量子力学的矩阵形式及表象理论

量子力学习题（三年级用）

北京大学物理学院

二O O三年

第一章 绪论

1、计算下列情况的Broglie d e

-波长，指出那种情况要用量子力学处理：

（1）能量为eV .0250的慢中子

()

克2410671-⋅=μ

.n

；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a

；

（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量

可能值。

第二章 波函数与波动力学

1、设()()

为常数a Ae x x a 222

1

-=

ϕ

（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==

2、求ikr

ikr e

r

e r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。 3、若()

,Be e A kx kx -+=ϕ

求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结

论？（其中k 为实数）

4、一维运动的粒子处于

()⎩

⎨

⎧<>=ϕλ-0

00x x Axe x x

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证

0=⨯∇

其中ρ=

υ/j

6、一维自由运动粒子，在0=t

时，波函数为 ()()x ,x δ=ϕ0

求：

?)t ,x (=ϕ2

第三章 一维定态问题

1、粒子处于位场

()00

0000

〉⎩⎨

⎧≥〈=V x V x V

中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）

2、一粒子在一维势场

⎪⎩

⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0

000x a x x V )

x ( 中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x 2=

().n a x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛π-=-2222

6112

3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为

如

D

S A S B D S A S C 22211211+=+=

这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

证明：0

1

1222112112

22

2

21

212211

=+=+=+**S S S S S S S S

这表明S 是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=a

x V a x x V X 0

00

0 5、求粒子在下列位场中运动的能级

()⎪⎩⎪

⎨⎧>μω≤∞=0

2

102

2x x x V X

6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用

()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态，

02

121>=k kx V )

x (

（1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为

22kx V )X (=

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；

（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的22

x p ,x ∆∆，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量

1、 若()

)z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ

=2

2221 证明：,x V i ]P ,H [x ∂∂=

,p i ]x ,H [x

μ

-=

2、设

[]q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数，证明

（1）

[],ihpf )q (f p ,q 22

=

（2）[];f p i

)q (f p ,p '=2

2

3、证明

0≡++]]B ˆ,A ˆ[,C ˆ[]]A ˆ,C ˆ[,B ˆ[]]C ˆ,B ˆ[,A

ˆ[ 4、如果，B A ˆ,ˆ是厄密算符 （1）证明

(

)[]B ˆ,A

ˆi ,B ˆA ˆn

+是厄密算符；

（2）求出B ˆA

ˆ是厄密算符的条件。 5、证明：

[][][][]][[] ++++=-A ˆ,L ˆ,L ˆ,L ˆ!,A ˆ,L ˆ,L ˆ!A ˆ,L

ˆA e A ˆe L ˆL 3121

6、如果B ,A 与它们的对易子[]

B ˆ,A

ˆ都对易，证明 []

B ˆ,A ˆB A ˆB ˆA e e e 21++=⋅

（提示，考虑(),e e e )

(f B ˆ

A ˆ

B ˆ

A ˆ

+λ-λλ⋅⋅=λ证明

[]f B ,A d df

λ=λ

然后积分）