高一数学立体几何(必修2)期末复习试卷_2

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高中数学高一必修2空间立体几何试卷(有详细答案)

高中数学高一必修2空间立体几何试卷(有详细答案)

高中数学立体几何测试试卷学校:___姓名:___班级:___考号:__一.单选题1.一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°,它的表面积为a,则它的底面积为()A.B.C.D.2.设α为平面,m,n为直线()A.若m,n与α所成角相等,则m∥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m,n与α所成角互余,则m⊥nD.若m∥α,n⊥α,则m⊥n3.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°4.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,①若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;②若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;③若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n;④若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m;则上述命题中正确的是()A.①②B.②③C.②④D.③④5.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是()A.2cm B.C.4cm D.8cm6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中,P是正方体的底面A l B1C1D1(包括边界)内的一动点(不与A1重合),Q是底面ABCD内一动点,线段A1C与线段PQ相交且互相平分,则使得四边形A1QCP面积最大的点P有()A.1个B.2个C.3个D.无数个7.如图所示几个空间图形中,虚线、实线使用不正确的有()A.②③B.①③C.③④D.④二.填空题8、如图,在四棱锥S-ABCD中,SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点,则满足∠SEC=90°的点E的个数是______.9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是______.10.设α、β为互不重合的平面,m、n为互不重合的直线,下列四个命题中所有正确命题的序号是______.①若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β.③若m∥α,n∥α,则m∥n.④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β.三.简答题11、在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,S D=,在线段SA上取一点E(不含端点)使EC=AC,截面CDE与SB交于点F.(1)求证:四边形EFCD为直角梯形;(2)设SB的中点为M,当的值是多少时,能使△DMC为直角三角形?请给出证明.12、正三棱台的高为3,上、下底面边长分别为2和4,求这个棱台的侧棱长和斜高.13、已知三棱椎D-ABC,AB=AC=1,AD=2,∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°,点E,F分别是BC,DE的中点,如图所示,(1)求证AF⊥BC(2)求线段AF的长.参考答案一.单选题1.一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°,它的表面积为a,则它的底面积为()A.B.C.D.答案:A解析:解:设圆锥的母线为l,所以圆锥的底面周长为:,底面半径为:=,底面面积为:.圆锥的侧面积为:,所以圆锥的表面积为:+=a,底面面积为:=.故选A.2.设α为平面,m,n为直线()A.若m,n与α所成角相等,则m∥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m,n与α所成角互余,则m⊥nD.若m∥α,n⊥α,则m⊥n答案:D解析:解:对于选项A,若m,n与α所成角相等,m,n也可能相交、平行、异面;故A错误;对于选项B,若m∥α,n∥α,直线m,n也可能平行,也可能相交,还有可能异面;故B 错误;对于选项C,若m,n与α所成角互余,如与α所成角分别为30°和60°,直线m,n所成的角有可能为30°;故C错误;对于选项D,根据线面垂直的性质,容易得到m⊥n;故D正确;故选D.3.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°答案:C解析:解析:如图,四棱锥P-ABCD中,过P作PO⊥平面ABCD于O,连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影.∴∠PAO即为所求线面角,∵AO=,PA=1,∴cos∠PAO==.∴∠PAO=45°,即所求线面角为45°.故选C.4.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,①若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;②若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;③若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n;④若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m;则上述命题中正确的是()A.①②B.②③C.②④D.③④答案:B解析:解:①根据线面垂直的判定,当m,n相交时,结论成立,故①不正确;②根据平行线的传递性,可得l∥n,故l⊥α时,一定有n⊥α,故②正确;③由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n,再根据平行线的传递性,即可得l∥n,故③正确.④m⊂α,n⊥α,则n⊥m,∵l⊥n,∴可以选用正方体模型,可得l,m平行、相交、异面都有可能,如图所示,故④不正确故正确的命题是②③故选B.5.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是()A.2cm B.C.4cm D.8cm答案:C解析:解:∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm,∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3,设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm,则a3=64解得a=4cm故选C6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中,P是正方体的底面A l B1C1D1(包括边界)内的一动点(不与A1重合),Q是底面ABCD内一动点,线段A1C与线段PQ相交且互相平分,则使得四边形A1QCP面积最大的点P有()A.1个B.2个C.3个D.无数个答案:C解:∵线段A1C与线段PQ相交且互相平分,∴四边形A1QCP是平行四边形,因A l C的长为定值,为了使得四边形A1QCP面积最大,只须P到A l C的距离为最大即可,由正方体的特征可知,当点P位于B1、C1、D1时,平行四边形A1QCP面积相等,且最大.则使得四边形A1QCP面积最大的点P有3个.故选C.7.如图所示几个空间图形中,虚线、实线使用不正确的有()A.②③B.①③C.③④D.④答案:D解析:解:根据棱柱的放置和“看见的棱用实线、看不见的棱用虚线”,则①②③正确,④错误,故选D.二.填空题8、如图,在四棱锥S-ABCD中,SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点,则满足∠SEC=90°的点E的个数是______.答案:2解:连接BE,则∵SB⊥底面ABCD,∠SEC=90°,∴BE⊥CE.故问题转化为在梯形ABCD中,点E是线段AD上的动点,求满足BE⊥CE的点E的个数.设AE=x,则DE=3-x,∵AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2,∴10=1+x2+4+(3-x)2,∴x2-3x+2=0,∴x=1或2,∴满足BE⊥CE的点E的个数为2,∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2.故答案为:2.9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是______.答案:B解析:解:由此正方体的两种不同放置可知:与C相对的是F,因此D与B相对.故答案为:B.10.设α、β为互不重合的平面,m、n为互不重合的直线,下列四个命题中所有正确命题的序号是______.①若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β.③若m∥α,n∥α,则m∥n.④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β.答案:①④解析:解:①若m⊥α,n⊂α,利用线面垂直的性质,可得m⊥n,正确;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;两条相交直线才行,不正确.③m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交、异面,不正确.④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β,正确.故答案为:①④.三.简答题11、在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,S D=,在线段SA上取一点E(不含端点)使EC=AC,截面CDE与SB交于点F.(1)求证:四边形EFCD为直角梯形;(2)设SB的中点为M,当的值是多少时,能使△DMC为直角三角形?请给出证明.答案:解:(1)∵CD∥AB,AB⊂平面SAB,∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF,∴CD∥EF.∵∠D=90°,∴CD⊥AD,又SD⊥面ABCD,∴SD⊥CD,∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥ED又EF<AB<CD,∴EFCD为直角梯形.(2)当=2时,能使DM⊥MC.∵AB=a,∴,∴,∴SD⊥平面ABCD,∴SD⊥BC,∴BC⊥平面SBD.在△SBD中,SD=DB,M为SB中点,∴MD⊥SB.∴MD⊥平面SBC,MC⊂平面SBC,∴MD⊥MC,∴△DMC为直角三角形.12、正三棱台的高为3,上、下底面边长分别为2和4,求这个棱台的侧棱长和斜高.答案:解:如图所示,正三棱台ABC-A1B1C1中,高OO1=3,底面边长为A1B1=2,AB=4,∴OA=×AB=,O1A1=×A1B1=,∴棱台的侧棱长为AA1==;又OE=×AB=,O1E1=×A1B1=,∴该棱台的斜高为EE1==.13、已知三棱椎D-ABC,AB=AC=1,AD=2,∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°,点E,F分别是BC,DE的中点,如图所示,(1)求证AF⊥BC(2)求线段AF的长.答案:解:(1)分别以AB、AC和AD为x、y、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示:记A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,2),∴E(,,0),F(,,1);∴(,,1),=(-1,1,0),∴•=×(-1)+×1+1×0=0,∴⊥,即AF⊥BC;(2)∵=(,,1),∴||===,即线段AB=.。

2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)

2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)

第八章 立体几何初步(章节复习专项训练)一、选择题1.如图,在棱长为1正方体ABCD 中,点E ,F 分别为边BC ,AD 的中点,将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折,将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误..的是A .无论旋转到什么位置,A 、C 两点都不可能重合B .存在某个位置,使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C .存在某个位置,使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D .存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解:过A 点作AM⊥BF 于M ,过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中,AF 是以F 为顶点,AM 为底面半径的圆锥的母线,同理,AB ,EC ,DC 也可以看成圆锥的母线;在A 中,A 点轨迹为圆周,C 点轨迹为圆周,显然没有公共点,故A 正确;在B 中,能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°,又AF ,EC 分别可看成是圆锥的母线,只需看以F 为顶点,AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可,故B 正确;在C 中,能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°,只需看以F 为顶点,AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可,故C 正确;在D 中,能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒,只需看以B 为顶点,AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可,故D 不成立;故选D .2.如图所示,多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,//EF AB ,32EF =,EF 到平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积V 为( )A .92B .5C .6D .152【答案】D【详解】解法一:如图,连接EB ,EC ,AC ,则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =,//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二:如图,设G ,H 分别为AB ,DC 的中点,连接EG ,EH ,GH ,则//EG FB ,//EH FC ,//GH BC ,得三棱柱EGH FBC -,由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=, 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯, 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三:如图,延长EF 至点M ,使3EM AB ==,连接BM ,CM ,AF ,DF ,则多面体BCM ADE -为斜三棱柱,其直截面面积3S =,则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行,F 为EM 的中点,F ADE F BCM V V --∴=,2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=, 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=, 32F BCM V -∴=,152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选:D 3.下列命题中正确的是A .若a ,b 是两条直线,且a ⊥b ,那么a 平行于经过b 的任何平面B .若直线a 和平面α满足a ⊥α,那么a 与α内的任何直线平行C .平行于同一条直线的两个平面平行D .若直线a ,b 和平面α满足a ⊥b ,a ⊥α,b 不在平面α内,则b ⊥α【答案】D【详解】解:如果a ,b 是两条直线,且//a b ,那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面,故A 错误; 如果直线a 和平面α满足//a α,那么a 与α内的任何直线平行或异面,故B 错误;如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线可能平行,也可能相交,也可能异面,故C 错误; D 选项:过直线a 作平面β,设⋂=c αβ,又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴.因此D 正确.故选:D .4.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,M 为棱BB 1的中点,则下列结论中错误的是( )A .D 1O⊥平面A 1BC 1B .MO⊥平面A 1BC 1C .二面角M -AC -B 等于90°D .异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ,连接11B D ,交11AC 于E ,则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ,故正确对于B ,连接1B D ,因为O 为底面ABCD 的中心,M 为棱1BB 的中点,1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ,则MO ⊥平面11A BC ,故正确;对于C ,因为,BO AC MO AC ⊥⊥,则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角,显然不等于90︒,故错误对于D ,1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角,11AC B ∆为等边三角形,1160AC B ∴∠=︒,故正确故选C5.如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点,过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ,则GH 与AB 的位置关系是A .平行B .相交C .异面D .平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中,11//AA BB ,E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点,//AE BF ∴,∴四边形ABFE 为平行四边形,//EF AB ∴, EF ⊄平面ABCD ,AB 平面ABCD ,//EF ∴平面ABCD ,EF ⊂平面EFGH ,平面EFGH平面ABCD GH =,//EF GH ∴, 又//EF AB ,//GH AB ∴,故选A.6.如图所示,点S 在平面ABC 外,SB⊥AC ,SB=AC=2,E 、F 分别是SC 和AB 的中点,则EF 的长是A .1 BC .2D .12【答案】B【详解】取BC 的中点D ,连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点,点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ,FD⊥AC,而SB⊥AC ,SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7.如图,AB 是圆O 的直径,PA 垂直于圆O 所在的平面,C 是圆O 上一点(不同于A ,B 两点),且PA AC =,则二面角P BC A --的大小为A .60°B .30°C .45°D .15°【答案】C【详解】 解:由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC , 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中,由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选:C .8.在空间四边形ABCD 中,若AD BC BD AD ⊥⊥,,则有A .平面ABC ⊥平面ADCB .平面ABC ⊥平面ADBC .平面ABC ⊥平面DBCD .平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意,知AD BC BD AD ⊥⊥,,又由BC BD B =,可得AD ⊥平面DBC ,又由AD ⊂平面ADC ,根据面面垂直的判定定理,可得平面ADC ⊥平面DBC9.直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=︒,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A .30°B .45°C .60°D .90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题,考查空间想象与计算能力.延长B 1A 1到E ,使A 1E =A 1B 1,连结AE ,EC 1,则AE ⊥A 1B ,⊥EAC 1或其补角即为所求,由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形,⊥⊥EC 1B 为60,故选C .10.已知两个平面相互垂直,下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是( )A .1B .2C .3D .4 【答案】A【详解】由题意,对于⊥,当两个平面垂直时,一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线,故⊥错误;对于⊥,设平面α∩平面β=m ,n⊥α,l⊥β,⊥平面α⊥平面β, ⊥当l⊥m 时,必有l⊥α,而n⊥α, ⊥l⊥n ,而在平面β内与l 平行的直线有无数条,这些直线均与n 垂直,故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线,即⊥正确;对于⊥,当两个平面垂直时,一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面,故⊥错误;对于⊥,当两个平面垂直时,过一个平面内任意一点作交线的垂线,若该直线不在第一个平面内,则此直线不一定垂直于另一个平面,故⊥错误;故选A .11.在空间中,给出下列说法:⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线;⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面;⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβ;⊥过平面α的一条斜线,有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是( )A .⊥⊥B .⊥⊥C .⊥⊥D .⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,不正确;易知⊥正确;⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β可能平行,也可能相交,不正确;易知⊥正确.故选B.12.下列结论正确的选项为( )A .梯形可以确定一个平面;B .若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;C .若l 上有无数个点不在平面α内,则l⊥αD .如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行,根据公理3的推论可知A 正确.两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线相交、平行或异面,故B 错.当直线和平面相交时,该直线上有无数个点不在平面内,故C 错.如果两个平面有三个公共点且它们共线,这两个平面可以相交,故D 错.综上,选A .13.已知圆柱的轴截面为正方形,且圆柱的体积为54π,则该圆柱的侧面积为A .27πB .36πC .54πD .81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r .因为圆柱的轴截面为正方形,所以该圆柱的高为2r .因为该圆柱的体积为54π,23π2π54πr h r ==,解得3r =,所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π.14.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为A .8π3B .32π3C .8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ,则截面圆的半径为,⊥截面圆的面积为S =π2=(R 2-1)π=π,⊥R 2=2,⊥球的表面积S =4πR 2=8π.故选C. 15.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形,那么这个圆柱的体积是A .2πB .1πC .22πD .21π【答案】A【详解】由题意可知,圆柱的高为2,底面周长为2,故半径为1π,所以底面积为1π,所以体积为2π,故选A . 16.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法不正确的是( )A .原来相交的仍相交B .原来垂直的仍垂直C .原来平行的仍平行D .原来共点的仍共点【答案】B【详解】解:根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,与x 轴平行的线段长度不变,与y 轴平行的线段长度变为原来的一半,且倾斜45︒,故原来垂直线段不一定垂直了;故选:B .17.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图,它是底角为45︒,腰和上底长均为1的等腰梯形,则原平面图形为 ( )A .下底长为1B .下底长为1+C .下底长为1D .下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=,1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示:可知原平面图形为下底长为1故选:C18.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积是( )A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ,则2r R ππ=,所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选:C .19.下列说法中正确的是A .圆锥的轴截面是等边三角形B .用一个平面去截棱锥,一定会得到一个棱锥和一个棱台C .将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D .有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形,A 错误;只有用一个平行于底面的平面去截棱锥,才能得到一个棱锥和一个棱台,B 错误;等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体,是由一个圆柱和两个圆锥组合而成,故C 错误;由棱柱的定义得,有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,故D 正确.20.如图,将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△,记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,直线A E ',A F '与平面BCD 所成角分别为α,β,则( ).A .αβθ+>B .αβθ+<C .π2αβ+>D .2αβθ+> 【答案】A【详解】如图,过A '作A H '⊥平面BCD ,垂足为H ,过A '作A G EF '⊥,垂足为G ,设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=,因为A H '⊥平面BCD ,EF ⊂平面BCD ,故A H EF '⊥,而A G A H A '''⋂=,故EF ⊥平面A GH ',而GH ⊂平面A GH ',所以EF GH ⊥,故A GH θ'∠=,又A EH α'∠=,A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中,sin d A E γ'=,同理cos d A F γ'=, 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===,同理sin sin cos βθγ=, 故222sin sin sin αβθ+=,故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=, 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=, 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=, 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-, 若αβθ+≤,由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥, 但αβαβθ-<+≤,故cos cos αβθ->,即()cos 1cos θαβ<-,矛盾, 故αβθ+>.故A 正确,B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<,而,,αβθ均为锐角,故,αθβθ<<,22παβθ+<<,故CD 错误.故选:D.二、填空题 21.如图,已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形,P A ⊥平面ABC ,P A =AB ,则下列结论正确的是_____.(填序号)⊥PB ⊥AD ;⊥平面P AB ⊥平面PBC ;⊥直线BC ⊥平面P AE ;⊥sin⊥PDA =.【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ,如果PB ⊥AD ,可得AD ⊥AB ,但是AD 与AB 成60°,⊥⊥不成立,过A 作AG ⊥PB 于G ,如果平面P AB ⊥平面PBC ,可得AG ⊥BC ,⊥P A ⊥BC ,⊥BC ⊥平面P AB ,⊥BC ⊥AB ,矛盾,所以⊥不正确;BC 与AE 是相交直线,所以BC 一定不与平面P AE 平行,所以⊥不正确;在R t⊥P AD 中,由于AD =2AB =2P A ,⊥sin⊥PDA =,所以⊥正确;故答案为: ⊥22.如图,已知边长为4的菱形ABCD 中,,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -,二面角D AC B --的大小为60°,则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形,60ABC ∠=︒,,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==,DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角,60DOB ∠=︒∴,OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ,连接DH ,则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=,AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥,又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ,OB ⊂平面ABC ,DH ∴⊥平面ABC ,2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ,则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=,d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______. 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R .由立体几何知识可得,连接圆锥的顶点和底面的圆心,必垂直于底面,且球心在连线所成的直线上.分两种情况分析:(1)球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,所以,故圆锥的体积为.该圆锥的体积和此球体积的比值为(2)球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,所以,故圆锥的体积为.该圆锥的体积和此球体积的比值为24.如图,四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形,P 、Q 分别为''''B C C D ,的中点.若'AA ⊥平面BPQD ,则此棱台上下底面边长的比值为___________.【答案】2 3【详解】连接AC,A′C′,则AC⊥A′C′,即A,C,A′,C′四点共面,设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M,N点,连接MN,如图所示:若AA′⊥平面BPQD,则AA′⊥MN,则AA'NM为平行四边形,即A'M=AN,即31''42A C=AC,''23A BAB∴=,即棱台上下底面边长的比值为23.故答案为23.三、解答题25.如图,在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,点P是侧棱C1C的中点.(1)求证:AC 1⊥平面PBD ;(2)求证:BD ⊥A 1P .【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】(1)连接AC 交BD 于O 点,连接OP ,因为四边形ABCD 是正方形,对角线AC 交BD 于点O ,所以O 点是AC 的中点,所以AO =OC .又因为点P 是侧棱C 1C 的中点,所以CP =PC 1,在⊥ACC 1中,11C P AO OC PC==,所以AC 1⊥OP , 又因为OP ⊥面PBD ,AC 1⊥面PBD ,所以AC 1⊥平面PBD .(2)连接A 1C 1.因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱,所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ,又BD ⊥平面ABCD ,所以CC 1⊥BD ,因为底面ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD ,又AC ∩CC 1=C ,AC ⊥面AC 1,CC 1⊥面AC 1,所以BD ⊥面AC 1,又因为P ⊥CC 1,CC 1⊥面ACC 1A 1,所以P ⊥面ACC 1A 1,因为A 1⊥面ACC 1A 1,所以A 1P ⊥面AC 1,所以BD ⊥A 1P .26.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1BC BB =,12BAC BCA ABC ∠=∠=∠,点E 是1A B 与1AB 的交点,D 为AC 的中点.(1)求证:1BC 平面1A BD ;(2)求证:1AB ⊥平面1A BC .【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】分析:(1)连结ED ,E 为1A B 与1AB 的交点,E 为1AB 中点,D 为AC 中点,根据三角形中位线定理可得1//ED B C ,由线面平行的判定定理可得结果;(2)由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥,由菱形的性质可得11AB A B ⊥,1BB ⊥平面ABC ,可得1BC BB ⊥,可证明1BC AB ⊥,由线面垂直的判定定理可得结果.详解:(1)连结ED ,⊥直棱柱111ABC A B C -中,E 为1A B 与1AB 的交点,⊥E 为1AB 中点,D 为AC 中点,⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ,1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .(2)由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =,⊥四边形11ABB A 是菱形,⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ,⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ,⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=,1,BC A B ⊂平面1A BC ,⊥1AB ⊥平面1A BC27.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,平面PBC ⊥平面ABCD ,⊥BCD 4π=,BC ⊥PD ,PE ⊥BC .(1)求证:PC =PD ;(2)若底面ABCD 是边长为2的菱形,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43,求点B 到平面PCD 的距离.【答案】(1)证明见解析 (2)3. 【详解】 (1)证明:由题意,BC ⊥PD ,BC ⊥PE ,⊥BC ⊥平面PDE ,⊥DE ⊥平面PDE ,⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=,⊥DEC 2π=,⊥ED =EC ,⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ,⊥PC =PD .(2)解:由题意,底面ABCD 是边长为2的菱形,则ED =EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ,PE ⊥BC ,平面PBC ∩平面ABCD =BC ,⊥PE ⊥平面ABCD ,即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=,解得PE = ⊥PC =PD =2.设点B 到平面PCD 的距离为h ,⊥V B ﹣PCD =V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=, ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=,⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28.如图,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中,面ABCD 是等腰梯形,//AB CD ,面ABFE 是矩形,平面ABFE ⊥平面ABCD ,BC CD AE a ===,60DAB ∠=.(1)求证:平面⊥BDF 平面ADE ;(2)若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)1.【详解】(1)因为四边形ABFE 是矩形,故EA AB ⊥,又平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE 平面ABCD AB =,AE ⊂平面ABFE , 所以AE ⊥平面ABCD ,又BD ⊂面ABCD ,所以AE BD ⊥,在等腰梯形ABCD 中,60DAB ∠=,120ADC BCD ︒∴∠=∠=,因BC CD =,故30BDC ∠=,1203090ADB ∠=-=,即AD BD ⊥, 又AE AD A =,故BD ⊥平面ADE ,BD ⊂平面BDF ,所以平面⊥BDF 平面ADE ;(2)BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==, //AE FB ,AE ⊥平面ABCD ,所以,BF ⊥平面ABCD ,2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==,故1a =.。

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立体几何试题一.选择题(每题4分,共40分)1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( )(1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形(3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( )A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=⊂ D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二.填空题(每题4分,共16分)11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、 解答题15(10分)如图,已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点,且1AE C F =。

苏教版高中数学必修2章末综合测评2 Word版含解析

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章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)1.直线l:x-3y+1=0的倾斜角为________.【解析】l:y=33x+33,k=33,∴α=30°.【答案】30°2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为________.【解析】直线方程为y=3x, 圆的方程化为x2+(y-2)2=22,∴r=2,圆心(0,2)到直线y=3x的距离为d=1,∴半弦长为22-1=3,∴弦长为2 3.【答案】2 33.(2016·常州高一检测)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=1的位置关系是__________.【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d=|-1-m+1|m2+1=|m|m2+1<1=r.故直线l与圆C相交.【答案】相交4.关于x的方程4-x2=12(x-2)+3解的个数为________个. 【导学号:60420097】【解析】作出y=4-x2和y=12(x-2)+3=12x+2的图象.可看出直线与半圆有两个公共点.【答案】 25.若直线l与直线3x+y-1=0垂直,且它在x轴上的截距为-2,则直线l的方程为________.【解析】因为直线3x+y-1=0的斜率为-3,所以直线l的斜率为13.又直线在x轴上的截距为-2,即直线l与x轴的交点为(-2,0),所以直线l的方程为y-0=13(x+2),即x-3y+2=0.【答案】x-3y+2=06.(2016·南京高一检测)若曲线(x-1)2+(y-2)2=4上相异两点P,Q关于直线kx-y-2=0对称,则k的值为__________.【解析】依题意得,圆心(1,2)在直线kx-y-2=0上,于是有k-4=0,解得k=4.【答案】 47.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则a2+b2的最小值为________.【解析】a2+b2的最小值为原点到直线3x+4y=15的距离:d=|0+0-15|32+42=3.【答案】 38.空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和B(x,-1,6)的距离为86,则x 的值为________.【解析】(x+3)2+(-1-4)2+(6-0)2=86,解得x=2或-8.【答案】2或-89.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.【解析】依题意,不妨设直线y=x+a与单位圆相交于A,B两点,则∠AOB=90°.如图,此时a=1,b=-1.满足题意,所以a2+b2=2.【答案】 210.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.【解析】设平面上的点为P,易知ABCD为凸四边形,设对角线AC与BD 的交点为P′,则|PA|+|PC|≥|AC|=|AP′|+|P′C|,|PB|+|PD|≥|BD|=|BP′|+|P′D|,当且仅当P与P′重合时,上面两式等号同时成立,由AC和BD的方程解得P′(2,4).【答案】(2,4)11.若直线l1:ax+3y+1=0与l2:2x+(a+1)y+1=0平行,则l1与l2距离为________.【解析】由l1∥l2可知a2=3a+1≠11,解得a=-3或a=2(舍),∴a =-3.∴l 1:-3x +3y +1=0,即x -y -13=0,l 2:2x -2y +1=0,即x -y +12=0, ∴l 1与l 2间的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-13-122=5212.【答案】521212.若圆O :x 2+y 2=4与圆C :x 2+y 2+4x -4y +4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是__________.【解析】 由圆C 的方程x 2+y 2+4x -4y +4=0可得圆心C (-2,2),由题意知直线l 过OC 的中点(-1,1),又直线OC 的斜率为-1,故直线l 的斜率为1,所以直线l 的方程为y -1=x +1,即x -y +2=0.【答案】 x -y +2=013.过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为________.【解析】 设P (3,1),圆心C (1,0),切点为A 、B ,则P 、A 、C 、B 四点共圆,且PC 为圆的直径,∴四边形PACB 的外接圆方程为(x -2)2+⎝⎛⎭⎪⎫y -122=54,①圆C :(x -1)2+y 2=1,②①-②得2x +y -3=0,此即为直线AB 的方程. 【答案】 2x +y -3=014.设集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤4},B ={(x ,y )|(x -1)2+(y -1)2≤r 2(r >0)},当A∩B=B时,r的取值范围是________.【解析】∵A={(x,y)|x2+y2≤4},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点,由A∩B=B可知两圆内含或内切.∴2≤2-r,即0<r≤2- 2.【答案】(0,2-2]二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知圆C的方程为:x2+y2-2x-4y+m=0,(1)求m的取值范围;(2)若直线x-2y-1=0与圆C相切,求m的值.【解】(1)由圆的方程的要求可得,22+42-4m>0,∴m<5.(2)圆心(1,2),半径r=5-m,因为圆和直线相切,所以有|1-4-1|12+-2=5-m,所以m=9 5 .16.(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程.【解】若l在两坐标轴上截距为0,设l:y=kx,即kx-y=0,则|4k-3|1+k2=3 2.解得k=-6±3214.此时l的方程为y=⎝⎛⎭⎪⎫-6±3214x;若l在两坐标轴上截距不为0,设l :x a +y a=1,即x +y -a =0,则|4+3-a |12+12=3 2.解得a =1或13.此时l 的方程为x +y -1=0或x +y -13=0.综上,直线l 的方程为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫-6±3214x 或x +y -1=0或x +y -13=0.17.(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,0),(3,1,9),(3,0,9),(0,0,9),(0,1,9).(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体; (2)求这个长方体外接球的球心坐标; (3)求这个长方体外接球的体积. 【解】 (1)如图.(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径, 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3+02,0+12,0+92,即⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,92. (3)因为长方体的体对角线长d =-2+12+92=91,所以其外接球的半径r =d 2=912.所以其外接球的体积V 球=43πr 3=43π⎝ ⎛⎭⎪⎫9123=91π691.18.(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y =x +1对称,直线3x +4y +1=0与圆C 相交于E ,F 两点,且|AB |=4.(1)求圆C 的标准方程;(2)设直线l :mx -y +1-m =0(m ∈R )与圆C 的交点A ,B ,求弦AB 的中点M 的轨迹方程.【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y =x +1的对称点,即圆心C 的坐标为(0,1),圆心C 到直线3x +4y +1=0的距离为d =|0+4+1|5=1. 所以r 2=12+22=5,得圆C 的方程为x 2+(y -1)2=5. (2)联立得⎩⎨⎧y =m x -+1,x 2+y -2=5,消去y ,得(1+m 2)x 2-2m 2x +m 2-5=0.由于Δ=4m 4-4(1+m 2)(m 2-5)=16m 2+20>0,故l 与圆C 必交于两点.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则⎩⎨⎧x 0=x 1+x 22=m 21+m 2,y 0=mx 0-+1.消去m ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-122+(y 0-1)2=14.∴M 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x -122+(y -1)2=14.19.(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点,且点Q (-2,3).(1)求|MQ |的最大值和最小值;(2)若M (m ,n ),求n -3m +2的最大值和最小值. 【解】 (1)由题意知,圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -7)2=8,∴圆心C 的坐标为(2,7),半径r =2 2.又|QC |=[2--2+-2=42>22,∴|MQ |max =42+22=62,|MQ |min =42-22=2 2. (2)因为n -3m +2表示直线MQ 的斜率, 所以设直线MQ 的方程为y -3=k (x +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k =n -3m +2, 即kx -y +2k +3=0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点, 所以|2k -7+2k +3|1+k 2≤22,解得2-3≤k ≤2+3, 所以n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3. 20.(本小题满分16分)如图1,已知△ABC 中A (-8,2),AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x +2y -5=0,AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x -5y +8=0,求直线BC 的方程.图1【解】 设B (x 0,y 0),则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0-82,y 0+22,由条件可得:⎩⎨⎧2x 0-5y 0+8=0,x 0-82+2·y 0+22-5=0,得⎩⎨⎧2x 0-5y 0+8=0,x 0+2y 0-14=0,解得⎩⎨⎧x 0=6,y 0=4,即B (6,4),同理可求得C 点的坐标为(5,0). 故所求直线BC 的方程为y -04-0=x -56-5,即4x -y -20=0.。

高一数学立体几何练习题及部分答案大全.docx

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立体几何试题一.选择题(每题 4 分,共 40 分)1. 已知 AB3003001500空间,下列命题正确的个数为()(1)有两组对边相等的四边形是平行四边形, (2)四边相等的四边形是菱形(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角(3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是()A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点,作与平行的平面,则这样的平面可作()A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有()A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二.填空题(每题 4 分,共16 分)11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N,设直线AB与平面交于点O,则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15(10 分)如图,已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点,且 AE C1 F 。

高中数学必修2立体几何期末试卷及答案

高中数学必修2立体几何期末试卷及答案

高中数学必修2立体几何部分试卷(时间:40分钟 满分:50分)一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分。

)1、垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A .平行B .相交C .异面D .以上都有可能2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面,可以作( )A .1个B .1个或无数个C .0个或无数个D .0个、1个或无数个3、正三棱锥底面三角形的边长为3,侧棱长为2,则其体积为 ( )A .41B . 21C .43D .49 4、右图是一个实物图形,则它的左视图大致为 ( )5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面积之和,则该正四棱台的高是( )A .2B .25C .3D .27 二、填空题(每小题4分,共12分) 6、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm ,那么该棱柱的表面积为cm 2.7、如右图.M 是棱长为2cm 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是 cm .8、右图所示△AOB 的直观图,则其原来平面图形的面积是_______三、解答题(共18分,要求写出必要的证明、解答过程)9、如图所示:已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为a ,底面边长为a ,E 是SA 的中点,求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值。

(8分) 45B O A 2210、如下的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在右边画出(单位:cm )。

(1)画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连结'BC ,证明:'BC ∥面EFG 。

(10分)必修2立体几何部分试卷答案题号 12 3 4 5 答案 D D C D A6、2+427、 178、 49、解:连接AC 、BD 交于点0,连接EO.224侧视图正视图624G F C'B'D'C A D∵E 为SA 的中点,O 为AC 的中点,∴EO ∥SC (3分)∴∠BEO 为异面直线BE 、SC 所成的角(或其补角) (1分) 又∵正四棱锥S —ABCD 侧棱长为a ,底面边长为a∴EO=21SC=21a, BE=23a, OB=22a 在△EBO 中 EO 2+OB 2=BE 2 ∴△EBO 为Rt △. (2分) COS ∠BEO=33=BE OE (1分) ∴异面直线BE 、SC 所成的角的余弦值为33。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (50)

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (50)

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷(共22题)一、选择题(共10题)1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2.下列说法正确的是( )A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行3.截一个几何体,所得各截面都是圆面,则这个几何体一定是( )A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台4.下列图形中不一定是平面图形的是( )A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形5.如图的简单组合体是由组合而成.A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱6.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥7.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线α,β表示平面),其中命题和叙述方法都正确的是( )A.若A∈α,B∈α,则AB∈αB.若a∈α,a∈β,则α∩β=aC.若A∈α,a⫋α,则A∈αD.若A∉a,a⫋α,则A∉α8.下列四个命题中真命题是( )A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个9.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为( )A.1B.2C.3D.410.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α内”,正确的是( )A.A∈l,l∉αB.A⊂l,l⊄αC.A⊂l,l∈αD.A∈l,l⊂α二、填空题(共6题)11.几何体体积说明棱柱V棱柱=SℎS为棱柱的 ,ℎ为棱柱的 棱锥V棱锥=13SℎS为棱锥的 ,ℎ为棱锥的 棱台V棱台=13(Sʹ+√SʹS+S)ℎSʹ,S分别为棱台的 ,ℎ为棱台的 12.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为.13.思考辨析 判断正误棱锥的体积等于底面面积与高之积.14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱BB1的中点,N是棱AB的中点,则∠NMC1的大小是.15.思考辨析,判断正误.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.16.思考辨析,判断正误在斜二测画法中,各条线段的长度都发生了改变.( )三、解答题(共6题)17.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征.18.如图是长方体的表面展开图,在这个长方体中:(1) 直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的?(2) 平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的?(3) 线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗?19.有4条长为2的线段和2条长为a的线段,用这6条线段作为棱,构成一个三棱锥.问a为何值时,可构成一个最大体积的三棱锥,最大值为多少?20.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.(1) 点P与直线AB;(2) 点C与直线AB;(3) 点M与平面AC;(4) 点A1与平面AC;(5) 直线AB与直线BC;(6) 直线AB与平面AC;(7) 平面A1B与平面AC.21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件?22.观察(1),(2),(3)三个图形,说明它们的位置关系有什么不同,并用字母表示各个平面.答案一、选择题(共10题)1. 【答案】D【解析】分别在两个平面的两条直线平行、相交、异面都可能,可将两条直线放在长方体里进行研究.【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】D【解析】等腰三角形的两底角相等,但在直观图中不相等,故A错误;正方形的直观图是平行四边形,正方形的两邻边相等,但在直观图中不相等,故B,C错误.【知识点】直观图3. 【答案】C【解析】由球的结构特征知该几何体是球.【知识点】球的结构特征4. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质5. 【答案】B【解析】该简单组合体的上面是一个棱锥,下面是一个棱柱.【知识点】组合体6. 【答案】D【解析】对A,侧棱延长线不交于一点,不符合棱台的定义,所以A错误;对B,上下两个面不平行,不符合圆台的定义,所以B错误;对C,将几何体竖直起来看,符合棱柱的定义,所以C错误;对D,符合棱锥的定义,正确.【知识点】棱台的结构特征、棱锥的结构特征、棱柱的结构特征7. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】棱柱的结构特征、直线与直线的位置关系、球的结构特征9. 【答案】B【解析】设两球半径分别为R1,R2,且R1>R2,则4π(R12−R22)=48π,2π(R1+R2)=12π,所以R1−R2=2.【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】D【解析】点A在直线l上,表示为A∈l,l在平面α内,表示为l⊂α.【知识点】平面的概念与基本性质二、填空题(共6题)11. 【答案】底面积;高;底面积;高;上、下底面面积;高【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、棱台的表面积与体积12. 【答案】4:9【解析】因为V1:V2=8:27=R13:R23,所以R1:R2=2:3,所以S1:S2=R12:R22=4:9.【知识点】球的表面积与体积13. 【答案】×【知识点】棱锥的表面积与体积14. 【答案】90°【解析】通过计算可知NC12=NM2+MC12,故∠NMC1=90∘.如图.【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】√【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】×【知识点】直观图三、解答题(共6题)17. 【答案】如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.【知识点】组合体18. 【答案】(1) 根据展开图还原长方体,其示意图如图所示, 则 直线DM ∥平面ABQP .(2) 平面 DCMN 垂直于平面 ERFG .(3) 线段 BC 的长度是点 C 到平面 APQB 的距离.【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离(线面距离、点线距离、面面距离)、直线与平面的位置关系19. 【答案】构成三棱锥,这 6 条线段作为棱有两种摆放方式.(1)2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中.如图所示,不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形.欲使体积达到最大,必有 BA ⊥底面BCD ,且 BA =2,AC =AD =a =2√2, 此时 V =13×√34×22×2=23√3.(2)2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中,此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱,不妨设 AD =BC =a ,BD =CD =AB =AC =2. 取 BC 中点 E ,连接 AE ,DE (见下图).则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ,V =13S △AED ⋅BC , 在 △AED 中,AE =DE =√4−a 24,AD =a ,S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22,所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14,由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3, 等号当且仅当 a 2=163时成立,即 a =43√3, 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3.【知识点】棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 点P∈直线AB.(2) 点C∉直线AB.(3) 点M∈平面AC.(4) 点A1∉平面AC.(5) 直线AB∩直线BC=点B.(6) 直线AB⊂平面AC.(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB.【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】①平面α内两条相交直线a,b,即a⊂α,b⊂α,a∩b=P.②两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β.【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】图(1)表示两个相交的半平面;图(2)表示开口向里的两个相交的半平面;图(3)表示开口向外的两个相交的半平面.【知识点】平面的概念与基本性质。

(完整版)高中数学必修2立体几何考题(附答案)

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高中数学必修2立体几何考题13.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1,B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解析:(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.探究拓展:解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手,经过推理、演算、变形等),如第(1)问,还有假设法,特例法,有时证明两直线异面用直线法较难说明问题,这时可用反证法,即假设两直线共面,由这个假设出发,来推证错误,从而否定假设,则两直线是异面的.解:(1)不是异面直线.理由如下:∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D,而D1D綊C1C,∴A1A綊C1C,∴四边形A1ACC1为平行四边形.∴A1A∥AC,得到MN∥AC,∴A、M、N、C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线.理由如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1,这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾,∴假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.14.如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为面BCC1B1的中心.(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);(2)求PQ的长(不必证明).解析:(1)由ON∥AD知,AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如下图所示).∵三个平面α,β和ABCD两两相交,有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面.∴DA与CM必相交,记交点为Q.∴OQ是α与β的交线.连结OQ与AN交于P,与CM交于Q,故OPQ即为所作的直线.(2)解三角形APQ可得PQ=14 3.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=B1B=a,∠ABC=90°,D、E分别为BB1、AC1的中点.(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值;(2)证明:DE为异面直线BB1与AC1的公垂线;(3)求异面直线BB1与AC1的距离.解析:(1)由于直三棱柱ABC-A 1B1C1中,AA1∥BB1,所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角.又AB=BC=B1B=a,∠ABC=90°,所以A1C1=2a,tan∠A1AC1=2,即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为 2.(2)证明:解法一:如图,在矩形ACC1A1中,过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1,连结BM,B1M1,则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点,可得DE綊BM.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,由条件AB=BC得BM⊥AC,所以BM⊥平面ACC1A1,故DE⊥平面ACC1A1,所以DE⊥AC1,DE⊥BB1,即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线.解法二:如图,延长C1D、CB交于点F,连结AF,由条件易证D是C1F的中点,B是CF的中点,又E是AC1的中点,所以DE∥AF.在△ACF中,由AB=BC=BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AF⊥AA1,故AF⊥平面ACC1A1,故DE⊥平面ACC1A1,所以DE⊥AC1,DE⊥BB1,即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线.(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离,由于AB=BC=a,∠ABC=90°,所以DE=2 2a.反思归纳:两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线,两条异面直线的公垂线是惟一的,两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离.证明一直线是某两条异面直线的公垂线,可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直.本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直,而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内,另一条直线与这个平面平行.16.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,M分别是BD1,AA1的中点.(1)求证:MO是异面直线AA1和BD1的公垂线;(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值;(3)若正方体的棱长为a,求异面直线AA1与BD1的距离.解析:(1)证明:∵O是BD1的中点,∴O是正方体的中心,∴OA=OA 1,又M为AA1的中点,即OM是线段AA1的垂直平分线,故OM⊥AA1.连结MD1、BM,则可得MB=MD1.同理由点O为BD1的中点知MO⊥BD1,即MO 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线. (2)由于AA 1∥BB 1,所以∠B 1BD 1就是异面直线AA 1和BD 1所成的角. 在Rt △BB 1D 1中,设BB 1=1,则BD 1=3,所以cos ∠B 1BD 1=33,故异面直线AA 1与BD 1所成的角的余弦值等于33.(3)由(1)知,所求距离即为线段MO 的长,由于OA =12AC 1=32a ,AM =a 2,且OM ⊥AM ,所以OM =22a .13.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧面对角线AB 1,BC 1上分别有两点E 、F ,且B 1E =C 1F ,求证:EF ∥ABCD .证明:解法一:分别过E 、F 作EM ⊥AB 于M ,FN ⊥BC 于N ,连结MN .∵BB 1⊥平面ABCD , ∴BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC , ∴EM ∥BB 1,FN ∥BB 1, ∴EM ∥FN .又B 1E =C 1F ,∴EM =FN ,故四边形MNFE 是平行四边形, ∴EF ∥MN ,又MN 在平面ABCD 中, 所以EF ∥平面ABCD .解法二:过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ,连结GF ,则B 1E B 1A =B 1GB 1B,∵B 1E =C 1F ,B 1A =C 1B , ∴C 1F C 1B =B 1G B 1B,∴FG ∥B 1C 1∥BC . 又EG ∩FG =G ,AB ∩BC =B , ∴平面EFG ∥平面ABCD , 而EF ⊂平面EFG , ∴EF ∥平面ABCD .14.如下图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC .过BD 作与P A 平行的平面,交侧棱PC 于点E ,又作DF ⊥PB ,交PB 于点F .(1)求证:点E 是PC 的中点; (2)求证:PB ⊥平面EFD .证明:(1)连结AC ,交BD 于O ,则O 为AC 的中点,连结EO . ∵P A ∥平面BDE ,平面P AC ∩平面BDE =OE ,∴P A ∥OE . ∴点E 是PC 的中点;(2)∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ,∴PD ⊥DC ,△PDC 是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线, ∴DE ⊥PC ,①又由PD ⊥平面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,CD ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC .而DE ⊂平面PDC .∴BC ⊥DE .②由①和②推得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC , ∴DE ⊥PB ,又DF ⊥PB 且DE ∩DF =D , 所以PB ⊥平面EFD .15.如图,l 1、l 2是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点A 、B 在l 1上,C 在l 2上,AM =MB =MN .(1)求证AC ⊥NB ; (2)若∠ACB =60°,求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.证明:(1)如图由已知l 2⊥MN ,l 2⊥l 1,MN ∩l 1=M ,可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1,AM =MB =MN ,可知AN =NB 且AN ⊥NB . 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影, ∴AC ⊥NB .(2)∵Rt △CNA ≌Rt △CNB ,∴AC =BC ,又已知∠ACB =60°,因此△ABC 为正三角形. ∵Rt △ANB ≌Rt △CNB ,∴NC =NA =NB ,因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心.连结BH ,∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.在Rt △NHB 中,cos ∠NBH =HB NB =33AB22AB =63.16.如图,在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点.求证:(1)直线EF ∥平面ACD ; (2)平面EFC ⊥平面BCD .命题意图:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力.证明:(1)在△ABD 中,∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点,所以EF ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ,EF ⊄平面ACD ,∴直线EF ∥平面ACD . (2)在△ABD 中,∵AD ⊥BD ,EF ∥AD ,∴EF ⊥BD .在△BCD 中,∵CD =CB ,F 为BD 的中点,∴CF ⊥BD .∵EF ⊂平面EFC ,CF ⊂平面EFC ,EF 与CF 交于点F ,∴BD ⊥平面EFC . 又∵BD ⊂平面BCD ,∴平面EFC ⊥平面BCD .13.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,P A ⊥平面ABCD ,且P A =2AB .(1)求证:平面P AC ⊥平面PBD ; (2)求二面角B -PC -D 的余弦值. 解析:(1)证明:∵P A ⊥平面ABCD , ∴P A ⊥BD .∵ABCD 为正方形,∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面P AC ,又BD 在平面BPD 内,∴平面P AC ⊥平面BPD . (2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ,垂足为N ,连结DN , ∵Rt △PBC ≌Rt △PDC , 由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ;∴∠BND 为二面角B -PC -D 的平面角,在△BND 中,BN =DN =56a ,BD =2a ,∴cos ∠BND =56a 2+56a 2-2a 253a 2=-15.14.如图,已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体,点E 在AA 1上,点F 在CC 1上,G 在BB 1上,且AE =FC 1=B 1G =1,H 是B 1C 1的中点.(1)求证:E 、B 、F 、D 1四点共面; (2)求证:平面A 1GH ∥平面BED 1F . 证明:(1)连结FG .∵AE =B 1G =1,∴BG =A 1E =2, ∴BG 綊A 1E ,∴A 1G 綊BE . ∵C 1F 綊B 1G ,∴四边形C 1FGB 1是平行四边形. ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1,∴四边形A 1GFD 1是平行四边形. ∴A 1G 綊D 1F ,∴D 1F 綊EB , 故E 、B 、F 、D 1四点共面.(2)∵H 是B 1C 1的中点,∴B 1H =32.又B 1G =1,∴B 1G B 1H =32.又FC BC =23,且∠FCB =∠GB 1H =90°, ∴△B 1HG ∽△CBF ,∴∠B 1GH =∠CFB =∠FBG , ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ,且HG ∩A 1G =G , FB ∩BE =B ,∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .15.在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥面ABC ,△ABC 为正三角形,D 、E 分别为BC 、AC 的中点,设AB =P A =2.(1)求证:平面PBE ⊥平面P AC ;(2)如何在BC 上找一点F ,使AD ∥平面PEF ,请说明理由; (3)对于(2)中的点F ,求三棱锥B -PEF 的体积. 解析:(1)证明:∵P A ⊥面ABC ,BE ⊂面ABC , ∴P A ⊥BE .∵△ABC 是正三角形,E 为AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又P A 与AC 相交, ∴BE ⊥平面P AC ,∴平面PBE ⊥平面P AC .(2)解:取DC 的中点F ,则点F 即为所求. ∵E ,F 分别是AC ,DC 的中点, ∴EF ∥AD ,又AD ⊄平面PEF ,EF ⊂平面PEF , ∴AD ∥平面PEF .(3)解:V B -PEF =V P -BEF =13S △BEF ·P A =13×12×32×32×2=34.16.(2009·天津,19)如图所示,在五面体ABCDEF 中,F A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为CE 的中点,AF =AB =BC =FE =12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小; (2)求证:平面AMD ⊥平面CDE ; (3)求二面角A -CD -E 的余弦值.解答:(1)解:由题设知,BF ∥CE ,所以∠CED (或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角.设P 为AD 的中点,连结EP ,PC .因为FE 綊AP ,所以F A 綊EP .同理,AB 綊PC .又F A ⊥平面ABCD ,所以EP ⊥平面ABCD .而PC ,AD 都在平面ABCD 内,故EP ⊥PC ,EP ⊥AD .由AB ⊥AD ,可得PC ⊥AD .设F A =a ,则EP =PC =PD =a ,CD =DE =EC =2a .故∠CED =60°.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明:因为DC =DE 且M 为CE 的中点,所以DM ⊥CE .连结MP ,则MP ⊥CE .又MP ∩DM =M ,故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ,所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点,连结PQ ,EQ .因为CE =DE ,所以EQ ⊥CD .因为PC =PD ,所以PQ ⊥CD ,故∠EQP 为二面角A -CD -E 的平面角.由(1)可得,EP ⊥PQ ,EQ =62a ,PQ =22a .于是在Rt △EPQ 中,cos ∠EQP =PQ EQ =33.所以二面角A -CD -E 的余弦值为33.13.(2009·重庆)如图所示,四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥AD ,AD ⊥DC ,P A ⊥底面ABCD ,P A =AD =DC =12AB =1,M 为PC 的中点,N 点在AB 上且AN =13NB .(1)求证:MN ∥平面P AD ;(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角.解析:(1)证明:过点M 作ME ∥CD 交PD 于E 点,连结AE .∵AN =13NB ,∴AN =14AB =12DC =EM .又EM ∥DC ∥AB ,∴EM 綊AN , ∴AEMN 为平行四边形,∴MN ∥AE ,∴MN ∥平面P AD .(2)解:过N 点作NQ ∥AP 交BP 于点Q ,NF ⊥CB 于点F . 连结QF ,过N 点作NH ⊥QF 于H ,连结MH , 易知QN ⊥面ABCD ,∴QN ⊥BC ,而NF ⊥BC , ∴BC ⊥面QNF ,∵BC ⊥NH ,而NH ⊥QF ,∴NH ⊥平面PBC ,∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成的角.通过计算可得MN =AE =22,QN =34,NF =342,∴NH =QN ·NF QF =ON ·NF QN 2+NF 2=64,∴sin ∠NMH =NH MN =32,∴∠NMH =60°,∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°. 14.(2009·广西柳州三模)如图所示,已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ⊥BD ,AD =BD =a ,E 是CC 1的中点,A 1D ⊥BE .(1)求证:A 1D ⊥平面BDE ;(2)求二面角B -DE -C 的大小.解析:(1)证明:在直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, ∵AA 1⊥平面ABCD ,∴AA 1⊥BD . 又∵BD ⊥AD ,∴BD ⊥平面ADD 1A 1,即BD ⊥A 1D . 又∵A 1D ⊥BE 且BE ∩BD =B , ∴A 1D ⊥平面BDE .(2)解:如图,连B 1C ,则B 1C ⊥BE , 易证Rt △BCE ∽Rt △B 1BC ,∴CE BC =BC B 1B,又∵E 为CC 1中点, ∴BC 2=12BB 21.BB 1=2BC =2a .取CD 中点M ,连结BM ,则BM ⊥平面CC 1D 1C , 作MN ⊥DE 于N ,连NB ,由三垂线定理知:BN ⊥DE ,则∠BNM 是二面角B -DE -C 的平面角.在Rt △BDC 中,BM =BD ·BC DC =22a ,Rt △CED 中,易求得MN =1010a ,Rt △BMN 中,tan ∠BNM =BMMN=5,则二面角B -DE -C 的大小为arctan 5.15.如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点.(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值; (2)求证:平面EB 1D ⊥平面B 1CD ; (3)求二面角E -B 1C -D 的余弦值.解析:(1)连结A 1D ,则由A 1D ∥B 1C 知,B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角.连结A 1E ,由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,可设其棱长为a ,则A 1D =2a ,A 1E =DE =52a ,∴cos ∠A 1DE=A 1D 2+DE 2-A 1E 22·A 1D ·DE =105.∴直线B 1C 与DE 所成角的余弦值是105. (2)证明取B 1C 的中点F ,B 1D 的中点G ,连结BF ,EG ,GF . ∵CD ⊥平面BCC 1B 1,且BF ⊂平面BCC 1B 1,∴DC ⊥BF . 又∵BF ⊥B 1C ,CD ∩B 1C =C , ∴BF ⊥平面B 1CD .又∵GF 綊12CD ,BE 綊12CD ,∴GF 綊BE ,∴四边形BFGE 是平行四边形, ∴BF ∥GE ,∴GE ⊥平面B 1CD . ∵GE ⊂平面EB 1D ,∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)连结EF .∵CD ⊥B 1C ,GF ∥CD ,∴GF ⊥B 1C . 又∵GE ⊥平面B 1CD ,∴EF ⊥B 1C ,∴∠EFG 是二面角E -B 1C -D 的平面角. 设正方体的棱长为a ,则在△EFG 中,GF =12a ,EF =32a ,∴cos ∠EFG =FG EF =33,∴二面角E -B 1C -D 的余弦值为33.16.(2009·全国Ⅱ,18)如图所示,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1.(1)求证:AB =AC ;(2)设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小. 解析:(1)证明:取BC 中点F ,连结EF ,则EF 綊12B 1B ,从而EF 綊DA .连结AF ,则ADEF 为平行四边形,从而AF ∥DE .又DE ⊥平面BCC 1,故AF ⊥平面BCC 1,从而AF ⊥BC ,即AF 为BC 的垂直平分线,所以AB =AC .(2)解:作AG ⊥BD ,垂足为G ,连结CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ,故∠AGC 为二面角A -BD -C 的平面角.由题设知,∠AGC =60°.设AC =2,则AG =23.又AB =2,BC =22,故AF = 2.由AB ·AD =AG ·BD 得2AD =23·AD 2+22,解得AD =2,故AD =AF .又AD ⊥AF ,所以四边形ADEF 为正方形.因为BC ⊥AF ,BC ⊥AD ,AF ∩AD =A ,故BC ⊥平面DEF ,因此平面BCD ⊥平面DEF . 连结AE 、DF ,设AE ∩DF =H ,则EH ⊥DF ,EH ⊥平面BCD .连结CH ,则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角.因ADEF 为正方形,AD =2,故EH =1,又EC =12B 1C =2,所以∠ECH =30°,即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.13.在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面边长为22,侧棱长为4,E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点.(1)求证:平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1; (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离d .分析:(1)可先证EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时,可由B 1D 1∥BD ,将点进行转移:D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍,先求B 点到平面B 1EF 的距离即可.解答:(1)证明:⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊥BD EF ⊥B 1B ⇒EF ⊥平面BDD 1B 1⇒平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)解:解法一:连结EF 交BD 于G 点. ∵B 1D 1=4BG ,且B 1D 1∥BG ,∴D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍. 利用等积法可求.由题意可知,EF =12AC =2,B 1G =17.S △B 1EF =12EF ·B 1G =12×2×17=17,S △BEF =12BE ·BF =12×2×2=1.∵VB -B 1EF =VB 1-BEF ,设B 到面B 1EF 的距离为h 1,则13×17×h 1=13×1×4,∴h 1=41717.∴点D 1到平面B 1EF 的距离为h =4h 1=161717.解法二:如图,在正方形BDD 1B 1的边BD 上取一点G ,使BG =14BD ,连结B 1G ,过点D 1作D 1H ⊥B 1G 于H ,则D 1H 即为所求距离.可求得D 1H =161717(直接法).14.如图直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱CC 1=2,∠BAC =90°,AB =AC =2,M 是棱BC 的中点,N 是CC 1中点.求:(1)二面角B 1-AN -M 的大小; (2)C 1到平面AMN 的距离. 解析:(1)∵∠BAC =90°,AB =AC =2,M 是棱BC 的中点, ∴AM ⊥BC ,BC =2,AM =1. ∴AM ⊥平面BCC 1B 1.∴平面AMN ⊥平面BCC 1B 1.作B 1H ⊥MN 于H ,HR ⊥AN 于R ,连结B 1R , ∴B 1H ⊥平面AMN .又由三垂线定理知,B 1R ⊥AN .∴∠B 1RH 是二面角B 1-AN -M 的平面角. 由已知得AN =3,MN =2,B 1M =5=B 1N ,则B 1H =322,又Rt △AMN ∽Rt △HRN ,RH AM =HN AN ,∴RH =66.∴B 1R =143,∴cos ∠B 1RH =RH B 1R =714.∴二面角B 1-AN -M 的大小为arccos 714.(2)∵N 是CC 1中点,∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离. 设C 到平面AMN 的距离为h , 由V C -AMN =V N -AMC 得13×12·MN ·h =13×12AM ·MC . ∴h =22.15.(2009·北京海淀一模)如图所示,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且AB ∥CD ,∠BAD =90°,P A =AD =DC =2,AB =4.(1)求证:BC ⊥PC ;(2)求PB 与平面P AC 所成的角的正弦值; (3)求点A 到平面PBC 的距离.解析:(1)证明:如图,在直角梯形ABCD 中, ∵AB ∥CD ,∠BAD =90°,AD =DC =2, ∴∠ADC =90°,且AC =2 2. 取AB 的中点E ,连结CE ,由题意可知,四边形ABCD 为正方形, ∴AE =CE =2.又∵BE =12AB =2.∴CE =12AB ,∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴AC ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABCD ,且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影, BC ⊂平面ABCD ,由三垂线定理得, BC ⊥PC .(2)由(1)可知,BC ⊥PC ,BC ⊥AC ,PC ∩AC =C , ∴BC ⊥平面P AC .PC 是PB 在平面P AC 内的射影,∴∠CPB 是PB 与平面P AC 所成的角.又CB =22, PB 2=P A 2+AB 2=20,PB =25,∴sin ∠CPB =BC PB =105,即PB 与平面P AC 所成角的正弦值为105.(3)由(2)可知,BC ⊥平面P AC ,BC ⊂平面PBC , ∴平面PBC ⊥平面P AC .过A 点在平面P AC 内作AF ⊥PC 于F , ∴AF ⊥平面PBC ,∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离.在直角三角形P AC 中, P A =2,AC =22,PC =23,∴AF =263.即点A 到平面PBC 的距离为263.16.(2009·吉林长春一模)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面是正方形,P A ⊥底面ABCD ,P A =2,∠PDA =45°,点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.(1)求证:AF ∥平面PCE ;(2)求二面角E -PD -C 的大小; (3)求点A 到平面PCE 的距离.解析:(1)证明:如图取PC 的中点G ,连结FG 、EG , ∴FG 为△PCD 的中位线,∴FG =12CD 且FG ∥CD .又∵底面四边形ABCD 是正方形,E 为棱AB 的中点,∴AE =12CD 且AE ∥CD ,∴AE =FG 且AE ∥FG .∴四边形AEGF 是平行四边形, ∴AF ∥EG .又EG ⊂平面PCE ,AF ⊄平面PCE , ∴AF ∥平面PCE .(2)解:∵P A ⊥底面ABCD , ∴P A ⊥AD ,P A ⊥CD . 又AD ⊥CD , P A ∩AD =A , ∴CD ⊥平面P AD . 又∵AF ⊂平面P AD , ∴CD ⊥AF .又P A =2,∠PDA =45°, ∴P A =AD =2.∵F 是PD 的中点,∴AF ⊥PD . 又∵CD ∩PD =D , ∴AF ⊥平面PCD .∵AF ∥EG ,∴EG ⊥平面PCD . 又GF ⊥PD ,连结EF ,则∠GFE 是二面角E -PD -C 的平面角. 在Rt △EGF 中,EG =AF =2,GF =1,∴tan ∠GFE =GEGF= 2.∴二面角E -PD -C 的大小为arctan 2. (3)设A 到平面PCE 的距离为h ,由V A -PCE =V P -ACE ,即13×12PC ·EG ·h =13P A ·12AE ·CB ,得h =63,∴点A 到平面PCE 的距离为63.13.(2009·陕西,18)如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,AC =AA 1=3,∠ABC =60°.(1)求证:AB ⊥A 1C ;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.解析:(1)证明:∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴AB ⊥AA 1,在△ABC 中,AB =1,AC =3,∠ABC =60°,由正弦定理得∠ACB =30°, ∴∠BAC =90°,即AB ⊥AC .∴AB ⊥平面ACC 1A 1,又A 1C ⊂平面ACC 1A 1,∴AB ⊥A 1C .(2)解:如图,作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点,连结BD ,由三垂线定理知BD ⊥A 1C ,∴∠ADB 为二面角A -A 1C -B 的平面角.在Rt △AA 1C 中,AD =AA 1·AC A 1C =3×36=62,在Rt △BAD 中,tan ∠ADB =AB AD =63, ∴∠ADB =arctan63,即二面角A -A 1C -B 的大小为arctan 63. 14.如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形,侧面ABB 1A 1是菱形且垂直于底面,∠A 1AB =60°,M 是A 1B 1的中点.(1)求证:BM ⊥AC ;(2)求二面角B -B 1C 1-A 1的正切值; (3)求三棱锥M -A 1CB 的体积.解析:(1)证明:∵ABB 1A 1是菱形,∠A 1AB =60°⇒△A 1B 1B 是正三角形, ⎭⎪⎬⎪⎫∵M 是A 1B 1的中点,∴BM ⊥A 1B 又∵平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1 ⇒BM ⊥平面A 1B 1C 1. ⎭⎪⎬⎪⎫∴BM ⊥A 1C 1又∵AC ∥A 1C 1⇒BM ⊥AC .⎭⎪⎬⎪⎫(2)过M 作ME ⊥B 1C 1且交于点E ,∵BM ⊥平面A 1B 1C 1,⇒BE ⊥B 1C 1,∴∠BEM 为所求二面角的平面角, △A 1B 1C 1中,ME =MB 1·sin60°=34a ,Rt △BMB 1中,MB =MB 1·tan60°=32a , ∴tan ∠BEM =MBME=2,∴所求二面角的正切值是2.(3)VM -A 1CB =12VB 1-A 1CB =12VA -A 1CB =12VA 1-ABC =12×13×34a 2·32a =116a 3.15.(2009·广东汕头一模)如图所示,已知△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1,AB ⊥平面BCD ,∠ADB =60°,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且AE AC =AFAD=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有EF ⊥平面ABC ;(2)若λ=12,求三棱锥A -BEF 的体积.解析:(1)证明:∵AB ⊥平面BCD , ∴AB ⊥CD .又∵在△BCD 中,∠BCD =90°, ∴BC ⊥CD .∵又AB ∩BC =B ,∴CD ⊥平面ABC .又∵在△ACD 中,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且AE AC =AFAD=λ(0<λ<1),∴不论λ为何值,都有EF ∥CD , ∴EF ⊥平面ABC .(2)在△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1, ∴BD = 2.又∵AB ⊥平面BCD , ∴AB ⊥BC ,AB ⊥BD .又∵在Rt △ABD 中,∠ADB =60°, ∴AB =BD ·tan60°=6, 由(1)知EF ⊥平面ABC , ∴V A -BEF =V F -ABE =13S △ABE ·EF =13×12S △ABC ·EF =16×12×1×6×12=624. 故三棱锥A -BEF 的体积是624.16.在四棱锥P -ABCD 中,侧面PDC 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是面积为23的菱形,∠ADC 为菱形的锐角.(1)求证:P A ⊥CD ;(2)求二面角P -AB -D 的大小; (3)求棱锥P -ABCD 的侧面积;解析:(1)证明:如图所示,取CD 的中点E ,由PE ⊥CD ,得PE ⊥平面ABCD ,连结AC 、AE .∵AD ·CD ·sin ∠ADC =23, AD =CD =2,∴sin ∠ADC =32,即∠ADC =60°,∴△ADC 为正三角形,∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥P A (三垂线定理).(2)解:∵AB ∥CD ,∴AB ⊥P A ,AB ⊥AE , ∴∠P AE 为二面角P -AB -D 的平面角. 在Rt △PEA 中,PE =AE ,∴∠P AE =45°. 即二面角P -AB -D 的大小为45°. (3)分别计算各侧面的面积: ∵PD =DA =2,P A =6,∴cos ∠PDA =14,sin ∠PDA =154.S △PCD =3,S △P AB =12AB ·P A =12·2·2·3=6,S △P AD =S △PBC =12PD ·DA ·sin ∠PDA =152.∴S P -ABCD 侧=3+6+15.13.把地球当作半径为R 的球,地球上A 、B 两地都在北纬45°,A 、B 两点的球面距离是π3R ,A 点在东经20°,求B 点的位置. 解析:如图,求B 点的位置即求B 点的经度,设B 点在东经α,∵A 、B 两点的球面距离是π3R .∴∠AOB =π3,因此三角形AOB 是等边三角形,∴AB =R ,又∵∠AO 1B =α-20°(经度差)问题转化为在△AO 1B 中借助AO 1=BO 1=AO cos45°=22R ,求出∠AO 1B =90°,则α=110°,同理:B 点也可在西经70°,即B 点在北纬45°东经110°或西经70°.14.在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2,求球的表面积和体积.解析:如图,两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO 1、BO 2,则AO 1∥BO 2. 若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心,则由等腰三角形性质易知OO 1⊥AO 1,OO 2⊥BO 2, 设球半径为R ,∵πO 2B 2=49π, ∴O 2B =7cm ,同理O 1A =20cm. 设OO 1=x cm ,则OO 2=(x +9)cm. 在Rt △OO 1A 中,R 2=x 2+202, 在Rt △OO 2B 中,R 2=(x +9)2+72, ∴x 2+202=72+(x +9)2,解得x =15cm. ∴R =25cm ,∴S 球=2500πcm 2,V 球=43πR 3=625003πcm 3.15.设A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点,B 、C 两点间的球面距离为π3,点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2,O 为球心,求:(1)∠AOB 、∠BOC 的大小; (2)球心O 到截面ABC 的距离.解析:(1)如图,因为球O 的半径为1,B 、C 两点间的球面距离为π3,点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2,所以∠BOC =π3,∠AOB =∠AOC =π2, (2)因为BC =1,AC =AB =2,所以由余弦定理得cos ∠BAC =34,sin ∠BAC =74,设截面圆的圆心为O 1,连结AO 1,则截面圆的半径r =AO 1,由正弦定理得r =BC 2sin ∠BAC=277,所以OO 1=OA 2-r 2=217.16.如图四棱锥A -BCDE 中,AD ⊥底面BCDE ,AC ⊥BC ,AE ⊥BE . (1)求证:A 、B 、C 、D 、E 五点共球; (2)若∠CBE =90°,CE =3,AD =1,求B 、D 两点的球面距离. 解析:(1)证明:取AB 的中点P ,连结PE ,PC ,PD ,由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形.故PE =PD =PC =12AB =P A =PB .所以A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上. (2)解:由题意知四边形BCDE 为矩形, 所以BD =CE =3,在Rt △ADB 中,AB =2,AD =1,∴∠DPB =120°,D 、B 的球面距离为23π.17.(本小题满分10分)如图,四棱锥S —ABCD 的底面是正方形,SA ⊥底面ABCD ,E 是SC 上一点.(1)求证:平面EBD ⊥平面SAC ;(2)假设SA =4,AB =2,求点A 到平面SBD 的距离;解析:(1)∵正方形ABCD ,∴BD ⊥AC ,又∵SA ⊥平面ABCD ,∴SA ⊥BD ,则BD ⊥平面SAC ,又BD ⊂平面BED ,∴平面BED ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD =O ,由三垂线定理得BD ⊥SO .AO =12AC =122AB =12·2·2=2,SA =4,则SO =SA 2+AO 2=16+2=32,S △BSD =12BD ·SO =12·22·32=6.设A 到面BSD 的距离为h ,则V S -ABD =V A -BSD ,即13S △ABD ·SA =13S △BSD ·h ,解得h =43,即点A 到平面SBD 的距离为43. 18.(本小题满分12分)如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =4,点E 在C 1C 上且C 1E =3EC .(1)证明A 1C ⊥平面BED ;(2)求二面角A 1-DE -B 的大小. 解析:依题设知AB =2,CE =1,(1)证明:连结AC 交BD 于点F ,则BD ⊥AC . 由三垂线定理知,BD ⊥A 1C .在平面A 1CA 内,连结EF 交A 1C 于点G ,由于AA 1FC =AC CE=22,故Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ,∠AA 1C =∠CFE ,∠CFE 与∠FCA 1互余. 于是A 1C ⊥EF .A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD 、EF 都垂直. 所以A 1C ⊥平面BED .(2)作GH ⊥DE ,垂足为H ,连结A 1H . 由三垂线定理知A 1H ⊥DE ,故∠A 1HG 是二面角A 1-DE -B 的平面角. EF =CF 2+CE 2=3,CG =CE ×CF EF =23.EG =CE 2-CG 2=33.EG EF =13,GH =13×EF ×FD DE =215. 又A 1C =AA 21+AC 2=26,A 1G =A 1C -CG =563, tan ∠A 1HG =A 1GHG=5 5.所以二面角A 1-DE -B 的大小为arctan5 5.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S -ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC =∠BCD =90°,AB =BC =SB =SC =2CD =2,侧面SBC ⊥底面ABCD .(1)由SA 的中点E 作底面的垂线EH ,试确定垂足H 的位置; (2)求二面角E -BC -A 的大小.解析:(1)作SO ⊥BC 于O ,则SO ⊂平面SBC , 又面SBC ⊥底面ABCD , 面SBC ∩面ABCD =BC , ∴SO ⊥底面ABCD ①又SO ⊂平面SAO ,∴面SAO ⊥底面ABCD , 作EH ⊥AO ,∴EH ⊥底面ABCD ② 即H 为垂足,由①②知,EH ∥SO , 又E 为SA 的中点,∴H 是AO 的中点. (2)过H 作HF ⊥BC 于F ,连结EF , 由(1)知EH ⊥平面ABCD ,∴EH ⊥BC ,又EH ∩HF =H ,∴BC ⊥平面EFH ,∴BC ⊥EF ,∴∠HFE 为面EBC 和底面ABCD 所成二面角的平面角. 在等边三角形SBC 中,∵SO ⊥BC , ∴O 为BC 中点,又BC =2.∴SO =22-12=3,EH =12SO =32,又HF =12AB =1,∴在Rt △EHF 中,tan ∠HFE =EH HF =321=32,∴∠HFE =arctan 32.即二面角E -BC -A 的大小为arctan 32.20.(本小题满分12分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =1,AA 1=2,N 是A 1D 的中点,M ∈BB 1,异面直线MN 与A 1A 所成的角为90°.(1)求证:点M 是BB 1的中点;(2)求直线MN 与平面ADD 1A 1所成角的大小;(3)求二面角A -MN -A 1的大小.解析:(1)取AA 1的中点P ,连结PM ,PN .∵N 是A 1D 的中点,∴AA 1⊥PN ,又∵AA 1⊥MN ,MN ∩PN =N , ∴AA 1⊥面PMN .∵PM ⊂面PMN ,∴AA 1⊥PM ,∴PM ∥AB , ∴点M 是BB 1的中点.(2)由(1)知∠PNM 即为MN 与平面ADD 1A 1所成的角.在Rt △PMN 中,易知PM =1,PN =12,∴tan ∠PNM =PMPN=2,∠PNM =arctan2.故MN 与平面ADD 1A 1所成的角为arctan2.(3)∵N 是A 1D 的中点,M 是BB 1的中点,∴A 1N =AN ,A 1M =AM , 又MN 为公共边,∴△A 1MN ≌△AMN .在△AMN 中,作AG ⊥MN 交MN 于G ,连结A 1G ,则∠A 1GA 即为二面角A -MN -A 1的平面角.在△A 1GA 中,AA 1=2,A 1G =GA =305,∴cos ∠A 1GA =A 1G 2+GA 2-AA 212A 1G ·GA =-23,∴∠A 1GA =arccos(-23),故二面角A -MN -A 1的大小为arccos(-23).21.(2009·安徽,18)(本小题满分12分)如图所示,四棱锥F -ABCD 的底面ABCD 是菱形,其对角线AC =2,BD = 2.AE 、CF 都与平面ABCD 垂直,AE =1,CF =2.(1)求二面角B -AF -D 的大小;(2)求四棱锥E -ABCD 与四棱锥F -ABCD 公共部分的体积. 命题意图:本题考查空间位置关系,二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识.考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.解答:(1)解:连接AC 、BD 交于菱形的中心O ,过O 作OG ⊥AF ,G 为垂足,连接BG 、DG .由BD ⊥AC ,BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ,故BD ⊥AF .于是AF ⊥平面BGD ,所以BG ⊥AF ,DG ⊥AF ,∠BGD 为二面角B -AF -D 的平面角.由FC ⊥AC ,FC =AC =2,得∠F AC =π4,OG =22.由OB ⊥OG ,OB =OD =22,得∠BGD =2∠BGO =π2.(2)解:连接EB 、EC 、ED ,设直线AF 与直线CE 相交于点H ,则四棱锥E -ABCD 与四棱锥F -ABCD 的公共部分为四棱锥H -ABCD .过H 作HP ⊥平面ABCD ,P 为垂足. 因为EA ⊥平面ABCD ,FC ⊥平面ABCD ,所以平面ACEF ⊥平面ABCD ,从而P ∈AC ,HP ⊥AC . 由HP CF +HP AE =AP AC +PC AC =1,得HP =23. 又因为S 菱形ABCD =12AC ·BD =2,故四棱锥H -ABCD 的体积V =13S 菱形ABCD ·HP =229.22.(2009·深圳调考一)(本小题满分12分)如图所示,AB 为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,AB ∥EF ,矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直.已知AB =2,EF =1.(1)求证:平面DAF ⊥平面CBF ;(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小;(3)当AD 的长为何值时,二面角D -FE -B 的大小为60°? 解析:(1)证明:∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,CB ⊥AB , 平面ABCD ∩平面ABEF =AB , ∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ,∴AF ⊥CB , 又∵AB 为圆O 的直径,∴AF ⊥BF , ∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面CBF . (2)解:根据(1)的证明,有AF ⊥平面CBF , ∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影,因此,∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角. ∵AB ∥EF ,∴四边形ABEF 为等腰梯形, 过点F 作FH ⊥AB ,交AB 于H .AB =2,EF =1,则AH =AB -EF 2=12.在Rt △AFB 中,根据射影定理AF 2=AH ·AB ,得AF =1,sin ∠ABF =AF AB =12,∴∠ABF =30°,∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)解:过点A 作AM ⊥EF ,交EF 的延长线于点M ,连结DM . 根据(1)的证明,DA ⊥平面ABEF ,则DM ⊥EF , ∴∠DMA 为二面角D -FE -B 的平面角, ∠DMA =60°.在Rt △AFH 中,∵AH =12,AF =1,∴FH =32. 又∵四边形AMFH 为矩形,∴MA =FH =32. ∵AD =MA ·tan ∠DMA =32·3=32. 因此,当AD 的长为32时,二面角D -FE -B 的大小为60°.。

立体几何测试题

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高一数学必修2立体几何测试题试卷满分:150分 考试时间:120分钟第Ⅰ卷一、选择题(每小题5分,共60分)1、下列说法正确的是 ( )A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2.有一个几何体的三视图如下图所示, 这个几何体应是一个( )A 、棱台B 、棱锥C 、棱柱D 、都不对 3、在正方体1111ABC D A B C D -中,下列几种说法正确的是 A 、11A C AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与D C 成45 角 D 、11A C 与1B C 成60 角 4、正三棱锥ABCS—的侧棱长和底面边长相等, 如果E 、F 分别为SC ,AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成角为 ( ) A .090 B .060 C .045 5、下列命题中:正确的个数有 ( ) (1)、平行于同一直线的两个平面平行; (2)、平行于同一平面的两个平面平行; (3)、垂直于同一直线的两直线平行; (4)、垂直于同一平面的两直线平行.A 、1B 、2C 、3D 、46、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 ( )A. 2221+B. 22+C. 21+D.221+7、设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若b a ⊥,α⊥a ,α⊄b ,则α//b ;②若α//a , βα⊥,则β⊥a ; ③若β⊥a ,βα⊥,则α//a 或α⊂a ;④若b a ⊥,α⊥a ,β⊥b ,则βα⊥ 其中A .0 B .1 C .2 D .3B 1C 1A 1D 1BACD8、给出下列关于互不相同的直线 和平面 的四个命题: (1),,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面;(2)l 、m 是异面直线,ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//; (3)若m l m l //,//,//,//则βαβα;(4)若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ,则βα//,其中为错误的命题是( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9、下列各图是正方体或正四面体,P ,Q ,R ,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个图是PPRSSPRRSSPPPQRSSP P QRRSSA 、B 、C 、D 、10、在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A 、23 B 、76 C 、45 D 、56 11、 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧且相距是1,那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.512、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题(每小题4分,共16分)13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABC D A B C D -中,平面11A B D 和平面1B C D 的位置关系为 15、已知P A 垂直平行四边形A B C D 所在平面,若PC BD ⊥,平行则四边形A B C D 一定是 .16、如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件_________时,有A 1 B ⊥B 1 D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)QPC'B'A'CBAH G FE DBACSDCBA高一数学必修2立体几何测试题第Ⅱ卷一、选择题:1---5___________, 6------10__________, 11---12________二、填空题:13、__________ 14、_____________ 15、__________ 16、___________ 三、简答题:17、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且EH ∥FG 。

新教材 人教A版高中数学必修第二册 第八章立体几何初步 课时练习题及章末测验 精选配套习题含解析

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第八章立体几何初步1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 1 -2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征................................................ - 7 -3、立体图形的直观图.................................................................................................. - 12 -4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 18 -5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积...................................................................... - 23 -6、球的表面积和体积.................................................................................................. - 29 -7、平面 ......................................................................................................................... - 35 -8、空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 40 -9、直线与直线平行直线与平面平行...................................................................... - 44 -10、平面与平面平行.................................................................................................... - 49 -11、直线与直线垂直.................................................................................................... - 56 -12、直线与平面垂直.................................................................................................... - 63 -13、平面与平面垂直.................................................................................................... - 70 -章末综合测验................................................................................................................ - 76 -1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、选择题1.(多选题)观察如下所示的四个几何体,其中判断正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台ACD[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥.]2.(多选题)下列说法错误的是()A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B.多面体至少有3个面C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形ABC[选项A错误,反例如图①;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图②,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的定义,知选项D正确.①②]3.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()C[动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.]4.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定A[如图.因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形,因此是棱柱.]5.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是()A.四边形B.三角形C.三角形或四边形D.不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.①②]二、填空题6.一棱柱有10个顶点,其所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,每条侧棱长都相等,所以每条侧棱长为12 cm.]7.如图所示,在所有棱长均为1的三棱柱上,有一只蚂蚁从点A出发,围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1,则爬行的最短路程为________.10[将三棱柱沿AA1展开如图所示,则线段AD1即为最短路线,即AD1=AD2+DD21=10.]8.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥.3[如图,三棱台可分成三棱锥C1-ABC,三棱锥C1-ABB1,三棱锥A-A1B1C1,共3个.]三、解答题9.如图所示的几何体中,所有棱长都相等,分析此几何体的构成?有几个面、几个顶点、几条棱?[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体,有8个面,都是全等的正三角形;有6个顶点;有12条棱.10.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.[解](1)如图①所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图②所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图③所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).①②③11.由五个面围成的多面体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该多面体是() A.三棱柱B.三棱台C.三棱锥D.四棱锥B[该多面体有三个面是梯形,而棱锥最多有一个面是梯形(底面),棱柱最多有两个面是梯形(底面),所以该多面体不是棱柱、棱锥,而是棱台.三个梯形是棱台的侧面,另两个三角形是底面,所以这个棱台是三棱台.]12.如图所示都是正方体的表面展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是()①②③④A.①②B.②③C.③④D.①④B[在图②③中,⑤不动,把图形折起,则②⑤为对面,①④为对面,③⑥为对面,故图②③完全一样,而图①④则不同.]13.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有________条.10[在上底面选一个顶点,同时在下底面选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.]14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A、B、C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?[解](1)如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=12a2,S△DPF=S△DPE=12×2a×a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-12a2-a2-a2=32a2.15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.[解]把长方体的部分面展开,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90,74,80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为74.2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征一、选择题1.下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.A .①和⑤B .①和②C .③和④D .①和④D [根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体.]2.图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A .圆锥、棱柱B .圆锥、棱锥C .球、棱锥D .圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆,侧面为扇形,得图①折叠后的图形是圆锥;根据图②的底面为三角形,侧面均为三角形,得图②折叠后的图形是棱锥.]3.圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面,那么此圆锥的轴截面是( )A .等边三角形B .等腰直角三角形C .顶角为30°等腰三角形D .其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ,依题意可知2πr =π·a 2,则r =a 4,故轴截面是边长为a 2的等边三角形.]4.如图,在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( )A .一个棱柱中挖去一个棱柱B .一个棱柱中挖去一个圆柱C .一个圆柱中挖去一个棱锥D .一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B .]5.用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱,则圆柱的轴截面的面积为( )A .32B .32πC .16πD .8πB [若8为底面周长,则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为8π,其轴截面的面积为32π;若4为底面周长,则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为4π,其轴截面的面积为32π.]二、填空题6.如图是一个几何体的表面展开图形,则这个几何体是________.圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱.]7.下列命题中错误的是________.①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径;②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等;③圆台所有平行于底面的截面都是圆面;④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.② [因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式,当两条母线的夹角为90°时,圆锥的轴截面面积最大.]8.一个半径为5 cm 的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4 cm ,则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ,则r 2+42=52,所以r =3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征.[解]如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.10.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得上底面半径O1A=2(cm),下底面半径OB=5(cm),又因为腰长为12 cm,所以高AM=122-(5-2)2=315(cm).(2)如图所示,延长BA,OO1,CD交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO可得l-12l=25,解得l=20 (cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.11. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是()A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的AB[如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选项AB正确.]12.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,P为棱AA′上一动点,Q为底面ABCD上一动点,M是PQ的中点,若点P,Q都运动时,点M构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱锥D.球的一部分A[由题意知,当P在A′处,Q在AB上运动时,M的轨迹为过AA′的中点,在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′),当P在A′处,Q在AD上运动时,M的轨迹为过AA′的中点,在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′), 当Q在B处,P在AA′上运动时,M的轨迹为过AB的中点,在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB), 当Q在D处,P在AA′上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB), 当P在A处,Q在BC上运动时,M 的轨迹为过AB的中点,在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P在A处,Q在CD上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到:P在A′处,Q在BC上运动;P在A′处,Q在CD上运动;Q在C处,P在AA′上运动;P,Q都在AB,AD,AA′上运动的轨迹.进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体.故选A.]13.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA 上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.则绳子的最短长度的平方f(x)=________.x2+16(0≤x≤4)[将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA′的长度L就是圆O的周长,所以L=2πr=2π,所以∠ASM=Ll=π2.由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为AM=x2+16 (0≤x≤4).所以f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).]14.球的两个平行截面的面积分别是5π,8π,两截面间的距离为1,求球的半径.[解]设两个平行截面圆的半径分别为r1,r2,球半径为R.由πr21=5π,得r1= 5.由πr22=8π,得r2=2 2.(1)如图,当两个截面位于球心O的同侧时,有R2-r21-R2-r22=1,即R2-5=1+R2-8,解得R=3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时,有R2-5+R2-8=1.此方程无解.由(1)(2)知球的半径为3.15.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.[解]圆台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心.过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.由题意知DO1=1,AO2=4,∴AF=3.∵DE=2EF,∴DF=3EF,∴GEAF=DEDF=23,∴GE=2.∴⊙O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.3、立体图形的直观图一、选择题1.(多选题)如图,已知等腰三角形ABC,则如下所示的四个图中,可能是△ABC 的直观图的是()A B C DCD[原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图.]2.(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,下列描述正确的是()A.三角形的直观图仍然是一个三角形B.90°的角的直观图会变为45°的角C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同ACD [对于A ,根据斜二测画法特点知,相交直线的直观图仍是相交直线,因此三角形的直观图仍是一个三角形,故A 正确;对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角,故B 错误;C ,D 显然正确.]3.把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示),其中B ′O ′=C ′O ′=1,A ′O ′=32,那么△ABC 是一个( )A .等边三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形,如图所示:由图易得AB =BC =AC =2,故△ABC 为等边三角形,故选A .]4.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ,四棱锥的高为8 m ,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A .4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB .4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC .4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD .2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ,2 cm ,1.6 cm.]5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A .2+ 2B .1+22C .2+22D .1+2A[画出其相应平面图易求,故选A.]二、填空题6.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′,则点M′的坐标为________.(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1,使O′M1=4,在y′轴上取点M2,使O′M2=2,过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线,则交点就是M′.] 7.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为________.2.5[由直观图知,由原平面图形为直角三角形,且AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,计算得AB=5,所求中线长为2.5.]8.水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示,其中D′是A′C′的中点,且∠ACB≠30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条.2[△ABC为直角三角形,因为D为AC中点,所以BD=AD=CD.所以与BD的长相等的线段有2条.]三、解答题9.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.[解](1)过点C作CE⊥x轴,垂足为点E,如图①所示,画出对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图②所示.①②③(2)如图②所示,在x′轴上取点B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′=OE;在y′轴上取一点D′,使得O′D′=12OD;过点E′作E′C′∥y′轴,使E′C′=12EC.(3)连接B′C′,C′D′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形O′B′C′D′就是所求的直观图.10.如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图,试画出原平面图形△ABC.[解](1)画法:过C′,B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′,E′.(2)在直角坐标系xOy中.在x轴上取两点E,D使OE=O′E′,OD=O′D′,再分别过E,D作y轴平行线,取EB=2E′B′,DC=2D′C′.连接OB,OC,BC即求出原△ABC.11.如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为()A .2B .4C .2 2D .42D [设△AOB 的边OB 上的高为h ,由题意,得S 原图形=22S 直观图,所以12OB ·h =22×12×2×O ′B ′.因为OB =O ′B ′,所以h =4 2.故选D .]12.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ,另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A .2 cmB .3 cmC .2.5 cmD .5 cmD [由题意可知其直观图如图,由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D .]13.已知用斜二测画法,画得的正方形的直观图面积为182,则原正方形的面积为________.72 [如图所示,作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′,作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图=O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形=OC ×OA . 所以S 正方形S 直观图=OC ×OAO ′A ′×C ′D ′, 又在Rt △O ′D ′C ′中,O ′C ′=2C ′D ′,即C ′D ′=22O ′C ′,结合平面图与直观图的关系可知OA =O ′A ′,OC =2O ′C ′, 所以S 正方形S 直观图=OC ×OA OA ×22O ′C ′=2O ′C ′22O ′C ′=2 2. 又S 直观图=182,所以S 正方形=22×182=72.]14.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′,已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.[解]四边形ABCD的真实图形如图所示,因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,所以在原四边形ABCD中,AD⊥AC,AC⊥BC,因为AD=2D′A′=2,AC=A′C′=2,=AC·AD=2 2.所以S四边形ABCD15.画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.[解](1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①.(2)画底面.以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图.连接P A、PB、PC、PD,并擦去辅助线,得四棱锥的直观图如图②.①②4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1.如图,ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA′B′B的体积是()A .13 B .12 C .23D .34C [∵V C -A ′B ′C ′=13V ABC -A ′B ′C ′=13,∴V C -AA ′B ′B=1-13=23.] 2.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( ) A .48 6 B .64 C .16 D .96[答案] B3.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分,那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A .1∶9B .1∶8C .1∶4D .1∶3 B [两个锥体的侧面积之比为1∶9,小锥体与台体的侧面积之比为1∶8,故选B .]4.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A . 3B . 2C .23D .32 A [如图所示,正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体,设正方体边长为a ,则正四面体边长为2a . ∴正方体表面积S 1=6a 2, 正四面体表面积为S 2=4×34×(2a )2=23a 2,∴S 1S 2=6a 223a 2= 3.] 5.四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形,各侧棱长都相等,高为z ,且侧面积等于两底面积之和,则下列关系式中正确的是( )A .1x =1y +1zB .1y =1x +1zC .1z =1x +1yD .1z =1x +yC [由条件知,各侧面是全等的等腰梯形,设其高为h ′,则根据条件得, ⎩⎪⎨⎪⎧4·x +y 2·h ′=x 2+y 2,z 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -x 22=h ′2,消去h ′得,4z 2(x +y )2+(y -x )2(y +x )2=(x 2+y 2)2. ∴4z 2(x +y )2=4x 2y 2, ∴z (x +y )=xy , ∴1z =1x +1y .] 二、填空题6.已知一个长方体的三个面的面积分别是2,3,6,则这个长方体的体积为________.6[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ,b ,c ,则⎩⎪⎨⎪⎧ab =2,ac =3,bc =6,三式相乘得(abc )2=6,故长方体的体积V =abc = 6.]7.(一题两空)已知棱长为1,各面均为等边三角形的四面体,则它的表面积是________,体积是________.3 212 [S 表=4×34×12=3, V 体=13×34×12×12-⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2=212.]8.如图,在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,则点A 到平面A 1BD 的距离d =________.33a [在三棱锥A 1-ABD 中,AA 1是三棱锥A 1-ABD 的高,AB =AD =AA 1=a ,A 1B =BD =A 1D =2a ,∵V 三棱锥A 1-ABD =V 三棱锥A -A 1BD , ∴13×12a 2×a =13×12×2a ×32×2a ×d , ∴d =33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a .] 三、解答题9.已知四面体ABCD 中,AB =CD =13,BC =AD =25,BD =AC =5,求四面体ABCD 的体积.[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体,如图. 设长方体的长、宽、高分别为x ,y ,z ,则⎩⎨⎧x 2+y 2=13,y 2+z 2=20,x 2+z 2=25,∴⎩⎨⎧x =3,y =2,z =4.∵V D -ABE =13DE ·S △ABE =16V 长方体, 同理,V C -ABF =V D -ACG =V D -BCH =16V 长方体, ∴V 四面体ABCD =V 长方体-4×16V 长方体=13V 长方体. 而V 长方体=2×3×4=24,∴V 四面体ABCD =8.10.如图,已知正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO =3,求此正三棱锥的表面积.[解] 如图,设正三棱锥的底面边长为a ,斜高为h ′,过点O 作OE ⊥AB ,与AB 交于点E ,连接SE ,则SE ⊥AB ,SE =h ′.∵S 侧=2S 底, ∴12·3a ·h ′=34a 2×2. ∴a =3h ′.∵SO ⊥OE ,∴SO 2+OE 2=SE 2. ∴32+⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2=h ′2.∴h ′=23,∴a =3h ′=6.∴S 底=34a 2=34×62=93,S 侧=2S 底=18 3. ∴S 表=S 侧+S 底=183+93=27 3.11.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( ) A .3π B .43 C .32πD .1B [如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为2,故底面积为(2)2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为13×2×1=23.则几何体的体积为2×23=43.]12.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为( ) A .423 B . 2 C .223 D .23D [由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为2,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2=23.]13.(一题两空)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是________,表面积是________.90 138 [该几何体的体积V =4×6×3+12×4×3×3=90,表面积S =2(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+32+42×3+3×4=138.]14.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为4的正方形,EF ∥AB ,EF =2,EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3,求该多面体的体积.[解] 如图,连接EB ,EC .四棱锥E -ABCD 的体积 V 四棱锥E -ABCD =13×42×3=16. ∵AB =2EF ,EF ∥AB , ∴S △EAB =2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC =V 三棱锥C -EFB =12V 三棱锥C -ABE =12V 三棱锥E -ABC =12×12V 四棱锥E -ABCD =4. ∴多面体的体积V =V 四棱锥E -ABCD +V 三棱锥F -EBC =16+4=20.15.一个正三棱锥P -ABC 的底面边长为a ,高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 0B 0C 0的顶点A 1,B 1,C 1分别在三条棱上,A 0,B 0,C 0分别在底面△ABC 上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?[解] 设三棱锥的底面中心为O ,连接PO (图略),则PO 为三棱锥的高,设A 1,B 1,C 1所在的底面与PO 交于O 1点,则A 1B 1AB =PO 1PO ,令A 1B 1=x ,而PO =h ,则PO 1=ha x ,于是OO 1=h -PO 1=h -h a x =h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x a .所以所求三棱柱的侧面积为S =3x ·h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x a =3h a (a -x )x =3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22.当x =a 2时,S 有最大值为34ah ,此时O 1为PO 的中点.5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、选择题1.面积为Q 的正方形,绕其一边旋转一周,则所得几何体的侧面积为( ) A .πQ B .2πQ C .3πQD .4πQB [正方形绕其一边旋转一周,得到的是圆柱,其侧面积为S =2πrl =2π·Q ·Q =2πQ .故选B .]2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为( )A .2B .2 2C .4D .8C[圆台的轴截面如图,由题意知,l=12(r+R),S圆台侧=π(r+R)·l=π·2l·l=32π,∴l=4.]3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3A[设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.]4.已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为()A.210 B.2 5C.3 D.2A[圆柱的侧面展开图如图,圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC,AC=22+62=210.故选A.]5.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这截面把圆锥母线分为两段的比是()A.1∶3 B.1∶ (3-1)C.1∶9 D.3∶2B[由面积比为1∶3,知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶3,故截面把圆锥母线分为1∶(3-1)两部分,故选B.]二、填空题6.表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.2 [设圆锥的母线为l ,圆锥底面半径为r ,由题意可知,πrl +πr 2=3π,且πl =2πr .解得r =1,即直径为2.]7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 3 [圆台的轴截面是下底长为12寸,上底长为28寸,高为18寸的等腰梯形,雨水线恰为中位线,故雨水线直径是20寸,所以降水量为π3(102+10×6+62)×9π×142=3(寸).]8.圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图),那么圆台的体积是________.7 000π3 3 cm 3[180°=20-10l ×360°,∴l =20, h =103,V =13π(r 21+r 22+r 1r 2)·h =7 0003π3 (cm 3).] 三、解答题9.若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°,求圆锥的体积. [解] 设圆锥的底面半径为r ,母线为l , 则2πr =13πl ,得l =6r .又S 圆锥=πr 2+πr ·6r =7πr 2=15π,得r =157,圆锥的高h =⎝⎛⎭⎪⎫61572-⎝⎛⎭⎪⎫1572=53,V =13πr 2h =13π×157×53=2537π.10.如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm ,高为20 cm 的圆锥形铅锤,且水面高于圆锥顶部,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少?[解] 因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20=60π(cm 3),设水面下降的高度为x cm ,则小圆柱的体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2022x =100πx .所以有60π=100πx ,解此方程得x =0.6. 故杯里的水将下降0.6 cm.11.已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ,底面周长为C ,它的体积是( ) A .C 34πS B .4πS C 3 C .CS 2πD .SC 4πD [设圆柱底面半径为r ,高为h ,则⎩⎨⎧Ch =S ,C =2πr ,∴r =C 2π,h =S C .∴V =πr 2·h =π⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C =SC4π.]12.如图,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a ,最小值为b .那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.πr 2(a +b )2 [采取补体方法,相当于一个母线长为a +b 的圆柱截成了两个体积相等的部分,所以剩下部分的体积V =πr 2(a +b )2.]13.(一题两空)圆柱内有一个内接长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,长方体的体对角线长是10 2 cm ,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积是100π cm 2,则圆柱的底面半径为________cm ,高为________cm.5 10 [设圆柱底面半径为r cm ,高为h cm ,如图所示,则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,则:⎩⎨⎧(2r )2+h 2=(102)2,2πrh =100π, 所以⎩⎨⎧r =5,h =10.即圆柱的底面半径为5 cm ,高为10 cm.]14.如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,求圆柱的表面积.[解] 设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ,表面积为S .则R =OC =2,AC =4, AO =42-22=2 3.如图所示,易知△AEB ∽△AOC ,所以AE AO =EB OC ,即323=r 2,所以r =1,S 底=2πr 2=2π,S 侧=2πr ·h =23π. 所以S =S 底+S 侧=2π+23π=(2+23)π.15.某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用).已建的仓库的底面直径为12 m ,高为4 m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪种方案更经济些?[解] (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V 1,V 2.方案一:仓库的底面直径变成16 m ,则其体积V 1=13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1622×4=2563π(m 3); 方案二:仓库的高变成8 m ,则其体积V 2=13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×8=96π(m 3).(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S 1,S 2. 方案一:仓库的底面直径变成16 m ,半径为8 m , 此时圆锥的母线长为l 1=82+42=45(m),则仓库的表面积S 1=π×8×(8+45)=(64+325)π(m 2);方案二:仓库的高变成8 m ,此时圆锥的母线长为l 2=82+62=10(m), 则仓库的表面积S 2=π×6×(6+10)=96π(m 2). (3)因为V 2>V 1,S 2<S 1, 所以方案二比方案一更加经济.。

高一数学必修2精选习题与答案(复习专用)

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(数学2必修)第一章 空间几何体 [基础训练A组] 一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对2.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A.3 B. 23 C. 33 D . 433.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( )A.25πB.50π C .125π D .都不对 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A.3:1B.3:2 C.2:3 D .3:35.在△ABC 中,02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( ) A .92π B. 72π C. 52π D. 32π 6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ) A.130 B .140 C.150 D .160 二、填空题1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________个顶点, 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2.若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是_____________。

3.正方体1111ABCD A B C D - 中,O 是上底面ABCD 中心,若正方体的棱长为a , 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4.如图,,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心,则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

主视图 左视图 俯视图5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体的对角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为___________.三、解答题1.将圆心角为0120,面积为3 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积(数学2必修)第一章空间几何体[综合训练B组]C 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045, 腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A. 22+ B .221+ C.222+ D . 21+ 2.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )A.324RB.38RC.324R D.38R 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm , 则球的表面积是( ) A .28cm π B.212cm πC.216cmπD.220cm π4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 5.棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A.1:7 B.2:7 C.7:19 D .5:166.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积为( )A .92B.5 C.6 D.152二、填空题1.Rt ABC ∆中,3,4,5AB BC AC ===,将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。

新人教版高一数学必修2试题立体几何

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高一数学(必修2)立体几何试题参考公式一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,将答案直接填在下表中)(1)下列命题为真命题的是()(A)平行于同一平面的两条直线平行(B)垂直于同一平面的两条直线平行(C)与某一平面成等角的两条直线平行(D)垂直于同一直线的两条直线平行(2)若一个角的两边分别和另一个角的两边平行,那么这两个角()(A)相等(B)互补(C)相等或互补(D)无法确定(3)正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此棱锥的体积为()(A(B(C(D(4)已知PD⊥矩形ABCD所在的平面,图中相互垂直的平面有()(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对(5)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()(A)2(B)12+(C)22+(D)1(C)(1,3,5)(D)(-1,-3,5)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)(11)底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为cm2.(12)若两个球的表面积之比是4∶9,则它们的体积之比是.(13)图①中的三视图表示的实物为_____________;PA B CD图②为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由_______块木块堆成.三、解答题(本大题共4小题,共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) (17)(本小题满分9分)如图,O 是正方形ABCD 的中心, PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.求证:(Ⅰ)P A ∥平面BDE ;(Ⅱ)平面P AC ⊥平面BDE .(18)(本小题满分9分)已知圆台的上、下底面半径分别是2、6,且侧面面积等于两底面面积之和. (Ⅰ)求该圆台的母线长; (Ⅱ)求该圆台的体积.高一数学(必修2)训练题参考答案一、选择题二、填空题(11)π16 (12)8∶27 (13)圆锥;4 (14)60° (15)(0,3) (16)8 三、解答题 (17) 证明:(Ⅰ)连结EO ,在△P AC 中,∵O 是AC 的中点,E 是PC ∴OE ∥AP . 又∵OE ⊂平面BDE , P A ⊄平面BDE , ∴P A ∥平面BDE .(Ⅱ)∵PO ⊥底面ABCD ,∴PO ⊥BD .图①正视图 左视图俯视图 正视图 左视图又∵AC ⊥BD ,且AC PO =O , ∴BD ⊥平面P AC . 而BD ⊂平面BDE , ∴平面P AC ⊥平面BDE .(18)解:(Ⅰ)设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上, 圆台的下底面面积为2636S ππ=⋅=下, 所以圆台的底面面积为40S S S π=+=下上 又圆台的侧面积(26)8S l l ππ=+=侧,于是840l ππ=,即5l =为所求.(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得,圆台的高为3h ==.∴ (13V S S h =++圆台下上=(143633ππ+⋅=52π.。

立体几何复习测试题及答案

立体几何复习测试题及答案

立体几何复习测试题及答案高一数学立体几何复习题必修2立体几何知识点第一章:空间几何体的结构⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。

3、 空间几何体的表面积与体积⑴ 圆柱侧面积;l r S⋅⋅=π2侧面;圆锥侧面积:l r S ⋅⋅=π侧面 ⑵ 圆台侧面积:l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面(3)体积公式:h S V ⋅=柱体;h S V ⋅=31锥体;()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=31(4)球的表面积和体积:32344R V R S ππ==球球,.第二章:点、直线、平面之间的位置关系1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系:平行、相交。

9、线面平行:⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

10、面面平行:⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

高中数学必修2立体几何部分试卷及答案

高中数学必修2立体几何部分试卷及答案

高中数学必修2立体几何部分试卷试卷满分100分。

时间70分钟考号 班级 姓名第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面,可以作( )A .1个B .1个或无数个C .0个或无数个D .0个、1个或无数个 3、正三棱锥底面三角形的边长为3,侧棱长为2,则其体积为 ( )A .41 B .21 C .43 D .49 4、右图是一个实物图形,则它的左视图大致为 ( )5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面积之和,则该正四棱台的高是 ( )A .2B .25C .3D .27 6、已知α、β是平面,m 、n 是直线,则下列命题不正确...的是 ( ) A .若//,m n m α⊥,则n α⊥ B .若,m m αβ⊥⊥,则//αβ C .若,//,m m n n αβ⊥⊂,则αβ⊥ D .若//,m n ααβ=I,则//m n7、正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1的侧面是正方形,若底面的边长为a ,则该正六棱柱的外接球的表面积是 ( )A .4πa 2 B.5 πa 2 C. 8πa 2 D.10πa 28、如右下图,在ABC ∆中,2AB =,BC=1.5,120ABC ∠=o,如图所示。

若将ABC ∆绕BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) (A )92π (B )72π (C )52π (D )32π(第8题图)9、如左上图是由单位立方体构成的积木垛的三视图,据此三视图可知,构成这堆积木垛的单 位正方体共有 ( ) A .6块 B .7块 C .8块 D .9块10、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个C .2个D .3个第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(每小题4分,共16分)11、已知直线m 、n 及平面α,其中m ∥n ,那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是:①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集。

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(包含答案解析)(2)

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(包含答案解析)(2)
A. B. C. D.
3.设 , 为两条不同的直线, , 为两个不同的平面,给出下列命题:
①若 , ,则 ;
②若 , ,则 ;
③若 , , ,则 ;
④若 , ,则 与 所成的角和 与 所成的角相等.
其中正确命题的序号是 )
A.①②B.①④C.②③D.②④
4.《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形,其他两侧面为直角三角形的五面体)体积的求法.在如图所示的羡除中,平面 是铅垂面,下宽 ,上宽 ,深 ,平面BDEC是水平面,末端宽 ,无深,长 (直线 到 的距离),则该羡除的体积为()
D. , 与 所成的角,转化为 的大小, 的最小角是 与平面 所成的角,即 ,此时 ,所以 的最小角大于 ,故D正确.
故选:C
【点睛】
关键点点睛:本题考查利用几何的综合应用,包含线线,线面角,垂直关系,首先会作图,关键选项是C和D,C选项的关键是 平面 ,点 是等边三角形的中心,D选项的关键是知道先与平面中线所成角中,其中线面角是其中的最小角.
C. , ,则 D. , ,则
12.在正方体 中, 和 分别为 ,和 的中点.,那么直线 与 所成角的余弦值是()
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图,在矩形 中, , ,点E为 的中点,F为线段 (端点除外)上一动点.现将 沿 折起,使得平面 平面 .设直线 与平面 所成角为 , 的取值范围为__________.
【详解】
依题意, ,而 ,
解得 ,记 的中心为О, 的中心为О1,则 ,
取 的中点 ,因为 , ,由勾股定理得 ,同理可得 ,
所以正三棱柱的外接球的球心为即 , 为外接球的半径,

高一数学立体几何试题

高一数学立体几何试题

立体几何复习题(直线与平面基本概念部分选择题汇总)班级姓名成绩.1.下列正确的命题是( )(A)平面α⊥平面β,直线a⊥平面α、β的交线l,则a⊥β(B)直线b、c⊂平面α,直线a⊥b,a⊥c,则a⊥α(C)直线a⊥平面β,a⊂平面α,则α⊥β(D)PO,P A分别是平面α的垂线,斜线,P A⊥直线a,则P A在平面α上的射影OA⊥a 2.下列四个命题中,(1)垂直于同一平面的两个平面互相垂直,(2) 垂直于同一条直线的两条直线互相平行,(3) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行,(4) 垂直于同一平面的两条直线互相平行。

其中真命题的个数是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)43.在空间,下列命题一定正确的是( )(A)若直线a∥平面M,直线b⊥a,则b⊥M(B)若平面N内的两条直线都平行于平面M,则M∥N(C)若平面M和平面N的交线为a,直线b⊂M,b⊥a,则b⊥N(D)若平面M∥平面N,则平面M内的任意一条直线a∥N4.下列命题中是假命题的是( )(A)斜线上的任意一点在平面α内的射影必在这条斜线在平面α上的射影上(B)若S –ABCD是正四棱锥,则SA⊥BD(C)底面是长方形的直棱柱是长方体(D)两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱5.设直线l∥平面α,若两直线夹在l与α间的线段相等,则此两条直线必( ) (A)平行(B)相交(C)异面(D)平行、相交或异面6.下列命题中正确的是( )(A)三点确定一个平面(B)与一条直线相交的三条平行直线确定一个平面(C)一条直线和一个点确定一个平面(D)两条互相垂直的直线确定一个平面7.在空间,下列条件只能确定一个平面的是( )(A)两条平行直线(B)两条垂直直线(C)三个点(D)一条直线和一个点8.四个命题:(1)过直线外一点,有且仅有一条直线和这条直线垂直;(2)垂直于同一个平面的两条直线必互相平行;(3)过平面外一点,有且仅有一个平面和这个平面垂直;(4)同垂直于一条直线的两条直线必可确定一个平面。

高一数学必修2期末试题及答案解析

高一数学必修2期末试题及答案解析

高一数学必修2期末试题及答案解析参考公式:圆台的表面积公式:S r '2 r2 r'l rl (r'、r分别为圆台的上、下底面半径,I为母线长)柱体、椎体、台体的体积公式:V柱体二Sh(S为底面积,h为柱体高)1V椎体= §Sh(S为底面积,h为椎体高)1 ________V台体二S' ,S'S S h (S',S分别为上、下底面面积,h为台体高)3、选择题A 1个C、3个2.如图所示,正方体的棱长为标系中的坐标是1,点A是其一棱的中点,贝U点B、1,1」2A在空间直角坐C、D、3.如图所示,长方体ABCD A1B1C1D1 中, BAB1 30。

,贝U GD与BB所成的角是A 60B、90B、2个D、4个C 、30D 、45C 、2x y 3 0 3D 、 2x y 5 04.下列直线中,与直线x y 1 0的相交的是 A 2x 2y 6 B 、 x C 、 y x 3 D 、5.在空间四边形 ABCD 的各边 AB BC 、CD 、 DA 上的依次取点E 、F 、G 、H ,若EH 、FG 所在直线相交于点P ,则 A 、点 P 必在直线AC 上 B 、点 P 必在直线BD 上 C 、点 P 必在平面DBC 外 D 、点 P 必在平面ABC 内 6.已知直线a ,给出以下四个命题: ①若平面 II 平面 ,则直线a//平面 ②若直线a//平面,则平面 //平面 ③若直线a 不平行于平面,则平面 不平行于平面其中正确的命题是 A 、② B 、③ C 、①②D 、①③ 7.已知直线a a y 1 0与直线2x ay 1 0垂直, 则实数a 的值等于B 、C 、D > 0,28.如图所示,已知AB 平面BCD , BC CD ,则图中互相垂直的平面有 A 3对 B 、2对 1对 D 、0对9.已知P 2, 1是圆x y 225的弦AB 的中点,则弦 AB所在的直线的方程是 B 、x y 1B10.已知直线ax by c O(a,b,c都是正数)与圆x2 y2 1相切,则以a,b,c为三边长的三角形A、是锐角三角形B、是直角三角形C、是钝角三角形D、不存在二、填空题11.直线y 2x与直线x y 3的交点坐标是_________________ 。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (24)

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (24)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷10(共22题)一、选择题(共10题)1.下列有关平面的说法正确的是( )A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面2.如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中( )A.AB∥CD B.AB∥EF C.CD∥GH D.AB∥GH3.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30∘,则圆锥的高为( )A.10√3cm B.20√3cm C.20cm D.10cm4.若棱台上、下底面的对应边之比为1:2,则上、下底面的面积之比是( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:15.一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A.28B.20+2√5C.20+4√5D.24+2√56.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为ℎ时,水流出所用时间为t,则函数ℎ=f(t)的图象大致是( )A.B.C.D.7.如图,下列正三棱柱ABC−A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是( )A.B.C.D.π,则圆柱的侧面积为8.如图,圆柱内有一内切球(圆柱各面与球面均相切),若内切球的体积为43( )A.πB.2πC.4πD.8π9.若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于510.已知平面α,β,直线l⊂α,直线m不在平面α上,下列说法正确的是( )A.若α∥β,m∥β,则l∥m B.若α∥β,m⊥β,则l⊥mC.若l∥m,α∥β,则m∥βD.若l⊥m,m∥β,则α⊥β二、填空题(共6题)11.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是cm3;表面积是cm2.12.若空间两个角的两条边分别平行,则这两个角的大小关系是.13.判断正误.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )14.已知在三棱锥A−BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90∘,AB=BD=2,CD=1,则三棱锥的外接球体积为.,则a的值为.15.如图所示,正方体的棱长为a,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为4316.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是,表面积是.三、解答题(共6题)17.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB的一个三等分点(靠近点A),CE的延长线与DA的延长线交于点F,连接PF.(1) 求证:CD ⊥PF ;(2) 求证:在线段 PC ,PD 上可以分别找到两点 Aʹ,Aʺ,使得直线 PC ⊥平面AAʹAʺ,并分别求出此时PAʹPC,PAʺPD 的值.18. 在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中,如图.(1) 求证:平面AB 1D 1∥平面C 1BD ;(2) 试找出体对角线 A 1C 与平面 AB 1D 1 和平面 C 1BD 的交点 E ,F ,并证明 A 1E =EF =FC .19. 在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,AC =√3,AB =2BC =2,AC ⊥FB .(1) 求证:AC⊥平面FBC;(2) 求四面体F−BCD的体积.20.如图所示,在长方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:(1) 与直线BʹCʹ平行的平面有哪几个?(2) 与直线BʹCʹ垂直的平面有哪几个?(3) 与平面BCʹ平行的平面有哪几个?(4) 与平面BCʹ垂直的平面有哪几个?(5) 平面AC与平面AʹCʹ间的距离可以用哪些线段来表示?21.如图所示,在直二面角D−AB−E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1) 求证:AE⊥平面BCE;(2) 求证:平面BDF⊥平面ABCD.22.如图,在三棱锥S−ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D,E分别是AC,BC的中点,F在SE上,且SF=2FE.(1) 求异面直线AF与DE所成角的余弦值;(2) 求证:AF⊥平面SBC;(3) 设G为线段DE的中点,求直线AG与平面SBC所成角的余弦值.答案一、选择题(共10题)1. 【答案】D【知识点】平面的概念与基本性质2. 【答案】C【解析】把正方体的展开图还原成正方体,得到如图所示的正方体,由正方体性质得:AB与CD 相交,AB与EF异面,CD与GH平行,AB与GH异面.【知识点】直线与直线的位置关系3. 【答案】A【解析】如图所示,在Rt△ABO中,AB=20cm,∠BAO=30∘,所以AO=AB⋅cos30∘=20×√32=10√3(cm),所以圆锥的高为10√3cm.【知识点】圆锥的结构特征4. 【答案】B【解析】因为两个相似多边形面积的比等于它们的相似比的平方,而棱台的上、下底面是相似多边形且对应边的比(也就是相似比)为1:2,所以上、下底面的面积的比为S上:S下=12:22=1:4.【知识点】棱台的结构特征5. 【答案】D【解析】如图所示,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后剩余的部分,故该几何体的表面积S=(2×2)×5+(12×1×2)×2+2×1+2×√5=24+2√5.【知识点】三视图、棱柱的表面积与体积6. 【答案】B【解析】函数ℎ=f(t)是关于t的减函数,故排除C,D;则一开始,ℎ随着时间的变化,而变化变慢,超过一半时,ℎ随着时间的变化,而变化变快,故对应的图象为B.【知识点】球的表面积与体积、函数的表示方法7. 【答案】C【解析】在A、B 选项中,易知AB∥A1B1∥MN,所以易证AB∥平面MNP;在D选项中,易知AB∥PN,所以易证AB∥平面MNP.【知识点】直线与平面垂直关系的判定8. 【答案】C【解析】设球的半径为r,则43πr3=43π,解得r=1,所以圆柱的底面半径r=1,高ℎ=2r=2,所以圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π.【知识点】球的表面积与体积、圆柱的表面积与体积9. 【答案】B【解析】由正四面体的定义可知n=4能满足条件.当n≥5时,可设其中三个点为A,B,C,由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到A,B,C三点距离相等的点必在过△ABC 的重心且与平面ABC垂直的直线上,从而易知到A,B,C的距离等于正三角形ABC边长的点有两个,分别在平面ABC的两侧.此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长,从而不可能有5个点满足条件.当然也不可能有多于5个的点满足条件.【知识点】空间线段的长度、直线与平面垂直关系的性质10. 【答案】B【知识点】直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系二、填空题(共6题) 11. 【答案】 8+4√23; 20+4√3【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为: 该几何体为上面为正式棱锥体,下面为正方体的组合体, 故 V =2×2×2+13×2×2×√2=8+4√23, S =4×12×2×√3+5×2×2=20+4√3.【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、由三视图还原空间几何体12. 【答案】相等或互补【知识点】直线与直线的位置关系13. 【答案】 √【知识点】平面的概念与基本性质14. 【答案】 92π【解析】如图所示,三棱锥可补形为一个长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体, 则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同,设外接球半径为 R , 则:(2R )2=22+22+12,则 R 2=94,R =32, 外接球的体积:V =43πR 3=43π×278=92π.【知识点】组合体、球的表面积与体积15. 【答案】 2【解析】由图可知以其所有面的中心为顶点的多面体由两个全等的正四棱锥构成, 四棱锥底面四边形面积为正方形面积一半,为a 22,高为正方体棱长一半,为a2,所以V=13Sℎ×2=13×a22×a2×2=43,解得a=2.【知识点】棱锥的表面积与体积16. 【答案】√33;√3+1+√7【解析】由三视图可知:该几何体是如图所示的三棱锥.其中侧面PAC⊥面ABC,△PAC是边长为2的正三角形,△ABC是边AC=2,边AC上的高OB=1,PO=√3为底面上的高.于是此几何体的体积V=13S△ABC⋅PO=13⋅12×2×1×√3=√33,几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=12×√3×2+12×2×1+2×12×√12+12×√22−(12+122)2=√3+1+√7.【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体三、解答题(共6题)17. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为底面ABCD是矩形,所以AD⊥CD.又因为PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因为PF⊂平面PAD,所以CD⊥PF.(2) 如图所示,取线段PD的中点Aʺ,连接AAʺ,作AʹAʺ⊥PC,垂足为Aʹ,连接AAʹ,则此时满足直线PC⊥平面AAʹAʺ.由(I)得,CD⊥平面PAD,又AAʺ⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,所以CD⊥AAʺ,CD⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD.又因为△PAD是等腰三角形,所以PD⊥AAʺ.又因为CD∩PD=D,所以AAʺ⊥平面PCD,又PC⊂平面PCD,所以AAʺ⊥PC.又AʹAʺ⊥PC,AAʺ∩AʹAʺ=Aʺ,所以PC⊥平面AAʹAʺ.易知PAʺPD =12.因为AB=2AD,PA=AD,所以可设AD=a(a>0),则PA=a,AB=CD=2a,在等腰直角三角形PAD中,由勾股定理得PD=√PA2+AD2=√2a,PAʺ=12PD=√22a.因为PC⊥AʹAʺ,Rt△PCD的平面图如图所示:在Rt△PCD中,由勾股定理,得PC=√PD2+CD2=√(√2a)2+(2a)2=√6a,所以cos∠CPD=PDPC =√2a√6a=√33.在Rt△PAʹAʺ中,cos∠CPD=PAʹPAʺ=√22a=√33,得PAʹ=√66a,所以PAʹPC =√66a√6a=16.综上,在线段PC,PD上可以分别找到两点Aʹ,Aʺ,使得直线PC⊥平面AAʹAʺ,并且此时PAʹPC =16,PAʺPD=12.【知识点】直线与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的性质18. 【答案】(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中,AD∥B1C1,AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.同理,B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2) 如图,连接A1C1,交B1D1于点O1,连接AO1,与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC,交BD于点O,连接C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F,在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF.同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.【知识点】平面与平面平行关系的判定、平面与平面平行关系的性质19. 【答案】(1) 在△ABC中,因为AC=√3,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2) 因为AC⊥平面FBC,所以AC⊥FC,因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中,可得CB=DC=1,所以FC=1,所以△BCD的面积为S=√34,所以,四面体F−BCD的体积为V F−BCD=13S⋅FC=√312.【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 有平面 ADDʹAʹ,平面 ABCD .(2) 有平面 ABBʹAʹ,平面 CDDʹCʹ.(3) 有平面 ADDʹAʹ.(4) 有平面 ABBʹAʹ,平面 CDDʹCʹ,平面 AʹBʹCʹDʹ,平面 ABCD .(5) 可用线段 AAʹ,BBʹ,CCʹ,DDʹ 来表示.【知识点】平面与平面平行关系的判定、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定、点、线、面的位置关系21. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BC ⊥AB .因为二面角 D −AB −E 为直二面角,所以 BC ⊥平面AEB .以线段 AB 的中点为原点 O ,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ,则 A (0,−1,0),B (0,1,0),C (0,1,2),D (0,−1,2).设 E (x 0,0,0)(x 0>0).因为 F 为 CE 上的点,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,1,2), 所以设 EF⃗⃗⃗⃗⃗ =λEC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λx 0,λ,2λ), 所以 F((1−λ)x 0,λ,2λ),所以 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =((1−λ)x 0,λ−1,2λ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,1,0). 因为 BF ⊥平面ACE ,所以 BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(λ−1)+4λ=0, 且 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x 02+λ−1=0,解得 x 0=1或−1(舍),λ=13,所以 E (1,0,0),F (23,13,23).AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0), 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,所以 AE ⊥BE .因为 BC ⊥平面AEB ,所以 BC ⊥AE .又因为 BC ∩BE =B ,BC ⊂平面BCE ,BE ⊂平面BCE ,所以 AE ⊥平面BCE .(2) 由题意可知,平面 ABCD 的法向量为 OE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0). 设平面 BDF 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,−23,23), BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2), 所以 m ⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23x −23y +23z =0 且 m ⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +2z =0,取z=1,则y=1,x=0,所以m⃗⃗ =(0,1,1).因为m⃗⃗ ⋅OE⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,所以平面BDF⊥平面ABCD.【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题22. 【答案】(1) 连接BF.在△ABC中,D,E分别是AC,BC的中点,所以DE∥AB,所以∠FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角.由AC=AB=SA=2,AC⊥AB,E是BC的中点,得AE=√2.因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AE.在Rt△SAE中,SE=√6,可得AF=2√33.因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥BC,又BC⊥AE,所以BC⊥平面SAE,所以BC⊥SE,因为EF=13SE=√63,BE=√2,所以BF=2√63.所以cos∠FAB=√33,即异面直线AF与DE所成角的余弦值√33.(2) 由(Ⅰ)知AE2=EF2+AF2,所以AF⊥SE.因为BC⊥平面SAE,所以BC⊥AF.又SE∩BC=E,所以AF⊥平面SBC.(3) 延长AG交BC于P点,连接PF.由(Ⅰ)知AF⊥平面SBC,所以PF为AP在平面SBC上的投影,所以∠APF即为直线AG与平面SBC所成角.因为G为线段DE的中点,所以CP=2PE,又SF=2FE,所以PF=13SC=2√23,AP=2√53,所以cos∠APF=√105,即直线AG与平面SBC所成角的余弦值为√105.【知识点】线面角、直线与平面平行关系的判定。

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高一数学立体几何(必修2)期末复习试卷
班级___________姓名__________学号_________分数___________
一、选择题
1、线段AB 在平面α内,则直线AB 与平面α的位置关系是()
A 、A
B α⊂B 、AB α⊄
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对
2、下列说法正确的是
A 、三点确定一个平面
B 、四边形一定是平面图形
C 、梯形一定是平面图形
D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定
()
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能4、在正方体1111ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是


A 、11AC AD
⊥B 、11D C AB
⊥C 、1AC 与DC 成45 角
D 、11AC 与1
B C 成60
角5、若直线l ∥平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是


A 、
l ∥αB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交
D 、l 与a 没有公共点
6、下列命题中:(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两个平面平行;(3)、垂直于同一直线的两直
线平行;(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有()A 、1B 、2C 、3D 、4
7、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M ;③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题的个数有()A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ,α内一点C 到β的距离为3,点C 到棱AB 的距离为4,那么tan θ的值等于(

A 、
3
B 、
3C 、
7D 、
379.在空间,下列命题中正确的是()
A、若两直线a、b 与直线m 所成的角相等,那么a∥b;
B、若两直线a、b 与平面α所成的角相等,那么a∥b;
C、若直线m 与两平面α、β所成的角都是直角,那么α∥β;
D、若平面γ与两平面α、β所成的二面角都是直二面角,那么α∥β.
10.正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中,P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,且总保持AP⊥BD 1,则动点P 的轨迹是


A、线段B 1C
B、BB 1中点与CC 1中点连成的线段
C、线段BC 1
D、BC 中点与B 1C 1中点连成的线段
二、填空题
11、直线AB 、AD ⊂α,直线CB 、CD ⊂β,点E ∈AB ,点F ∈BC ,点G ∈CD ,点H ∈DA ,若直线EH∩直线FG=M ,则点M 在上
12、设棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /中,M 为AA /的中点,则直线CM 和D /D 所成的角的余弦值为.13、已知△ABC 中,A ∈α,BC ∥α,BC=6,∠BAC=90︒,AB 、AC 与平面α分别成30︒、45︒的角.则BC 到平面α的距离为14.Rt △ABC 的斜边在平面α内,直角顶点C 是α外一点,AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°.则平面ABC 与α所成锐角为15.已知A(2,5,-6),点P 在y 轴上,PA=7,则点P 的坐标为
16、已知球面(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9与点A (-3,2,5),则球面上的点与点A 的距离的最大值和最小值分别为
三、解答题
17、已知平面α∥β,直线AB β⊄,且直线AB ∥α,求证:AB ∥β
C 1
B 1
A 1C
B
A
18、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.求证:(1)C 1O ∥面11AB D ;(2)1
AC ⊥面11AB D .19.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是
AB 、PC 的中点.
(1)求证:EF ∥平面PAD ;(2)求证:EF ⊥CD ;
(3)若∠PDA =45°,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.
20、如图,斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=3,AC=2,AB ⊥AC ,A 1C 1⊥BC 1侧棱与底面成600角,(1)求证:AC ⊥平面ABC 1;(2)求证:C 1在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上;(3)求此三棱柱体积的最小值。

D 1O
D B A
C 1
B 1
A 1
C
B
A
C
B
A
N
M C
B
A
C 1
B 1A
1
21、如图,在矩形ABCD 中,AB=33,BC=3,沿对角线BD 将BCD 折起,使点C 移到点C ’,且C ’在平面ABD 的射影O 恰好在AB 上
(1)求证:BC ’⊥面ADC ’;
(2)求二面角A —BC ’—D 的正弦值;(3)求直线AB 和平面BC ’D 所成的角余
弦值。

22.如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=2,AB=AC=1,∠BAC=900,点M 是BC 的中点,点N 在侧棱CC 1上(1)当线段CN 的长度为多少时,NM ⊥AB 1;
(2)若MN ⊥AB 1,求异面直线B 1N 与AB 所成的角的正切值;(3)若MN ⊥AB 1,求二面角A —B 1N —M 的大小(4)若MN ⊥AB 1,求点M 到平面AB 1N 的距离.
高一数学立体几何(必修2)期末复习试卷参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10A
二、填空题(每小题4分,共16分)
11、BD 上(或α、β的交线上)
12、
3
113、6
14、60
15、(0,8,0)或(0,2,0)16、9,3三、解答题
17、提示:作辅助平面分别和两个平面都相交。

18、提示:连接A 1C 1交B 1D 1与点O 1。

19、45度。

20、提示:3.当AC 垂直与AB
时最小为。

21、提示: 2.
33 3.余弦值为73。

22、提示:1.
14

2.4;
3.45度;
4.1
2。

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