2020年全国卷3文科数学真题试卷含答案
2020年全国卷3文科数学试题及参考答案
绝密★启用前试题类型：新课标in 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {xlx-l>0}, B = {0, 1, 2},则AC|B = ( )A. {0}B. {1}C. {1, 2}D. {0, 1, 2}【答案】c【解析】A:x>l , W{1, 2}【考点】交集2- (1 + /)(2-/)=()A. -3-iB. -3 + /C. 3-iD. 3 + j【答案】D【解析】(l + 0(2-f) = 2+r-i2=3 + <【考点】复数的运算3•中国古建筑借助樺卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做樺头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是樺头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )俯视方向【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面,而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面,D答案本身就不对”外围轮廊不可能有缺失【考点】三视图4.若sina = |»则cosZz = ( )A. |B. 1C. -1D.9 9 9 9【答案】B7【解析】cos 2a = 1 -2sin‘ a =-【考点】余弦的二倍角公式5•某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金也用非现金支付的槪率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A. 0・3 B・ 04 C・ 06 D. 0・7【答案】B【解析】1一0・45-0・15 = 0・4【考点】互斥事件的概率6•函数f (x)= tan\的最小正周期为()l + tan~x【答案】C【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期7.下列函数中，其图像与函数v = lnx的图像关于直线x = l对称的是A. y = ln(l-A-)B. y = ln(2-x)C. y = ln(l+ x)D. y = ln(2 + x)【答案】B【解析】采用特殊值法，在取一点A(3, ln3),则A点关于直线x = l的对称点为川(7 ln3)应该在所求函数上，排除A , C , D【考点】函数关于直线对称8.直线x + y + 2 = 0分别与x轴、V轴交于点A, B两点，点在圆(A-2)2+/=2±,则WP而积的取值范围是( )A. [2, 6]B. [4, 8]C. [x/2, 3血]D.3血]【答案】A【解析】人(一2, 0), B(0, -2) , :.\AB\ = 2y/2 ,可设P(2 +血cos*. >/2sin^),贝！JB.壬C. ”D. 2龙T = ^- = 7T(走义域并没有影响到周期)S'lBP = 2 1^1' dP-AB =匝dp_AR e[2, 6]【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)9・y = F + 2的图像大致为（）【答案】D【考点】函数图像辨识（按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势.单调性（导数）的顺序来考虑）2 210.已知双曲线的c ：二一・ = l （d>0, b>0）的离心率为返，则点（4, 0）到C 的渐近线的距离为A ・B ・2C ・上返D ・2>/22【答案】D【解析】e = ~ = + —r = >/2=> a = h••渐近线为— y = 0【解析】 /(1) = 2 ■排除 A 、B; y = Mx 3+2x = 2x(l-2x 2)，故函数在 0,【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化11A4BC 的内角4 S C 的对边分别为亿/人c.若AABC 的而积为川+[_广，则4 C =() A.【答案】C【解析】S MBC =穆 d"sin C ="一 十[一—,而 cosC= “_；：力一"一【考点】三角形面积公式、余弦定理12.设A, B 、C, D 是同一个半径为4的球的球而上四点，AA3C 为等边三角形且英而积为 9x/3,则三棱锥D-ABC 的体积最大值为( ) A. 12>/3 B. 18^3 C. 24书D. 54炉【答案】B【解析】如图,0为球心,F 为等边A43C 的重心， 易知OF 丄底面ABC ，当。
2020年高考全国卷三文科数学及答案解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A = 1,2,3,5,7,11， B = x | 3 x 15，则 A B 中元素的个数为
（）
A. 2
B. 3
C. 4
A. 5
B. 2 5
C. 4 5
D.8 5
12.（5 分）已知函数 f (x) = sin x + 1 ，则 sin x
A. f (x) 的最小值为 2
B. f (x) 的图像关于 y 轴对称
C. f (x) 的图像关于直线 x = 对称
D. f (x) 的图像关于直线 x = 对称 2
二、 空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（2）点C1 在平面 AEF 内. 20.（12 分）
已知函数 f (x) = x3 − kx + k 2
（1）讨论 f (x) 的单调性
2）若 f (x) 有三个零点，求 k 的取值范围.
21.（12 分）
已知椭圆
C
：x2 25
+
y2 m2
= 1(0 m 5
的离心率为
15 ，A，B 分别为
13．（5 分）若 x ， y 满足约束条件 2x − y 0，则 z = 3x + 2 y 的最大值为
.
x 1，
2
14．（5
分）设双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的一条渐近线为
y
=
2x ，则C 的离心
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷3,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷3）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．函数 ()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）10．已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的离心率为2，则点()40，到C 的渐近线的距离为（ ）A ．2B ．2C ．322D ．2211．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。
2020年全国3卷 文科数学真题(pdf版含解析)
2020年全国3卷文科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【详解】由题得，{5,7,11}A B ⋂=，所以A ∩B 中元素的个数为3.故选：B考点：集合的运算2.若()11+=-z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i =.故选：D 考点：复数的运算3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C考点：方差的性质4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C 【详解】()()0.23531t KI t e--=+ ，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.考点：对数的运算5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【详解】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆.故选：A.考点：轨迹方程7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.考点：抛物线8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.考点：直线的定点与点线距9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.C.D.4+2【答案】C【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△由勾股定理得：AB AD DB ===∴ADB △是等边三角形∴211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴表面积：632=⨯++.故选：C.考点：三棱锥表面积计算10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<.故选：A考点：对数大小比较11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.D.【答案】C【详解】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=故选：C考点：余弦定理与解三角形12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x π=对称D.f (x )的图像关于直线2x π=对称【答案】D【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D考点：函数的对称性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.考点：线性规划14.设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.3考点：双曲线的渐近线与离心率15.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.考点：导数的运算16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC ，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r =，其体积：3433V r π==.故答案为：3.考点：圆锥的内切球三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好3337空气质量好228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂I 、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴因此1C 在平面AEF 内20.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>，且20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,27.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2） 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()2265205AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+=+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c .2020年全国3卷文科数学真题（原卷版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x|3<x<15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若(1)1z i i +=-，则z ＝（）A.1－iB.1＋iC.－iD.i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.lC.1D.104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数。
2020年高考数学全国卷3-文科(附详解)
三!解答题"共6&分$解答应写出文字说明!证明过程或演算步
骤 第$ "6##"题为必考题#每个试题考生都必须作答$第
##!#*题为选考题#考生根据要求作答$
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2020年全国卷三文科数学高考试题(详细解析版)
1．已知集合 A 1，2，3，5，7，11 ， B x | 3 x 15 ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 C．4 答案：B
B．3 D．5
解析：由交集的定义可知 A∩B={5，7，11} ，故选 B
2．若 z (1 i) 1 i ，则 z=
A．1–i
B．1+i
C．–i
D．i
答案：C
解析：因为 z (1 i) 1 i ，所以 z 1 i (1 i)2 2i i ，故选 C 1 i (1 i)(1 i) 2
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
B．f(x)的图像关于 y 轴对称 D．f(x)的图像关于直线 x 对称
2
解析：对于A，因为当 sin x 0 时， f (x) 0 ，故A错误.
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对于B，因为函数
f
(x)
的定义域为 {x
|
x
kπ, k
Z} ，又因为
f
(x)
sin(x)
1 sin( x)
f
(x)
，
故函数是奇函数，故B错误;
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷三文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．29．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．1二、填空题13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是．三、解答题17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)-含详细解析
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）副标题题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3,5,7,11}，B ={x|3<x <15}，则A ∩B 中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 2. 若z(1+i)=1−i ，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. −iD. i3. 设一组样本数据x 1,x 2,...,x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2,...,10x n 的方差为( ) A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 104. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数.当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为( )(In19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 695. 已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=( )A. 12B. √33C. 23D. √226. 在平面内，A,B 是两个定点，C 是动点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C 的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线 7. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2=2px(p >0)交于D,E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0) 8. 点(0,−1)到直线y =k(x +1)距离的最大值为( )A. 1B. √2C. √3D. 29. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. 6+4√2B. 4+4√2C. 6+2√3D. 4+2√310. 设a =log 32，b =log 53，c =23，则( )A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b11.在ΔABC中，cosC=23，AC=4,BC=3，则tanB=()A. √5B. 2√5C. 4√5D. 8√512.已知函数f(x)=sinx+1sinx，则()A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图像关于y轴对称C. f(x)的图像关于直线x=π对称D. f(x)的图像关于直线x=π2对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x+y≥02x−y≥0x≤1，则z=3x+2y的最大值为_____．14.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x，则C的离心率为______．15.设函数f(x)=e xx+a ，若f′(1)=e4，则a=____．16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为_________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(12分)设等比数列{a n}满足a1+a2=4，a3−a1=8(1)求{a n}的通项公式；(2)记s n为数列{log3a n}的前n项和.若s m+s m+1=s m+3，求m．18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。
2020年全国统一高考数学3卷(文科)
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是： .
故选：C.
10.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
分别将 , 改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
【详解】因为 ， ，
【答案】C
【分析】
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）（ln19≈3）
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【分析】
先根据余弦定理求 ，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
【详解】设
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷3,含解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意：12z i =-- .本题选择B 选项.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项.4．已知4 sin cos3αα-=，则sin2α=（）A．79- B．29-C．29D．79【答案】A5．设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z=x-y的取值范围是（）A．[–3,0]B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A处取得最小值033z=-=- . 在点()2,0B处取得最大值202z=-= .本题选择B选项.6．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65. 本题选择A 选项. 7．函数y =1+x +2sin xx 的部分图像大致为（ ）A BD ．C D 【答案】D8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以3r BC ==，那么圆柱的体积是223314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B. 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．3 C ．23D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离22d a a b==+，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，63c e a ==，故选A.12．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷三文科数学高考试题(word版+详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷三文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711，，，，，A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解析：由交集的定义可知A ∩B ={5711}，，，故选B 2．若)(1i 1i z +=-，则z =A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：C解析：因为)(1i 1i z +=-，所以21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，故选C 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10答案：C解析：数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差等于数据x 1，x 2，…，x n 的方差210，即0.011001⨯=，故选C4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t KI t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：由0.23(53)()=1e t KI t --+可得ln 1()530.23K I t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-，所以若*()0.95I t K =时，*ln 1ln190.955353660.230.23K K t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+≈-，故选C. 5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12 BC ．23 D答案：B解析：因为πsin sin =3θθ++（）1，所以13sin sin sin 1226πθθθθθθ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以πsin 6（+θ，故选B 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案：A解析：取线段AB 的中点O ，则AC OC OA =-，BC OC OB OC OA =-=+，因为=1AC BC ⋅，所以221OC OA -=，所以22||||1OC OA =+，即|||OC OA =C的轨迹为以线段AB 中点为A。
2020年高考文科数学全国3卷(word版,含答案)
1.【ID:4007728】已知集合，，则中的元素的个数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：集合，，，中元素的个数为．故选：B．2.【ID:4007729】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由，得，．故选：D．3.【ID:4007730】设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：样本数据，，，的方差为，根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据，，，的方差为：，故选：C．4.【ID:4002704】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：C．5.【ID:4007731】已知，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，即，得，即，得．故选：B．6.【ID:4007732】在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为()A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A【解析】解：在平面内，，是两个定点，是动点，不妨设，，设，因为，所以，解得，所以点的轨迹为圆．故选：A．7.【ID:4002705】设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：将代入抛物线，可得，，可得，即，解得，所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．故选：B．8.【ID:4007733】点到直线距离的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为点到直线距离；要求距离的最大值，故需；可得；当时等号成立；故选：B．9.【ID:4002708】右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，，、、两两垂直，故，几何体的表面积为：，故选：C．10.【ID:4007734】设，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，，．故选：A．11.【ID:4007735】在中，，，，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，，，，可得，，则．故选：C．12.【ID:4007736】已知函数，则()A. 的最小值为B. 的图象关于轴对称C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于直线对称【答案】D【解析】解：由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称；设，则，，由双勾函数的图象和性质得，或，故A错误；又有，故是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；；，故，的图象不关于直线对称，C错误；又；，故，定义域为，的图象关于直线对称；D正确；故选：D．13.【ID:4002715】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．14.【ID:4007737】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为________．【答案】【解析】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，由题意可得，所以离心率，故答案为：．15.【ID:4007738】设函数，若，则________．【答案】【解析】解：函数，，若，，则，故答案为：．16.【ID:4002713】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】7【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由解得，如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．故答案为：．17. 设等比数列满足，．（1）【ID:4007739】求的通项公式．【答案】【解析】解：设公比为，则由，可得，，所以．（2）【ID:4007740】记为数列的前项和．若，求．【答案】【解析】解：由有，是一个以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，，解得，或(舍去)，所以．18. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：（1）【ID:4002719】分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率．【答案】见解析【解析】解：设表示事件“该市一天的空气质量等级”．由表格数据得：；；；．（2）【ID:4002720】求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【答案】【解析】由题意得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估值，一天中到该公园锻炼的平均人次的估值为．（3）【ID:4002721】若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或．则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面的列联表．并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，【答案】见解析【解析】由题意得：(空气质量好，人数)；(空气质量好，人数)；(空气质量不好，人数)；(空气质量不好，人数)；．，可以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19. 如图，长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）【ID:4007741】当时，．【答案】见解析【解析】解：因为是长方体，所以平面，而平面，所以，因为是长方体，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因为点，分别在棱，上，所以平面，所以．（2）【ID:4007742】点在平面内．【答案】见解析【解析】解：取上靠近的三等分点，连接，，．因为点在，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，又因为在上，且，所以，且，所以为平行四边形，所以，，即，，所以为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．所以点在平面内．20. 已知函数．（1）【ID:4007743】讨论的单调性．【答案】时，在递增，时，在递增，在递减，在递增．【解析】解：，，时，，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，在递增，在递减，在递增，综上，时，在递增，时，在递增，在递减，在递增．（2）【ID:4007744】若有三个零点，求的取值范围．【答案】【解析】解：由得：，，，若有三个零点，只需，解得：，故．21. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）【ID:4002724】求的方程．【答案】【解析】，，，，即，的方程为．（2）【ID:4002725】若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】【解析】设，，，则，，①，又，②，由①，，代入②式：，，，不妨设，代入①：，时，；时，；，或，，①，，，：，即，且，，．②，，，：，即，且，，，综上所述，．方法：由，设，点，根据对称性，只需考虑的情况，此时，，，有①，又，②，又③，联立①②③得或，当时，，，，同理可得当时，，综上，的面积是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于，两点．（1）【ID:4002728】求．【答案】【解析】解：与坐标轴交于，，则令或，即或，则或(舍)或或(舍)，，，，，，，则，坐标为，，．（2）【ID:4002729】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【答案】【解析】：，即，由，，则直线极坐标方程为：．23. 设，，，，．（1）【ID:4002730】证明：．【答案】见解析【解析】解：，且，，．（2）【ID:4002731】用表示，，的最大值，证明：．【答案】见解析【解析】不妨设为最大值，，则由，，，，，即．。