共同探讨：同弧所对圆周角和圆心角的数量关系(详见多媒体展示)②得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.（3）①教师：在等弧的情况下，以上结论结论仍成立吗？②共同探讨，得出结论：等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.2、归纳：圆周角定理：一条弧(同弧或等弧)所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.3、运用圆周角定理：随堂练习：说说下图∠AOB、∠C、∠D的数量关系:（四）探究新知------圆周角定理的推理1、①教师：同弧或等弧所对的圆周角相等吗?②探究（多媒体展示）：师生运用圆周角定理推导③得出结论：（在同圆或等圆中），同弧或等弧所对的圆周角相等．2、①提出疑问：以上推理的逆命题---在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？②探究，得出结论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等3归纳：4、运用新知---圆周角定理的推理（五）反馈小结（共4点，详见如下图片展示）1.圆周角定义2. 圆周角定理 3．圆周角定理（推理）4. 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路(知一推四)（六）布置课后练习和作业四、板书设计24.1．4圆周角及其定理和推理 （一）、复习旧知 （四）、探究新知---圆周角定理的推理（二）、引入新知---圆周角定义 （五）、反馈小结 （三）、探究新知---圆周角定理 （六）、布置课后练习和作业。
24.1.4《圆周角 第1课时》数学人教版九年级上册教学课件
A
B
C
（3）
∠BAC圆=周1 ∠角B定OC理
一条弧所对的圆周角等2 于它所对的圆心角的一半.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧
所对的圆周角呢？
A
D
O
E
小组合作 1.猜想可能的结果；
2.验证你的猜想.
B
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结得出AB是直径
A
O 180°
吗？
B
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直
角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
圆周角定理及其推论
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
所对的圆周角呢？ AC͡͡ BD͡͡∠AOC∠BOD
等弧
D O
C
∠ADC= 1∠AOC 2
∠ADC∠BAD
∠BAD= 1∠BOD
B
A
2
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
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做一做
如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)， 求∠ACB 90 °.
A
·O 40° B AB是直径 ∠ADB90°∠BAD50°
∠ABD40°
C
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随堂练习
2.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A. A ∠CAD=∠CBD=30°
24.1.4_圆周角课件PPT
6
A O P
10
D
B
24.1.4 圆周角
复习
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 B C 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量 相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
问题
什么是圆周角？
定义
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做 圆周角.
你能用文字来描述这个定理吗?
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: ∠ABC = ∠AOC.
1 2
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？它们有什么关系？ 同弧所对的圆周角都相等
B
C
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求 ∠A的大小. 解: ∠A 25°.
C
●
O
B
A D O
=
1 ∠COD, 2
●
C
∠AOC.
1 ∴ ∠ABC = 2
B
A
3.当圆心角和圆周角(∠ABC)的外部时,
C
●
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小
关系会怎样?
O
B
A
过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = 2∠COD,
C
∠ABD =
∴
B
●
O
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
C A B
24.1.4圆周角
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
AD BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条 件，则考虑构造直角三角形来求解.
合作交流探究新知
四 圆内接四边形
圆内接四边形的定义 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
合作交流探究新知
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线.
（3）若若ACAC是是半直圆径，， ∠ADC= 90°，
∠ABC= 90° .
推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反之，直角所对的弦是直径.
范例研讨运用新知
三 圆周角定理及其推论的运用
典例精析
例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
合作交流探究新知
试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在 直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= 70 º， 理由是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
合作交流探究新知
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
反馈练习巩固新知
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （× ） （3）900的角所对的弦是直径 （ ×） （4）同弦所对的圆周角相等 （ ×）
反馈练习巩固新知
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿50＿°_.
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件
∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D
24.1.4(2)圆周角---圆周角定理推论
24.1.4（2）圆周角---圆周角定理推论一．【知识要点】1.圆周角定理推论:（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
二．【经典例题】，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证:CD＝CE.1.如图，AC BC2.已知A,B,C,D是☉O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证:AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求☉O的半径.3.已知:如图,AC=BC=CD,过三点A,C,D的⊙O交AB于点F.求证:CF平分∠BCD.4.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB 上两点，AB=13，AC=5。
（1）如图（1），若点P 是AB 的中点，求PA 的长。
（2）如图（2），若点P 是BC 的中点，求PA 的长.5.如图，⊙O 的半径为1，A,P,B,C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°。
（1）试判断△ABC 的形状：_____ 。
（2）试探究线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论。
（3）当点P 位于AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积。
6.如图，⊙C 经过原点O ，并与两坐标轴交于A 、D 两点，已知∠OBA =30°，点D 的坐标为（0，3），求点A 的坐标及圆心C 的坐标.7．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）A．7 B．C．D．98．(2020绵阳期末第24题)如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC 的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．（1）求证：BC＝DE；（2）求证：AE是圆的直径；（3）求圆的面积．三．【题库】【A】1.如图,若AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD= ( )A.116°B.32°C.58°D.64°2.小王想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）A. B. C. D.【B 】1.如图，点O 是⊙O 的圆心，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB =30°，弦AB =3cm ，则△ABO 的周长是___________cm2.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 在上． （1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，，求AB 的长．5OA =3．(2020绵阳期末第9题)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在直径AB 一侧的圆上（异于A ，B 两点），点E 在直径AB 另一侧的圆上，若∠E ＝42°，∠A ＝60°，则∠B ＝（ ） A ．62° B ．70°C ．72°D ．74°OCAB【C】1.（绵阳2019年第25题本题满分14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD ＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．求证：△DEF是等腰直角三角形；2．已知，如图所示，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
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·
D
F C
又∵DC=BD，∴AB=AC。 （2）△ABC是锐角三角形。
B
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
6. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、 AD、BD的长. C
A O B
C O
B
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三 角形，并说明理由。 A
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
相等。都等于∠BOC的一半。
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
思考：定理中的“同弧或等弧”能否改为 “同弦或等弦”？ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 那么它们所对的弧相等，所对的弦一定相等。
如图，在⊙O中，若 ∠AMB=∠CMD， 则 AB 与 CD 是否相 等？
问题探讨：
问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着 玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有 什么关系？
用量角器量一下，有什么发现？
问题解决：
你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度 数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？ 你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？
A A O B C B O C B 也可以看成经过折叠而成折痕与圆周角的关系.swf O C A
C D B
1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
问题解决：
综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度 数等于这条弧所对的圆心角的一半
1 即∠BAC= ∠BOC 2
A A O C B C A
O
B
O
C
B
问题２ 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的 视角相同吗？
回 忆
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
A
B
探 究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？ C
D
7. 求证，如果三角形一边上的中线等于这条 边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
如图：四边形ABCD是⊙O的内接四 边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
利用圆周角定理：我们可得 圆内接四边形的对角互补。 在同圆中，同弦所对的圆周角互补
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） B A、50°； B、80°； C、弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
M
D O A B C
练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这 些角中哪些是相等的角？
D
8 7
解：
∠1＝∠4 ∠3＝∠6
∠2＝∠7 ∠5＝∠8
A
1 2 3 6
4
5
B
C
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ ∠ BOD 2 1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线AO交⊙O于D。
O A
由第1种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 ∠BAD＝ ∠ BOD 2
C1
A
C2
C3 B
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是 直角，那么∠AOB是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周角 所对的弦是直径。
O
内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上，这个多边形叫做圆 内接多边形，这个圆叫做这个多 边形的外接圆.
A D O B C
O A B
.
顶点在圆上 两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
观察思考：
在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆 弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
A O C
C
B
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； C、90°； D、120°
A E D O B C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。 A
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上 时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关 系.
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B O C A
1 即∠A= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
提示：作射线AO交⊙O于D。转 化为第1种情况 A O B D C