第七章量子力学的矩阵形式与表象变换
量子力学 第7章-2(第20讲)
H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
量子力学的矩阵形式与表象变换
练习，求证U是么正矩阵。
么正变换小结
基矢变换： (e 1 ,e 2 ) (e 1 ,e 2 )U ()
基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－ Ψ a = Ψ ´ a´ = Ψ ´ Sa
Δ 有关矩阵知识 (参考周世勋书P250－255）
1．对角矩阵 Anm=amδnm. 2. 转置矩阵 (A ~)nmAmn
3．厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵) (A )nm (A ~ ) nm A m 运算规则：(AB) BA (A) A
A 1 A A2
A 3
A1 A A2
A3
以二维坐标系间变换为例。
设新坐标系 (e1,e2)相对原坐标系 (e1,e2) 顺时针 转过θ角。则
e1 c1e1c2e2,
e2 d1e1d2e2,
r (r )(r r )
动量表象
i
p x
px,
, i p
p
Fˆ(ip, p)
r (p )(12)3/2e ip r
p (r )(12)3/2e ip r
p (p )(p p )
(列矩阵的本征矢正交定义: XiXj 0 .)
C. 厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。XiXj ij
（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性 组合,变为正交的k个本征矢）.
Δ.本征矢的归一化: XiXi 1
1
Δ.未归一的归一化系数C:
C
X
i
X
i
Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
这组数(a1,a2, … an, …)就是态ψ在Q表象中 的表示。可用列矩阵表示。设ψ是归一化的， 那么就有
* * d a a u m n mun d 2 mn
a an mn a an 1
* m * n mn n
9
由此可见，|an|2是ψ所描述的态中测量力学量Q所
ˆ 的共同本征态un(n代表 的任何一个力学量完全集 Q
一组完备的量子数，并先考虑分立谱情况)可以用
来构成此态空间的一组正交归一完备基矢，称为Q
表象。基矢满足正交归一性
(u m , u n ) mn
8
按态叠加原理，体系的任何一个态ψ可以用它们 展开
an u n
n
其中an (u n , )
为λ。可见，幺正变换不改变算符的本征值。
ˆ 自身的表象， 如果F' 是对角矩阵，即B表象是 F ˆ 本征值的问题归结为寻找一个幺正变换把算符 F
ˆ 的本征值。于是求算符 那么F' 的对角元素就是 F ˆ 自身的表象，使 F ˆ 的矩阵 从原来的表象变换到 F 表示对角化。解定态薛定谔方程求定态能级的问
ˆ 在A表象中的本征值方程为Fa=λa。λ为本 设F
征值，a为本征矢。通过幺正变换将F和a从A表 象变换到B表象，则有
F ' SFS ; b Sa
1
在B表象中有
F ' b (SFS1 )Sa
SFa Sa b
即 F'b b
19
ˆ 在B表象中的本征值仍 这个本征值方程说明算符 F
am ' u m ' an u n
第七章量子力学的矩阵表述
( ) Fnm = ϕ n , Fˆϕ m
( ) Fij′ = ψ i , Fˆψ j
7.39
将 7.31 代入上面第二个式子得
∑ ∑ ∑ ( ) Fij′
=
n
Si*nϕ n ,
m
S
* jm
Fˆϕ
n
=
n,m
S
in
S
* jm
ϕ n , Fˆϕ m
7.40
∑ ∑ ( ) =
S
in
Fnm
S
* jm
=
法则一样
1 单位矩阵
1 0 0 L
I
=
0 0
1 0
0 1
L L
M
M
M O
2 对角矩阵
一个算符在自身表象中必定是一个对角矩阵
值
3 厄米共厄矩阵和厄米矩阵
A 的厄米共厄矩阵
A+
=
~ A
*
而且其对角员就是算符的各个本征 7.16
厄米矩阵
A+ = A
7.17
四 一些量子力学公式
1 平均值公式
< F >= ψ + Fψ
3 薛定谔方程
以上介绍的态的矩阵表示对含时间的完整态函数
列矩阵的矩阵元看成时间的函数 若
∑ Ψ(rv,t) = cn (t)ϕ n (rv)
n
包括非定态 7.23
也适用
只需把态矢
则 Ψ(t) 的矩阵表示为
c1 c2
(t) (t)
Ψ(t)
=
M
7.24
cn (t)
M
通常 选取的基底是不随时间变化的 相应的力学量算符不显含时间
Aˆ ϕ n = α nϕ n
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在(, L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂. 108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
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在能量本征态 下逐项计算平均值，并利用公式
即得
式（3）加式（4），再减式（5）和（6），即得式（1）．
注意：如
和 并无简单关系．如 F 为厄米算符，即
，则
，
这时
，式（1）就变成《量子力学习题精选与剖析》[下]题 2.4 式（1）．
类似有
AC＋CA＝0
（b）由于
，可知其本征值为±1，又按假定，A 本征态无简并，所以，在 A 表象
中 A 的对角矩阵表示为
设 B 的矩阵为
由 AB＋BA＝0，得
即
1/8
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所以
，即
又由
，有
所以 bc＝1，因而 B 的矩阵表示为
8/8
在 sz 表象中可以表示为
证明：按假设， 不妨取
．基矢的正交完备性表现为
可以验证，假想的自旋算符的 2 维矩阵表示分别为
与《量子力学教程》8.1 节，（21）式（Pauli 矩阵）比较． 【参见《量子力学教程》8.1 节，（21）式．】
7.9 设 F 为体系的一个可观测量（厄米算符），H 为体系的 Hamilton 量，证明在能量 表象中的下列求和规则：
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第 7 章 量子力学的矩阵形式与表象变换
7.1 设矩阵 A、B、C 满足
（a）证明
；
（b）在 A 表象中（设无简并），求出 B 和 C 的矩阵表示．
解：（a）对
分别右乘 B 和左乘 B，利用
，得
（1）＋（2）得
AB＋BA＝0
式（2）取共轭，得到 和式（2）相加，即得式（1）。
量子力学__07量子力学的矩阵形式与表象变换
x
')
k
则任一态函数 在F表象中的具体形式： ak k
k
a1
a
2
或者
ak
其中 ak ( k , )
在 F 表象中 F 的基矢集 { , 1, 2,...} 满足
( , )
正交归一性
*(x ') (x) (x x ')
完备性
则任一态函数 在 F 表象中的具体形式： a
具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn , ...。 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函 数展开：
证：
( x, t) an(t)un( x)
n
an(t) un *(x)(x.t)dx
证明：变换矩阵 S 为一幺正矩阵。即 S S I , SS I
描述基矢之间的关系。
因此，当R矩阵给定后，任何矢量在两个坐标系中的表示 之间的关系，也随之确定。
4. 变换矩阵R的性质 由于变换矩阵具有如下性质：
R( )R( ) R( )R( ) 1 det R( ) 1
这种矩阵称为真正交矩阵。
又由于 R*( )=R( ) 所以 R ( )R( )=R( )R ( )=1
an(t)
aq (t )
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
量子态在不同表象中具体形式的变换
在F表象中 F的基矢集 { k , k 1, 2,...} 满足
( k , j ) kj
正交归一性 完备性
* k
(
x
力学量的矩阵形式与表象变换
表象变换的应用
要点一
总结词
表象变换在量子力学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种实际问题。
要点二
详细描述
表象变换可以用于计算量子态的演化、求解薛定谔方程、 理解量子纠缠等现象。通过选择适当的表象，我们可以将 复杂的问题简化为更易于处理的形式，从而更好地理解和 应用量子力学的基本原理。此外，表象变换在量子计算和 量子信息处理等领域也有着重要的应用，它可以用于实现 量子算法和量子通信等任务。
02
表象变换
表象变换的概念
总结词
表象变换是量子力学中一个重要的概念，它涉及到对物理系统的描述方式的改变。
详细描述
在量子力学中，一个物理系统可以用不同的方式进行描述，这些描述方式被称为表象。表象变换就是从一个表象 变换到另一个表象的过程。通过表象变换，我们可以选择最适合问题解决的方式进行描述，从而简化计算和问题 解决过程。
应用于量子模拟
通过表象变换，可以更好地模拟和分析一些复杂的量子系 统，例如凝聚态物质中的强关联效应等。
感谢观看
THANKS
简化计算
通过选择合适的表象，可以简化 某些物理过程的计算过程，提高 计算效率。
表象变换在量子力学中的具体应用
角动量表象
在角动量表象中，角动量算符可以表示为矩阵形式，方便进行计 算和表示。
位置和动量表象
在位置和动量表象中，位置和动量算符可以表示为简单的算术运 算，有助于理解量子力学的非经典性质。
哈密顿表象
力学量的矩阵形式 与表象变换
目 录
• 力学量的矩阵表示 • 表象变换 • 力学量的本征值与本征态 • 力学量算符的变换规则 • 表象变换在量子力学中的应用
01
力学量的矩阵表示
力学量的矩阵形式与表象变换
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2016年9月—11月
课程内容
第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心ห้องสมุดไป่ตู้场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论
F | cn | n n
| c | a
G a a
G F 则 ca S na cn a
S na n | a C SC , C S C S C
F G G F 1 F
4、表象变换
• C、力学量的变换
ˆ 把态 | A 变为态 | B ，即 | B H ˆ | A 设算符H
G G
2、矩阵表示
• C、本征方程
ˆ g G b1 ˆ 的本征函数在F表象中的表示为：B b 假设G 2 (G gI ) B 0 G gI 0求出多个g , 每个g给出一个列矢量， 即为本征波函数在F表象中的表示。
第七章 量子力学的矩阵形式 与表象变换
1、希尔伯特空间 2、矩阵表示 3、Dirac符号 4、表象变换
1、希尔伯特空间
• A、三维空间
R r1e1 r2e 2 r3e 3 ei e j ij i,j 1,2,3 ri ei R
三个矢量构成三维空间的完备正交基，展开系数就 是任意矢量在这组基下的表示或坐标。基不同，表 示也不一样。
n
G表象的基 | a 可用F表象的基 | n 展开： Sna n | a S12 S22 其中SS S S 1，S为幺正变换 S11 S Sna S21
量子力学讲义第七章讲义
(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的 抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。 给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征 方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程 求本征函数。
4、 举例： 例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵 形式为：
， 其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。 设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。 例如动量本征态，，坐标本征态，等。
4.6 量子力学的矩阵形式和表象变换
an给(t出) 2在
态(中r,测t)量粒子的力学量Q 取 值的几q率n。
69
13
以上讨论与三维矢量空间一矢量的表示很类似。
三维矢量空间
e1,
e2
,
e3
A A1e1 A2e2 A3e3
A1 A A2
A3
Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成一个复线性空间，称
为Hilbert空间，体系的状态波函数 是Hilbert空间中的一个矢量，称为
并引入记号： Fnm
un*
(
x)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x)dx
69
26
可将（2）式写成：bn (t) Fnmam (t)
排成矩阵形式：
m
b1(t) F11 F12
b2
(t
)
F21
F1m
a1(t)
a2
(t
)
bn (t) Fn1 Fn2
Fnm
am (t)
69
a
1
e
i
pa
2 p2a2 / 2
22
能量表象：本征函数 n x
2 sin n x
aa
展开系数：
anE
1
x
* n
(
x)dx
1,n
即在自身表象中取δ形式。
∴ 基态在能量表象中的表示：
1
0
an
0
.
. .
1x an E n x a1E1x
n
69
23
2、算符的矩阵表示
力学量算符在不同表象中的表示
阵力学（海森堡Heisenberg）
第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
x表象的基函数是坐标算符的本征函数
ˆδ ( x − x′) = x′δ ( x − x′) x
二、 p表象 1. 状态 ϕ ( p, t )
ϕ ( p, t ) ：几率密度
2
∂ ˆ ˆ (x ˆ = iℏ , p ) ˆ, p ˆ) = ? F (x 2. 力学量 F ∂p
n ∂ ∂ n n ℏ ˆ = i? i. x ˆ x = ( i ℏ ) 同理 ∂p ∂p n n n ˆ ˆ ii. p = p p = p
−∞ +∞
或ψ p′ ( x)
ψ ( x, t ) = ∫ ϕ ( p′, t )ψ p′ ( x) dp′
−∞ ∞
ˆ δ ( p − p′) = p′δ ( p − p′) p
ˆ ψ p′ ( x ) = p ′ψ p′ ( x) p
p表象的基函数是动量算符的本征函数
例1：在p表象计算一维谐振子的定态能量和 波函数。
� � � � � � � � ∫ψ (r ′, t )δ (r − r ′)dr ′ 或 ∫ ϕ ( p′,t )δ ( p − p′)dp′
3. 波函数是态矢在基上的投影或分量。
五、力学量完全集 1.力学量变量 力学量的测值可作为波函数的变量 2. 力学量变量的个数等于自由度数 3. 作为波函数变量的力学量必须相互对易
n
* cn = (ϕ n , ϕ (0)) = ∫ ϕ n ( p )ϕ ( p,0) dp −∞ ∞
∂ ˆ v. 平均值 F = ∫ ϕ ( p, t ) F ( x ˆ = iℏ , p)ϕ ( p, t )dp −∞ ∂p
+∞ *
4. 基函数
{δ ( p − p′) | p′ ∈ R}
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换
a
2
(1)
mn
1 1 4amn mn 1 (1) 1 2 2 2 2 2 2 ( m n ) ( m n ) ( m n )
ˆ 哈密顿算符 H
对角元：
n En 2a 2
2 2
2
§7.3 量子力学公式的矩阵表示
一、Schrö dinger方程
n
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个
无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义。 F表象中的算符表示（分立谱的情况） ：
ˆ 运算后变成另一个态： 设量子态经过算符 L
L12 L22 Ln 2
L1m L2 m Lnm
左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数和波函数
在F表象中的矩阵表示，而矩阵 L jk 即算符
中的表示。
用 LF 表示这个矩阵
ˆ L
在F表象
则有：
F LF F
b1 L11 b2 L21 bn Ln1
LL
其对角矩阵元为实数
Lnm L
* mn
证明:
Lnm L m dx ( L n ) * m dx
* n
[ L n dx] L
* m *
* mn
例: 求一维无限深势阱中粒子的坐标算符 ˆ 在能量表象中的矩阵表示。 H
ˆ x
及哈密顿算符
L12 L22 Ln 2
L1m L2 m Lnm
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用F标记：
a1(t)
a2
(t
)
F
M
an (t)
M
把矩阵F称为(x,t) 所描写的状态在F表 象中的波函数
F的共轭矩阵是一个行矩阵，用+F标记
F
a1* (t )
a2* (t )
L
an*(t) L
若用矩阵表示归一化，有：
F F a1*(t ) a2*(t )
a1(t)
1 an*(t)
a2(t)
an* (t)an (t)
n
an(t)
综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象 中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我 们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。
例: 若给出： (r, ,,t)
1 2
R Y e
i
量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系 来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建
立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数看成是这个空
在任意表象中的表示
•表象理论中采用的数学工具主要是矩阵 •矩阵力学 （海森堡 Heisenberg ）ຫໍສະໝຸດ §7.1 量子态的不同表象
讨论分立谱的情况
在坐标表象中设力学量算符 Fˆ 的本征值为： F1, F 2, ..., F n,...，
相应本征函数：1( x),2( x), n ( x), , 构成正交归一完备系
A11B12 A12 B22 A21B12 A22 B22
A11 B13 A21 B13
A12 B23 A22 B23
(1) AB BA 称A、B矩阵相互不对易 AB BA 称A、B矩阵相互对易
（2） ABC (AB)C A(BC)
(3) (A B)C AB BC
(4) AB AC ，但B=C不一定成立
• 回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系 的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。
•量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象 •常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。
•一个定义：表象的定义 •二个表示：态（波函数）在任意表象中的表示
力学量（算符）在任意表象中的表示 •三个公式：平均值公式 本征值方程 薛定谔方程
A A 则称A矩阵为厄密矩阵
A 0i
i 0
A
0* (i)*
i* 0*
0 i
i 0
A
( AB) B A ( ABCD) D C B A
表象理论
•根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述， 力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量 算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它 描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）
7、转置矩阵：把新矩矩阵阵A称的为行A和的列转互置相矩调阵换。，A~所得出的
A
A11 A21
A12 A22
A13 A23
A~
A11 A12
A13
A21 A22 A23
共轭矩阵：
A1*1
A A1*2
A1*3
A2*1
A2*2
A2*3
8、厄密矩阵：如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等
若体系状态用归一化波函数(x,t) 描述，有：
( x, t) an(t)n( x)
an(t)
* n
(
x
)
(
x,
t
)dx
n
2
(x,t) dx
an (t) 2 1
n
说明：
（1） (x,t) 2 给出量子态在t时刻测量粒子坐标为x 的概率密度 | an (t) | 2 表示在(x,t)所描述的状态中测量F得Fn的概率密度 二者从不同角度对同一量子态给予描述, 物理意义是 等价的,数学上也是等价的.
第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
矩阵简介
1、定义
A11
A
A21 AN1
A12 A22 AN 2
A1M
A2M
ANM
N M矩阵 Anm矩阵元
n 1,2, , N, m 1,2, , M
方阵：行数与列数相等的矩阵。
2、两矩阵相等 A B Anm Bnm （行列数相等）
3、两矩阵相加 C A B Cnm Anm Bnm （行列数相等） 4、两矩阵相乘（ 一个n列的矩阵A与一个n行的矩阵B相乘）
A11 A21
A12 A22
B11 B21
B12 B22
B13 B23
C11 C21
C12 C22
C13 C23
A11 B11 A21 B11
A12 B21 A22 B21
(x,t) an (t)
（2） an (t)一般不再是坐标 x的函数而是力学量F的本征值Fn 的函数，即量子数n的函数，随 n的不同取不同复数值 .
结论：{an(t)}与(x,t)描述体系的同一个态，(x,t)是这一
状态在坐标表象中的表示，而数列{an(t)}是这同一状态在F
表象中的表示。我们可以把数列{an(t)}写成列矩阵的形式，
E10t
10 00
1 2
R Y e
i
E21t
21 11
1
2
e
i
E10t
100
1 2
e
i
E21t
211
中心力场能量表象为：
a100
1
e
i
E10t
2
a200 0
E
a210 a211
a211
1 2
0
e
i
E21t
0
Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间
历史回顾： 量子力学的建立---矩阵力学和波动力学的提出
1925年7月初，海森伯终于完成了题为“从量子理论重新 解释运动学和力学关系”的论文。建立了矩阵力学。
1926年，苏黎世大学的奥地利科学家欧文·薛定谔发展了 另一种形式的量子力学――波动力学。
薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同，而 且是通过不同的思维过程发展而来的，但是用这两种理论处理 同一问题时，却得到了相同的结果。包括薛定谔本人在内的许 多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价。海森伯 的理论比薛定谔提出的早一些，可是科学家们在接受薛定谔的 波动力学时却显得迅速得多。
(5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立 (6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵:除对角元外其余为零
A1 0 0 0
A
0 0 0
A2 0 0
0 A3 0
0
0 A4
6、单位矩阵
1 0 0 0
I
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 10
单位矩阵与任何矩阵 A的乘积仍为A：IA=A 并且与任何矩阵都是 可对易的：IA=AI